Sử dụng tính đơn điệu, GTLN, GTNN của hàm số để giải, biện luận phương trình, bất phương trình

Với tớnh năng ưu việt của việc ứng dụng đạo hàm vào giải toỏn,khụng những chỉ đơn thuần giải cỏc bài toỏn liờn quan đến khảo sỏt hàm số như biệnluận số nghiệm của phương trỡnh hay tỡm gi

Sử dụng tính đơn điệu - gtln - gtnn của hàm số ĐỂ

đ khảo sát nghiệm của phơng trình - bất phơng trình

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I Lớ do chọn đề tài

Đối với học sinh THPT thỡ khỏi niệm phương trỡnh, bất phương trỡnh thỡ lờnlớp 10 mới được định nghĩa, nhưng trờn thực tế thỡ phương trỡnh, bất phương trỡnh đóhọc và giải từ rất sớm bằng cỏc bài toỏn tỡm số chưa biết thỏa món cỏc điều kiện chotrước Do đú khi học và giải cỏc phương trỡnh, bất phương trỡnh thỡ học sinh đó quỏquen thuộc, vấn đề là giải như thế nào cho hợp lụgic Những phương trỡnh, bấtphương trỡnh học sinh thường gặp như: Lớp 10 cú phương trỡnh, bất phương trỡnh quy

về bậc hai, chứa ẩn dưới dấu căn Lớp 11 cú phương trỡnh lượng giỏc Lớp 12 cúphương trỡnh, bất phương trỡnh mũ và lụgarit Đặc biệt ở lớp 12 cú phần ứng dụngđạo hàm gồm cỏc dạng toỏn liờn quan đến khảo sỏt hàm số, tỡm giỏ trị lớn nhất, giỏ trịnhỏ nhất của hàm số Với tớnh năng ưu việt của việc ứng dụng đạo hàm vào giải toỏn,khụng những chỉ đơn thuần giải cỏc bài toỏn liờn quan đến khảo sỏt hàm số như biệnluận số nghiệm của phương trỡnh hay tỡm giỏ trị lớn nhất, giỏ trị nhỏ nhất của hàm số

mà cũn cú thể giải quyết được rất nhiều dạng toỏn như khảo sỏt nghiệm phương trỡnh

và bất phương trỡnh vụ tỉ, đặc biệt là cỏc dạng phương trỡnh, bất phương trỡnh chứatham số Tuy nhiờn trong quỏ trỡnh giảng dạy bộ mụn toỏn THPT những năm đầu mớivào nghề và cụng tỏc ở miền nỳi thỡ tụi nhận ra rằng, toỏn học núi riờng và bộ mụnkhoa học tự nhiờn núi chung thật xa lạ, thậm chớ là nỗi “khiếp sợ” đối với đụng đảohọc sinh Điều gỡ đó khiến học sinh suy nghĩ như vậy? Sự may mắn của bản thõn làđược phõn cụng giảng dạy ở tất cả cỏc khối lớp, đặc biệt là cỏc lớp cuối cấp, chuẩn bịthi tốt nghiệp THPT và Cao đẳng – Đại học Tụi nhận thấy, đa số học sinh đang thiếu

tư duy độc lập, sỏng tạo về sự vận dụng kiến thức, nhất là khả năng “quy lạ về quen”hay mở rộng những kiến thức đó cú vào từng dạng toỏn cụ thể Trong cỏc kỳ thi,ngoài cỏc cõu hỏi liờn quan trực tiếp đến hàm số ta thường thấy cú những cõu hỏi màhọc sinh thường phải vận dụng tư duy hàm số như là một cụng cụ đắc lực để giảitoỏn như: Giải phương trỡnh, bất phương trỡnh ,tỡm cực trị , Cỏc cõu hỏi này cũngthường gõy khú khăn cho cả thầy và trũ trong cỏc giờ lờn lớp Trong cỏc giờ giảngcỏc em thường bị động trong nghe giảng và rất lỳng tỳng vận dụng vào việc giải toỏn.Nguyờn nhõn là do cỏc em chưa hiểu được bản chất của vấn đề, chưa cú kỹ năng vàkinh nghiệm trong việc vận dụng hàm số vào giải toỏn, cỏc em luụn đặt ra cõuhỏi:“Tại sao nghĩ và làm được như vậy?’’ Để trả lời được cõu hỏi đú trong cỏc giờdạy, việc bồi dưỡng năng lực tư duy hàm số cho học sinh thụng qua cỏc bài toỏn làmột điều rất cần thiết Muốn làm tốt được điều đú người thầy khụng chỉ cú phươngphỏp truyền thụ tốt mà cũn phải cú kiến thức vừa chuyờn ,vừa sõu, dẫn dắt học sinhtỡm hiểu một cỏch lụgic bản chất của toỏn học Từ đú giỳp cỏc em cú sự say mờ trongviệc học mụn Toỏn - mụn học được coi là ụng vua của cỏc mụn tự nhiờn Để toỏn họctrở nờn gần gũi và là sự yờu mến, hứng thỳ học hỏi, niềm say mờ đối với cỏc em họcsinh THPT ta phải cần giải quyết cỏc vấn đề sau:

Một là: Việc giải phương trình, bất phương trình bằng những phép biến đổitương đương thông thường thì học sinh được giải quyết khá nhiều ở lớp 10 và lớp 11,nhưng giải bằng ứng dụng tính đơn điệu và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thì đếnlớp 12 mới được học nên khi làm bài cần phải kết hợp hai việc trên với nhau thì họcsinh lại lúng túng trong lời giải, dẫn đến sai kết quả.

Hai là: Khi học sinh làm bài tập về phương trình, bất phương trình hoặc tìm giátrị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức có điều kiện mà trong lời giải có bước đặt

ẩn phụ thì tôi thấy nhiều học sinh mắc phải một trong những sai lầm: hoặc là đặt ẩnphụ mà không nghĩ đến tìm điều kiện của ẩn phụ hoặc tìm sai điều kiện của nó, hoặc

đã tìm chính xác điều của ẩn phụ nhưng khi lập luận trên phương trình, bất phươngtrình theo ẩn phụ thì lại không xét trên điều kiện ràng buộc của nó nên dẫn đến kếtluận không chính xác

Ba là: Từ khi thay đổi sách giáo khoa, tinh giảm chương trình thì các dạng toánphải sử dụng định lí đảo của tam thức bậc hai không thể vận dụng vì định lí này đã

bỏ, do đó học sinh trong khi đọc sách tham khảo xuất bản trước đó có rất nhiều bàitoán sử dụng định lý đó nên học sinh đọc sách rất hoang mang và không biết phải giảiquyết như thế nào

Với nguyện vọng giúp học sinh thay đổi tư duy về môn toán tôi tập trung khaithác cách giải phương trình, bất phương trình bằng việc ứng dụng tính đơn điệu vàGTLN – GTNN của hàm số Với việc sử dụng phương pháp này, những bài toán vềphương trình, bất phương trình sẽ được giải quyết một cách rất tự nhiên, thuần túy,

ngắn gọn và đơn giản Đó là lí do để tôi chọn đề tài : “ Ứng dụng tính đơn điệu và

Giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất của hàm số để khảo sát nghiệm phương bất phương trình”.

trình-II Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm

Xuất phát từ mối liên hệ giữa số nghiệm của phương trình một ẩn với số giaođiểm của hai hai đồ thị hai hàm số ở hai vế của phương trình đó để giải quyết các bàitoán về phương trình, bất phương trình Đặc biệt là phương trình, bất phương trìnhchứa tham số

Trong khi giải quyết các bài toán về phương trình, bất phương trình hoặc bàitoán tìm GTLN , GTNN của một biểu thức có điều kiện mà phải thực hiện việc đặt ẩnphụ thì việc tìm điều kiện của ẩn phụ là rất cần thiết, việc tìm điều kiện của ẩn phụthực ra là tìm tập giá trị của ẩn phụ trên tập xác định của bài toán đã cho bằng hàm

số Sau khi tìm được điều kiện của ẩn phụ thì những yêu cầu của đề bài đối với bàitoán theo ẩn chính phải được quy về những yêu cầu tương ứng cho bài toán theo ẩnphụ trên điều kiện của nó Đó là điều quan trọng để chọn đặt hàm số tương ứng trêntập giá trị của ẩn phụ

Các vấn đề tôi trình bày trong bài viết của mình có thể hỗ trợ cho các em họcsinh lớp 12 có cách nhìn toàn diện hơn về cách tiếp cận bằng hàm số để giải bài toánphương trình, bất phương trình, đặc biệt phương trình, bất phương trình có tham số

III Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói trêntôi đã phải nghiên cứu trên các dạng toán về phương trình, bất phương trình và các

bài toán tìm GTLN, GTNN đặc biệt là các bài toán về phương trình, bất phương trìnhchứa tham số.

- Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu của đề tài là toàn bộ chương trình đại

số và giải tích thuộc môn toán Trung học phổ thông đặc biệt là các phần: phươngtrình, bất phương trình, phương trình, bất phương trình vô tỉ, phương trình lượnggiác, phương trình, bất phương trình mũ và logarit

IV Kế hoạch nghiên cứu

Trong quá trình dạy học với những trăn trở như đã trình bày trong phần cơ sởthực tiến để đưa ra lý do chọn đề tài tôi đã cho các em học sinh THPT, chủ yếu là họcsinh cuối cấp chuẩn bị bước vào các kì thi làm các bài toán về phương trình, bấtphương trình Khi đó học sinh có thể làm được các bài toán mà sau khi đặt ẩn phụquy về phương trình, bất phương trình bậc hai có thể tính toán đơn thuần thông quabiệt thức đenta hoặc sau khi biến đổi cô lập tham số ta được một vế là hàm số bậc haiđối với ẩn phụ, nhưng nhiều em vẫn làm không chính xác do không để ý tìm điềukiện của ẩn phụ hoặc có tìm điều kiện của ẩn phụ nhưng tìm không chính xác

Với các bài toán có tham số mà sau khi đặt ẩn phụ lại quy về phương trình, bấtphương trình có chứa hàm số đa thứ bậc ba, bạc bốn hoặc hàm số phân thức thì họcsinh không thể giải được vì các em chưa biết cách sử dụng các tính chất của hàm sốhoặc có sử dụng nhưng còn máy móc, thiếu chính xác

Các vướng mắc nói trên sẽ được giải quyết toàn diện khi học sinh đã học về ứngdụng của đạo hàm để khảo sát hàm số Do đó từ đầu năm học 2011 – 2012 tôi đãnghiên cứu đề tài nói trên thông qua một số tiết tự chọn ôn thi và từ đó xây dựng,hoàn thiện bài viết của mình

V Phương pháp nghiên cứu

Trình bày cho học sinh những kiến thức cơ bản về lí thuyết tính đơn điệu, GTLN – GTNN của hàm số Thông qua những ví dụ cụ thể với cách giải đơn giản, tựnhiên nhằm làm cho học sinh thấy được những thế mạnh của việc sử dụng phương pháp hàm số đồng thời có những lời nhận xét trước và sau các bài giải giúp học sinh trả lời thỏa đáng câu hỏi: “Tại sao nghĩ và làm được như vậy?” Phương pháp được

sử dụng nhiều ở đây là: Phân tích – Dẫn giải – Tổng hợp

Vì những hạn chế của học sinh như đã trình bày trong phần lý do chọn đề tài và

phần khảo sát thực tiễn nên trong quá trình dạy lớp 12, bắt đầu là phần ứng dụng đạohàm để khảo sát hàm số, với các tiết học tự chọn ôn thi, tôi đã lồng ghép các bài tậpphương trình, bất phương trình mà khi giải phải cần đến hàm số Nhưng vì thời giankhông có nhiều, hơn thế để học sinh chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên ứng với mỗiphần tôi cho học sinh một số bài tập để các em về nhà nghiên cứu tìm lời giải Trênlớp tôi cho một số học sinh lên bảng làm bài và một số học sinh khác nhận xét lờigiải Sau đó tôi phân tích lời giải cho cả lớp để các em tìm được lời giải tối ưu vànhấn mạnh một số điểm quan trọng trong mỗi bài, qua mỗi dạng

VI Bố cục của đề tài

Đề tài được chia làm hai phần chính:

 Cơ sở lí thuyết

 Ứng dụng: Trong phần ứng dụng có:

- Phương trình, bất phương trình không chứa tham số.

- Phương trình, bất phương trình chứa tham số

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I CƠ SỞ LÍ THUYẾT

1.Tính đơn điệu của hàm số

Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm trên D

Nếu f x '      0, x Dthì hàm số f x( ) đồng biến (tăng) trên D

Nếu f x '      0, x Dthì hàm số f x( ) nghịch biến (giảm) trên D

(Dấu “=” chỉ xảy ra tại một số điểm hữu hạn trên D)

Nếu hàm f x  tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình

f x k k  có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b).

Nếu hàm f x  tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì u, v (a,b) ta có

Nếu hàm f x  tăng và g x  là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì

phương trình f x  g x có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).

Định lý Bolzano – Cauchy :Nếu hàm số f x  liên tục trên a b;  và f a f b     0 thìtồn tại ít nhất một điểm x0 a b;  để f x  0 0

Nếu hàm số f x  đơn điệu và liên tục trên a b;  và f a f b     0 thì tồn tạiduy nhất một điểm x0 a b;  để f x  0 0

Nếu f x là hàm số đồng biến ( nghịch biến ) thì

y = n f x n N n ( ),  ,  2 đồng biến (nghịch biến ), 1

( )

f x với f x   0là nghịch

biến ( đồng biến), y f x nghịch biến (đồng biến )

Tổng các hàm đồng biến ( nghịch biến ) trên D là đồng biến (nghịch biến )trên D

Tích của hai hàm số dương đồng biến (nghịch biến ) trên D là một hàm đồngbiến (nghịch biến ) trên D

2 Giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số

Số m được gọi là GTNN của hàm số yf x( ) trên D nếu f x( ) m x D,   và0

x D

  sao cho f x( ) 0 m Kí hiệu mmin ( )D f x

Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số

* Từ việc lập BBT của hàm số f x( ) trên tập xác định của nó ta sẽ tìm thấy những

điểm trên đồ thị có tung độ lớn nhất ( nhỏ nhất ) các giá trị đó chính là GTLN( GTNN ) của hàm số

* Nếu hàm số f x( ) xác định và liên tục trên đoạn a b thì ta có thể tìm GTLN; 

và GTNN theo các bước sau :

- Tìm các điểm x x1, , ,2 xn trên đoạn a b mà tại đó;  f x bằng 0 hoặc'( ) f x'( )không xác định

- Tính các giá trị f a f b f x( ), ( ), ( ), ( ), , ( )1 f x2 f x n

- Số lớn nhất ( bé nhất ) trong các số trên là GTLN (GTNN ) của hàm số f x( )trênđoạn a b ; 

3 Các dạng toán liên quan

3.1 Giải phương trình, bất phương trình không chứa tham số

Từ các tính chất trên ta có 3 phương án biến đổi như sau:

Phương án 1: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = k, nhẩm một nghiệm rồi chứng

minh f(x) đồng biến (nghịch biến) để suy ra phương trình có nghiệm duy nhất.

Phương án 2: Biến đổi phương trình về dạng: f(x) = g(x), nhẩm một nghiệm rồi dùng

lập luận khẳng định f(x) đồng biến còn g(x) nghịch biến hoặc hàm hằng suy ra

phương trình có nghiệm duy nhất

Phương án 3: Biến đổi phương trình về dạng: f(u) = f(v) chứng minh f đơn điệu khi

f x g m với hàm số f x( )có GTLN - GTNN trên tập xác định D Khi đó:

- Phương trình f x( ) g m( )có nghiệm trên D khi và chỉ khi

- Bất phương trình f x( )g m( ) thỏa mãn  x D khi và chỉ khimax ( ) ( )

Ví dụ 2: Giải phương trình: x x 5  x  7 x 16 14 

Nhận xét:

Khi gặp dạng toán chứa căn, thường ta phải khử căn thức bằng cách bình phương, lập phương hoặc nhân lượng liên hợp Trong bài này chỉ có thể nhân liên hợp là hợp lí.

Giải

Cách 1: Dùng lượng liên hợp

Điều kiện: x 5 Khi đó

Mà f(9) 14  nên x 9 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Ví dụ 3: Giải phương trình sau: 3 2 x   1 3 2 x  2  3 2 x   3 0 (1)

2 )

2 2 (

2 )

1 2 (

2 )

x x

  nên hàm số đồng biến trên

Mà f  7  4nên x 7là nghiệm duy nhất của phương trình

Viết lại phương trình dưới dạng (2x 1)(2  (2x 1) 2    3  3 (2x  ( 3 )  x 2  3)

Nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm thoả mãn 3x(2x+1)<0 1 0

2 x

    Nhận thấy nếu 2x+1 = -3x x= -1

Viết lại phương trình dưới dạng:

Viết phương trình về dạng x2 15 x2  8 3x 2 0

Xét hàm số f x   x2 15 x2  8 3x trên 2 2

; 3

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x 1;x 2

Ví dụ 12: Giải phương trình: log 7 x log 2 3  x (1)

Giải

Điều kiện: x 0

Đặt t log 7x x 7t

    (2)Xét hàm số   2 1 7 .

t t

f t       

    Hàm số này là tổng của hai hàm đơn điệu giảm nên

là hàm đơn điệu giảm Hơn nữa f  2  1 nên (2)  f t f  2   t 2 x 49

Từ (*)   f 2x3  3x 1 f x 2  2  2x3  3x  1 x2   2 2x3  x2  3x 1 0 

1 2

3

0, \ 0; 1 3

t t

2 33

Vấn đề đặt ra là giải phương trình còn lại sẽ rất phức tạp

Vì vậy ta sẽ dùng tính đơn điệu của hàm số:

Giải

Ta có 3 6x5x3 5x 5 6x 5 3 6x 5 x3 (*)x

Xét hàm số f t  t3 t trên  Ta có f t   3t2   1 0,   t Suy ra f t   t3 t đồngbiến trên 

Vậy nghiệm của phương trình là x 1

Ví dụ 17: Cho các số dương c c c1 , , 2 3 thỏa mãn c1 c2 c3 Chứng minh rằng phươngtrình x c 1  x c 2  x c 3 có nghiệm duy nhất

Nhận xét: Một điều thú vị nữa khi thay c1  sin ;A c2  sin ;B c3  sinC trong đó A B C, ,

là các góc của tam giác nhọn Với giả thiết A B C  Ta có các bài toán sau:

BT: Cho tam giác ABC nhọn , với A B C  .

a/ Tìm GTNN của hàm số   sin sin 1

Ví dụ 19: Giải các bất phương trình sau: a/ 4 15 x 4 2  x  1 (*)

Nhân xét: Đối với bất phương trình này, ta chỉ có thể đặt ẩn phụ đưa về hệ phương

trình để giải, còn giải trực tiếp sẽ rất khó khăn.

Giải

a/ Giải bất phương trình 4 15 x 4 2  x  1

Cách 1: Đặt ẩn phụ

Điều kiện:  15  x 2

Với điều kiện trên ta đặt u 4 15 x 0;v 4 2  x  0;u v

Do v 0nên ta được 0  v 1 Suy ra 4 2  x   1 x 1

Kết hợp với điều kiện  15  x 2 ta được nghiệm của bất phương trình đã cho

Qua các ví dụ về giải phương trình và bất phương trình trên, đối với những ví

dụ có hai cách giải thì ta thấy cách giải dùng tính đơn điệu của hàm số hay và tự nhiên hơn rất nhiều so với cách giải đầu Cách giải đầu thường biến đổi phức tạp và

có bài thấy thiếu sự tự nhiên, không có “Manh mối” để tìm lời giải Đây là dạng toán khó đối với học sinh lần đầu tiếp xúc , các em rất khó khăn trong việc sử dụng các phương pháp khác để giải Vì vậy việc bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy, sáng tạo, vận dụng các kiến thức cơ bản về tính đơn điệu của hàm số là một việc làm rất cần thiết Từ đó hình thành ở học sinh Tư duy linh hoạt trong giải toán, để học sinh không bối rối trước các bài toán lạ.

Yêu cầu của đề bài là phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt x x x sao cho1, ,2 3

x  x x tức là đường thẳng y m phải cắt đồ thị hàm số y f x( )x3 3x2

tại ba điểm phân biệt có hoành độ x x x thỏa mãn 1, ,2 3 x1 1 x2 x3

Ta có '( ) 3 2 6 ; '( ) 0 3 2 6 0

2

x

x







Bảng biến thiên x   0 1 2 

f x  + 0 - - 0 +

0 

f x  -2

  -4

Từ bảng biến thiên suy ra điều kiện phải tìm là  4 m2 Ví dụ 2: Tìm m để phương trình x2 2(m 2)x5m 4 0 (1) có hai nghiệm thực phân biệt x x1 ; 2 thoả mãnx1    1 x2 Nhận xét : Do trong chương trình mới không có mặt định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai nên việc sử dụng đinh lý này học sinh phải chứng minh.Vì vậy ta áp dụng phương pháp hàm số là phù hợp Giải Biến đổi phương trình như sau  

2 2 4 4 4 4 2 5 2 5 x x x x m x m x            (Do 5 2 x  không là nghiệm của (1)) Xét hàm số 2 4 4 ( ) 2 5 x x f x x      Ta có   2 ' 2 7 2 10 28 ( ) 0 2 2 5 x x x f x x x             Bảng biến thiên:

x - -7 5

2  -1 2 +

f x  0 + + + 0

+ +

f x  0

9

-3

- -

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy m  3 là giá trị cần tìm

Nhận xét :

Ngoài cách giải trên ta có thể dùng định lý Viét để giải như sau

Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1 ,x 2

Mặt khác: f  0   1 0 Suy ra f x  0 nên hàm số đồng biến

Hơn nữa, lim   lim 2 2 2 1

Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1 < m < 1.

Nhận xét: Trong bài toán trên nếu không thực hiện việc xác định giới hạn hàm số,

rất có thể chúng ta ngộ nhận tập giá trị của hàm số là  và dẫn đến việc kết luận sai lầm rằng phương trình có nghiệm với mọi m Do đó việc tìm giới hạn trong bài toán khảo sát là rất cần thiết để tìm ra tập giá trị.

Ví dụ 4: Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt : 2 x  1 x m

Gi¶i:

Ví dụ 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x  3 m x2  1

Giải: Phương trình được viết lại dưới dạng: 2 3

1

x

m x

11

11

Từ bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi 0 m 2.

Ví dụ 7 Tìm tham số m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt :

2 0

Từ bảng biến thiên suy ra m0 phương trình (*) có đúng một nghiệm x 2.

Vậy phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thực phân biệt m0

Nhận xét:

Sau khi tìm được điều kiện x 2 việc khảo sát hàm số f x( ) ở trên là rất dễ dàng chủ yếu là dùng đạo hàm tuy nhiên dùng định nghĩa cũng suy ra tính đồng biến của hàm số f x( ).

Ví dụ 9: Chứng minh rằng phương trình sau có nhiệm duy nhất

 

2

1 1

Cách 2: Biến đổi phương trình như sau x5   x  1 2 , suy ra x 0

Với 0    x 1 x5  1,  x  1 2  1 nên phương trình vô nghiệm

32

12



1 2

