1. Trang chủ
  2. » Trung học cơ sở - phổ thông

SKKN Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất

24 272 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 24
Dung lượng 1,41 MB

Các công cụ chuyển đổi và chỉnh sửa cho tài liệu này

Nội dung

SKKN Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suấtSKKN Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suấtSKKN Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suấtSKKN Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suấtSKKN Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suấtSKKN Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suấtSKKN Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suấtSKKN Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suấtSKKN Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suấtSKKN Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suấtSKKN Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suấtSKKN Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suấtSKKN Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suấtSKKN Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suấtSKKN Một số kinh nghiệm giúp học sinh giải các bài toán xác suất

Trang 1

Thứ nhất, các bài toán xác suất nghiên cứu quy luật của các hiện tượngngẫu nhiên trong thực tiễn nhưng các em chỉ thấy một hoặc một số khả năng xảy

ra mà không thấy được hết các khả năng xảy ra

Thứ hai, kiến thức của chương này có quan hệ chặt chẽ với nhau, các quitắc lại na ná giống nhau khó phân biệt mà áp dụng

Do đó, các em rất lúng túng khi giải quyết các bài toán của chương, nhất làcác bài toán xác suất, có khi các em đã làm xong mà không dám chắc mình đãlàm đúng Chính vì thế, tôi nghĩ rằng cần phải giúp học sinh có phương pháp, kĩnăng giải quyết các bài toán xác suất

b Cơ sở lí luận:

- Các khái niệm phép thử, không gian mẫu, biến cố, xác suất của biến cố,biến cố đối, biến cố xung khắc, biến cố độc lập… là những khái niệm hoàn toànmới trong chương trình phổ thông Do đó, học sinh cảm thấy chúng khó hiểu vàngại tiếp cận các kiến thức này Chính vì vậy, giáo viên cần giúp học sinh hiểu

và nắm rõ các khái niệm này thông qua các ví dụ thực tiễn từ đơn giản đến phứctạp

- Khi học sinh đã nắm rõ các khái niệm này thì việc giải bài toán đơn giảnhơn và không bị lúng túng Với các bài toán đếm thường ứng dụng thực tế nêncác em sẽ càng thấy ý nghĩa của toán tổ hơp xác suất, từ đó các em thêm yêuthích học toán

Trang 2

+ Cách suy luận không hoàn toàn giống suy luận toán học.

Xuất phát từ những ý nghĩ trên tôi thấy cần phải có biện pháp giúp họcsinh có kĩ năng giải các bài toán xác suất

3 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Giúp học sinh nắm vững các khái niệm và các quy tắc cơ bản của xác suấtđồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán vàonhững tình huống cụ thể

4 ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU

- Đối tượng nghiên cứu: Các khái niệm và các quy tắc cơ bản của xácsuất, các bài toán xác suất

- Đối tượng khảo sát thực nghiệm: Học sinh lớp 11A6 Trước khi thựchiện đề tài tôi cho học sinh làm một bài kiểm tra, kết quả như sau:

- Kế hoạch nghiên cứu: Từ tháng 10 năm 2012 đến tháng 12 năm 2014

Áp dụng vào lớp 11A6 trong tháng 11 năm 2014

5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Kết hợp linh hoạt các phương pháp dạy học

- Phỏng vấn, gợi mở

- Tổng kết kinh nghiệm, tìm ra những khó khăn, thuận lợi khi giải quyếtcác bài toán ở những lớp trước

Trang 3

PHẦN II: NỘI DUNG

- Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của

nó, mặc dù đã biết tập hợp các kết quả có thể có của phép thử đó

Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫucủa phép thử và kí hiệu là 

Biến cố là một tập con của không gian mẫu

Biến cố thường được kí hiệu bằng chữ in hoa A, B, C,… và cho dưới dạng mệnh

đề xác định tập hợp diễn đạt bằng lời hoặc dạng mệnh đề xác định tập con

Trong một phép thử luôn có hai biến cố đặc biệt:

- Tập được gọi là biến cố không thể ( gọi tắt là biến cố không)

- Tập  được gọi là biến cố chắc chắn.

Phép toán trên biến cố

Trước hết ta giả thiết các biến cố đang xét cùng liên quan đến phép thử và cáckết quả của phép thử là đồng khả năng

+ Tập \ A được gọi là biến cố đối của biến cố , kí hiệu là Và xảy ra khi

và chỉ khi không xảy ra

+ Tập A B được gọi là hợp của các biến cố A và B

+ Tập được gọi là giao của các biến cố A và B, còn được viết là A.B

+ Nếu thì ta nói và là xung khắc.

+ Hai biến cố và được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không

xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia

3 Định nghĩa cổ điển của xác suất

Trang 4

Giả sử là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả

đồng khả năng xuất hiện Ta gọi tỉ số ( )

Quy tắc nhân xác suất:

Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi P A B( )P A P B( ) ( )

Bài toán 1 Gieo con súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất sao cho

a Lần đầu tiên xuất hiện mặt 6 chấm

b Cả hai lần gieo đều xuất hiện mặt chấm lẻ

Hướng dẫn học sinh:

Phép thử T: ‘‘Gieo đồng thời hai con súc sắc’’ Hãy mô tả không gian mẫu làgì?

Trang 5

Không gian mẫu:

(1,1),(1, 2), (1,3), (1,6) (2,1),(2, 2),(2,3), (2,6)

Gọi A là biến cố: “Lần đầu tiên xuất hiện mặt 6 chấm”

Liệt kê các kết quả thuận lợi của A ?

A={(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}  n A( ) 6 

Gọi B là biến cố: “Cả hai lần gieo đều xuất hiện mặt chấm lẻ”

Liệt kê các kết quả thuận lợi của B?

B={(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1),(3,3),(3,5),(5,3),(5,5)}  n( ) 9B

Lời giải 1 :

Ta có không gian mẫu:

(1,1),(1, 2), (1,3), (1,6) (2,1),(2, 2),(2,3), (2,6)

a Gọi A là biến cố: “Lần đầu tiên xuất hiện mặt 6 chấm”

Các kết quả thuận lợi cho biến cố A:

b Gọi B là biến cố: “Cả hai lần gieo đều xuất hiện mặt chấm lẻ”

Các kết quả thuận lợi cho biến cố B:

Nhận xét: Phương pháp liệt kê chỉ có hiệu quả khi số phần tử của biến cố là

nhỏ Nếu số phần tử lớn thì việc liệt kê trở nên khó khăn và dễ xét thiếu phần tử.Khi đó ta sử dụng quy tắc nhân để giải quyết bài toán:

Lời giải 2 :

Gieo con xúc sắc lần 1 có 6 khả năng xảy ra, gieo con xúc sắc lần 2 có 6 khảnăng xảy ra nên tra có n  ( ) 6.6 36 

Trang 6

a Gọi A là biến cố: “ Lần đầu tiên xuất hiện mặt 6 chấm”

Lần đầu tiên xuất hiện mặt 6 chấm  gieo lần 1: có 1 cách chọn mặt 6 chấm,gieo con xúc sắc lần 2 có 6 khả năng xảy ra  n(A) 1.6 6  

b Gọi B là biến cố: “Cả hai lần gieo đều xuất hiện mặt chấm lẻ”

Gieo xúc sắc lần 1: có 3 cách chọn mặt lẻ, gieo con xúc sắc lần 2: có 3 cáchchọn mặt lẻ  n(B) 3.3 9  

Bài toán 2 Có hai chiếc hộp chứa quả cầu Hộp thứ nhất chứa 18 quả cầu đỏ và

2 quả cầu xanh, hộp thứ 2 chứa 17 quả cầu đỏ và 3 quả cầu xanh Lấy ngẫunhiên từ mỗi hộp ra 1 quả cầu Tính xác suất để

a Hai quả cầu được lấy ra đều màu đỏ

b Hai quả cầu được lấy ra có cùng màu

Phân tích: Rõ ràng là trong bài toán này ta không thể sử dụng phương pháp liệt

kê vì số phần tử của biến cố là tương đối lớn Do đó, học sinh đếm số phần tửtheo quy tắc nhân

Lời giải :

Số cách chọn 2 quả cầu, mỗi quả từ một hộp là  n( )  20.20 = 400

a Gọi A là biến cố: “Hai quả cầu được lấy ra đều màu đỏ”

Số cách chọn 2 quả cầu đỏ, mỗi quả từ một hộp là 18.17 = 306  n A( ) 306

Xác suất để 2 quả cầu được lấy ra có màu đỏ là: ( ) ( ) 306 153

b Gọi B là biến cố: “ Hai quả cầu được lấy ra cùng màu ”

Số cách chọn 2 quả cầu xanh, mỗi quả từ một hộp là 2.3 = 6

Số cách chọn 2 quả cầu đỏ, mỗi quả từ một hộp là 18.17 = 306

Số cách chọn 2 quả cầu cùng màu là n(B) 306+6=312

Xác suất để 2 quả cầu được lấy ra có cùng màu là: (B) (B) 312 39

n P

n

Trang 7

Bài toán 3 Một chiếc hộp đựng 9 chiếc thẻ được đánh số từ 1 đến 9 Rút ngẫu

nhiên 2 thẻ và các số trên hai thẻ này tạo thành một số có hai chữ số Tính xácsuất để chữ số được tạo thành là chữ số chẵn

Phân tích: - Trong bài toán này ta có thể sử dụng phương pháp liệt kê nhưng số

phần tử của biến cố là tương đối lớn nên học sinh đếm số phần tử sẽ mất thờigian và không tránh khỏi bỏ sót phần tử

- Ví dụ: Rút được thẻ ghi số 1, rồi rút được thẻ ghi số 2 thì số tạothành là số bao nhiêu? (Trả lời: số 12) Còn rút được thẻ ghi số 2, rồi rút đượcthẻ ghi số 1 thì số tạo thành là số bao nhiêu? (Trả lời: số 21) Hai cách rút này cókhác nhau không? Trả lời được câu hỏi này học sinh sẽ biết phải dùng chỉnh hợp

để tìm số phần tử của không gian mẫu Vậy số phần tử của không gian mẫu ?

Lời giải :

Từ 9 chữ số 1,2, ,9 có thể tạo thành 2

7

A = 72 số có hai chữ số khác nhau( )

n

  72

Gọi A là biến cố: “Số được tạo thành là số chẵn”

Số tạo thành có dạng ab với b chẵn  có 4 cách chọn b và mỗi cách chọn b có

Bài toán 4 Một lớp có 30 học sinh trong đó có 8 giỏi, 15 khá và 7 em trung

bình Chọn ngẫu nhiên 3 em đi dự đại hội Tính xác suất sao cho:

a Ba em được chọn đều là học sinh giỏi

b Ba em được chọn không có học sinh trung bình

Phân tích: Chọn 3 học sinh đi dự đại hội mà không sắp xếp vị trí chức vụ, công

việc cụ thể tức là chọn 3 học sinh không phân biệt thứ tự ta dùng tổ hợp, cònnếu tham gia xếp vị trí chức vụ hoặc phân công công việc cụ thể thì có phân biệtthứ tự thí ta dùng chỉnh hợp Chọn ba em học sinh giỏi ta chọn 3 trong 8 em họcsinh giỏi, chọn ba em không có học sinh trung bình ta chọn 3 trong 22 học sinhkhá giỏi

Trang 8

b Gọi B là biến cố “Ba em được chọn không có học sinh trung bình”

Số cách chọn ba em không có học sinh trung bình là 3

22

C =1540 n(B) 1540Xác suất chọn ba em học sinh không có học sinh trung bình là :

Bài toán 5 Từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con, rút ngẫu nhiên cùng lúc 4 con Tính xác

suất sao cho:

a Cả bốn con đều là con Át

b Được hai con át và hai con K

Bài toán 6 Gieo một đồng tiền cân đối đồng chất liên tiếp cho đến khi xuất hiện

mặt ngửa hoặc cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại

a Mô tả không gian mẫu

b Tính xác suất:

A: “Số lần gieo không vượt quá ba”

B: “Số lần gieo là năm”

Phân tích: Đối với bài toán này rất nhiều học sinh lúng túng không biết cách

xác định không gian mẫu vì học sinh vốn quen với các bài toán cho trước số lần

Trang 9

gieo Bài toán này trước hết phải xác định được số lần gieo Giáo viên có thể gợi

ý cho học sinh bằng các câu hỏi như:

 Nếu không có giả thiết “cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại” thì ta phải gieo đồng tiền bao nhiêu lần?

 Nếu kết hợp với giả thiết “cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại” thì ta phải gieo đồng tiền tối đa bao nhiêu lần?

Với câu hỏi đầu tiên học sinh không thể đưa ra một con số cụ thể vì nếu gieo

1000 lần vẫn có thể là cả 1000 lần đều xuất hiện mặt sấp do đó vẫn chưa thểdừng lại nhưng học sinh đã hình dung ra các phần tử đầu tiên Với câu hỏi thứhai học sinh có thể trả lời được số lần gieo tối đa là 6 Từ đó học sinh có thể xácđịnh được không gian mẫu

Bài toán 7 (Đề thi đại học khối A, A 1 năm 2013) Gọi S là tập hợp tất cả các số

tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7.Xác định số phần tử của S Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để sốđược chọn là số chẵn

Bài toán 8 ( Đề thi đại học khối B năm 2013)

Có hai chiếc hộp chứa bi Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng, hộpthứ 2 chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hôp ra 1 viên

bi, tính xác suất để 2 viên bi được lấy ra có cùng màu

Bài tập 9 Một công ty cần tuyển 3 nhân viên Có 5 người nam và 4 người nữ

ứng tuyển Tính xác suất để 3 người trúng tuyển

a Đúng 2 nữ trúng tuyển

b Có cả nam và nữ

Bài tập10 Có hai hộp đựng quả cầu Hộp 1 có 13 quả cầu xanh, 5 quả cầu vàng.

Hộp 2 có 12 quả cầu xanh, 7 quả cầu vàng Chọn mỗi hộp một quả cầu Tính xácsuất để

Trang 10

a Hai quả cùng màu

b Hai quả khác màu

Bài tập 11 Một giá sách gồm 5 quyển Toán, 6 quyển Lí và 7 quyển Hóa Chọn

ngẫu nhiên 4 quyển sách Tính xác suất để 4 quyển được chọn

a Có đủ ba loại và nhiều nhất một quyển Toán

b Không có đủ ba loại

Dạng 2: Các bài tập sử dụng biến cố đối

1 Phương pháp: - Tìm biến cố đối

- Tìm xác suất của biến cố đối

Bài toán này ta dùng biến cố đối sẽ nhanh và gọn hơn nhiều

Lời giải1:( Sử dụng dạng 1)

Số cách chọn 5 người trong số 27 người là C275 80730 n( ) 80730 

Trang 11

Gọi A là biến cố: “5 người được chọn có ít nhất một nữ” Khi đó biến cố A cócác khả năng:

Lời giải 2: (Sử dụng biến cố đối)

Số cách chọn 5 người trong số 27 người là C275 80730 n( ) 80730 

Gọi A là biến cố: “5 người được chọn có ít nhất một nữ” Khi đó A là biến cố:

Bài toán 2 Từ một hộp chứa 6 quả cầu trắng và 4 quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên

đồng thời 4 quả Tính xác suất sao cho:

a Bốn quả lấy ra cùng màu

b Có ít nhất một quả màu trắng

Phân tích: Gọi A là biến cố: “Bốn quả lấy ra cùng màu”, gọi B là biến cố: “Có

ít nhất một quả màu trắng”

- Tìm biến cố đối của A? Trả lời:A = “Bốn quả lấy ra khác màu”

- Các khả năng của biến cố đối của A,A? Trả lời:

+A: * 4 quả cầu mầu trắng

*4 quả màu đen

Trang 12

+A: * 1 trắng, 3 đen

* 2 trắng, 2 đen

* 3 trắng, 1 đenVậy chúng ta tìm trực tiếp số phần tử của A, không nên sử dụng biến cố đối

- Tìm biến cố đối của B? Trả lời:B = “Không có quả cầu nào màu trắng”

- Các khả năng của biến cố đối của B,B? Trả lời:

+B: * 1 trắng, 3 đen

* 2 trắng, 2 đen

* 3 trắng, 1 đen

* 4 trắng+B: * 4 đen

Vậy chúng ta nên sử dụng biến cố đối?

b Gọi B là biến cố: “Có ít nhất một quả màu trắng”

Ta có Blà biến cố: “Không có quả cầu màu trắng nào”

Bài toán 3 Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác

suất sao cho:

a Ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 chấm

b Tổng số chấm trong hai lần gieo lớn hơn 3

Phân tích:

Gọi A là biến cố: “Ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 chấm”

Gọi B là biến cố: “Tổng số chấm trong hai lần gieo lớn hơn 3”

Trang 13

Tính trực tiếp ta phải xét các trường hợp:

a Biến cố A: + Mặt 6 chấm xuất hiện lần thứ nhất

+ Mặt 6 chấm xuất hiện lần thứ hai

b Biến cố B: + Tổng số chấm trong hai lần gieo = 4

+ Tổng số chấm trong hai lần gieo = 5+ Tổng số chấm trong hai lần gieo = 6+ Tổng số chấm trong hai lần gieo = 7+ Tổng số chấm trong hai lần gieo = 8+ Tổng số chấm trong hai lần gieo = 9+ Tổng số chấm trong hai lần gieo = 10+ Tổng số chấm trong hai lần gieo = 11+ Tổng số chấm trong hai lần gieo = 12Như vậy bài toán dài và dẫn đến thiếu nghiệm Có thể dùng biến cố đối đượckhông? Biến cố đối của A, B là gì?

Trả lời: A : Cả hai lần không xuất hiện mặt 6 chấm

B : Tổng số chấm trong hai lần gieo nhỏ hơn 4

Lời giải:

Không gian mẫu  {( , ) | i, j {1, 2,3, 4,5,6}}i j   n( ) 6.6 36  

a Ta có biến cố đối của A là A{( , ) | i, j {1, 2,3, 4,5}}i j   n( ) 5.5 25A  

( ) 25( )

12

Nhận xét: Phương pháp sử dụng biến cố đối là một phương pháp hay, tuy nhiên

để vận dụng được phương pháp này học sinh cần nắm được hai yếu tố:

+ Nhận dạng loại toán: Các bài toán có cụm từ “có ít nhất một” hoặc tínhchẵn, lẻ hoặc vô nghiệm, có nghiệm,…hoặc nếu tính kiểu bù gọn hơn thì ta dùngbiến cố đối

+ Xác định tốt mệnh đề phủ định và phép toán lấy phần bù của một tập hợp để tránh xác định sai biến cố đối

3 Bài tập tự luyện

Bài toán 4 Gieo 3 đồng xu cân đối đồng chất Tính xác suất để:

a Cả ba đồng xu đều sấp

b Có ít nhất một đồng xu sấp

Trang 14

Chọn là biến cố “ít nhất một lần xuất hiện mặt lục”

Tìm biến cố đối của A? Trả lời:A“Không xuất hiện mặt lục”

Trang 15

+ Quy tắc nhân xác suất:

Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi P A B( ) P A P B( ) ( )

Từ hai qui tắc trên ta thấy:

 Quy tắc cộng áp dụng cho biến cố dạng A B hay “A hoặc B”,

 Quy tắc nhân áp dụng cho biến cố dạng ABhay “A đồng thời B”,

2 Các ví dụ

Bài toán 1 Hai hộp đựng các quả cầu Hộp một có 5 quả cầu đỏ, 9 quả cầu đen.

Hộp 2 có 6 quả cầu đỏ, 8 quả cầu đen Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp ra một quả cầu.Tính xác suất để hai quả lấy ra cùng màu đỏ

Phân tích:

- Với bài toán này ta có thể dùng dạng 1 song giáo viên đưa vào áp dụng vàoquy tắc xác suất để cho học sinh bước đầu làm quen với các phép toán giao, hợpcủa biến cố, hai biến cố độc lập từ đó có cách phân biệt dùng quy tắc công hayquy tắc nhân xác suất

- Có mấy hành động lấy cầu? Trả lời: Có hai hành động lấy quả cầu

Hành động 1: lấy quả cầu từ hộp 1 Hành động 2: lấy quả cầu từ hộp 2

- Yêu cầu bài toán hai quả cầu lấy ra mầu đỏ nên ta chọn biến cố cơ sở là: A làbiến cố: “Quả cầu lấy ra từ hộp thứ nhất màu đỏ”, B là biến cố: “Quả cầu lấy ra

từ hộp thứ hai màu đỏ” A, B có độc lập không?

- Biểu diễn biến cố C: “Hai quả cầu lấy ra màu đỏ” theo A và B? Trả lời: C=AB

Gọi C là biến cố: “Hai quả cầu lấy ra màu đỏ”

Việc lấy quả cầu đỏ từ hộp 1 không ảnh hưởng đến việc lấy quả cầu đỏ từ hộp 2nên A và B là hai biến cố độc lập

Vậy C= ( ) P(AB) P(A).P(B) 302

Ngày đăng: 07/11/2017, 12:00

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

🧩 Sản phẩm bạn có thể quan tâm

w