số phức và OXy có lời giải chi tiết giúp ôn tập kĩ phần kiến thức số phức nắm gọn điểm số phức trong kì thi quốc gia trung học phổ thông ngoài ra còn có phần OXy giúp định hướng cùng lời giải chi tiết dễ hiểu giúp nắm chắc câu này
Trang 1VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Câu 1 [ĐVH]: Cho số phức z thỏa mãn 2(z− = + −1) 3z ( )(i 1 i+2 ) Tìm phần thực của số phức
2
w= z −
Lời giải
Đặt z= +a bi⇒z = −a bi
5 5
=
=
a
b
2
25
Câu 2 [ĐVH]: Cho số phức z= − +1 3i Tính mô-đun của số phức w= + −z 3z z2
Lời giải
Câu 3 [ĐVH]: Cho số phức z thỏa mãn (3+i z) ( )(+ +1 i 2+ = −i) 5 i Tìm phần ảo của số phức ( )2
1
w= −z
Lời giải
−
+
i
i
2
4 8
1
5 5
63 16
25 25
⇒ = + −
Nên phần ảo của w là 16
25
−
Câu 4 [ĐVH]: Cho số phức z= −3 2i Xác định phần thực và phần ảo của số phức ( )3 2
1
w= − + +iz z i z
Lời giải
3 2 3 2 1 3 3 3 2 =3 2 3 2 2 2 5 12 13 35
= − − + + + + + − i− i − − + − +i i − = +
Nên w có phần thực là 13 và phần ảo là 35
Câu 5 [ĐVH]: Gọi z z là các nghiệm của phương trình 1; 2 3z2− + =z 2 0
Tính giá trị biểu thức ( )2 2 2
A= z −z + z + z
Lời giải
Theo định lí Vi-et ta có 1 2 ( ) (2 )2
1 2
1
3
4
3
+ =
=
z z
DỰ ĐOÁN CÂU SỐ PHỨC – TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN OXYZ 2016
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
Trang 2Suy ra 12 22 1 23 2
36 36 3
Suy ra 23 2.2 11
A
Câu 6 [ĐVH]: Cho các số phức z1 = +2 i z; 2 = −1 3i
Tìm phần thực và phần ảo của số phức w=2z1+ −z2 z z1 2
Lời giải
2 2 1 3 2 1 3 6 8
Nên w có phần thực là 6 và phần ảo là –8
Câu 7 [ĐVH]: Cho các số phức z1 = −3 2 ;i z2 = +1 4i Tìm số phức liên hợp của số phức
1 2 3 1 2
w= + +z z z z
Lời giải
Ta có z1= +3 2i, z2 = −1 4i
Khi đó, w= + +z1 z2 3z z1 2 = + + + +3 2i 1 4i 3 3 2 1 4( − i) ( − i)= − −11 36i⇒w= − +11 36i
Câu 8 [ĐVH]: Tìm số phức z thỏa mãn z 1 z 1
+ + =
Lời giải
Giả thiết ⇔ z2 + +z z2 =zz
Đặt z= +a bi ( ,a b∈ℝ) ta có ( )2 ( )2 2 2
a+bi + + + −a bi a bi =a +b
2 2
1, 0 0
a b
a b a
a b a bi a b a b a bi
b
= − =
Vậy z1 =0 và z2 = −1 là các số phức thỏa mãn đề bài
Câu 9 [ĐVH]: Cho số phức z thỏa mãn iz+2z= −1 i Tìm phần ảo của số phức w=i z
Lời giải:
Đặt z= +a bi a b( , ∈ℝ)⇒z= −a bi Khi đó ta có: iz+2z= − ⇔1 i i a bi( + ) (+2 a bi− )= −1 i
z= +i⇒w=i − = − = +i i i i
Vậy phần ảo của w bằng 1
Câu 10 [ĐVH]: Cho z= +1 2i Tìm số phức nghịch đảo củaw= +z2 z z
Lời giải:
w= + i + + i − i = i + + + −i i = +i
ω
4 2 2 4 2 4 4 16 20 10 5
i
Vậy số phức nghịch đảo của w là số phức ω 1 1
10 5i
Câu 11 [ĐVH]: Tìm modun của số phức z thỏa mãn điều kiện (2 4 )
2 19 1
i z
i
+
= + +
Trang 3Lời giải
Gọi z= +a bi⇒z= −a bi, (a b, ∈ℝ )
3 4
Do đó z = 32 +42 =5
Câu 12 [ĐVH]: Tìm modun của số phức z thỏa mãn điều kiện 3z+ =3i (z−1 2 3) ( −i)
Lời giải
Gọi z = +a bi (a b, ∈ℝ)
1
3
a
b
=
2
Câu 13 [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(− −4; 2; 4) và đường thẳng
3 2
: 1
1 4
= − +
= −
= − +
Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua ,A cắt và vuông góc với d
Lời giải:
Đường thẳng d có véctơ chỉ phương là ud =(2; 1; 4− )
Lấy M(− +3 2 ;1t − − +t; 1 4t)∈d ⇒AM = +(1 2 ;3t − − +t; 5 4t)
Ta có AM ⊥( )d ⇔ AM u d = ⇔ + − + −0 2 4t 3 t 20 16+ t = ⇔0 21t= ⇔ =0 t 1
Đường thẳng ∆ đi qua A có véctơ chỉ phương là AM =(3; 2; 1− )
Vậy phương trình ∆ là: 4 2 4
x+ = y+ = z−
− 1
1 : 1 2
1 2
= +
= +
Câu 14 [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu tâm I(1; 2; 4 ,− ) bán kính 5 cm Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua gốc tọa độ, đi qua M(−2; 4; 0) và cắt mặt cầu theo một thiết diện là đường tròn có bán kính 3 cm
Lời giải:
(α) đi qua gốc tọa độ nên phương (α) có dạng ( 2 2 2 )
ax by+ + =cz a + + >b c (α) đi qua M(−2; 4; 0) nên 2− +a 4b= ⇔ =0 a 2b
5
Trang 40 0
b= ⇔ =a Chọn c=1⇒ Phương trình ( ) α là z=0
2
c= − b Cho b=1⇒a=2,c= −2⇒ Phương trình ( ) α là 2x+ −y 2z=0
Vậy z=0 và 2x+ −y 2z=0 là các mặt phẳng cần tìm
Câu 15 [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 2 1 2
− và mặt
phẳng ( )Q :x−2y−2z+ =7 0. Tìm tọa độ điểm B là giao điểm của d và ( )Q Viết phương trình mặt cầu
( )S có tâm I thuộc d và bán kính R=IB= 6
Lời giải:
2
2 2
= − +
Mà B∈( ) (Q ⇒ b− −2) (2 1− −b) (2 2b+ + = ⇔ =2) 7 0 b 1⇒B(−1; 0; 4 )
I∈d ⇒I t− −t t+ ⇒BI= −t −t t− ⇒BI = t− + −t + t− = t−
2
2
Đ/s: B(−1; 0; 4) và ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
Câu 16 [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 2 1 2
− và hai mặt
phẳng ( )P :x+2y+2z+ =3 0,( )Q :x−2y−2z+ =7 0. Gọi A, B lần lượt là giao điểm của d với (P) và (Q) Tính độ dài đoạn thẳng AB Viết phương trình mặt cầu ( )S có tâm I là trung điểm của AB và bán kính
R=AB
Lời giải:
Phương trình tham số của d là
2 : 1
2 2
= − +
= −
Do A B, ∈d ⇒A a( −2;1−a; 2a+2 , ) (B b−2;1−b b; 2 +2 )
( ) ( 2) (2 1 ) (2 2 2) 7 0 1 ( 1; 0; 4 )
B∈ Q ⇒ b− − − −b b+ + = ⇔ =b ⇒B −
Bài ra I là trung điểm của 8 5 2; ;
3 3 3
⇒ −
Trang 5Ta có
3
AB= và ( ) 8 2 5 2 2 2 188
Câu 17 [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A(1; 2; 1 ,− ) (B 3; 0;1 ,) (C 2;3; 2− ) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng trung trực của AB
Lời giải:
Gọi (P) là mặt phẳng trung trực cảu AB Ta có trung điểm của AB là I(2;1; 0), AB(2; 2; 2− )
Do mặt phẳng trung trực của AB đi qua I và vuông góc với AB nên ta chọn 1 ( )
1; 1;1 2
P
Khi đó : ( )P :x− + − =y z 1 0 Khi đó ( ( ) )
( )2
;
3
3
d=
Câu 18 [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A(2;1; 0 ,) (B −2;1; 2 ,) (C 1;1; 3− )
Chứng minh rằng điểm C không nằm trên mặt phẳng trung trực của AB Viết phương trình mặt cầu tâm C
tiếp xúc với mặt phẳng đó
Lời giải:
Gọi (P) là mặt phẳng trung trực cảu AB Ta có trung điểm của AB là I(0;1;1), AB(−4; 0; 2)
Do mặt phẳng trung trực của AB đi qua I và vuông góc với AB nên ta chọn 1 ( )
2; 0; 1 2
P
Khi đó : ( )P : 2x− + =z 1 0 Thay toạ độ điểm C vào phương trình mặt phẳng ( ) P
ta có: 2.1 3 1+ + ≠0 nên điểm C không thuộc mặt phẳng (P)
Gọi ( )S là mặt cầu cần tìm ta có tâm mặt cầu là C(1;1; 3− ) và bán kính ( ( ) ) 26 2 6
;
5
Khi đó ( ) ( ) (2 ) (2 )2 6
5
Vậy ( )P : 2x− + =z 1 0 và ( ) ( ) (2 ) (2 )2 6
5
Câu 19 [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz điểm A(4;3; 4 ,) và đường thẳng
1 2
3
= +
= −
Chứng minh rằng đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu tâm A, bán kính bằng 5.
Lời giải:
Phương trình mặt cầu tâm A(4;3; 4) bán kính R= 5 là ( ) ( ) (2 ) (2 )2
Trang 6Gọi H(1 2 ; 2+ t −t;3+t) là hình chiếu chiếu của A trên d ta có : AH(− +3 2 ; 1t − − − +t; 1 t)
Khi đó: AH u d = ⇔ − +0 2( 3 2t) (− − − + − + = ⇔ =1 1 t) (1 1 t) 0 6t 6⇒t =1
Do đó AH(− −1; 2; 0)⇒AH =d A d( ; )= 5=R nên đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu tâm A, bán kính
bằng 5
Câu 20 [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz điểm A(1; 1;3− ) và mặt phẳng ( ) :P x−2y+ − =z 1 0 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (P) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AH
Lời giải:
Phương trình đường thẳng AH qua A và vuông góc với ( )P là:
1
1 2 3
= +
= − −
Gọi H(1+ − −t; 1 2 ;3t +t), do H thuộc ( ) : P x−2y+ − =z 1 0 nên ( ) (1+ − − −t 2 1 2t)+ + − =3 t 1 0
Gọi I là trung điểm của AH ta có:
7 1 31
; ;
12 6 12
Phương trình mặt phẳng trung trực của AH nhân nP = −(1; 2;1) là VTPT và đi qua I nên có phương trình là:
7
2
x− y+ − =z
Câu 21 [ĐVH]: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz điểm A(1; 2;1 ,− ) (B 2; 2;1) và mặt phẳng ( ) :P x− +y 2z− =5 0 Gọi M là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (P); H là hình chiếu vuông góc của trung điểm đoạn AB trên (P) Tính độ dài đoạn thẳng MH
Lời giải:
Ta có: AB(1; 4; 0)
nên phương trình đường thẳng AB là:
1
2 4 1
z
= +
= − +
Gọi M(1+ − +t; 2 4 ;1t ) là giao điểm của AB và (P) ta cho M∈( )P ta có: 1+ − − +t ( 2 4t)+ − =2 5 0
0 1; 2;1
⇔ = ⇒ ≡ − Gọi trung điểm của AB là 3; 0;1
2
ta có
2 2
MH = MI −IH
Trong đó ( ( ) ) 3
;
2 6
MI = ⇒MH =
4
MH = là giá trị cần tìm
Câu 22 [ĐVH]: Trong không gian toạ độ Oxy cho điểm A(4; 2; 0− ) và đường thẳng
:
Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H của A trên đường thẳng d và viết phương trình
mặt cầu tâm A và tiếp xúc với đường thẳng d
Lời giài:
Phương trình tham số của d:
3 2 1
4 2
= +
= +
Gọi H(3 2 ;1+ t +t; 4 2+ t) ta có: AH(− +1 2 ;3t +t; 4 2+ t)
Ta có: AH u d = ⇔ − + + + + + = ⇔ = −0 2 4t 3 t 8 4t 0 t 1⇒H(1; 0; 2)
Trang 7Phương trình mặt cầu (S) cần tìm có tâm A(4; 2; 0− ) và bán kính R= AH = 32+ +22 22 = 17
Vậy ( ) ( ) (2 )2 2
Thầy Đặng Việt Hùng CHÚC CÁC EM CHINH PHỤC THÀNH CÔNG SỐ PHỨC – OXYZ TRONG ĐỀ THI 2016