Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường AA’ và BC theo a.. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD.Gọi M là điểm đối xứng của B qua C và N là hì
Trang 1KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2016.
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
-Câu 1: ( 1điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
4 2 8x 9x 1
Câu 2: ( 1điểm) Tìm giá trị tham số m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt đồ thi (C) của hàm số(C) y
=
1
1
x
x
+
tại hai điểm phân biệt A , B sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau
Câu 3: ( 1điểm)
a) Cho số phức z thỏa mãn: ( 9 4 + i z ) ( + − 3 8 i z ) = − + 12 10 i
Tìm môđun của số phức
1-w z = + i
b) Giải phương trình: ( 2 ) ( )
log x − =6 log x− +2 1
Câu 4 : ( 1điểm) Tính tích phân:
Câu 5 : ( 1điểm)
a) Cho
3 tan
4
α = −
Tính giá trị của biểu thức:
2 cos 2 sin 2
2
A= − α π− − α + π
b) T×m hÖ sè cña x4 trong khai triÓn cña
n
x
−3 22
(x > 0) biÕt r»ng n lµ sè tù nhiªn tháa m·n 92
2 1
2+ − + n− =
n
n
n
A
Câu 6 : ( 1điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
x 1 y z 1
−
và các
mặt phẳng (P): x - 2y + 2z + 1 = 0, (Q): 2x + y - 2z + 3 = 0 Viết phương trình mặt cầu ( S) có tâm I
thuộc d đồng thời tiếp xúc với cả hai mặt phẳng (P) và (Q)
Câu 7 : ( 1điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = 2a,
góc ACB bằng
0
30
Hình chiếu vuông góc của B’ lên (ABC) là trung điểm H của AB ; góc giữa cạnh bên BB’ và mặt đáy bằng
0
60
Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường AA’ và BC theo a
Câu 8 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD.Gọi M là điểm đối
xứng của B qua C và N là hình chiếu vuông góc của B trên MD.Tam giác BDM nội tiếp đường tròn
ĐỀ 10
Trang 2(T) có phương trình:
(x−4) + −(y 1) =25
Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết phương trình đường thẳng CN là:
3x− 4y− = 17 0
; đường thẳng BC đi qua điểm E(7;0) và điểm M
có tung độ âm
Câu 9 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:
( ) ( )
x y
x x
Câu 10 (1,0 điểm) Cho x y z, , ∈[ ]0; 2
thỏa mãn
3
x y z+ + =
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD.Gọi M là điểm đối xứng của B
qua C và N là hình chiếu vuông góc của B trên MD.Tam giác BDM nội tiếp đường tròn (T) có
phương trình:
(x−4) + −(y 1) =25
.Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết phương trình đường thẳng CN là:
3x− 4y− 17 0 =
; đường thẳng BC đi qua điểm E(7;0) và điểm M có tung độ âm
Câu 7
(1,0 điểm)
I
M C
A
D
B
N
E
+(T) có tâm I(4;1);R=5 + Do I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDM và N,C là chân các đường cao nên chứng minh được :IM⊥
CN
0,25
+ Lập ptđt IM qua I và IM⊥
CN : 4(x-4)+3(y-1)=0 4x+3y-19=0
+ M là giao điểm (T) với IM :
M(7; 3) M(1;5) (loai)
−
+Đường thẳng BC qua M,E có pt : x=7
+ C là giao điểm BC và NC => C(7 ;1)
+ B đối xứng M qua C => B(7 ;5)
0,25
Trang 3+ Đường thẳng DC qua C và vuông góc BC : y=1
D là giao điểm (T) và DC :
D(9;1) D( 1;1)
−
Vì B,D nằm cùng phía với CN nên D(-1 ;1)
+Do
BA CD =
uuur uuur
=> A(-1 ;5)
* Nếu không loại mà lấy cả 2 điểm D chỉ cho 0,75đ
0,25
Câu 8
(1,0 điểm)
Giải hệ phương trình:
( ) ( )
x y
x x
Điều kiện x≥ −1;y≥2.
Đặt x+ =1 a; y− =2 b a b( , ≥0)
, từ (1) ta có:
a ab a b b a b ab b a b
a b a b
a b
⇔ =
(do a b, ≥ ⇒ +0 1 2a b+ >0
0,25
Thế vào (2) ta được:
( ) 2
8
*
x
=
0,25
+
= ⇒ =
+
* ⇔ x+ + 1 3 x+ 4 = x+ 1 x − 4x+ 7
(**)
0,25
Xét hàm số f t( ) (= +t 3) (t2 +3)
với t∈¡ có ( ) ( )2
nên
0,25
Trang 4( )
f t
đồng biến trên ¡ .
Do đó
2
x
≥
2
2
x
x
x x
≥
(T/M)
Vậy hệ đã cho có nghiệm (x y; )
là (8;11)
và
5 13 11 13
;
Câu 9
(1,0 điểm) Cho x y z, , ∈[ ]0; 2
thỏa mãn x y z+ + =3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Ta có x2 + y2 + =2 (x2 + +1) ( y2 + ≥1) 2(x y+ )
,….;
1 2
xy
xy ≤ +
,…
Nên
3 2
x y y z z x
.
Ta có (x y z xy yz zx+ + ) ( + + ) ≥9xyz
(x y y z z x) ( ) ( ) (x y z xy yz zx) ( ) xyz 89(x y z xy yz zx) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
8 9
x y y z y z z x x y z x
x y y z z x x y y z z x
x y z xy yz zx
x y y z z x
x y z xy yz zx
x y z xy yz zx
xy yz zx
=
≤
0,25
Trang 5Suy ra P 12 8(xy yz zx27 ) xy yz zx 278
Đặt t = xy+ yz zx+ .
Do
2
xyz
x y z∈ ⇒ −x −y − ≥ ⇔z xy yz zx+ + ≥ + ≥ ⇒ ≥t
Mặt khác:
1
3
xy yz zx+ + ≤ x y z+ + = ⇒ ≤t
Vậy t∈[ ]2;3
0,25
Ta có
( )
t
Xét hàm số f t( )
với t∈[ ]0; 2
ta có
t
−
nên hàm số f t( )
đồng biến trên [ ]2;3
( ) ( )3 15
4
f t f
.
0,25
Do
( ) 154
P≤ f t ⇒ ≤P
Có
15 4
P=
khi x= = =y z 1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là
15 4 đạt được khi x= = =y z 1.
0,25
(Mọi cách giải khác nếu đúng cho điểm tương tự)