Lời giải đề thi thử Đại học 2011 môn Toán - Đề số 07 dành cho các bạn ôn thi tốt trong kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông và tuyển sinh cao đẳng, đại học. Chúc các bạn thành công trong những kì thi quan trọng sắp tới nhé.
Trang 1ht tp
.m
vn
DIỄN ĐÀN MATH.VN
http://www.math.vn
LỜI GIẢI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2011
Môn thi : Toán Đề số: 07 Câu I 1) (1 điểm) ————————————————————————————————
Cho hàm số y = x3− 3x2+ (m − 6)x + m − 2 (m là tham số) Khảo sát và vẽ đồ thị khi m = 9
Lời giải:
Hàm số y = x3− 3x2+ 3x + 7 = (x − 1)3+ 8
Bảng biến thiên
Đồ thị
2 4 6 8 10
2
−2
Câu I 2) (1 điểm) ————————————————————————————————
Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và khoảng cách từ điểm A
3
2;
11 4
đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị lớn nhất
Lời giải:
Hàm số có đạo hàm: y0= 3x2− 6x + m − 6
Đồ thị hàm số đa thức bậc 3 có 2 cực trị khi: y0= 0 phải có 2 nghiệm phân biệt:
⇔∆0= 32− 3(m − 6) > 0 ⇔ m < 9
Ta có : y = y0
1
3x−13
+
2
3m− 6
x+4m
3 − 4
vì điểm cực trị có hoàng độ là nghiệm của y0= 0 nên đường thẳng (d) qua 2 cực trị có pt là:
y=
2
3m− 6
x+4m
3 − 4 ⇔ (2m − 18)x − 3y + 4m − 12 = 0 ⇔ 2kx − 3y + 4k + 24 = 0 với k = m − 9 < 0 Khoảng cách từ A đến d là : l =
2k
3
2− 311
4 + 4k + 24
√
4k2+ 9 =
7 4
|4k + 9|
√
4k2+ 9 >0nên 4k + 9 6= 0 Xét f (k) = (4k + 9)2
4k2+ 9 ⇒ f0(k) = 72(4k + 9)(k − 4)
4k2+ 9
Suy ra không tồn tại k để f (k) đạt giá trị lớn nhất.
Do đó không tồn tại m để khoảng cách từ A đến d lớn nhất.
Câu II 1) (1 điểm) ————————————————————————————————
Giải phương trình 4 sin2x + tan x +√
2(1 + tan x) sin 3x = 1
Lời giải:
PT ⇔ 4sin2x − 2 + 1 + tanx +√2 sin 3x (1 + tan x) = 0
⇔ 2sin2x− 2cos2x + (1 + tan x)(1 +√
2 sin 3x) = 0
⇔ −2(cos2x− sin2x ) + (1 + tan x)(1 +√
2 sin 3x) = 0
⇔ −2(cosx − sinx)(cosx + sinx) + (cosx + sinx)1+
√
2 sin 3x cos x = 0
⇔ (cosx + sinx) −2cosx + 2sinx +1+
√
2 sin 3x cos x
!
= 0
TH 1 cosx + sinx = 0 ⇔ tanx = −1 ⇔ x = −π4 + kπ
Trang 2ht tp
.m
vn
TH 2 −2cosx + 2sinx +1+
√
2 sin 3x cos x = 0 ⇔ −2cos2x + sin 2x + 1 +√
2 sin 3x= 0
⇔ cos2x − sin2x =√2 sin 3x⇔ sin(π4− 2x) = sin3x ⇔ x =20π +k25π hay x =3 π
Câu II 2) (1 điểm) ————————————————————————————————
Giải hệ phương trình
(
2p
x + y2+ y + 3 − 3√y =√
x+ 2
y3+ y2− 3y − 5 = 3x − 3√3
x+ 2
Lời giải:
Ta có: 2p
x + y2+ y + 3 ≥p(1 + 3)(x + 2 + 3y) ≥√x + 2 + 3√y Đẳng thức xảy ra khi x = −1;y = 1 Thay vào phương trình dưới, thấy thỏa mãn.
Câu III (1 điểm) ————————————————————————————————
Tính tích phân I=
Z 3
1
ln(3 + x2) p
x (4 − x) − 2 dx
Lời giải:
Câu IV (1 điểm) ————————————————————————————————
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC, d ASB= dASC= dBSC=α nội tiếp trong mặt cầu bán kính bằng R, biết thể tích khối chóp S.ABC bằng 8
√ 3
27 R
3.Tínhα
Lời giải:
Gọi M là trung điểm của SA; O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC Đặt x = SA, a = AB, r = OA Ta có tam giác ABC đều.
a = 2x sinα
2, r =2
3·
√ 3
2 a=2
√ 3
3 x sin
α
2, S ABC=
√ 3
4 a
2=√
3x2sin2α
2, SI · SO = SM · SA = 1
2x
2,
⇒ SO = x
2
2R , SO2= SA2− OA2, ⇒ x2= 4R2
1−4
3sin
2α
2
;
V SABC=1
3SO · S ABC= 8
√ 3
3 R
3
1−43sin2α
2
2
sin2α
2
Vậy V SABC=8
√ 3
27 R
3⇔
1−43sin2α
2
2
sin2α
2 =1
9 ⇔
1−43sin2α
2
· sinα
2 =1 3
⇔ sin3α
2 = 1 ⇔α = π
3+ k4π
3 Vậyα = π
Câu V (1 điểm) ————————————————————————————————
Cho các số thức a,b,c thỏa mãn 0 < a ≤ b ≤ c và a2a− 1+b
2
− 1
b +c
2
− 1
c = 0
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a + b2011+ c2012
Lời giải:
Từ giả thiết ta có a ≤1 và c ≥ 1
khi đó b2− 1
b +c
2
− 1
c = −a
2
− 1
a ≥ 0 ⇔ (b + c)(1 − bc1 ) ≥ 0 ⇒ bc ≥ 1 (1)
Lại có c2− 1
c = −
a2− 1
a +b
2− 1
b
= 1
a+1
b − (a + b)= (a + b)
1
ab− 1
≥ 2√ab( 1
ab− 1) =
= 2
1
√
ab−√ab
≥ √1
ab−√ab⇒
c−√1
ab
1+
√
ab c
!
≥ 0 ⇒ c ≥√1
ab ⇒ abc2≥ 1 (2)
Kết hợp (1),(2) và Theo BĐT AM-GM ta có P ≥ 3√3
ab2011c2010= 3p3
abc2(bc)2010≥ 3
Câu VIa 1) (1 điểm) ————————————————————————————————
Trong hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : (x−1)2
+ (y −2)2= 4 và hai đường thẳng d1: mx + y −m−1 = 0,
d2: x − my + m − 1 = 0 Tìm m để mỗi đường thẳng d1,d2cắt (C) tại hai điểm phân biệt sao cho bốn giao
điểm đó tạo thành một tứ giác có diện tích lớn nhất
Lời giải:
Trang 3ht tp
.m
vn
Cách 1:
Đường tròn (C) có tâm I(1;2) và có bán kính R = 2 Gọi A, B là giao điểm của d1 với (C); C, D là giao điểm của d2với (C)(A, B, C, D theo thứ tự trên đường tròn); h1, h2lần lượt là khoảng các từ I đến d1, d2
Ta có h1=√ 1
m2+ 1 <R , h2= |m|
√
m2+ 1 <R nên d1,d2luôn cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.
Ta có AB = 2qR2− h2
1, CD = 2qR2− h2
2 Rõ ràng d1⊥ d2nên AB ⊥ CD Nên S ABCD= 1
2AB ·CD = 2qR2− h2
1·qR2− h2
2= 2
p
(4m2+ 3)(3m2+ 4)
m2+ 1 ≤(4m
2+ 3) + (3m2+ 4)
m2+ 1 = 7
Cách 2:
Rõ ràng d1và d2đi qua P(1;1) nằm trong đường tròn với mọi m
nên mỗi đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt
Vectơ pháp tuyến của d1và d2lần lượt là −→n1= (m; 1) và −→n2= (1; −m) ⇒ −→n1−→n2 = 0 ⇒ d1⊥ d2.
Gọi A,C và B,D lần lượt là các giao điểm của d1,d2với đường tròn (C),
H, K lần lượt là hình chiếu của tâm I(1;2) trên d1và d2thì
S ABCD= 1
2AC.BD= 1
2
√
AC2.BD2= 2p
(R2− IH2)(R2− IK2) = 2√
R4− R2.IP2+ IH2.IK2≤
≤ 2
s
R4− R2.IP2+
IH2+ IK2
2
2
=
q
(2R2− IP2)2= 2R2− IP2= 7 (Do IH2+ IK2= IP2)
Đẳng thức xảy ra khi IH = IK ⇒ IHPK là hình vuông ⇔ IP = IH√2⇔
√ 2
√
m2+ 1 = 1 ⇔ m = ±1
Câu VIa 2) (1 điểm) ————————————————————————————————
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x + 1)2+ (y − 1)2+ (z + 1)2 = 16
9 và điểm
A
0; 0;1
3
Viết phương trình đường thẳng∆đi qua A vuông góc với đường thẳng chứa trục Oz và tiếp xúc với mặt cầu (S)
Lời giải:
Câu VIIa (1 điểm) ————————————————————————————————
Cho số phức z thỏa mãn |z|2
− 2(z + z) − 2(z − z)i − 9 = 0 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của |z|
Lời giải:
Đặt: z = a + bi
|z|2− 2(z + z) − 2(z − z)i − 9 = 0 ⇔ a2+ b2− 4a + 4b = 9 ⇔ a2+ b2− 4(a − b) = 9
theo BĐT: a − b ≤p2(a2+ b2) ⇒ 9 = a2+ b2− 4(a − b) ≥ a2+ b2− 4p2(a2+ b2)
⇔ a2+ b2− 4p2(a2+ b2) − 9 ≤ 0 ⇔ 2√2+√
17≥√a2+ b2≥ 2√2−√17
⇔ 2√2+√
17≥ |z| ≥ 2√2−√17
Vậy max|z| = 2√2+√
Câu VIb 1) (1 điểm) ————————————————————————————————
Trong hệ tọa độ Oxy cho hai đường tròn (C1) : x2+ y2− 2x − 4y + 3 = 0, (C2) : x2+ y2− 6x − 8y + 20 = 0
và A(2;2) Viết phương trình đường thẳng∆ đi qua A và cắt mỗi đường tròn (C1), (C2) tại hai điểm phân biệt vàq2− d2
1+
q
5− d2
2=√
13 (d1,d2là khoảng cách từ tâm của các đường tròn (C1), (C2)đến∆)
Lời giải:
Câu VIb 2) (1 điểm) ————————————————————————————————
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x −1)2+ (y − 1)2+ z2= 1 Gọi A là một điểm tùy
ý trên đường thẳng∆:x− 1
1 =y− 1
−2 =
z− 1
1 Từ A vẽ các tiếp tuyến AT1,AT2,AT3đến mặt cầu (S) Tìm tọa
độ điểm A biết mp(T1T2T3) tạo với∆một góc 30o
Lời giải:
Trang 4
ht tp
.m
vn
Câu VIIb (1 điểm) ————————————————————————————————
Cho số phức z 6= 0 thỏaz
z
3
+
z z
3
+ |z|3+ 1
|z|3
!2
= 6
Lời giải:
z = r(cosθ+ i sinθ) đẳng thức trở thành
r
2 cos 6θ+ r6+ 1
r6 = 2 =
z3+
1
z3
=
z +
1
z
z+1
z
2
− 3
≥ P
3− 3P
...Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a + b2011< /small>+ c2012
Lời giải:
Từ giả thi? ??t ta có a ≤1 c ≥ 1
khi b2−...
Lời giải:
Gọi M trung điểm SA; O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC Đặt x = SA, a = AB, r = OA Ta có tam giác ABC đều.
a... ————————————————————————————————
Giải phương trình sin2x + tan x +√
2(1 + tan x) sin 3x = 1
Lời giải:
PT ⇔ 4sin2x