hệ phương trình on thi DH2016

Hệ Phương Trình Ôn Thi ĐẠI HỌC 2015 Tác giả : Nguyễn Thế Duy http://dethithu.net - Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!. x    y

Trang 1

Hệ Phương Trình

Ôn Thi ĐẠI HỌC

2015

Tác giả : Nguyễn Thế Duy http://dethithu.net - Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!

Like fanpage của chúng tôi để cập nhật nhiều đề thi thử hơn qua Facebook : http://fb.com/dethithu.net

DeThiThu.Net

Trang 2

Lời nói đầu : Cũng như tiêu đề của bài viết , thì ở bài viết này gồm 42 hệ phương trình vô tỷ ôn thi

ĐẠI HỌC năm 2015 gồm :

1) Phần I Các bài toán sử dụng phương pháp : nhân tử , liên hợp , ẩn phụ , hàm số.

2) Phần II Các bài toán sử dụng phương pháp đánh giá

3) Phần III Phân tích hướng đi hai bài toán Khối A và Khối B năm 2014

Toàn bộ các bài toán dưới đây là do sưu tầm trên các mạng xã hội và lời giải là do tác giả của bài viết

Nguyễn Thế Duy trình bày Hi vọng và mong muốn các bạn có được nhiều phương pháp giải hệ cũng

như những phương án đối mặt khi gặp nó để biến bài toán hệ phương trình trở nên đơn giản hóa và

giải quyết nó một cách dễ dàng

Phần I Các bài toán sử dụng phương pháp : nhân tử , liên hợp , ẩn phụ , hàm số

2 2

2 1

, 1

 Lời giải Điều kiện : x y 0 ; xy  0

Phương trình đầu của hệ phương trình được viết lại thành :

1 2 2 1 0

0 1

 Lời giải Điều kiện : x  ; y   1

Phương trình một tương đương với :

 3  

x  x  x   y  y  x   x   y  y    y x

Thế vào phương trình hai ta được :

Tuyển tập 42 Hệ phương trình ÔN THI ĐẠI HỌC 2015

Tác giả : Nguyễn Thế Duy

http://dethithu.net - Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!

DeThiThu.Net

Trang 3

Từ đó suy ra     x y ,  2, 3 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình 

DeThiThu.Net

Trang 4

Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm kể trên 

Bài toán 5 Giải hệ phương trình :

 Lời giải Điều kiện : xy   1 ; y   2

Cộng chéo theo vế của hệ phương trình ta được :

Vậy hệ phương trình ban đầu có nghiệm kể trên 

 Lời giải Điều kiện : y  1 ; y  2 x

Bình phương phương trình hai ta được :       1

2 1 2 1 1 2

4

Phương trình một được viết lại thành : 2 y2  3 y   1 4 x y   1   3  y  1  y  1  y  2 x 

Từ hai điều trên suy ra :

 Lời giải Điều kiện : x  y ; 2 y  1

DeThiThu.Net

Trang 5

Đặt

2 2 2

  là nghiệm duy nhất của hệ phương trình 

Bài toán 8 Giải hệ phương trình :            

y

x y

 Với a b   2 0 x y  y  2 0phương trình vô nghiệm vì x y  y  0

Kết hợp với điều ta được nghiệm của hệ phương trình là         

 

9 7 , 3,1 ; ,

 Lời giải Điều kiện : x y, 1

Phương trình một được viết lại thành : x y    4 x2  y2  2 xy     x y 4 2 xy   1

DeThiThu.Net

Trang 6

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi

là nghiệm duy nhất của hệ phương trình 

Bài toán 10 Giải hệ phương trình :          

y

a b a b là nghiệm duy nhất của hệ phương trình ban đầu 

Bài toán 11 Giải hệ phương trình :  

TH1 Với y 1thế vào phương trình    ta có : x 1 hoặc x 2

TH2 Với x  y 1thế vào phương trình    ta có :

 y1  y 1 1  2  y 1 3  y 12 2 y  1 0 y   1 0 y 1

 y1  y 1 1  1  y1 3  y12 2 y  1 1 0 vô nghiệm vì VT  0

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm       x y ,  1,1 ; 2,1 

DeThiThu.Net

Trang 7

Kết hợp với điều kiện, nghiệm của hệ phương trình ban đầu thỏa mãn điều trên 

Bài toán 13 Giải hệ phương trình :           

Dựa vào điều kiện kết luận hệ phương trình ban đầu có nghiệm       x y ,  1, 3 ; 4, 3  

DeThiThu.Net

Trang 8

x    y là nghiệm duy nhất của hệ phương trình 

DeThiThu.Net

Trang 9

Kết hợp với phương trình hai ta được :

Vậy    x y ,  2, 0 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình ban đầu 

DeThiThu.Net

Trang 10

2 2

Do đó suy ra được : 1   y t    t2      t y 1 t 1   0hay nói cách khác từ phương trình một

ta có : y    t y x  1thế xuống phương trình hai thì :

Do vậy hệ phương trình có nghiệm kể trên 

Kết hợp với điều kiện , hệ phương trình có nghiệm duy nhất     x y ,  3, 2 

 Lời giải Điều kiện : x  y 1

DeThiThu.Net

Trang 11

Giải hai hệ trên bằng phương pháp ẩn phụ cho ta nghiệm của hệ ban đầu là :       x y ,  2, 2 ; 2,1 

Sở dĩ phương trình cuối dùng phương pháp đặt ẩn phụ ta sẽ giải quyết dễ dàng Do đó hệ phương

trình ban đầu có nghiệm duy nhất     x y ,  2, 4 

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm kể trên 

DeThiThu.Net

Trang 12

Phương trình trên dễ dàng chứng minh vô nghiệm bằng phương pháp bình phương hai lần do đó hệ

phương trình đã cho có hai nghiệm kể trên 

Bài toán 25 Giải hệ phương trình :      

Vậy nên hệ phương trình có nghiệm duy nhất  x y,   6 1, 6 1   

DeThiThu.Net

Trang 13

Bài toán 26 Giải hệ phương trình :  2  2   

2 2

1 1 1

, 3

 Lời giải Điều kiện : x y, 

Trước hếtx  1nhận xét không là nghiệm của hệ phương trình , do đó ta có :

 Lời giải Điều kiện : x2  4 y2  3 ; x   1 0

Phương trình hai của hệ phương trình được viết lại thành :

  là hàm số đồng biến trên tập xác định của nó

Với y  x  1thế vào phương trình một chúng ta có :

DeThiThu.Net

Trang 14

Do đó hệ phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất     x y ,  0,1 

là nghiệm duy nhất của hệ phương trình 

 Lời giải Điều kiện : x  1 ; y  0

Phương trình một chia cả hai vế cho y x  1 ta được : 1 2  

DeThiThu.Net

Trang 15

Từ đó dễ dàng tìm được nghiệm của hệ phương trình ban đầu 

2 2

 Lời giải Điều kiện : x  0 ; 4   y 0

Ta sẽ đi xử lý phương trình hai như sau :

Phần II Các bài toán sử dụng phương pháp đánh giá

 Lời giải Điều kiện : x y , 

Viết hệ phương trình đã cho lại thành :  

DeThiThu.Net

Trang 16

Thử lại , suy ra x  y 1 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình 

Bài toán 32 Giải hệ phương trình : 2  2    

3 2

x  y  đây cũng là nghiệm duy nhất của hệ ban đầu 

Do đó hệ phương trình đã cho có hai nghiệm kể trên 

Bài toán 34 Giải hệ phương trình : 2 2 2 2 4 22  , 

DeThiThu.Net

Trang 17

Kết hợp với điều kiện suy ra hệ phương trình có nghiệm duy nhất kể trên 

2 2

3

, 2

1

1 2 1

x y x

 Lời giải Điều kiện : 2   x 0 ; y  0

Nhận xét y  0 không là nghiệm của hệ phương trình nên chúng ta có :

Dấu = xảy ra khi x 1 suy ra x  y 1là nghiệm duy nhất của hệ phương trình 

2 2

 Lời giải Điều kiện : x  1 ; 5 x y    5 0 ; 2 y2  1 ; 1   x y

Đặt t  x 1 0, trước hết ta có đánh giá sau :

2 2

Ta viết phương trình hai lại thành : 5 t2   y y t  2  6, theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :

DeThiThu.Net

Trang 18

 Lời giải Điều kiện : x y ,  0

Sử dụng các đánh giá cho phương trình một thì :

Với điều kiện để bất đẳng thức xảy ra thì x  y 2 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình 

Bài toán 38 Giải hệ phương trình :  2  2 2  

Đối chiếu với tất cả điều kiện để dấu = xảy ra suy ra x   y 1là nghiệm duy nhất của hệ ban đầu 

Bài toán 39 Giải hệ phương trình :      

 Lời giải Điều kiện : x y ,  0

Hệ phương trình đã cho tương đương với :

DeThiThu.Net

Trang 19

 Lời giải Điều kiện : x  0 ; y    3   0

Phương trình một của hệ đã cho tương đương với :

Kết hợp hai điều trên suy ra     x y ,  4,1 là nghiệm duy nhất của hệ phương trình 

Phần III Phân tích ý tưởng hai bài toán khối A và B năm 2014

 Lời giải Nói chung trên mạng xuất hiện khá nhiều lời giải cho bài này nhưng bài viết này là của

riêng tôi nên tôi sẽ đem những gì mà mình đã phải đối mặt với câu hệ này trong phòng thi Và hi vọng

nó có ích cho các bạn khi đọc bài biết này Trước hết , khi nhìn câu hệ này tôi phải mất tới 1,2 phút

định hướng cần phải làm gì Các bạn cũng vậy , hãy dành vài phút để nháp nó Việc quan trọng đầu

tiên là tìm điều kiện của bài toán : x2 12  2 3  x 2 3 ; y 1một công việc nhẹ nhàng

cho ta 0,25 điểm đầu tiên Tiếp theo ta nên làm gì, đó là quan sát từng phương trình và rõ ràng ở

phương trình hai không hề có mối liên hệ gì nên tôi tìm hướng ở phương trình một Đây là một

phương trình đối xứng là vì ở con số 12 đồng thời cũng như hai biến x y, đều có sự xuất hiện x x, 2và

,

y y nên nếu đặt z  ythì phương trình một trở thành : x 12  z2  z 12  x2  12

DeThiThu.Net

Trang 20

Đến đây thì tôi nghĩ ngay đến ý tưởng của bất đẳng thức AM – GM mà không quan tâm điều gì khác

đặc biệt là điều kiện để dùng bất đẳng thức đó :

Đến đây lại khai thác một trong những kỹ năng giải hệ phương trình đó là nhẩm nghiệm Rõ ràng

điều tôi nghĩ đến luôn là căn phải là một số chính phương đó cũng là kinh nghiệm đi thi Ta cần xử lý

sao cho 2

10 x  là một số chính phương Vậy thì có thể xảy ra hai trường hợp sau : x2  1 ; x2  9

và thử lại giá trị của biến sẽ thấy x  3thỏa mãn nên tôi sẽ nghĩ đến việc liên hợp như sau :

x  x   nhưng để suy ra nó vô nghiệm chí

ít tôi cần điều kiện x   3 0nhưng ở bước đầu tiên tôi làm chỉ có : x2 3  0nên bài làm của tôi

đến đây đã có vấn đề Vấn để ở chỗ điều kiện chặt của x tôi kiểm tra lại và dấu hỏi được đặt ra cho

tôi là : ‘’ Chưa có x  0thì làm sao mà có thể áp dụng bất đẳng thức AM – GM ‘’ và nếu chứng minh

được x  0thì tôi đã gần như hoàn thành bài toán Thật vậy :

 Lời giải Trước hết , ta nên tìm điều kiện của bài toán đó là : x   y 0 ; x  2 ; 4 y x  5 y  3

Tiếp tục ta sẽ đi phân tích bài toán Quan sát từng phương trình một và nhận thấy sự đặc biệt ở

phương trình hai Nó không quá rắc rối như ở phương trình hai nên tôi hi vọng sẽ tìm ra được điều gì

đó Để ý ở phương trình một xuất hiện hai căn thức x y ; ynên ý tưởng của tôi sẽ là đưa

những cái phức tạp về đơn giản qua phép ẩn phụ phá căn thức Đặt a x y

chú ý ở đây là hạng tử x đứng một mình nên tôi sẽ đưa mối liên hệ giữa a b, về x thì thật tình cờ ta

có được : a2  b2  xdo đó phương trình một được viết lại thành :

 1  b a a2  2  b2   2  a2  1  b

Oh, một phương trình hai ẩna b, có sự đối xứng rõ ràng nên ta sẽ tiếp tục đi tìm nhân tử hay chính là

khám phá mối quan hệ giữa a b , Để làm công việc này , tôi nghĩ rằng kiểu gì nó cũng có dạng :

b ma n nên với mỗi a b do đó sẽ đi tìm được m n, Đầu tiên đơn giản chọn a 1hay b 1

thì thật tình cờ ở đây tôi lại được điều luôn đúng Ak ra phương trình kia sẽ được viết dưới dạng :

 a  1     b  1 f a b ,  0nhưng tôi chưa biết f a b   , như thế nào cả Và cũng dựa phương trình đó

DeThiThu.Net

Trang 21

khéo léo nhóm lại được như sau :  a  1   b  1 a b   2   0 Vì a b,  0nên a b  2 0sẽ vô

nghiệm và chỉ còn hai trường hợp sau :

TH1 Ta nên đi từ cái đơn giản trước đó là với b   1 y 1thế xuống phương trình hai Dễ dàng

thấy     x y ,  3,1 là nghiệm của hệ phương trình

TH2 Với a       1 x y 1 x y 1thế xuống phương trình hai ta có : 2y2 3y  2 1y

Đến đây mọi chuyện đã phức tạp hơn rất nhiều vì không có nghiệm đẹp Thực sự đó là một điểm

nhấn của bài toán này Bởi tôi đi thi đã không thể hoàn thành được nó , đáng buồn Nếu được làm lại

tôi sẽ làm như sau : trước hết việc có máy tính cầm tay tôi sẽ dùng chức năng SHIFT SOLVE thì ra

nghiệm khá xấu Thật thú vị khi tôi gặp câu chuyện như thế này Đó là ra phòng thi và về nơi trọ tôi

có hỏi người xem xử lý đoạn này thế nào Và tôi đã bất ngờ khi chứng kiến câu trả lời đó là khi bấm

máy tính ra số quen thuộc : 1  

5 1 0, 61803

2

y    và hàm số f y    2 y2  3 y   2 1  y

đồng biến trên 0;1nên nó có nghiệm duy nhất Điều này thì chẳng ai bảo sai nhưng tôi xếp nó vào

dạng may mắn Nhưng chúng ta cần tìm một cách tự nhiên cho nó Đó là : hệ số trước các hạng tử có

điều đặc biệt 2,3,2,1 mặt khác 2 + 1 = 3 nên nếu tách 3y  y 2ythì ta sẽ nhóm được như sau :

Bài toán đến đây coi như đã kết thúc 

Lời kết : Tài liệu trên đó là tôi viết tặng một người con gái tên Nguyễn Thị Thu Hiền , người con gái có

ý nghĩa quan trọng với cuộc đời của tôi cũng thay cho lời chúc để cô ấy có thể hoàn thành ước mơ

của tôi cũng như của cô ấy đó là thi đỗ ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NĂM 2015 Bên cạnh đó hi vọng các bạn có

một tài liệu vừa đủ để trang bị cho mình nhiều kiến thức Nói chung nó không thể tránh khỏi sai xót

nên nếu sai ở đâu hi vọng bạn đọc thông cảm và cố gắng khắc phục giúp tác giả Chào thân ái !!!

Thị Trấn Cồn – Hải Hậu – Nam Định , 08/09/2014

Tác giả : Nguyễn Thế Duy http://dethithu.net - Website Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi.Cập nhật liên tục.Truy cập tải ngay!

Quốc Gia, tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia các môn Toán, Lý, Hóa, Anh, Văn

Sinh , Sử, Địa được DeThiThu.Net cập nhật hằng ngày phục vụ sĩ tử!

Like Fanpage Đề Thi Thử THPT Quốc Gia - Tài Liệu Ôn Thi:

hơn

Tham gia Group: Ôn Thi ĐH Toán - Anh để cùng nhau học tập, ôn thi:

http://facebook.com/groups/onthidhtoananhvan

DeThiThu.Net

Định dạng
Số trang	21
Dung lượng	1,1 MB