2 b Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A và B là hai điểm lần lượt biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình 2 Câu 3 0,5 điểm.. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách gi
Trang 1ĐỀ THI MINH HỌA KÌ THI THPTQG 2016 – MOON.VN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn – Đề số 05
VIDEO bài giảng và LỜI GIẢI CHI TIẾT các bài tập chỉ có tại website MOON.VN
Link khóa học trực tuyến: LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số: 4 2 ( )
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m=1
b) Gọi A là điểm có hoành độ bằng 1 và thuộc ( )C m Tìm m để khoảng cách từ điểm 3;3
4
đến tiếp
tuyến tại A đạt giá trị lớn nhất
Câu 2 (1,0 điểm)
2
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A và B là hai điểm lần lượt biểu diễn hai nghiệm phức của phương
trình 2
Câu 3 (0,5 điểm) Giải bất phương trình ( ) 2 4 3 ( ) 1 2
x − +x x− − −x
Câu 4 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
2
1
Câu 5 (1,0 điểm) Tính tích phân ( ) 2
2
1
x
I = ∫ x +x e −dx
Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, 0
60
BAD= Gọi H là trung
điểm của AO Biết rằng SH ⊥(ABCD) và 3
8
a
SH = Mặt bên (SAB) tạo với đáy hình chóp một góc 600
Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường SB và DM, biết M thuộc
cạnh AB và BM = 2AM
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại A , có phương trình trung
tuyến xuất phát từ đỉnh B là 4 x−3y− =12 0, điểm H(4; 2− ) thuộc cạnh BC sao cho HB=2HC Tìm
toạ độ các đỉnh của tam giác ABC biết điểm A thuộc trục tung và C có tung độ nguyên
Câu 8 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng
1
1 1
1 1
2 :
−
+
=
+
=
x
:
2
3 1
1 1
x
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và tạo với ∆ một góc 300
Câu 9 (0,5 điểm) Lớp 10 A gồm 40 học sinh trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi Trong buổi họp đầu năm 5
học thầy giáo chủ nhiệm lớp muốn chọn ra 3 bạn để làm cán sự lớp gồm Lớp trưởng, quản ca và bí thư Tính xác suất để chọn ra 3 học sinh làm cán sự lớp mà không có cặp anh em sinh đôi nào
Câu 10 (1,0 điểm) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 2 ( 2 2)
2a +3 b +c =4ab+3ac Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( 2 ) 2 2 2 2
P
+
Trang 2LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1 (2,0 điểm)
Với x=1 ta có y= −1 2m⇒A(1;1 2− m) Phương trình tiếp tuyến tại A là :
' 1 1 1 2
y= y x− + − m hay y= −(4 8m)(x− + −1) 1 2m d( )
1
3 4
d B d
4 8− m + ≥1 1)
2
m
2
m= là giá trị cần tìm
Câu 2 (1,0 điểm)
a) Với cosx≠0, phương trình đã cho tương đương với
2
sin cos
cos
x
x x
−
=
Khi đó PT đã cho có 2 nghiệm là:
( ) ( )
1
2
2
2
+ + +
+ − −
Vậy AB= 5 là giá trị cần tìm
Câu 3 (0,5 điểm)
Điều kiện x≥ ∨ ≤3 x 1 Bất phương trình đã cho tương đương với
7 7
2
2
2
2
2
x
x
≥
≤
Câu 4 (1,0 điểm)
Điều kiện 1;3 3
2
x≥ ≤ ≤y Khi đó ta có nhận xét
Dấu đẳng thức xảy ra khi x− = ⇔ =y 0 x y
Áp dụng bất đẳng thức liên hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhân ta có
Trang 3( ) ( ) ( )
1
x
Phương trình (1) có nghiệm khi các dấu đẳng thức xảy ra, tức là 1 3 2 3 1 2
x x
⇔ =
− =
Kết luận hệ phương trình có nghiệm duy nhất x= =y 2
Câu 5 (1,0 điểm)
2
2
1 2
1
−
1 0
Đặt = =
⇒
2
1 1
2
Câu 6 (1,0 điểm)
+) Tính thể tích khối chóp S.ABCD:
Nhận xét, BAD=60o ⇒∆ABDđều
Từ H kẻ HI ⊥ AB I( ∈AB)ta có:
⊥
⊥
8
2
3
a
+) Tính khoảng cách giữa SB và DM
Chứng minh ba điểm M, H, D thẳng hàng
o AMH
AHM
MH AH
AHD
AHD
AH HD
1 & 2 ⇒cosAHD= −cosAHM ⇒ 2 góc
&
Khi đó ba điểm M, H, D thẳng hàng
Cách 2: Theo bài BM =2AM, giả sử N thuộc AD sao cho AD=3AN
Trang 4Nhận xét: 1 1 2 1
2 1 1
BO HO NA
Suy ra M, H, D cũng thẳng hàng
Do SH ⊥BE⇒BE⊥(SHF)⇒BE⊥HK, mà HK ⊥SF ⇒HK ⊥(SBE)
Suy ra d DM SB( ; )=d H SBE( ,( ) )=HK
4
a
12
a
3
a
Ta có:
Mặt khác
2
BEDM
v
a
Suy ra khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và DM bằng 3 3
2 55
a
Câu 7 (1,0 điểm)
Dựng AH cắt đường thẳng vuông góc với AC tại D
90
Phương trình đường thẳng AH là: 3 x+4y− =4 0
Khi đó toạ độ điểm A là A( )0;1 , Viết lại BM: 3 3
4
= +
=
(3 3 ; 4 ) (6 6 ;8 1)
2
( )
1
3; 5 2
5
2
;
Từ đó suy ra B( )6; 4 Vậy A( ) ( ) (0;1 ;B 6; 4 ;C 3; 5− ) là các điểm cần tìm
Câu 8 (1,0 điểm)
+) (P) chứa d⇒(P) đi qua M(2; 1; 1)− − ∈d ⇒ phương trình (P) có dạng
2 2 2
( ) d P 0 0
2 2 2
( ; ( )) 30 sin( ; ( ))
+ +
+ +
⇔2(a b+ +2 )c 2 =3(a2+ +b2 c2) (2)
+) Từ (1) có c= +a b thay vào (2): 2 2
2
= −
Trang 5+) Khi a= −2 b Chọn b= −1,a=2,c=1⇒( ) : 2P x− + − =y z 4 0.
2
b
a= − Chọn b= −2, a=1, c= −1⇒( ) :P x−2y− − =z 5 0
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán
Câu 9 (0,5 điểm)
Chọn 3 học sinh từ 40 học sinh có C403 cách chọn
Chọn 1 cặp anh em sinh đôi trong 4 cặp anh em sinh đôi có: C14 cách chọn
Chọn 1 bạn học sinh còn lại trong 38 bạn có: C381 cách chọn
Số cách chọn 3 học sinh mà trong đó có 1 cặp anh em sinh đôi là: C C381 41 cách
Vậy số cách chọn ra 3 bạn học sinh làm cán sự lớp mà không có cặp anh em sinh đôi nào là:
3 1 1
40
9842 259
260
C
Câu 10 (1,0 điểm)
Việc đầu tiên là ta sẽ đi dự đoán điểm rơi của bài toán Giả thiết bài toán cho là một biểu thức đồng bậc, phân số thứ hai trong biểu thức P cũng thế Tuy nhiên hạng tử ( 2 ) 2 2
a + c +b + lại không đồng bậc hai
mà chứa 2 2
4
a c + ≥ a c = ac Việc làm này để giả thiết cũng như P chứa các đại lượng đồng bậc do đó ta có thể chuyển ba biến về hai biến sẽ dễ dàng đánh giá hơn rất nhiều Dấu đẳng thức sẽ xảy ra tại ac =2 Với
điểm rơi dự đoán ac 2 a 2
c
2
c
2
là hai biến cân bằng nhau vì ta có đánh giá rất quen thuộc là 2 2
2
b +c ≥ bc khi đó
b +c − ≥ bc− = bc− Và đến đây, ta có thể khẳng định được rằng điểm rơi bài toán sẽ xảy ra
2
ac
=
Với sự đối xứng của b c, , ta sẽ đánh giá bất đẳng thức Cosi xung
Như suy luận bên trên, ta lại có:
Khi đó, biểu thức P trở thành 4 2
P
≥ + + Câu chuyện sẽ kết thúc nếu ta sớm tìm được điều kiện
chặn của a
b Và điều mà ta chưa khai thác nhiều đó chính là giả thiết Với điểm rơi tìm được, ta sẽ có hai
yếu tố cân bằng nhau đó là
2
;
=
=
, với điểm rơi này cùng sự xuất hiện của tổng
3 b +c thì thêm một lần nữa, áp dụng bất đẳng thức Cosi chúng ta có
Trang 6( )
2a + b +c =4a + b +4a + c ≥ ab+ ac
b
• Với điểm rơi dự đoán 2
1
a b
=
=
nên ta sẽ khéo léo tách đa thức đó là:
P
a b
b a
• Hoặc đặt a (0; 2
b
t
= + + và thấy f t( ) là hàm số nghịch biến trên (0; 2 do đó ( ) ( )2 9
10
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 9
10 Dấu đẳng thức xảy ra khi a=2; b= =c 1 Việc nhận xét tính đẳng cấp cũng như đánh giá thông qua bất
đẳng thức Cosi khi dự đoán được điểm rơi đã đưa bài toán từ ba biến thành hai biến rất nhẹ nhàng
Thầy Đặng Việt Hùng