Kĩ thuật giải toán ÕY

Phân tích, định hướng giải:Đọc đề bài thấy có phương trình tia phân giác,chúng ta nghĩ luôn đến việc lấy đối xứng,điểm đối xứng này thuộc AC,biết đường cao qua B,nghĩa là vuông góc AC,từ

Phân tích,tìm hướng giải cho một số bài toán Oxy có liên quan tới diện tích

Đặt vấn đề:Chúng ta thường xuyên gặp những bài toán hình phẳng có liên quan tới diện tích tam giác,tứ

giác,để làm tốt dạng toán này,chúng ta cần nắm được một số tính chất,công thức sau:

1,Cho tam giác ABC,cạnh BC=a,AC=b,AB=c,đường cao ứng với 3 đỉnh A,B,C là :h h h a. ,b c,R là bán kính đường tròn ngoại tiếp.ta có:

1

( : , : AH)

2

S  a h a BC h 1 1

2b h b 2c h c

4

abc R



2,Cho hình chữ nhật ABCD,ta có:S ABCD AB BC d a BC d b AB( , ) ( , )

3,Khoảng cách từ M(x y0, 0) tới đường thẳng axby c 0 là: 0 0

2 2

|ax by c|

a b

 

 ,ta hiểu nhanh là thay tọa độ điểm đó vào phương trình đường thẳng đã cho

4,Cho đường thẳng d: axby c 0thì có vtpt (a,b),d’:a’x+b’y+d=0 có vtpt (a’,b’),ta có góc tạo bởi (d,d’)=

|aa ' ' |

' '

bb

a b a b



  (Nghĩa là tích vô hướng chia tích độ dài),chú ý là góc này nằm trong đoạn

0 0

[0 ,90 ]

5, Muốn tìm vtpt của một đường thẳng,thông thường ta có thể chọn một trong hai cách sau:

5a:Đường thẳng d’ qua M(x y0, 0),tạo với d’:ax+by+c=0 một góc a bất kì trong [0 ,90 ] thì ta gọi vtpt của d=(m,n),có vtpt d’=(a,b) thì …giống 4,tìm được mối quan hệ m,n nghĩa là tìm được vtpt,qua một điểm là ta viết được phương trình đường thẳng rồi

5b:Đường thẳng d qua M(x y0, 0),một điểm nào đó biết tọa độ ví dụ N(x , y )1 1 và biết d(N,d) thì ta làm như sau:Gọi vtpt của d là (a,b)=>Phương trình

d:a x( x0)b y( y0) 0 d ax by ax:   0by0 0,sau đó ta áp dụng công thức tính khoảng cách ở lưu ý 3,cũng tìm được vtpt của d,từ đó viết được phương trình!

Sau đây chúng ta đi vào những bài toán cụ thể để thấy mức độ vận dụng những tính chất , công thức trên như thế nào:

Ví dụ 1: ( Thi thử Mỹ đức A-HN -L1-2015):Cho tam giác ABC,đỉnh B(-2,-2),phân giác trong góc A và

đường cao qua B lần lượt có phương trình:x+y=0,3x-y+4=0.Tìm tọa độ của A và C của tam giác biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và xC>0

Phân tích, định hướng giải:Đọc đề bài thấy có phương trình tia phân giác,chúng ta nghĩ luôn đến việc lấy đối xứng,điểm đối xứng này thuộc AC,biết đường cao qua B,nghĩa là vuông góc AC,từ đó viết được phương trình AC,tìm được A rồi,sử dụng nốt cái S kia vào khoảng cách là ta tìm được C thỏa mãn!.Ta đi vào lời giải chi tiết:

Lời giải:

Giả sử phân giác qua A là AD.Gọi E là điểm đối xứng của B qua phân giác AD=> E thuộc AC

K=AD giao BE,thì K chính là trung điểm BE BE vuông góc AD

: 0

(0, 0)

BE x y

K AD BE K

K là trung điểm BE nên E(2,2)

Đường cao qua B vuông góc AC nên

( 4, 4).

AB=2 10

1 1

.AB.d(C, AB) 2 10.d(C, AB) 24.

24

10

ABC

Tham số C(8-3a,-a) (a<8

3) d M BC( , ) ABd M BC( , )2 5

7( )

| 32 8 | 24 | 4 | 3





 Vây : A(-4,4),C(5,1)

Bình luận: Bài toán khá nhẹ nhàng, chúng ta nắm vững một số tính chất như lấy đối xứng,khoảng cách

thì bài toán cơ bản hoàn thành!

Ví dụ 2: (THTT -06-2014) Cho hai đường thẳng (d1):x+y-1=0,(d2):x-y+1=0.Lập phương trình đường

tròn ( C ),cắt (d1) tại A và (d2) tại hai điểm B,C sao cho tam giác ABC đều và có diện tích bằng 24 3

Phân tích: Định hướng giải:Bài toán này khá hay,có 2 điểm đặc biệt mà chúng ta phải lưu ý,tránh

nhầm và hiểu lầm ý tưởng bài toán mà đi sai hướng:

1,( C ) cắt (d1) tại A,chúng ta nên hiểu rõ là cắt tại 2 điểm nhưng 1 điểm là A,tránh hiểu nhầm cắt tại 1 điểm nghĩa là tiếp xúc,bởi nếu nghĩ thế chúng ta không vẽ được đúng hình,từ đó không thể hình dung được hướng làm!

2, Thấy rõ ràng (d1) vuông góc (d2),đây là một điểm lưu ý khi giải toán,chúng ta cần xem xét kĩ xem 2 đường thẳng liên quan gì không

3, Biết được d1 vuông d2 thì mọi điều trở nên sáng sủa hơn rất nhiều vì d1 chính là trung trực d2.Áp dụng công thức S ta dễ dàng tính được đường cao… bài toán sẽ được giải quyết

Lời giải: Ta có vtpt d1=(1,1),vtpt d2=(1,-1).Tích vô hướng d1.d2=1.1-1.1=0

Từ đây ta có d1 vuông góc d2,mà tam giác ABC đều nên d1 chính là trung trực d2

Gọi d1 giao d2 là MM(0,1)

Đặt cạnh của tam giác là a.Ta có:

3

24 3

4 4

4 6

4 2

ABC

S

R a

R

 



 





3

6 2 2

3

OM  AM OM 

O(a,1-a) (do O thuộc d1).từ đó

2 (2, 1)), O( 2,3)

( ) : ( 2) ( 1) 32

( ) : ( 2) ( 1) 32

     

 

   



Bình luận:Để giải quyết bài này chúng ta cần nắm vững công thức tính diện tích tam giác liên quan tới

bán kính R,đây cho tam giác đều nên dễ dàng tìm được.Nhưng quan trọng nhất là phát hiện được d1 vuông góc d2,mấu chốt nằm ở đó và ngườii ra đề đã dấu đi!

Ví dụ 3: (Toanhoc24h-07-2015) Cho hình thang ABCD có hai đáy AB,CD.biết AB=BC,điểm A(2,3),đường

phân giác của góc ABC có phương trình x-y-1=0,hình chiếu vuông góc của điểm B lên đường thẳng CD

là

29 8

( , )

5 5

H

.Tìm tọa độ B,C,D của hình thang biết diện tích hình thang bằng 12

Phân tích: Giả thiết cho AB=BC,nghĩa là tam giác ABC cân tại B,biết phương trình phân giác góc B, hay

phân giác đó nó cũng đồng thời là trung tuyến,đường cao,ta viết được phương trình AC rồi,từ đó tìm được C,viết phương trình BH giao phân giác tìm B,còn lại tìm D dựa vào diện tích!

Lời giải: Gọi giao của phân giác góc B với AC=M.Từ giả thiết có AM chính là trung trực của AC

:1(x 2) 1(y 3) 0 : 5 0

(3, 2) (4,1)

Ta có:

2 2 2

(5, 4)

4 10

5

2S

5

3 (10, 3)

ABCD ABCD

BH

AB BH

 





Ra 2 điểm D,liệu có cách nào loại được không?Câu trả lời là có!Thấy B,D phải khác phía so với AC,nên dễ dàng loại D(10,3),ta chỉ còn D(-2,-1)

Kết luận: B(5,4),C(4,1),D(-2,-1)

Bình luận: Bài toán đã kết thúc, nhưng ở đây đặt ra vấn đề loại điểm sau khi tìm ra! Chúng ta luôn mong

muốn ra càng ít điểm càng tốt để đỡ phải mất công loại điểm khi đề bài không cho điều kiện.Nhìn lại bài trên, chúng ta liệu còn cách nào tìm ra 1 điểm D mà không phải tính độ dài như trên không????Bằng trực quan sau khi tính CD, thấy CD=2AB hay DC  2 AB,biết 3 điểm A,B,C rồi,ta dễ dàng tìm được D như trên mà không phải loại gì cả.Cái này phụ thuộc vào con mắt tinh tế của người giải!Đôi khi người ra

đề không cho điều kiện loại nghiệm thì ta cũng nên lựa chọn những lời giải phù hợp,tinh tế để bài toán được nhẹ nhàng,mà không bị phân vân khi loại nghiệm!

Ví dụ 4 : (Toanhoc24h-12-2015)Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 30,hai điểm E(3,3),F nằm

trên đường thẳng BC.Hình chiếu vuông góc của điểm D trên đường thẳng AF là điểm

14 3 ( , )

5 5

.Biết

1

( , 0)

2

M 

là trung điểm AD và đường thẳng BC có hệ số góc là một số nguyên.Tìm tọa độ các đỉnh hình chữ nhật ABCD

Phân tích:Rất khó để khai thác E,F vì chúng chuyển động,xem những yếu tố cố định như M,H xem có gì

đặc biệt không?Ta phải chú ý rằng,định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền rất hay được người

ra đề hướng tới bởi họ muốn kiểm tra kiến thức toàn diện hình học của người giải.Quay lại bài trên,tam giác ADH vuông tại H,trung tuyến MH ứng với cạnh huyền AD đã tính được=>AD,dựa vào S=>BC,một ý kiến không hề tồi phải không?Nhưng….chúng ta tính BC làm gì khi B,C chưa tham

số,không có yếu tố cố định?Quay lại câu hỏi,người ta cho điều kiện:”đường thẳng BC có hệ số góc là một số nguyên”,đây mới là cái chúng ta cần làm,tính BC chính là để viết phương trình BC!Sử dụng lưu

ý 5b vì AB=d(N,BC),ta hoàn toàn tìm được “nút thắt” bài toán rồi

Lời giải:Thấy tam giác ADH vuông tại H,M là trung điểm AD nên MH là trung tuyến ứng với cạnh huyền

AD,vì vậy AD=2MH.Ta có:

3 5

3 5

2

30

ABCD

AD

Mà d M BC( , )ABd M BC( , )2 5 Gọi vtpt BC =(a,b) (b Z

a , 2 2

0

a b  )

Ta có phương trình BC:2x+y=9

2

3 5

2

2 ( 2, 3) D(1, 3)

a







Ứng với 2 trường hợp trên,ta có lần lượt phương trình AB là: 2 7 0 (5, 1), (2,5)





Kết luận: (1, 3), (5, 1), (2,5), D( 2,3)

( 2,3), (2,5), (5, 1), (1, 3)



Bình luận:Bài toán chứa nút thắt là viết phương trình BC,để làm được điều này ta cần chú ý lưu ý 5b,để

làm được việc này cũng cần tinh tế nhận ra MH là trung tuyến ứng với cạnh huyền,khai thác cái S sẽ tìm điều mình muốn.Để có lời giải khá tự nhiên như trên,chúng ta cần bám sát những cái đã biết để khai thác một cách triệt để,đồng thời tránh việc không làm ra mà thừa giả thiết!

Ví dụ 5: (Toanhoc24h-20-2015) Cho hình chữ nhật ABCD có B(1,3) và diện tích bằng 30.Gọi E là điểm

trên cạnh BC sao cho EC=2BE,điểm

5 5 ( , )

2 2

H

là hình chiếu vuông góc của đỉnh B lên DE,yC<0.Tìm tọa

độ các đỉnh còn lại của hình chữ nhật ABCD

Phân tích:Bài này có thể sử dụng cách khác,nhưng tôi xin giải cách theo tỉ lệ diện tích.Dễ dàng viết

được phương trình DH,tham số E, từ 2BE  EC,ta tham số được C theo E,B.Công việc của ta là tính

BC để tìm C Tập trung khai thác EC=2BE và S,ta hãy nhớ :”Tỉ lệ diện tích của hai tam giác chung đường

cao chính bằng tỉ lệ hai đáy tương ứng!Nhìn hình thấy hai tam giác DBH,DCB chung đường cao từ

D,từ đó mà

1 3

DBE

BDC

S  BC 

,dễ thấy S DBC S ABCD 15

,từ đó diện tích tam giác DBE được tính,nhưng chúng ta khai thác nó như thế nào?Đây mới là điều chúng ta quan tâm.Chú ý là BH đã

biết,theo tôi,dùng

1 2

DBE

S  DE BH

là đẹp nhất bởi vì sao?Là vì đã tính được BH rồi,từ điều trên tìm được DE.Tìm BC như thế nào khi biết diện tích hình chữ nhật,DE,quan sát kĩ thấy nếu ta đặt

BC=x=>EC=

2

3

x

,DC=y,ta đi giải hê phương trình:1 phương trình là pitago ở tam giác vuông DEC,1 phương trình về diện tích hình chữ nhật,thì hoàn toàn tìm được BC.Vậy bài toán đã kết thúc!

Lời giải:

Ta có:

10

2

1

5.

2

DBC ABCD DBE

DBE DBC

S

BH



Đặt BC=x,DC=y,thì 2

3

x

EC Sử dụng định lí Pitago trong tam giác vuông DEC và diện tích hình chữ nhật,ta có hệ phương

trình:

2

2

4

45 40

9

2 5 30

2( )

x

x y

y xy













     0, D  DC  DH  D (0, 5)   A ( 3,1) 

Kết luận:A(-3,1),C(4,-3),D(0,-5)

Bình luận: Bài toán trên khá hay,việc tìm ra độ dài BC là một việc khá khó,nhưng theo những phân

tích,dẫn dắt ở trên chắc hẳn bạn đọc cũng hiểu được cách tìm cũng như phương hướng tìm ra nó.Để giải được bài trên,chúng ta phải nắm được nhiều kĩ năng về giải Oxy cũng như kiến thức về hình học,đặc biệt liên quan tới diện tích.Chúng ta cần đi đúng hướng,giả sử như chúng ta tham số D thuộc DH rồi đi giải hệ phương trình,việc này vẫn có thể làm được nhưng khá nặng về tính toán!Nên chọn giải pháp tốt nhất

để đi ,đường cùng chúng ta mới làm theo hướng trên!

Ví dụ 6: (Toanhoc24h-25-2015) Cho hình chữ nhật ABCD có A(5,1) và diện tích bằng 10.Đường thẳng đi

qua A,vuông góc với AC tại A cắt đường thẳng BC tại E(5,6).Biết xC<0,tìm các đỉnh còn lại của hình chữ nhật

Phân tích:Vẫn là bài toán quen thuộc,mục đích của ta là đi tính cạnh của hình chữ nhật thông qua S và

những dữ kiện khác của đề bài.Nhưng cũng trên nền tảng đó,tôi muốn bạn đọc nhìn theo chiều hướng khác để phòng trừ tình huống không thể tính cạnh.Đó là đi viết phương trình EC.Trước hết ta

đi tính cạnh hình chữ nhật đã

Lời giả:

AC x y

   ,Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AEC và diện tích của hình chữ nhật ABCD,ta có hệ phương trình:

2 5 25

4 5

1 cosBAC

5

ABCD

x

y

AB

AC







Gọi vtpt BC=(a,b), mà vtpt AE=(1,0),do góc BAC=góc AEB(Cùng phụ với góc ACB) nên:

2 2

2

cos cos

2

1: 2 , a 1, b 2 vtptBC (1, 2)

BC : x 2 y 7 0

: y 1 0, ( 5,1)( )

TH 2 : 2 a b(Loai)

AB BC AB : 2 x y 11 0, A AB AC A(5,1)

(3, 5) D( 3, 3)

a b a

BAC AEB

a b

a b

TH a b

B AB BC B

 



       



Kết luận:A(5,1),B(3,5),C(5,1)D(-3,-3)

Bình luận: Bạn đọc thắc mắc tại sao tôi lại chọn tính cos BAC?Vì mình đã biết được góc BAC=góc AEB

rồi,tính được cos của chúng,BC lại qua E,áp dụng lưu ý 5a,ta hoàn toàn viết được phương trình BC.Tất nhiên sau khi tính được AC,ta có thể tìm C ngay nhưng tôi muốn làm theo cách trên để tổng quát cũng như nhắc lại cách viết phương trình đường thẳng!!!

Ví dụ 7: Cho hình chữ nhật ABCD tâm I(2,3),S=16,hình chiếu của A lên BD là

7 6 ( , )

5 5

H

,xA<0.Tìm 4 đỉnh hình hình nhật

Phân tích:

Đề bài cho rất ngắn,liệu có lời giải đẹp? Cho 2 tọa độ I,H,xA<0,ta nghĩ tới điều gì?Có suy nghĩ rằng giải

hệ phương trình 2 độ dài AH,AI??Đây cũng là một kinh nghiệm nhỏ là khi đề cho điều kiện loại

nghiệm điểm nào thì ta nên tìm điểm đó trước.???ta thử phân tích chút

Ta đặt AH=x,AI=y,tính được độ dài HI,pitago trong tam giác vuông AHI,ta có phương

trình:

x  HI  y (1)

Mà:

xy 8(2)

ABCD

ADI

S

Từ (1) và (2) ta tìm được x,y,vậy “nút thắt đã được mở,chờ kĩ năng giải hệ phương trình của ta tung

ra là xong

Lời giải: Đặt AH=x,AI=y,tính đượcHI2 =18

5 Theo định lí pitago trong tam giác vuông AHI,ta

có 2 18 2(1)

5

x   y

xy 8(2)

ABCD

ADI

S

Từ (1) và (2) giải ra được 2 32 2

, 10 5

x  y 

Từ (1) và (2) giải ra được 2 32 2

, 10 5

x  y  Gọi A(x,y) (x<0),ta có hệ phương trình độ dài AH,AI

( 2) ( 3) 10

( ) ( )

    





   

 .Để giải nó ta khai triển rồi trừ vế theo vế,ra phương trình bậc nhất,thế lại 1 trong 1 phương trình,tìm được x,ythỏa mãn là 1 ( 1, 2) C(5, 4)

2

x

A y

 



 

Tham số B(a,3a-3),tích vô hướngAB CB   0 B(1,0)=>D(3,6) hoặc B(3,3)=>D(1,3)

Kết luận :A(-1,2), B(1,0), C(5,-4),D(3,6) hoặc A(-1,2),B(3,3),D(1,3)

Bình luận :Việc chọn hướng đi tìm độ dài AH,AI khá hợp lí trong bài toán trên,nếu có 2 điểm đã

biết,không khai thác được vuông thì ta nên khai thác về cạnh “chứa 2 điểm đã biết” rồi giải hệ phương trình.Sau đây là ví dụ cụ thể hơn cho câu nói trên

Ví dụ 8:( thi thử internet 2015)Cho tam giác ABC vuông tại A có AB<AC,trung tuyến AM có phương trình :x-2y-4=0.Đường tròn có tâm thuộc AC đi qua 2 điểm A,M cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC tại H(

5

4,

2),H không thuộc AC.biết

25 4

ABC

S 

.Tìm 3 đỉnh tam giác ABC

Phân tích:

Gọi H’=BH giao AM.Nhìn hình vẽ ta cảm giác H’ là trung điểm BH,nghĩa là B,H đối xứng nhau qua AM.Và đây cũng là ý tưởng của đề bài,ta cần chứng minh,làm sang tỏ điều trên là bài toán được giải thoát.Việc đó tương đương với chứng minh AM vuông BH, Tới đây tìm được B ….mọi chuyện đã nhẹ nhàng hơn

Lời giải:

Gọi H’=AM giao BH.đây là một cách chứng minh: Hạ đường cao AK của tam giác ABC,cắt đường tròn có bán kính thuộc AC tại N,tam giác BHC vuông tại H,có HM là trung tuyến=>tam giác BMH cân tại

M=>MHB=MBH(1).,4 điểm A,N,M,H thuộc 1 đg tròn=>NAM=BHM(2),từ (1) và

(2)=>MBN=NAM=>BKN=AH'B=90 độ

Từ đó=>H,B đối xứng nhau qua AM

BH:2 21 0 '(5, )1 (6, 3)

x y  H B 

2

' 5

5 5

(2 4, ) 4

5

1 16

4

5 13 5

1: a ( , )

AMB ABC

AMB

a

a a

a

 



    



 









 

Tìm được C(7,4).Tính tích vô hướng AB AC  0 A(4, 0)(Loại (9, )5

2

A do A,C khác phía với BH)

TH2:Tương tự tìm được A(6,1),C(1,1)

Kết luận:A(4,0), B(6,-3/2), C(7,1) Hoặc A(6,1),B(6,-3/2),C(1,1)

Ví dụ 9 (Mathlinks 05-2015) : Cho hình chữ nhật ABCD,diện tích bằng 16,điểm A(-3,1)

1 3 ( , )

2 2

là điểm thuộc đường chéo BD sao cho DM=3BM.Đường thẳng CD đi qua N(1,1).Tìm tọa độ các đỉnh B,D biết xD>-2

Phân tích: Gặp bài toán này,chúng ta hãy bỏ chút ít thời gian để phân tích:

Một bài toán liên quan tới diện tích,chúng ta có nên lao ngay vào nghiên cứu luôn cái đó không?hay

đó chỉ là mảng sau để giải quyết gì đó……chúng ta hãy nghiên cứu các giả thiết khác đã!

Chúng ta hay gặp các bài toán biết các điểm nằm lung tung trên cạnh của hình vuông,chữ nhật,giải nó bằng cách gọi vtpt rồi khoảng cách bằng nhau,sẽ tìm được vtpt ,từ đó viết được phương trình.Liệu bài này có gì đặc biệt?Thứ nhất là biết A cố định-nó thuộc cả AB,AD ,N thuộc CD,mà AB//CD,ta gọi vtpt chung của 2 đường thẳng trên,thì sẽ viết được phương trình AB,CD theo tham số, giải quyết việc viết phương trình đường thẳng bằng cách tìm khoảng cách từ 1 điểm đã biết đến 2 đường thẳng trên theo

tỉ lệ nào đó!Ở đây chỉ có M,vậy d(M,AB) so với d(M,CD) như thế nào?Rất đơn giản,để cho dễ ta hạ vuông góc với AB,CD,cắt AB,CD lần lượt tại H,K,thấy MHBvà MKD đồng dạng nên

1

3 ( , ) 3 ( , ) 3

MH MB

MK MH d M CD d M AB

,vậy ta đã đạt được mục đích rồi.Viết được phương trình AB,CD,từ đó mà ta viết được phương trình AD=>D=>B.Có lẽ chi tiết S chỉ để kiểm tra kết quả Bài toán kết thúc!

Lời giải:

Gọi d là đường thẳng qua M vuông góc với AB,CD,cắt Ab,CD lần lượt tại H,K

Do MHB và MKD đồng dạng (G.G) nên ta có tỉ lệ:

1

3 ( , ) 3 ( , ) 3

MH MB

MK MH d M CD d M AB

Gọi vtpt AB=(a,b) (a2b2 0)