Sáng kiến kinh nghiệm SKKN khai thác phương pháp tọa độ trong không gian từ một bài tập đại số trong sách hình học 12

Sẽ không có nhiều người nghĩ rằng phương pháp toạ độ còn cho ta những lời giải hay đối với các bài toán đại số: Giải hệ phương trình - giải bất phương trình - chứng minh bất đẳng thức -

và là tiền đề để các em học tốt hơn trong chương trình hình học lớp 12

2.Cơ sở thực tại

Khi dạy Ôn tập chương 3- Hình học 12, tôi có yêu cầu học sinh làm Bài 89, trang

138, sách bài tập hình học 12 nâng cao, các em đã lúng túng và ngạc nhiên vì đây lại là

dụng phương pháp toạ độ vào thì lời giải ngắn gọn, dễ hiểu hơn so với các phương pháp

khác Sẽ không có nhiều người nghĩ rằng phương pháp toạ độ còn cho ta những lời giải hay đối với các bài toán đại số: Giải hệ phương trình - giải bất phương trình - chứng minh bất đẳng thức - tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức… Cùng với nhiều phương pháp khác, phương pháp toạ độ là một trong những phương pháp hữu hiệu để giải nhiều bài toán sơ cấp Phương pháp toạ độ dùng để giải quyết các bài toán chứa trong

nó “Cái hồn hình học” mà thoạt nhiên ta chưa nhìn thấy nó

Năm học 2012-2013, tôi được phân công giảng dạy các lớp 12B2, 12B6 Tuy là các lớp ban khoa học tự nhiên, nhưng vẫn còn bộ phận không nhỏ học sinh tiếp thu bài chậm, kĩ năng làm bài còn kém, tư duy chưa rõ ràng Đặc biệt các em rất lúng túng khi

4

gặp các bài toán đại số có chứa 3 ẩn số mà số phương trình(hoặc điều kiện) liên quan tới

ẩn số lại ít Yêu cầu của các bài toán này thường là: Tìm giá trị của tham số để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, có nghiệm hoặc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa 3 biến số Thực tế cho thấy khi các em làm những dạng toán này thường là các

em còn lúng túng và không xét hết các trường hợp của tham số, và còn mắc những sai lầm không đáng có Chính vì thế mà mỗi lần lên lớp, bản thân tôi rất trăn trở, làm thế nào

để truyền đạt cho các em dễ hiểu? Dạy cho các em những kĩ năng làm toán cơ bản nhất

và đặc biệt cần có phương pháp cụ thể cho từng dạng toán để học sinh nắm được bài tốt hơn

Do đó tôi đã mạnh dạn hướng dẫn các em sử dụng phương pháp toạ độ trong không gian vào giải các bài toán Đại số trong chương trình trung học phổ thông Đó cũng chính là nhận thức và ý tưởng của tôi khi chọn đề tài:

“KHAI THÁC PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

TỪ MỘT BÀI TẬP ĐẠI SỐ TRONG SÁCH HÌNH HỌC.”

5

II PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

2 Phương pháp điều tra thực tiễn

3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

4 Phương pháp thống kê

III PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Trong phạm vi đề tài tôi mới chỉ đưa ra: Sử dụng Phương pháp toạ độ giải các bài toán về hệ phương trình 3 ẩn, bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức chứa

3 biến số thông qua một vài ví dụ

IV ỨNG DỤNG

Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh một phương pháp và một số kỹ năng cơ bản và biết đưa bài toán từ ngôn ngữ đại số về ngôn ngữ hình học để giải Hy vọng với đề tài nhỏ này sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các em học

6

sinh có thêm một cái nhìn cũng như phương pháp giải một lớp các bài toán về giải hệ phương trình, giá trị lớn nhất nhỏ nhất qua việc sử dụng phương pháp toạ độ trong không gian

Sáng kiến kinh nghiệm có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh trong việc dạy và học

Mặc dù đã cố gắng rất nhiều, nhưng các vấn đề đưa ra ít nhiều còn thiếu sót, hạn chế Mong được sự góp ý của các quý thầy cô và bạn đọc

Xin trân trọng cảm ơn!

Hoằng Hoá, tháng 5 năm 2013

Người viết

Nguyễn Văn Trường

NỘI DUNG

7

I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong hệ trục toạ độ Oxyz

1 Tọa độ của điểm: M x y z ; ; OM  xi y jzk ,

7.2.Vị trí tương đối của mặt cầu với đường thẳng:

Cho mặt cầu (C) tâm I(a; b; c), bán kính R và đường thẳng  

10

7.3.Vị trí tương đối của mặt cầu với mặt phẳng:

Cho mặt cầu (C) tâm I(a; b; c), bán kính R và mặt phẳng  P : Ax + By + Cz + D = 0

3) d I , P R:   P , C tiếp xúc nhau tại điểm H là hình chiếu của I trên (P), (P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (C)

II SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẠI SỐ

Khi giải bằng phương pháp toạ độ, học sinh cần biết cách phiên dịch yêu cầu và đề

11

bài của bài toán sang ngôn ngữ toạ độ, sau đó dùng kiến thức toạ độ để giải toán, cuối cùng là chuyển kết quả từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ hình học Giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh chọn toạ độ véc tơ thích hợp

Bài 1.(Bài tập 89- Ôn tập chương 3 Sách bài tập Hình học 12 nâng cao)

a) Chứng minh: 5x  2 5y  2 5z  2 6 3 với mọi x, y, z ≥ -2/5 và

Vậy f(x)=u v  u v. = 6 hay maxf(x)= 6 khi x= m= n=1/3

c) Ta xem mỗi căn thức là độ lớn của một véctơ, do đó cần xác định các điểm trong không gian

Trong không gian Oxyz, lấy các điểm A(1; 1; -1), B(-1; 1; 1) và M(x; y; z)

Khi đó AB=2 2

( 1) ( 1) ( 1) ; ( 1) ( 1) ( 1)

MA x  y  z MB x  y  z

Bài 5.(Trích đề thi vào đại học xây dựng Hà Nội năm 2001)

Cho 3 số x, y, z thoả mãn điều kiện:

Sự có mặt của 3 số x, y, x trong bài toán “gợi” cho ta sử dụng phương pháp toạ độ Ta

xác định hệ toạ độ đề-các vuông góc Oxyz như hình vẽ

Dựng hình lập phương ABCO.A1B1C1O1 có các cạnh bằng 1

Cắt hình lập phương này bởi mặt phẳng : x+ y+ z= 3/2, cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt

tại các điểm có toạ độ K(3/2; 0; 0); L(0; 3/2; 0); J(0; 0; 3/2))

Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (KLJ) với hình lập phương ABCO.A1B1C1O1 tức là lục giác

Ta có min T = OI2 = 3/4 với I là tâm lục giác đều MNPQRS

Max T đạt đƣợc khi H là những điểm M, N, P, Q, R, S của lục giác đều MNPQRS khi đó: Max T =OM2 mà M(1;0;1/2) OM2=5/4

Ta có : 0<3/4≤OH2≤5/4<π/2,

Mà trên (0 ; π/2) hàm số cosx nghịch biến nên ta có :

Cos(5/4)≤ cos(x2 + y2 + z2)≤ cos(3/4)

Hay maxF= cos(3/4) khi H là tâm của lục giác đều MNPQRS tức x= y= z= 1/2

minF= cos(5/4) khi H trùng với một trong các đỉnh của lục giác đều MNPQRS, chẳng hạn H≡M tức x= 1, y= 0, z= 1/2

19

Việc định hướng phân tích như trên phục vụ cho việc giải bài tập này cho lớp 12 nhằm

nêu bật ứng dụng của hình học trong Đại số

Không chỉ sử dụng trong việc giải bất phương trình hay chứng minh bất đẳng thức, mà trong những bài toán giải hệ nhiều ẩn, nếu ta khéo léo chọn véc tơ hay chọn mặt phẳng và mặt cầu, ta sẽ đưa bài toán về xét sự tương giao của mặt cầu với mặt phẳng hoặc đường thẳng

Giải Ở bài này nếu từ (2) và (3) rút y, z theo x rồi thế vào(1) tìm được x, từ đó suy ra y,

z cũng là một cách giải Tuy nhiên nếu ta xem (1) là phương trình mặt cầu, (2) và (3) là phương trình các mặt phẳng thì hệ gồm phương trình (2) và (3) là phương trình của

Mặt cầu (S): 2 2 2

2 4 6 0

x y  z x y z và đường thẳng = (P)∩(Q) với

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất ( x = 2; y = -3; z = -1)

Bình luận: Gặp hệ này ít khi học sinh rút thế bởi vì sẽ còn 2 ẩn, và cách làm hình học

22

trên rõ ràng đã giải quyết đơn giản bài toán, cũng với cách làm này ta còn có thể chứng

minh hệ vô nghiệm

Bài 8 Chứng minh rằng hệ phương trình sau vô nghiệm:

Vậy hệ vô nghiệm

Bài 9.Giải hệ phương trình:

Giải Ở bài này nếu học sinh biến đổi tương đương và kết hợp với phương pháp thế thì

cũng giải được, xong lời giải sẽ dài

Nếu nhìn (1) là phương trình mặt phẳng, (2) là phương trình mặt cầu thì ta có cách

24

Thế (4) vào (3) ta được x = 1

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x = 1; y = 1; z = 1)

Bài 10 Tìm m để phương trình sau có đúng một nghiệm:

Giải Rõ ràng nếu ta dùng phương pháp thế thì vẫn còn tới 2 ẩn số, hoặc nếu ta sử dụng

bất đẳng thức để đánh giá ở phương trình (2) thì lời giải vẫn chưa cụ thể

Nhưng nếu để ý, phương trình (1) là phương trình của mặt cầu, phương trình (2) là

26

III HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

1 Mục đích thực nghiệm

Mục đích thực nghiệm là để kiểm chứng khả năng sử dụng phương pháp toạ độ vào

giải một số bài toán Đại số như hệ phương trình, bất đẳng thức…

27

Đề kiểm tra (thời gian 30 phút)

Bài 1.Giải hệ phương trình

2 2 2

3 3 3

1 1 1

Việc ra đề như trên hàm chứa những dụng ý sư phạm, tất nhiên đề kiểm tra này dành

cho học sinh có học lực khá trở lên ở hai lớp thực nghiệm và đối chứng Xin được phân tích

rõ hơn về điều này và đồng thời đánh giá sơ bộ về chất lượng làm bài của học sinh

Đề kiểm tra như trên là không quá khó và cũng không quá dễ so với trình độ học sinh Có thể nói với mức độ đề như trên thì sẽ phân hóa được trình độ của học sinh, đồng

thời cũng đưa ra cho giáo viên sự đánh giá chính xác về mức độ nắm kiến thức của học sinh

1 cos( , )

Qua phân tích sơ bộ trên đây có thể thấy rằng, đề kiểm tra thể hiện được dụng ý: sử

dụng phương pháp toạ độ trong không gian vào giải toán Đại số

4 Đánh giá kết quả thực nghiệm

Kết quả làm bài kiểm tra của học sinh lớp thực nghiệm (TN) và học sinh lớp đối chứng (ĐC) được thể hiện thông qua bảng sau:

Điểm từ 5 đến

8

Điểm dưới 5

Số lượng

Tỷ lệ

Số lượng

Tỷ lệ

Số lượng

30

Căn cứ vào kết quả kiểm tra, bước đầu có thể thấy hiệu quả của sử dụng phương

pháp toạ độ trong không gian vào giải toán Đại số

KẾT LUẬN

1 Kết quả nghiên cứu

1.1.Đối với học sinh

Trên đây là những kinh nghiệm mà tôi đúc rút được trong quá trình giảng dạy Toán lớp 12 tại trường THPT Hoằng Hoá 4

Hệ phương trình nhiều ẩn, hệ phương trình có chứa tham số hoặc bài toán min-max là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình môn toán THPT nói chung và trong việc ôn thi Đại học và bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng Nhưng đối với học sinh lại

là một mảng tương đối khó, đây cũng là phần nhiều thầy cô giáo quan tâm

31

Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 12, được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng giải hệ phương trình, hệ phương trình chứa tham số và bài toán min-max Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ các em học sinh với mức học trung bình khá trở lên đã có kỹ năng giải các bài tập Ngoài việc sử dụng phương pháp toạ độ trong không gian trong giải toán Đại số, tôi còn khuyến khích động viên học sinh tìm tòi việc sử dụng phương pháp toạ độ trong mặt phẳng giải các bài toán về hệ phương trình, bất phương trình, giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức 2 biến

1.2.Đối với giáo viên

- Sáng kiến kinh nghiệm này có thể xem là tài liệu tham khảo cho giáo viên

2.Kiến nghị đề xuất

2.1.Đối với tổ nhóm chuyên môn nhà trường

- Các tổ chuyên môn nên tăng cường trình bày các chuyên đề trong chương trình bộ

môn

32

- Nhà trường nên tổ chức thêm các buổi trao đổi kinh nghiệm học tập và giảng dạy

2.2.Đối với Sở giáo dục và đào tạo

Nên giới thiệu phổ biến về các trường phổ thông các sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng để cùng nhau trao đổi và áp dụng thực tế

Cuối cùng, tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ toán nhà trường đã góp các ý kiến bổ ích cho bài viết, cảm ơn ban giám hiệu đã tạo điều kiện cho bài viết có chất lượng hơn

34