Thống kê toánXác suất

Thống kê toánLý thuyết xác xuấtước lượng kì vọngước lượng tỉ lệSo sánh cặpước lượng phương sai,ước lượng tham số,so sánh kì vọng,so sánh tỉ lệ ...........................................................

CHƯƠNG 3 :

 MẪU VÀ THAM SỐ MẪU

 ƯỚC LƯỢNG CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU

 KIỂM ĐỊNH CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU

 TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUY TUYẾN TÍNH

1 TỔNG THỂ VÀ MẪU

1.1 TỔNG THỂ

k

i

i p x







1



k

i

1

2

)



Độ lệch chuẩn của tổng thể : 

Tỷ lệ của tổng thể : N

M

p 

1.2 MẪU

 Mẫu dạng điểm

 Tham số mẫu

x n n

x x

k

i

i i n

i





 

) (

1

)

1 1

2

2















n

x x

n n

x x

s

k

i

i i n

i

i

( đây là phương sai mẫu hiệu chỉnh )

Độ lệch chuẩn của mẫu: s

Tỷ lệ mẫu : n

m

VD:

Thu nhập của 100 công nhân của công ty A :

X(triệu đ) Số CN 1.0 30

1.4 40

1.6 10

1.8 10

2.0 10 a/ Tính thu nhập trung bình của các công nhân trên b/ Tính tỷ lệ công nhân có thu nhập trên 1.6 triệu c/ Tính phương sai mẫu

GIẢI:

a/ Thu nhập trung bình của công nhân theo mẫu

x n x

k

i

i i





100

) 2 ( 10 )

8 1 ( 10 )

6 1 ( 10 )

4 1 ( 40 )

0 1 ( 30













b/ Tỷ lệ công nhân có thu nhập trên 1.6 triệu đồng   100 20  20 %

n

m f

c/ Phương sai mẫu























1

2 1

2 2

)

( 1

1 1

)

i

i i

k

i

i i

x n x

n n

n

x x

n s

Tacó

4 206 )

0 2 ( 10 )

8 1 ( 10 )

6 1 ( 10 )

4 1 ( 40 )

0 1 (

1





k

i

i

i x

n

Vậy  206 4 100 ( 1 4 )  0 670707

99

1

s

2 ƯỚC LƯỢNG CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA TỔNG THỂ

2.1 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM

Giả sử X là ĐLNN có quy luật phân phối F(x,) ,  chưa biết, tìm giá trị thực của  khó khăn,nên người ta chỉ ước lượng

 dựa trên các kết quả của mẫu; (X1 ,X2 , X n) là một mẫu ngẫu nhiên lấy từ tổng thể, xây dựng thống kê ( 1 , 2 , )

^

n

X X

X



sao cho với mẫu cụ thể tìm được giá trị ( 1 , 2 , )

^

n x x

x

ước lượng của  ( 1 , 2 , )

^

n

x x x

của tham số tổng thể 

CHÚ Ý :

Trong chương này chúng ta xét các ước lượng của :

 Trung bình tổng thể

 Phương sai tổng thể

 Tỷ lệ tổng thể

VD:Thăm dò thu nhập của 100 công nhân của công ty A được số liệu như sau :

X(triệu /tháng) Số CN

1.0 30

1.4 40

1.6 10

1.8 10

2.0 10 a/ Hãy ước lượng thu nhập trung bình của công nhân

công ty A

b/ Hãy ước lượng tỷ lệ công nhân của công ty

có thu nhập trên 1.6 triệu đồng

GIẢI :a/  :Thu nhập trung bình của công nhân

công ty A (chưa biết)

Thu nhập trung bình của công nhân theo mẫu: x  1 4

Sử dụng x để ước lượng  ,

Ta nói thu nhập của công nhân công ty A là :

1.4 triệu đồng/tháng

b/ p : tỷ lệ công nhân công ty có thu nhập

trên 1.6 triệu đồng (chưa biết )

Ty ûlệ công nhân có thu nhập trên 1.6 triệu đồng theo mẫu:

%

20

100 20 





n

m

f

Sử dụng f để ước lượng p

Ta nói tỷ lệ công nhân của công ty có thu nhập trên 1.6 triệu là 20%

Đây là ước lượng điểm

2.2 TIÊU CHUẨN CỦA ƯỚC LƯỢNG

2.2.1 ƯỚC LƯỢNG KHÔNG CHỆCH

^

 là một ước lượng không chệch của tham số  , nếu : () 

^

E

2.2.2 ƯỚC LƯỢNG VỮNG

^

 là một ước lượng vững của tham số  ,

nếu : ^ P 

^

















P

Lim

n

CHÚ Ý:

 x là ước lượng không chệch và vững của 

 f là ước lượng không chệch và vững của p

 s 2 là ước lượng không chệch và vững của  2

( s 2 là phương sai mẫu hiệu chỉnh)

 s là ước lượng chệch của 

2.3 ƯƠC LƯỢNG KHOẢNG

2.3.1 ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH CỦA TỔNG THỂ

 là trung bình của tổng thể ( chưa biết)

x là trung bình của mẫu cụ thể

Sử dụng x để ước lượng 

P ( x      x   )  1    P (| x   |   )  1  

 Khoảng ( x   , x   ) được gọi là khoảng tin cậy của trung bình tổng thể

 1   được gọi là độ tin cậy

  được gọi là độ chính xác ( hay sai số )

NHẬN XÉT:

i) Độ tin cậy cao thì độ chính xác kém

ii) Độ chính xác tốt thì độ tin cậy thấp

CHÚ Ý:

CÁC DẠNG TOÁN CỦA

ƯỚC LƯỢNG TRUNG BÌNH TỔNG THỂ

 Cho biết độ tin cậy ( 1  ) , kích thước mẫu n Tìm khoảng tin cậy (x  , x   )

 Cho biết độ chính xác ,kích thước mẫu n Tìm độ tin cậy

 Cho biết độ tin cậy, độ chính xác

Tìm kích thước mẫu

i) Trường hợp kích thước mẫu lớn (n≥ 30)

 Sử dụng phân phối chuẩn để giải bài toán

 Đã biết phương sai tổng thể  2

Ta co:ù

Tra bảng Laplace:













z z

z Z P

n x

P x

P





































1 ) ( 2 1

)

| (|

1 )

|

| ( 1

)

| (|

Excel

2

1 ( )

| (|







 P Z z z NORMSINV

Với :

z

n





   

Vậy khoảng tin cậy của trung bình tổng thể là

)

(

n

z x n

z



   



 Chưa biết  2 thay thế bởi phương sai mẫu 2

s

Khoảng tin cậy trung bình của tổng thể là

n

s z x n

s z

ii) Tổng thể có phân phối chuẩn, kích thước mẫu n<30

 Đã biết phương sai tổng thể  2

 Sử dụng phân phối chuẩn để giải bài toán







   



 )

1 (

 Chưa biết  thay thế bởi phương sai mẫu 2 2

s

 Sử dụng phân phối STUDENT để giải bài toán

 (  ) ~ T(n  1 )

s

n X

Từ P(| X   | ) 1   P(|T | t ) 1   t

(  P(|T | t )   t)

(Tra bảng phân phối STUDENT hoặc dùng EXCEL)

n

s t s

n

2.3.2.ƯỚC LƯỢNG TỶ LỆ CỦA TỔNG THỂ

Trường hợp kích thước mẫu n≥ 30

p tỷ lệ của tổng thể (chưa biết)

f tỷ lệ của mẫu

 Sử dụng f để ước lượng p

 Dùng phân phối chuẩn để giải bài toán

Z ( f f ( 1p) f n)





 ~ N ( 0 , 1 )

Độ tin cậy: 1  

Ta có:





  









z z

z Z

P

f f

n f

f

n p f

P p

f P











































1 ) ( 2 1

)

|) (|

1

) ) 1

(

) ) 1

(

|

| ( 1

)

| (|

Từ

z f n f z f (n1 f )

) 1

(









Suy ra

p  f    f  z f (n1  f )

Vậy khoảng tin cậy của tỷ lệ tổng thể là

n

f f

z f

p n

f f

z









CHÚ Ý: CÁC DẠNG TOÁN CỦA TỶ LỆ TỔNG THỂ

i) Cho độ tin cậy, kích thước mẫu.Tìm khoảng tin cậy ii) Cho độ chính xác, kích thước mẫu.Tìm độ tin cậy iii) Cho độ tin cậy, độ chính xác.Tìm kích thước mẫu

VD:

Thu nhập của CN công ty A có phân phối chuẩn, với độ lệch chuẩn là 0,2 triệu đồng

Thăm dò 100 CN của công ty thấy thu nhập

trung bình là 2 triệu đồng /tháng

a/ với độ tin cậy là 90%,

hãy ước lượng thu nhập của CN công ty A

b/ Nếu độ chính xác là 40 ngàn đồng

Thì độ tin cậy là bao nhiêu?

GIẢI:

Gọi X(triệu đ) là thu nhập của CN

 thu nhập trung bình của CN công ty A (chưa biết)

x thu nhập của CN theo mẫu = 2 triệu đ

 độ lệch chuẩn của tổng thể = 0,2 triệu đ

( 1   ) độ tin cậy= 90%

n kích thước mẫu = 100

Sử dụng x để ước lượng 

 Dùng phân phối chuẩn để giải bài toán

a/ Từ ( 1 )  0 , 90  z  1 , 65

 Tra bảng Laplace:

65 , 1 45

, 0 ) ( 90

, 0 ) ( 2 90

, 0

1      z    z   z 

 Excel:

65 , 1 ) 95 , 0 (

) 2

1 ( 90

, 0

1    z  NORMSINV    NORMSINV 



Ta có: