HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB = a, AC = , BC = 2a. Tam giác SBC cân tại S, tam giác SCD vuông tại C. Tính thể tích khối chóp SABCD, biết khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) bằng GIẢI: Do CD = a, AC = a,AD = 2a nên tgiác ACD vuông tại C. Gọi H là của S trên (ABCD), E là trung điểm BC => BC vgóc (SEH) Ta có DC vgóc CS => DC vgóc CH (đlý 3 đvgóc) Mặt khác: DC vgóc CA => H thuộc AC. Xét tgvuông CEH: sin C = ,biết EC = a Suy ra: EH = Gọi I là giao điểm của AD với (SEH), trong tgiác SIE, kẻ IK vgóc SE. Do tgiác AIH là nửa tgiác đều, có Mặt khác: . Do đó: Vậy thể tích khối chóp SABCD bằng: Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân (AB = BC = 1) và các cạnh bên SA = SB = SC = 3. Gọi K, L lần lượt là trung điểm của AC và BC, Trên cạnh SA, SB lần lượt lấy các điểm M, N sao cho SM = BN = 1. Tính VLMNK. GIẢI: Ta có: Lấy điểm E trên SA sao cho AE = 1=> NE AB KL Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và tam giác SCD vuông tại S. 1) Tính theo a thể tích khối chópS.ABCD. 2) Cho M là điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM vuông góc cới SA. Tính AM theo a. 3) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
Trang 1* HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, AB = a, AC = a 3, BC = 2a Tam giác SBC cân tại S, tam giác SCD vuông tại C Tính thể tích khối chóp SABCD, biết khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) bằng 3
3
a
GIẢI:
Do CD = a, AC = a 3,AD = 2a
nên t/giác ACD vuông tại C
Gọi H là của S trên (ABCD), E là
trung điểm BC => BC v/góc (SEH)
Ta có DC v/góc CS => DC v/góc
CH (đ/lý 3 đ/v/góc)
Mặt khác: DC v/góc CA
=> H thuộc AC
Xét t/g/vuông CEH:
AB a
BC = a =
· 300
HEC
CH =
AH = AC CH − 3 2
3
a a
3 3
3
a a
Gọi I là giao điểm của AD với (SEH), trong t/giác SIE, kẻ IK v/góc SE Do t/giác AIH là nửa
,
AH = ⇒ IH = AI =
IE IH HE
Mặt khác: IK SE IK ( SBC )
IK BC
⊥ Do đó: d D SBC ( , ( ) ) = d AD SBC ( , ( ) ) ( )
3
a
d I SBC IK
;
SH
a
Trang 2Vậy thể tích khối chóp SABCD bằng:
3
2 5.
15
a
Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân (AB = BC = 1) và các cạnh
bên SA = SB = SC = 3 Gọi K, L lần lượt là trung điểm của AC và BC, Trên cạnh SA, SB lần lượt lấy các điểm M, N sao cho SM = BN = 1 Tính VLMNK
GIẢI:
Ta có: VLMNK = VMNKL ( ) 1
Lấy điểm E trên SA sao cho
AE = 1=> NE // AB // KL
( ) 2
6
S = S
( )
2
BK
d L MKE =
( ) 3
V = V ( ) ( ) ( ) 1 , 2 , 3 ⇒ VLMNK = VLEKM
3 2 6 SAC SABC 3 ABC
BK
S V SK S
1
12
3
V = SK S
3 2 2 6 2
.
12 6 2 144
LEKM
V
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và tam
giác SCD vuông tại S
1) Tính theo a thể tích khối chópS.ABCD.
2) Cho M là điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM vuông góc cới SA Tính AM theo a 3) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
GIẢI:
1) V SABlà t/giác đều, cạnh a Gọi I, J lần lượt là t/điểm AB, CD
AB IS
AB SIJ ABCD SIJ
AB IJ
Gọi H là h/chiếu v/góc của S trên IJ => SH v/góc (ABCD)
Tam giác SCD có
CD a
2
a
SI = IJ = ⇒ a SI + SJ = IJ Do đó t/giác SIJ
là tam giác vuông tại S =>
3
4
a a
SH
3 2
Trang 32) Gọi P là tr/điểm AS
=> SA v/góc BP (t/giác SAB đêu)
SA v/góc BM =>SA v/góc (BPM)
Gọi P, Q lần lượt là tr/điểm AS và AJ
=> PQ là đ/t/bình t/giác ASJ
=> SJ // PQ Mặt khác, t/giác SAJ có:
2
4
a
SA + SJ = a +
2
2
5
4
a
AJ
= = ⇒V ASJ vuông tại S
=> AS v/góc SJ => AS v/góc PQ
Lại có: AS v/góc BP (t/giác SAB
đều) => AS v/góc (BPQ) => AS
v/góc BQ, lúc đó M là giao điểm BQ và CD
AB // JM => JM QJ 1 JM AB a
AB = QA = ⇒ = =
JD = ⇒ DM = Trong t/giác vuông ADM có:
2
a a
AM = AD + DM = a + =
3) AB và SC là 2 đ/thẳng chéo nhau.
Ta có: AB CD // ⊂ ( SCD ) ⇒ AB // ( SCD SC ) ; ⊂ ( SCD ) ⇒ d AB SC ( , )
= d AB SCD ( , ( ) ) = d I SCD ( , ( ) ) Theo câu (1) IS v/góc SJ và AB v/góc (SIJ), AB // CD nên
CD v/góc (SIJ) => CD v/góc IS Từ đó IS v/góc (SCD) => IS = d (I, (SCD)) = 3
2
a
Vậy d(AB, SC) = SI = 3
2
a
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ANCD là hình vuông với AB = 2a Tam giác SAB
vuông tại S, mp(SAB) ⊥mp(ABCD) Biết góc tạo bởi đường thẳng SD và mp(SBC) bằng ϕ
với
sinϕ = 1
3 Tính VS.ABCD và khoảng cách từ C đến (SBD) theo a.
GIẢI:
( SAB ) ( ⊥ ABCD BC ) , ⊥ AB
( )
BC SAB BC SA
( )
SA SB ⊥ ⇒ SA ⊥ SBC
Gọi d là k/cách từ D đến (SBC)
=> d = SD.sin ϕ =
3
SD
Mặt khác: AD // (SBC) => d (D,(SBC))=
D (A, (SBC)) => d = SA => SA = SD
Trang 4Do AD // BC => AD v/góc SA Xét tam giác SAD vuông tại A có AD = 2a và
2
a
⇔ + = ⇔ = ⇒ SB = AB2 − SA2
2
4
a a a
Kẻ SH v/góc AB tại H => SH v/góc (ABCD) Trong t/g/vuông SAB có
SH =
.
a a
SH
a
( )
7.
3
SBCD SBD
V a
d C SBD
S
2
a
8
+ = ÷ + ÷ =
=> t/giác SBD vuông tại S
2
SBD
Thay vào (1) ta được: ( , ( ) ) 2
3
a
d C SBD =
Bài 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy
G là trọng tâm tam giác SAC, mặt phẳng (ABG) cat91 SC tại M, cắt SD tại N Tính thể tích của khối đa diện MNABCD, biết SA = AB = a và góc hợp bởi đường thẳng AN và mp(ABCD) bằng 30o
GIẢI:
Tam giác SAC có G là trọng tâm Gọi O là
g/điểm 2 đ/chéo AC và BD => 2
3
SG
SO =
G cũng là trọng tâm t/giác SBD
Gọi M, N lần lượt g/điểm của AG với SC, BG
với SD => M, N lần lượt là trung điểm SC và
SD Ta có:
MO ⊥ ( ABCD )
V V = + V (với P,Q lần lượt là trung
điểm AB và CD)
1
3
V = MN S + MO S
2 2 SAD 3 2 2
Vậy thể tích khối đa diện MNABCD là:
3
5 3.
24
MNABCD
a
Trang 5Bài 6: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’.ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh bên A’A
tạo với đáy một góc 30o Tính thể tích khối chóp A’.BB’C’C, biết khoảng cách giữa AA’ và
BC bằng 3
4
a .
GIẢI:
Gọi O là tâm t/giác đều ABC và M
là t/điểm BC, ta có: BC cùng v/góc
với AM và A’O nên BC v/góc
(A’AM) Kẻ MH v/góc A’A, do
BC v/góc (A’AM) => BC v/góc
HM, từ đó suy ra HM là đoạn v/góc
chung của A’A và BC
=> d (A’A, BC) = HM = 3
4
a
Ta có:
· ' ( · ' , ( ) ) 300
A AO = A A ABC =
3 2.
2
a
ABC
V đều có AM là t/tuyến, đ/cao nên => AB = a
=>
2 3
; 4
ABC
a
SV = t/giác A’AO cũng là nửa t/giác đều,
AO = AM = ⇒ A O =
V = V − V = A O S − A O S = A O S 2 . 2 3
3 3 4
a a
=
3
3.
18
a
=
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA vuông góc với
đáy Góc tạo bởi SC và mp(SAB) bằng 30o Gọi E là trung điểm của BC
1) Tính VS.ABCD
2) Tính d(DE, SC) theo a.
3) Tính d(A, (SBD))
GIẢI:
1)CB cùng v/góc AB, SA => CB v/góc (SAB) => SB là h/chiếu v/góc của SC lên (SAB)
( )
( · SC SAB , ) = ( · SC SB , ) = CSB · = 300 tan 300 a a 3
SB
⇒ = = ⇒ SA = 3 a2 − a2
2
a
=
3 2
a
V = SA S = a a =
Trang 62) Từ C kẻ CI // DE => CE = DI =
2
a
Và DE // (SCI)
=> d (DE, SC) = d (DE, (SCI))
Từ A kẻ AK v/góc CI, cắt ED tại H, cắt CI
tại K , do CI cùng g/góc SA và AK nên CI
v/góc (SAK) Trong (SAK), ta kẻ HT
v/góc SK => HT v/góc (SCI)
Lúc đó: d (DE,(SCI)) = d (H,(SCI)) = HT
ACI
S = AK CI = CD AI
2 2
3
2
5 5
4
a
AK
a a
+
2
2
a
a
AK AI
V
2 2
5.
2
45 2
25
a a
a
+
3) AC BD O BD I = ; ⊥ AC BD , ⊥ SA ⇒ BD ⊥ ( SAO )
( )
,
AM SO AM d A SBD
AM AO AS
( )
2
2
a
5 5
AM = =
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a, tam giác SAB cân tại
S và năm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M là trung điểm của SD, mp(ABM) vuông góc cới mp(SCD) và đường thẳng AM vuông góc với đường thẳng BD Tính
VS.BCM và khoảng cách từ M đến mp(SBC)
GIẢI:
Gọi H là t/điểm AB => SH v/góc AB => SH v/góc (SABD) M là t/điểm SD, (ABM) chứa AB
=> (ABM) cắt (SCD) theo g/tuyến ML // CD, với L là t/điểm SC Gọi N là t/điểm CD, do BC cùng v/góc BA và SH nên BC v/góc (SBH) => BC v/góc SB Tam giác SCD cân tại S vì có
SN vừa là đ/cao, đ/t/tuyến ML là đ/t/bình => ML // CD
Ta có: SN v/góc ML (1) (vì CD v/góc (SHN), ML // CD)
Theo đề: (SCD) v/góc (ABML) theo giao tuyến ML (2)
Từ (1), (2) suy ra SN v/góc (ABML) => SN v/góc KH (vì KH chứa trong (ABML)
Trang 7Tam giác SHN có HK là đ/cao, đ/t/tuyến
=> SHN là t/giác v/cân tại H
Theo đề: AM v/góc BD, BD v/góc ME
(vì ME // SH, SH v/góc mp đáy)
=> BD v/góc (AMN).=> BD v/góc AN
Trong t/giác vuông ADN:
3
NA
DN = NI NA = NA
AD = AN − DN = a − a
1
.
3
SABCD
V = SH AB AD
1
2.2 2
3 a a a
3
a
= 1 2
( )
d D SBC SD
SM
d M SBC = = )
a a
( )
SBC
V
d M SBC
S
= (do SBC là t/giác vuông tại B)
3
3 2
3
2
a
a
+
Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và
· 900
SAD = , J là trung điểm SD Tính theo a thể tích tứ diện ACDJ và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ACJ)
GIẢI:
Do DA v/góc AB,DA v/góc AS nên
DA v/góc (SAB)
=> 2 mp (SAB) và (ABCD) v/góc với nhau theo
g/tuyến AB Gọi I là t/điểm AB thì
SI v/góc AB => SI v/góc (ABCD) Do J là
t/điểm SD => d (J, (ABCD))
a
d S ABCD = SI =
(do t/giác SAB đều cạnh a)
3
V = V = d J ABCD S
Trang 8
3 2
.
a
* Tính d (D, (ACJ)):
Do d (D, (ACJ)) = 3.
;
DACJ ACJ
V
S với
3 3 24
a
V = V = Ta cần tính SJAC, SAD là t/giác v/cân tại A có AJ là t/tuyến => AJ = 1 2
a
SD = AC a = t/giác SBC v/cân tại B
=> SC = a 2 Trong t/giác CDS có SJ là t/tuyến nên:
2
CS CD SD
2
a
+
2
2
2 2
a
a a
JA JC AC
a
+ −
V
2
AJC
Từ đó ta tính được: ( ( ) ) 2 3
3 3 8 21.
,
7
24 7
d D ACJ
a
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có SA = 3a, SA tạo với đáy góc 60o Tam giác ABC vuông tại
B, · ACB = 30o Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, hai mặt phẳng (SGB) và (SGC) cùng vuông góc với mặt đáy Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mp(SAB)
GIẢI:
(SGB) và (SGC) cùng v/góc mp đáy nên
SG v/góc mp đáy ⇒ SAG · = 600 Gọi I là
t/điểm BC, ta có:
Sa = a ⇒ AG = AI = AG =
3 3.
; 2
a
SG = AB x =
AC x BC x
:
vABI AI = AB + BI
V
2
x
2
.
=> = => = =
Trang 9Do đó: 1 1 9 7 9 7
ABC
Hay là:
3.
ABC
Vậy:
* Tính d (C,(SAB)):
Cách 1:
BI AI
3 21
14
a GK
=> =
+
3 3 3 6
8
4 2
GH
=> = =
# Mặt Khác:
( )
( )
d C SAB CE
GE
d G SAB = =
Vậy: ( , ( ) ) 3 ( , ( ) ) 3 9 6
8
a
d C SAB = d G SAB =
Cách 2: Dựa vào cách 1, tính được
Trang 10
2
1 54 9 7 27 6
a
( )
112 27 6 8
SAB SAB
d C SAB
Gọi O = AC I BD
Do hai mp (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với (ABCD)
=> SO ⊥ (ABCD)
* Gọi M là trung điểm AB, I là trung điểm AM DO tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, nên CM ⊥AB, OI ⊥ AB
OM = 3
2
a , OI = 3
4
a
* AB OI AB ( SOI ) AB SI
AB SO
Nên SIO · = 30o(góc giữa 2 mp (SAB) & (ABCD)
* Tam giác vuông SOI, IO = 3
4
a =>
4
a
,
SI = VSABCD=
Bài 12: Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD), M là trung điểm AB và do tam giác
SAB cân tại S nên AB SM
AB SH
⊥
=> AB ⊥(SMH)
* ( · SA ABCD , ( ) ) = SAH · = 45o => SA SH = 2
* ( ( · SAB ) ( , ABCD ) ) = ( SM MH · , ) = SMH · = 60o
=> SM = SH 2
3
* Từ N kẻ NP⊥SM thì NP là đoạn vuông góc chung của hai
đường thẳng CD và SA
=> NP = a 6
* Tam giác vuông NPM là nửa tam giác đều
=> NP = a 2 , MN = 2a 2
=> AB = MN = 2a 2
* Trong tam giác vuông SMA: SM2 + MA2 = SA2
Trang 11=> 2 2 ( ) (2 )2
− = => = => =
Vậy VSABCD=
3 2
a
SH S = a SA =
Bài 13:
Cách 1:
Qua A kẻ đường thẳng song song với BN, cắt CB tại E
Gọi H = ABI EN Kẻ MH//SA
Suy ra MH⊥(ABCD) = MH là đường cao của hình chóp M.ANBE Ta có MH =
a
SA =
SANBE = 2SABN = 1
3MH.SANCE=
1
3MH.2SABN
.2
BS
AE = BN = a 2
CB⊥(SAB) = CB⊥SB
Suy ra tam giác SBE vuông tại B = ME = BE2+ BM2 = a2 + a2 = a 2
Tam giác EMA cân tại E =>S =
2
.
//
BN AE
d BN AM d BN AME d N AME
AM AME
2
1
3 .
M ANBE
V
Vậy d(AM, BN) = 21
7
a
Trang 12A(0;0;0); B(a;0;0); S(0;0; a 3) ; N(0;a;0) => M 3
;0;
a a
3
;0;
a a
uuuuv
= ( 1;0; 3 ) 2
a
( ; ;0 ) ( 1; 1;0 )
BN = − a a = − a −
uuur
AM qua A(0;0;0), u ur1 = ( 1;0; 3 )
BN qua B(a;0;0), u uur2 = − ( 1; 1;0 )
( ;0;0 )
AB = a
uuur
1; 2 3; 3; 1
u u
ur uur
u u AB a
ur uur uuur
1 2
,
7 7
,
u u AB a a
d AM BN
u u
uur ur uuur
ur uur
-Bài 14 : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a Góc
BAC = , hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng ( ABCD ) trùng với
trọng tâm của tam giác ABC Mặt phẳng ( SAC ) hợp với mặt phẳng ( ABCD ) một góc
0
60 Tính theo a thể tích của khối chóp S ABCD . và khoảng cách từ điểm B đến mặt
phẳng ( SCD )
GIẢI :
* Tính thể tích của khối chóp S ABCD
+ Gọi h là trọng tâm tam giác ABC, O là giao
điểm của hai đường chéo AC và BD
+ Theo đề, suy ra: SH ⊥ ( ABCD ) , tam giác ABC
là tam giác đều cạnh a,
;
( )
⊥
SOB
⇒ = (góc giữa 2 mp( SAC ) và( ABCD ) ).
+ SHO là nửa tam giác đều, biết 3
6
a
HO =
3
2
a
2
a
Trang 13* Vậy thể tích của khối chóp S ABCD là:
.
* Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( SCD )
+ Trong mặt phẳng (SBD), kẻ OE // SH, ta có:
.
;
+ Trong mặt phẳng (OCD), kẻ OF OF ⊥ CD ⇒ CD ⊥ ( EOF )
+ Trong tam giác EOF vuông tại O, kẻ OI ⊥ EF ⇒ OI ⊥ ( ECD )
+ Vì O là trung điểm BD, ( ECD ) ( ≡ SCD ) ⇒ d B SCD ( , ( ) ) = 2 O, d ( ( SCD ) ) = 2 OI
3
112
a
OI
112
a