một số dạng toán lập phương trình đường thẳng trong không gian cho học sinh lớp 12

Cơ sở lý luận: Phương trình đường thẳng trong không gian đối với học sinh lớp 12 có ý nghĩa rất quan trọng, là vấn đề cơ bản khi thi tốt nghiệp,thi đại học,cao đẳng.... Nắm vững cách l

Trang 1

Trần Thị Kim Tuyến 1 Trường THPT Số 1 Quảng Trạch

A MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

1 Cơ sở lý luận:

Phương trình đường thẳng trong không gian đối với học sinh lớp 12

có ý nghĩa rất quan trọng, là vấn đề cơ bản khi thi tốt nghiệp,thi đại học,cao đẳng Nắm vững cách lập phương trình đường thẳng, các ứng dụng, giúp học sinh nắm vững chương trình hình học tọa độ trong không gian lớp 12 học kỳ II

2 Cở sở thực tiễn

Học sinh lớp 12 một số có tư duy toán học mộc mạc, việc nắm vững kiến thức đòi hỏi có thời gian tập luyện, giáo viên phải giúp học sinh đi từ dễ đến khó, giúp các em đi từ thấp lên cao.Bên cạnh đó

có một số học sinh kiến thức cơ bản tốt,các em có nhu cầu nâng cao để luyện thi

Với lý do trên tôi đi đến chọn đề tài:một số dạng toán lập phương trình đường thẳng trong không gian cho học sinh lớp 12

II Phương pháp nghiên cứu:

1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

2 Phương pháp điều tra thực tiễn

3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

4 Phương pháp thống kê

III Ứng dụng của sáng kiến kinh nghiệm:

- ứng dụng vào các tiết dạy trên lớp

- Ứng dụng vào các tiết học phụ đạo,học thêm,luyện thi

B PHẦN NỘI DUNG

I kiến thức cơ bản cần nắm

Trong phần phương trình đường thẳng, SGK đã trình bày phương trình tham

số trước sau đó đến phương trình chính tắc,sách giáo khoa không dùng phương trình tổng quát nữa Cách trình bày tự nhiên, hợp lý, vì nói đến phương trình đường thẳng, ta nghĩ ngay tới xác định nó bằng một điểm và một véc tơ chỉ phương

1 Véc tơ chỉ phương của đường thẳng:

Phần này giáo viên cần khắc sâu khái niệm véc tơ chỉ phương cho học sinh

a) Véc tơ chỉ phương

Véc tơ ur

là véc tơ chỉ phương của đường thẳngD nếu ur

Khác or

và có giá song song hoạc trùng với đường thẳng D

b) tích có hướng của hai véc tơ:

Định nghĩa: tích có hướng của hai véc tơ ur = ( , , )a b c

và véc tơ vr= ( ', ', ')a b c là một véc tơ ký hiệu éëu vr r, ùûđược xác định như sau

Trang 2

' ' ' ' ' '

b c c a a b

u v

b c c a a b

r r

=(bc'-b'c;ca'-c'a;ab'-a'b)

2 Tính chất:

i ar cùng phương br Û[ ]ar, br = 0r

ii [ ]ar, br ^ ar và [ ]ar, br ^ br

iii [ ]ar, br = ar br sin j (j là góc giữa 2 vectơ )

2 Phương trình tham số của đường thẳng:

Muốn lập phương trình tham số của đường thẳngD, ta cần tìm một điểm thuộc đường thẳng và một véc tơ chỉ phương của đường thẳng đó

Nếu đường thẳng D đi qua điểm M x y z( ;0 0; 0) và có véc tơ chỉ phương

( ; ; )

uuur= a b c ( 2 2 2

0

a +b +c ¹ ) thì phương trình tham số của đường thẳng D cần tìm là:

0

x x at

z z ct

= +

ì

í

ï = +

Giáo viên giúp học sinh đưa ra phương pháp lập phương trình tham số của đường thẳng qua các bước:

B1: Tìm 1 véc chỉ phương uuur= ( ; ; )a b c của đường thẳng D

B2: Tìm một điểm M x y z( ; 0 0 ; 0 ) thuộc D

B3: Phương trình tham số của đường thẳng D là

0

x x at

z z ct

= +

ì

í

ï = +

3.Phương trình chính tắc của đường thẳng:

Nếu đường thẳng D đi qua điểm M x y z( ;0 0; 0) và có véc tơ chỉ phương

( ; ; )

uuur= a b c ( abc¹ 0) thì phương trình chính tắc của đường thẳng D cần tìm là: x x0 y y0 z z0

-II Các dạng toán liên quan

1 Chuyển dạng phương trình đường thẳng

a,Dạng 1

Đường thẳng d cho dưới dạng hai mặt phẳng (P),(Q).Để chuyển d về dạng tham số ta có các cách sau:

cách 1: Tìm hai điểm A,B thuộc d

Đường thẳng d xác định:đi qua A và có véc tơ chỉ phương uuurAB

Trang 3

Cách 2: tìm một điểm A thuộc d

và tìm một véc tơ chỉ phương của d bằng cách:

gọi ur

là véc tơ chỉ phương của d nur1

, nuur2

lần lượt là vé tơ pháp tuyến của (P),(Q)

ta có d vuông góc với cả nur 1

, nuur 2

nên ur

= éën nur uur1 , 2 ùû

Cách 3: trong hệ ( )

( )

P Q

ì í

î ta có thể gán một ẩn theo tham số t và tìm hai ẩn còn

lại theo t

b, dạng 2 d cho dưới dạng chính tắc d: x x0 y y0 z z0

Để chuyển d về dạng tham số ta đặt x x0 y y0 z z0

-=t

ta có

0

x x at

z z ct

= +

ì

í

ï = +

î

CHÚ Ý nếu d cho dưới dạng tham số muốn chuyển về dạng chính tắc ta chỉ cần khử t ở phương trình tham số

BÀI TẬP

chuyển d về dạng tham số

x y- z+

-b,d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P):x+2y-x+1=0 và (Q)x+y+2z+3=0

bài giải

a, đặt 1 2

x = y- = z+

- =t (tÎR)

ta được

2 1

2 5

x t

y t

=

ì

ï = +

í

ï =

-î

(tÎR)

b, cách 1

cho z=0 ta được 2 1 0

x y

ì

í + + = î

5 2

x y

= -ì

î

vậy điểm A(-5;2;0)Îd

gọi nur1= (1; 2; 1) - là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)

và nuur2 = (1;1; 2)là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q)

vì đường thẳng d vuông góc với cả nur1

, nuur2

nên d có véc tơ chỉ phương là

ur

= éën nur uur1, 2ùû=(5;-3;1).Vậy phương trình tham số của đường thẳng d là

Trang 4

5 5

2 3

z t

= - + ì

ï = -í

ï = -î

(tÎR)

cách 2 cho z=0 ta được 2 1 0

x y

ì

í + + = î

5 2

x y

= -ì

î

vậy điểm A(-5;2;0)Îd

cho z=1 ta được 2 0

x y

ì

í + + = î

10 5

x y

= -ì

î

vậy điểm B(-10;5;1)Îd

đường thẳng d xác định:đi qua A(-5;2;0) và véc tơ chỉ phương

( 5;3;1)

ur =uuurAB=

phương trình tham số là

5 5

2 3

z t

=

-ì

ï = +

í

ï =

î

(tÎR)

cách 3 cho z=t ta được

2 1 0

2 3 0

5 5

2 3

x y t

+ - + = ì

í + + + = î

= -ì

Û í = + î

vậy phương trình tham số của d là

5 5

2 3

z t

= -ì

ï = + í

ï = î

(tÎR)

2 Lập phương trình đường thẳng

a dạng 1-dạng cơ bản

viết phương trình tham số của đường thẳng d trong các trường hợp

1 đi qua hai điểm phân biệt A(1;0;-2) và B(2;1;1)

giải

ta có uuurAB= (1;1;3).Đường thẳng d xác định: đi qua A (1;0;2) và có véc tơ chỉ phương là

ur=uuurAB= (1;1;3)

phương trình t(ham số là

1

2 3

x t

y t

= +

ì

ï =

í

ï = - +

î

tÎR)

2 đi qua A(2;-1;3) và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình x+y-z+5=0

giải

Trang 5

mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến là nr = (1;1; 1) -

Vì d vuông góc với (P) nên d nhận véc tơ pháp tuyến của (P) làm véc tơ chỉ phương

Đường thẳng d xác định :đi qua A(2;-1;3) và véc tơ chỉ phương

(1;1; 1)

ur = =nr

-phương trình tham số là

2

1

3

z t

= +

ì

ï = - +

í

ï =

-î

(tÎR)

3.lập ptts đường thẳng d đi qua M(1;1;2) và song song với đường thẳng

x y z

ì

í + - + =

î

giải

xét thấy MÏd'.Gọi ur

là một véc tơ chỉ phương của d,ta có

1 2 2 3 3 1

; ;

3 2 2 1 1 3

= ç - - ÷

r

=(-4;8;10) chọn ur

=(-2;4;5)

đường thẳng d đi qua M và song song với d' nên ta có d: (1;1; 2)

( 2; 4;5)

qua M vtcp u

ìï í

=

phương trình tham số của d là:

1 2

1 4

2 5

= -ì

ï = + í

ï = + î

(tÎR)

4.trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1;4;2),B(-1;2;4).Gọi G là trọng tâm

tam giac OAB.viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (OAB) tại G

giải

ta có G(0;2;2)

véc tơ pháp tuyến của (OAB)được xác định :

nr =éëOAuuur OBuuurùû= - =

-đường thẳng d vuông goc với (OAB) nên có véc tơ chỉ phương

(2; 1;1)

ur = - và đi qua G(0;2;2)

vậy phương trình tham số là

2 2 3

x t

y t t R

z t

= ì

ï = - Î í

ï = + î

b, dạng 2-lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm và vuông góc với hai đường thẳng d',d''

lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(0;1;1) và vuông góc với hai đường thẳng d',d'' biết:

d': 1 2

x y

z

d'' : 2 0

x y z x

+ - + = ì

í + = î

bài giải

Trang 6

gọi uuur , uur 1 , uuur 2

theo thứ tự là véc tơ chỉ phương của các đường thẳng d,d',d''.ta có:

1 (8;1;1) , 2 (0; 1; 1)

uur= uuur=

-vì đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng d',d'' ta có

1 2

u u

ï

í

^

ïî

r ur

r uur 1 1 1; 8 8; 1

1 1 1 0 0 1

Û = ç- - - - ÷

r

=(0;8;-8) chọn

(0;1; 1)

ur =

-đường thẳng d thỏa mản (0;1;1)

(0;1; 1)

qua A vtcp u

ìï í

phương trình tham số của d là

0 1 1

x

y t t R

z t

= ì

ï = + Î í

ï = -î

c dạng 3 Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm ,vuông góc với đường thẳng d' và cắt đường thẳng d''

1.Lập phương trình đường thẳng đi qua A(0;1;1) ,vuông góc với đường thẳng d'và cắt đường thẳng d''

biết d':

1

x t

y t t R z

= -ì

í

ï =

-î

;d'':

2 '

1 ' ' '

x t

z t

= ì

ï = + Î í

ï = î

bài giải

cách 1

giả sử d là đường thẳng cần dựng ,khi đó d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P),(Q)

với (P) là mặt phẳng qua A(0;1;1) Và vuông góc với d';(Q)là mặt phẳng qua A(0;1;1)

và chứa d''

mặt phẳng (P) xác định

1

(0;1;1)

( 1;1; 0)

qua A vtpt n u

ìï í

(P) :x-y+1=0

mặt phẳng (Q) xác định

2

(0;1;1)

( 1; 2; 0)

qua A vtpt n u AM

ìï

í =é ù =

î

r uur uuuur (Với M(0;1;0)

thuộc d'')

(Q) :x-2y+2=0

vậy d có dạng 1 0

x y

- + = ì

í - + =

0 1 1

x

z t

= ì

í

ï = -î

cách 2

gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với d'

Trang 7

mặt phẳng (P) xác định

1

(0;1;1)

( 1;1; 0)

qua A vtpt n u

ìï í

(P) :x-y+1=0

Gọi điểm B là giao điểm của d'' và (P)

ta tìm được B(0;1;0)

đường thẳng d xác định (0;1;1)

(0; 0; 1)

qua A vtcp AB

ìï í

phương trình tham số

0 1 1

x

z t

= ì

í

ï = -î

cách 3

giả sử d là đường thẳng cần dựng và cắt d'' tại B khi đó B(2t';1+t';t')

(2 '; '; ' 1)

AB t t t

-d' có véc tơ chỉ phương là uur1 = - ( 1;1; 0).Vì d vuông góc d' nên

1 1 0

(0; 0; 1)

AB u AB u

t t t o AB

Û - + = Û =

uuur

đường thẳng d xác định (0;1;1)

(0; 0; 1)

qua A vtcp AB

ìï í

phương trình tham số

0 1 1

x

z t

= ì

í

ï = -î

bài 2.(D-2006)

cho A(1;2;3) ,Và hai đường thẳng

d': 2 2 3

x- = y+ = z

-d'': 1 1 1

x- y- z+

-viết phương trình đường thẳng d qua A ,vuông góc d' và cắt d''

giải

cách 1

giả sử d cắt d'' tại B ,suy ra B(1-t;1+2t;-1+t)

và

AB = -t t- t

-uuur

AB

uuur

xem là vtcp của d

d' có vtcp là uur1 = (2; 1;1)

-vì d ^d1 ÛuuurAB .uur1= Û - - + + - = Û = - 0 2t 2t 1 t 4 0 t 1 ÞuuurAB = (1; 3; 5)

-vạy d xác định (1; 2;3)

(1; 3;5)

qua A vtcp AB

ìï í

Trang 8

Ptts

1

2 3

3 5

x t

= +

ì

ï = - Î

í

ï =

-î

(cách 2,3-tự giải

Bài Tập 3.(B-2004)

cho A(-4;-2;-4) và đường thẳng d :

3 2 1

1 4

y t t R

= - + ì

ï = - Î í

ï = - + î

viết phương trình đường thẳng qua A cât và vuông góc với d

d dạng 4 Lập phương trình đường thẳngd đi qua một điểm và cắt cả hai đường thẳng d' ,d''

BÀI 4

Lập phương trình đường thẳngd đi qua A(1;1;1)và cắt cả hai đường thẳng d' ,d''.với d' 3 0

x y z

y z

+ + - = ì

í + - =

x y z

y z

ì

í - + = î

bài giải

cách 1

giả sử d là đường thẳng cần dựng,khi đó d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P),(Q) Với

(P) đi qua A và chứa d' (Q) di qua A và chứa d''

ta lập được (P): x+y+z-3=0

(Q) :x-8y+4z+3=0

phương trình đường thẳng d là 3 0

x y z

+ + - = ì

í - + + = î

hay phương trình tham số là

1 4 1

1 3

y t t R

= -ì

ï = + Î í

ï = + î

CÁCH 2

gọi (P) là mặt phẳng qua Avà chứa d'.(P) có phương trình

(P): x+y+z-3=0

gọi B là giao điểm của (P) và d''.tọa độ B là nghiệm hệ

1

3 0

3

2 2 9 0

2

1 0

5 2

3 5

( 1; ; )

2 2

x

x y z

y z

z

B

ì

ï = -+ -+ - =

ï - - + = Ûï =

ï - + = ï

Þ

-gọi d là đường thẳng đi qua A,B.phương trình d

Trang 9

1 4 1

1 3

y t t R

= -ì

ï = + Î í

ï = + î

d là đường thẳng cần dựng

BÀI 5

lập phương trình đường thẳng d đi qua A(1;1;0) và cắt cả hai đường thẳng d',d'' ,với

d' :

( ) '' : 0

ï = - Î ï =

bài giải

cách 1; cách 2 (như bài 4)

cách 3

giả sử d là đường thẳng cần dựng và cắt d',d'' theo thứ tự tại B,C khi đó

BÎ Þd' B(1 + -t; t; 0)

CÎd'' ÞC(0; 0; 2 +t')

ba điểm A,B,C thẳng hàng ta được

1

2

1 1 ( ; ; 0)

2 2 (0; 0; 0)

t

t t

t

t B

C

-ì =

ì ï

Þ í ïî

Đường thẳng d :

0

x t

y t t R z

= ì

ï = Î í

ï = î

bài 6

cho A(0;1;2) và hai đường thẳng

1

2

:

1

2

x y z

d

x t

d y t t R

z t

-= +

ì

í

ï = +

î

tìm các điểm M Îd1; NÎd2 sao cho M;N;A thẳng hàng

d dạng 4 Lập phương trình đường thẳng song song với 1 đường thẳng

và cắt hai đường thẳng hai đường thẳng

1.lập phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng d1, và cắt hai đường thẳng d2 ; d3 với

Trang 10

1

2

3

:

1 :

x y z d

2.Cho A(-1;2;-3) và véc tơ ar = (6; 2; 3) - - và đường thẳng d có phương trình

1 3

1 2

3 5

= +

ì

ï = - + Î

í

ï =

-î

Viết phương trình đường thẳngđi qua A,vuông góc với giá của ar

đồng thời cắt d

e dạng 5 Lập phương trình đường thẳng vuông góc với 1 măt phẳng

và cắt hai đường thẳng

ví dụ viết phương trình đường thẳng d vương góc với mặt phẳng tọa độ (Oxy) và cắt cả hai đường thẳng

1 2 '

ï = - + Î ï = - + Î

4(khối D-2009)

.cho đường thẳng d: 2 2

x+ y- z

- và mặt phẳng (P):x+2y-3z+4=0

viết phương trình đường thẳng d' nằm trong (P)và d' vuông góc với d

5.(khối A 2007)

1 2

2 1 1

3

z

= - + ì

a, chứng minh hai đường thẳng đó chéo nhau

b,viết phương trinhg đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P):

7x+y-4z=0 và cắt cả hai đường thẳng d1 ;d2

e dạng Lập phương trình đường vuông góc góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

1.cho

1

2

1

3

x y z

d

x

y d

z

+

-ï

í

ï =

î

lập phương trình đường vuông góc chung cua hai đường thẳng đó?

giải(cách 1)

Trang 11

giả sử MN là đường vương góc chung của d1; d2(MÎd1; NÎd2 )

1 2

(2 ;1 ; 2 ) ( 1 2 ;1 ;3) (2 1 2 ; ; 5)

do M d M t t t

MN t s t s t

Î Þ + - +

Î Þ - + +

Þuuuur= + - - -

-do MN là đường vuông góc chung ta có

1

2

MN u o t s t

t s s

MN u

ïî

uuuur ur

uuuur uur

do vây ta có

(2; 0;1); (1; 2;3)

(1; 2; 4)

MN

Þuuuur=

-vậy phương trình đường vuông góc chung là

2

1 4

y t

= +

ì

ï =

-í

ï =

-î

5.(khối B-2009)

cho mặt phẳng (P):x-2y+2z-5=0 và hai điểm A(-3;0;1),B(1;-1;3)

Trong các đường thẳng đi qua Avà song song với (P),hảy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất

C.PHẦN KẾT LUẬN

phương trình đường thẳng trong không gian là đề tài phong phú với mổi giáo viên dạy toán chúng ta.Đã và sẻ có rất nhiều người quan tâm.sáng kiến kinh nghiệm này chỉ đưa ra một số vấn đề nhỏ ,và chắc chắn có rấ nhiều tồn tại và thiếu sót.Mong các bạn dọc chân thành góp ý thêm,và phát triển thêm.Xin chân thành cảm ơn!

Quảng trạch,tháng 5 năm 2011 giáo viên

Trần Thị Kim Tuyến

Trang 12

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT S¤ I QUẢNG TRẠCH

TỔ TOAN

SÁNG KINH NGHIỆM

TOÁN HỌC

cho học sinh lớp 10 ban cơ bản

GIÁO VIÊN:TrÇn ThÞ Kim TuyÕn

Năm học 2008-2009

Trang 13

Trang 14

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	281,67 KB