tài liệu ôn thi thpt đại học môn toán

Bài 4: Tính các tích phân bất định sau:1... Vấn đề 2: Phương pháp đổi biến sốA.. Phương pháp: Bài giảng trên lớp... Phương pháp: Bài giảng trên lớp... Phương pháp: Bài giảng trên lớp...

x x

u u

ln (0 < a  1)

 cos udu sin  u  C

 sin udu   cos u  C

 du uC

u tan

cos

12

 du  uC

sin

12

Hệ quả:

1

) b ax ( a

1 dx )

a m

1 dx

a

n mx n

a

1 dx ) b ax cos(

a

1 dx

) b ax sin(

a

dx b

1 )

( cos

1 )

( sin

x

2

b f(x)dx

b

a = F(b) – F(a)

(6) f(x)  0,  x  [a; b] a; b]   

b

a

dx x

b

B CÁC DẠNG TOÁN

Chủ điểm 1 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

Vấn đề 1: Dùng phép biến đổi sơ cấp và công thức vi phân

Bài 1: Tính các tích phân bất định sau:

 2)

3 3

2 3

x

x x

25)   dx

cosx 1

2 3

2 f(x) = 2

4 32

x

x 

ĐS F(x) = C

x x

x





 1 2 3

33

5 3

4 2 3

6 f(x) = 3

21

3 ln

2

20 f(x) = e3x+1 ĐS F(x) = e3x1C

3 1

Bài 3: Tìm hàm số f(x) biết rằng

1 f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 ĐS f(x) = x2 + x + 3

2 f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3 ĐS f(x) = 1

3 2

5

Bài 4: Tính các tích phân bất định sau:

1

x e x

dx sin x

 14

π 4 4 0

dx cos x

3

sin x sin x

cotx dx sin x

4



π 3 π 6

x dx

Vấn đề 2: Phương pháp đổi biến số

A Phương pháp: Bài giảng trên lớp.

) 1 2 ( 6) x3  4x2dx

) 5

7) x2 1 xdx

 dx x

x

3 2

2 5 3

10)   2

) 1

e

dx e

22) tan2

cos

xe

dx x

 23)  1  x 2 dx 24)  4 x2

28) x2 x1

dx

29) cos3xsin2 xdx 30) x x 1 dx 31) e x 1

dx

x 2 4

4 2

2 63) xlnx dx 64) 





dx x

x

x 1

4 x

x 4

7

1 3 x

xdx

72) x x 2  dx 1

73) cos 4 xdx 74) 

x xcos sin

dx x

77)  tan xdx3 78) 2 x 3 13 x 2 dx 79) sin 5 x cos xdx 80)

e tgx

x

x ln x

dx

1 x 



4) K =

2 4

X 1

A Phương pháp: Bài giảng trên lớp.

3)

e

2 1

e

ln x

dx (x 1) 

 (Đặt u = lnx , dv = 1 2

(1 x)  dx) 4) 2 2

1

ln x dx x



5)

1

2 0

x  1 dx

 (Đặt u = x2  , dv = dx) 1 6 )

π 4 3 0

dx cos x

π 2

2 0

x.sin x.cos x dx

 (Đặt u = x, dv = sin x.cos x dx2 ) 8)

π 2

x 0

x 2 0

(x 1)

e dx (x 1)

1 (2e 3)

9) - 1 (eπ 1)

2  10) Đặt u =

1 ln(1+ )

x , dv = x

2dx, ĐS: 3ln3- 10

3 ln2+

1 6

Vấn đề 4: Tích phân của hàm phân thức hữu tỉ

A Phương pháp: Bài giảng trên lớp.

b

b , 1 2

b

b .

2 0

2 0

2 1

- Nắm một số dạng tiêu biểu sau:

x 1

dx 3x 1

0

x dx

1 x 

1

2 3 0

(1 x ) dx 



10)

2 2

2 2

2 0





1

2 0

17)

1

dx x





1

2 0

1 π ( 1)

Vấn đề 6: Tích phân các hàm số lượng giác

- Đổi biến trong tích phân hàm lượng giác.

- Nắm một số dạng tiêu biểu sau:

Bài 1:

π 2 5 1

0

I   sin x dx ( 8

dx I

cosx cosx

 2

sin x.cos x

dx I

sin x.cos x

 

dx I

14 0

6

dx I

π sin x.cos(x )

π 6

2 0

I   cos 2x(sin x cos x) dx  (0)

π 3 3

4 0

π 4

I (sin x cos x) dx



π 2 2 0

4 0

Vấn đề 7: Tích phân các hàm trị tuyệt đối b

4x  4x 1 dx 

2 ) I2 =

π 0

1 cos2x dx 

I3 =

3π 4

π 4

| sin 2x | dx

π 0

1 sin 2x dx 

I5 =

π 0

| cos x | sin x dx

3 ) I6 =

2π 0

1 sin x dx 

Chủ điểm 2 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Vấn đề 1: Tính diện tích hình phẳng

A Phương pháp

 Diện tích hình thang cong S giới hạn bởi các đường:

x = a ; x = b (a < b) ; y = f(x) và y = g(x) = 0 (trục hoành) được cho bởi công thức sau:

S =  b | f(x) | dx

 Tổng quát: Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường: x = a ; x = b

(a < b) ; y = f(x) và y = g(x) được cho bởi công thức sau:

S =  b | f(x) - g(x) | dx

Chú ý:  Công thức (2) trở thành công thức (1) nếu g(x) = 0.

 Tính các tích phân (1), (2): Dùng pp ở vấn đề tính tích phân hàm chứa giá trị tuyệt đối hay dùng đồ thị để phá trị tuyệt đối.

 Dùng (1): Nếu (S) giới hạn bởi (C): y = f(x) và trục Ox thì (C)

phải cắt Ox tại hai điểm có hoành độ là a, b  S = b | f(x) | dx

S   f  g dx =…

- Nếu miền giới hạn bởi ba đường trở lên thì ta phải vẽ đồ thị để xác định cận.

B Bài tập tự luyện

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = x2 – 2x + 2,

trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2 (S = 4

Bài 4: Tính diện tích giới hạn bởi (C): y = - x3 + 3x2 - 2, (0  x  2)

trục hoành Ox, trục tung Oy và đường thẳng x = 2 (S = 5

2 đvdt)

Bài 5: a) Vẽ (C): y = f(x) = x2 2x

x 1



 b) Tính diện tích S(a) giới hạn bởi (C), tiệm cận xiên của (C) và hai đường thẳng x = a, x = 2a (a > 1) Tìm a để S(a) = ln3

Bài 12: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y = x3  2x2  4x 3  (C) và tiếp tuyến của đường cong (C) tại

điểm có hoành độ bằng 2 (S = 64

3 đvdt)

Bài 13: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

(P): y2 = 2x , trục Ox và tiếp tuyến của (P) tại A(2; 2) (S = 4

3 đvdt)

Bài 14: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

(P): y = x2 – 4x + 5 và hai tiếp tuyến của (P) kẻ tại hai điểm A(1; 2)

 Thể tích của vật thể tròn xoay Vox sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi

các đường: x = a ; x = b (a < b) ; y = 0 và y = f(x) quay xung quanh trục

Ox, được cho bởi công thức sau đây: Vox =π b 2  f (x)dx

Bài 1: Miền D giới hạn bởi các đường y = 0 và y = 2x – x2 Tính thể tích

của vật thể tròn xoay được tạo ra khi D quay:

a) Quanh trục Ox (ĐS: 16π

15 đvtt)

b) Quanh trục Oy (ĐS: 8π

3 đvtt)

Bài 2: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo nên khi ta quay quanh trục Ox

hình phẳng S giới hạn bởi (C): y = lnx , trục Ox , đường thẳng x = e.

(ĐS: π(e 2)  đvtt)

Bài 3: Cho hình phẳng D giới hạn bởi y = tgx , x = 0, x = π

3 , y = 0 a) Tính diện tích của D

b) Tính thể tích khối tròn xoay khi quay D quanh Ox

( ĐS: S = ln2 đvdt , V = ( 3 π

3

 ) đvtt )

Bài 4: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo ra bởi hình phẳng giới hạn bởi

hai đường cong y = x2 , y = x quay quanh trục Ox (ĐS: 3π

10 đvtt)

Bài 5: Miền D giới hạn bởi các đường y = 4 và y = (x – 2)2 Tính thể tích

của vật thể tròn xoay được tạo ra khi D quay:

a) Quanh trục Ox (ĐS: 256π

5 đvtt) b) Quanh trục Oy (ĐS: 128π

3 đvtt)

Bài 6: Miền D giới hạn bởi các đường x2 + y – 5 = 0 và x + y - 3 = 0

Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo ra khi D quay quanh Ox

(ĐS: 153π

5 đvtt)

Bài 7: Miền D giới hạn bởi các đường y = 4 - x và y = x2 + 2

Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo ra khi D quay quanh Ox

TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2013

Bài 1 (ĐH A2002) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

yx2 2x3 y x 3 ĐS : 109

6

S  Bài 2 (ĐH B2002) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

I x  x dx

ĐS : I 1 Bài 6 (ĐH A2004) : Tính tích phân :

2

11 1

x I

Bài 12 (ĐH A2006) : Tính tích phân :

( 2) x

I x e dx ĐS :

2

5 34

e

I   Bài 15 (ĐH A2007) : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

e

V   Bài 17 (ĐH D2007) : Tính tích phân :

2

3 1

Bài 23 (ĐH D2009) : Tính tích phân : Error: Reference source not found

1

ln(ln 2)

1

3(2 ) ln

e

I   Bài 27 (ĐH A2011) : Tính tích phân : Error: Reference source not found

4

0

sin ( 1) cossin cos

3

2 0

3

2 1

1 3

4 2 0

2 2

2 1

1ln

1

2 0

1 2

2 0

(x 1)sin 2xdx

34

I 

MỘT SỐ ĐỀ CĐ, ĐH KHÁC

Bài 1 Tham khảo 2005

dxx

I

1

2ln KQ: 2e3 1

9 9Bài 5 CĐ Khối A, B – 2005

dxx

x

Bài 7 CĐ GTVT – 2005

dxxx

3 2

3.e 534





Bài 9 CĐ Tài Chính Kế Toán IV – 2005

dxxx

sin 2 1



dx x

x

2Bài 11 CĐSP Tp.HCM – 2005

dx

18

Bài 12 CĐ KT-KT Cần Thơ – 2005





e

dxx

xI



dxx

x

Bài 15 CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005

2 3





Bài 18 CĐSP Hà Nội – 2005

dxx

xxx

4

942

8Bài 20 CĐSP Vĩnh Phúc – 2005

dxI

1 1 ln2 KQ: 6

Bài 21 CĐSP Hà Nội – 2005

2004

cossin

sin



dxxx

x

4

Bài 22 CĐSP KonTum – 2005

sin4



dxx

10

5

dxI

Ix ln 1 x dx KQ: ln 2 1

2

 (Đổi biến t 1 x  2, từng phần)Bài 29 CĐ Cơ Khí – Luyện Kim – 2006

 2

2 1

Ix x 1dx KQ: 2 2 13

Bài 31 ĐH Hải Phòng – 2006

1

2 0

ln2 2x

x 0

Bài 43

1

2 3 0



xdxx

 

1

3 0

Ix cos x sin x dx KQ: 5

4Bài 50 CĐ GTVT III – 2006

I 1 tg x dx



76105Bài 52 CĐSP Hưng Yên - Khối A– 2006

4

2 3

 

4

4 4 0

I cos x sin x dx



  KQ:

12Bài 56 CĐ Bán công Hoa Sen – Khối D – 2006

 

1

2 0

2

2 1

dxI

 

2 0

I sin 2x 1 sin x dx



154Bài 64 CĐKT Tp.HCM Khóa II - 2006

2 0

Bài 71 Tham khảo khối B – 2007

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 0 à 12 

Bài 72 Tham khảo khối B – 2007

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x v y 2 à  2  x2 KQ: 1

2 3



Bài 73 Tham khảo khối D – 2007

1 2 0

3 2

2007 1

(| 2 1| | |)



   đs: 5/2

11 Cho hai hàm số f(x) = 4cosx + 3sinx , g(x) = cosx + 2sinx

a) Tìm các số A , B sao cho g(x) = A.f(x) + B.f ’(x)

b) Tính

/4 0

( )( )

g x dx

B  x dx đs: 3

16



4 1

11

cos 2(sin cos 3)

3

0 2 1 2

dx A

3 ln

2

2 1

.1

E x  x dx đs: 3ln3 – 2