chuong 1 dai so 12 upload

chuyên đề khảo sát hàm số và bài toán liên quan, giúp các em học sinh tự ôn tập các chủ đề liên quan đến khảo sát hàm số nhằm củng cố kiến thức học lớp 12 và ôn thi đại học. Đây là tài liệu tổng hợp từ nhiều nguồn nên cung cấp miễn phí để các em dễ tham khảo và học hỏi

VẤN ĐỀ: KHẢO SÁT HÀM SỐ

1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số

I Kiến thức cơ bản

1 Định nghĩa

Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K:

+ Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến trên khoảng K nếu: 1 2 1 2 1 2

2 Qui tắc xét tính đơn điệu

a Định lí

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K:

+ Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số đồng biến

+ Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số nghịch biến

b Qui tắc

B1: Tìm tập xác định của hàm số

B2: Tính đạo hàm của hàm số Tìm các điểm xi (i = 1, 2,…,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

B3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên

B4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến

II Các ví dụ

Loại 1: Xét sự biến thiên của hàm số

Ví dụ 1 Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số:

4 2

y = 2 2 b y = -x 3 4 e y = x ( 3), (x > 0)

x - 1

c y = x 2 3 y =

x +1

− +

Ví dụ 2 Xét sự biến thiên của các hàm số sau:

2

2

y = 3x 8 b y = x 8 5 c y = x 6 9

y = e y = f y = 25-x

x d

x

+

Loại 2: Chứng minh hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác định.

Phương pháp

+ Dựa vào định lí

Ví dụ 3.

Chứng minh hàm số

2 2

nghịch biến trên đoạn [1; 2]

Ví dụ 5 Chứng minh rằng

3

x y

x

−

= + nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó

Trang 1

b Hàm số

2

y x

+

= + đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó

2 8

y= − +x x +

nghịch biến trên R

Dạng 2 Tìm giá trị của tham số để một hàm số cho trước đồng biến, nghịch biến trên khoảng

xác định cho trước

Phương pháp:

+ Sử dụng qui tắc xét tính đơn điêu của hàm số

+ Sử dụng định lí dấu của tam thức bậc hai

Ví dụ 6.

Tìm giá trị của tham số a để hàm số

3 2 1

3

đồng biến trên R

Ví dụ 7.

Tìm m để hàm số

2 5 2 6 ( )

3

f x

x

=

+

đồng biến trên khoảng

(1;+∞)

Ví dụ 8 Với giá trị nào của m, hàm số:

2 1

m

y x

x

= + +

− đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó

Ví dụ 9: Xác định m để hàm số

3

2

3

x

đồng biến trên khoảng (0; 3)

Ví dụ 10: Cho hàm số

4

mx y

x m

+

= +

(2;+∞)

(−∞;1)

Ví dụ 11: hàm số

3 3(2 1) 2 (12 5) 2

Tìm m để hàm số tăng trên khoảng

(2;+∞)

 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Dạng 1 Tìm cực trị của hàm số

Phương pháp:

Dựa vào 2 qui tắc để tìm cực trị của hàm số y = f(x)

Qui tắc I

B1: Tìm tập xác định

B2: Tính f’(x) Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x)

không xác định

B3 Lập bảng biến thiên

B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị

Qui tắc II

B1: Tìm tập xác định

B2: Tính f’(x) Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu

là xi là các nghiệm của nó

B3: Tính f ”(xi) B4: Dựa vào dấu của f ” (xi) suy ra cực trị ( f ”(xi) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại xi; ( f ”(xi) < 0 thì hàm số có cực đại tại xi)

* Chú ý: Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác hoặc việc giải phương trình f’(x) = 0 phức tạp.

Trang 3

Ví dụ 1 Tìm cực trị của hàm số

3 2

Qui tắc I

TXĐ: R

2

2

2

3

x

x

= + −

= ⇔ + − =

=



⇔  = −

+∞

71

+

2

-∞

y

y'

x

Vậy x = -3 là điểm cực đại và ycđ =71

x= 2 là điểm cực tiểu và yct = - 54

Qui tắc II TXĐ: R

2 2

2

3

x x

= + −

= ⇔ + − =

=



⇔  = −

y”= 12x + 6 y’’(2) = 30 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x =

2 và yct = - 54 y’’(-3) = -30 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x

= -3 và ycđ =71

Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp

− Để hàm số y= f x( )

có 2 cực trị

'

0 0

y

a≠



⇔ ∆ >

− Để hàm số y= f x( )

có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành

CĐ CT

⇔ <

− Để hàm số y= f x( )

có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung

CĐ CT

⇔ <

− Để hàm số y= f x( )

có hai cực trị nằm phía trên trục hoành

0

CĐ CT

CĐ CT

+ >



⇔  >



− Để hàm số y= f x( )

có hai cực trị nằm phía dưới trục hoành

0

CĐ CT

CĐ CT

+ <



⇔  >



− Để hàm số y= f x( )

có cực trị tiếp xúc với trục hoành

CĐ CT

Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.

hàm số

3 2

y ax= +bx +cx d+

Lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x) Khi đó y = r(x) là đường thẳng đi qua 2 điểm cực

trị

Bài1 Tìm cực trị của các hàm số sau:

2 3 4 3

3 2

y = 10 + 15x + 6x b y = x 8 432 y = x 3 24 7 d y = x - 5x + 4

e y = -5x + 3x - 4x + 5

3

f y = - x - 5x

Trang 5

Bài 2 Tỡm cực trị của cỏc hàm số sau:

2

2

y = b y = c y =

y = x - 3 + e y = f y =

x a

x d

x

+ −

− +

Bài 3 Tỡm cực trị cỏc hàm số

2

3

y = x 4 - x b y = c y =

y = e y = f y = x 3 - x

a

d

x

+

− Bài 4 Tỡm cực trị cỏc hàm số:

y = x - sin2x + 2 b y = 3 - 2cosx - cos2x c y = sinx + cosx

1

d y = sin2x e y = cosx + os2x f

2

a

Dạng 2 Xỏc lập hàm số khi biết cực trị

Để tỡm điều kiện sao cho hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x = a

B1: Tớnh y’ = f’(x)

B2: Giải phương trỡnh f’(a) = 0 tỡm được m

B3: Thử lại giỏ trị a cú thoả món điều kiện đó nờu khụng ( vỡ hàm số đạt cực trị tại a thỡ f’(a) = 0 khụng

kể CĐ hay CT)

Vớ dụ 1 Tỡm m để hàm số y = x3 – 3mx2 + ( m - 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2

Giải:

+

2

+ Hàm số đạt cực trị tại x = 2 thỡ y’(2) = 0

2

+ Với m = 1 ta được hàm số: y = x3 – 3x2 + 2 cú :

2

x

x

=



tại x = 2 hàm số đạt giỏ trị cực tiểu

Vậy m = 1 là giỏ trị cần tỡm

Bài 1 Xỏc định m để hàm số

3 3 2 5 2 đạt cực đại tại x = 2

Bài 2 Tỡm m để hàm số

( ) 5 có cực trị tại x = 1 Khi đó hàm số có CĐ hay CT 3

Bài 3 Tỡm m để hàm số

3 2 2 2 2 đạt cực tiểu tại x = 1

Bài 4 Tỡm cỏc hệ số a, b, c sao cho hàm số:

3 2

đạt cực tiểu tại điểm x = 1, f(1) = -3 và đồ thị cắt trục tung tại điểm cú tung độ bằng 2

 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

DẠNG 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

• Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên

( )a b; : +B1: Tính đạo hàm của hàm số y’ = f’(x)

+ B2: Xét dấu đạo hàm f’(x), lập bảng biến thiên

Trong đĩ tại x0 thì f’(x0) bằng 0 hoặc khơng xác định

• Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a; b]:

B1: Tìm các giá trị xi

[ ]a b;

∈

(i = 1, 2, , n) làm cho đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

( ), ( ), ( ), , ( ), ( )n

( ), ( ), ( ), , ( ), ( )n

} GTNN = Min{

1 2 ( ), ( ), ( ), , ( ), ( )n

}

Ví dụ 1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

1

y x

x

= +

trên khoảng

(0;+∞)

Ví dụ 2 Tính GTLN, GTNN của hàm số

3 2

3

x

trên đoạn [-4; 0]

Bài 1 Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu cĩ):

f(x) = x 3 9 1 trªn [-4; 4] b f(x) = x 5 4 trªn ®o¹n [-3; 1]

c f(x) = x 8 16 trªn ®o¹n [-1; 3] d f(x) = x 3 9 7 trªn ®o¹n [-4; 3]

Bài 2 Tìm GTLN, GTNN của hàm số (nếu cĩ):

2

f(x) = trªn nưa kho¶ng (-2; 4] b f(x) = x +2 + trªn kho¶ng (1; + )

c f(x) = x 1 - x d f(x)

= trªn kho¶ng ( ; )

 TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ

I Kiến thức cần nắm

Cho hàm số y = f(x) cĩ đồ thị là (C)

GTLN

-+

y y'

b

x 0

a x

GTNN

+

-y

y'

b

x 0

a x

• y = y0 là tiệm cận ngang của nếu một trong hai điệu kiên sau được thoả mãn:

lim ( ) , hoÆc lim ( )

• x = x0 là tiệm cận đứng của (C) nếu một trong các điều kiện sau đựơc thoả mãn:

x x→ + = +∞ x x→ − = +∞ x x→ += −∞ x x→ − = −∞

• Đường thẳng y = ax + b ( a≠0

) được gọi là tiệm cận xiên nếu một trong hai điều kiện sau thoả mãn: lim [ ( ) (ax + b)] = 0 hoÆc lim [ ( ) (ax+b)]=0

Bµi 1 T×m tiÖm cËn c¸c hµm sè sau:

y = b y = c y = d y =

e y = f y = 4 +

a

g y = h y =

Bµi 2 T×m tiÖm cËn cña c¸c hµm sè sau:

2

y = b y = c y = d y =

y = 2x -1 + f y =

a

x e

x

+

−

g y = x- 3 + h y =

x x

− +

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

DẠNG 1: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số thường gặp.

Phương pháp chung:

1 Hàm số bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0).

Phương pháp:

+ TXĐ: D = R.

+ y' = 3ax2 + 2bx + c, cho y’ =0 tìm nghiệm

+ Tính các giới hạn:

lim

→+∞

= +∞

và

lim

→−∞

= −∞

nếu a>0 và ngược lại nếu a<0

+ Lập bảng biến thiên:

* Kết luận sau bảng biến thiên:

+ Hàm số đồng biến, nghịch biến

+ Hàm số đạt cực trị

+ Chọn điểm và vẽ đồ thị

Ví dụ 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a/ y = x3 – 3x2 b/ y = - x3 + 3x – 1 c/ y = 3x – 4x3 d/ y = x3 – 3x2 + 3x – 2

Trang 9

y

2

-4

O

y 1

-3

-1

O

1

x y

-1

1

1/2

-1/2

O

1

x y

-1

-2

O

1

2 Hàm số bậc bốn trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c (a≠0).

Phương pháp:

+ TXĐ: D = R.

+ y' = 4ax3 + 2bx Cho

2

0 ' 0

2

x

x

a

=





= ⇔

 = −



nếu 2

b a

−

≥

0 hàm số có 3 cực trị x = 0 và

1,2

2

b x

a

= ± −

nếu 2

b a

−

≤

0 hàm số có một cực trị x = 0

+ Tính giới hạn:

nêu a > 0 lim

- nêu a < 0

x y

→±∞

+∞



=  ∞

+ Bảng biến thiên:

+ Chọn điểm và vẽ đồ thị:

Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a/ y = x4 – 2x2 – 1 b/ y = x4 + x2 – 2

x y

-2

-1

-1 O

1

x

y 1

-1

-2

0

1

Trang 11

3 Hàm số

ax + b

; (ad - bc 0, c 0)

cx + d

Phương pháp:

+ TXĐ:

d

\{- } c

D R=

+ Đạo hàm y’ =

2

ad bc

cx d

− + Nếu ad - bc > 0 hàm số đồng biến trong từng khoảng xác định

Nếu ad - bc < 0 hàm số nghịch biến trong từng khoảng xác định

+ Tính giới hạn:

lim TCN : y =

d lim TCD : x = -

c

x

d x c

y

→∞

→−

= ⇒

= ∞ ⇒

+ Bảng Biến Thiên:

Kết luận bảng biến thiên:

+ Chọn điểm và vẽ đồ thị: (Chọn 2 điểm cùng nằm về một phía so với

d c

− sau đó lấy đối xứng qua tâm đối xứng của đồ thị

Ví dụ 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a/ y =

2x 4

x 1

−

−

b/ y =

1 2x

x 2

− +

c/ y =

6

x 3 +

d/ y =

2x 8 x

−

Ứng dụng khảo sát hàm số

DẠNG 1: Viết phương trình Tiếp tuyến của đồ thị.

Phương pháp chung: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C).

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x0 có hệ số góc là f’(x0)

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm (x0, y0) là : y - y0 = f’(x0)(x - x0) (1)

1 Tìm tiếp tuyến khi biết điểm tiếp xúc có tọa độ ( x 0 ; y 0 ) Tiếp tuyến tại điểm

Phương pháp:

B1: Tìm f’(x0)

B2: Thay x0, y0, f’(x0) vào (1)

B3: Rút gọn và suy ra kết quả.

Ví dụ 1: Cho hàm số y = -x3 + 3x + 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(0; 2)

2 Tìm tiếp tuyến khi biết hệ số góc của tiếp tuyến là k.

x1 x2 x3 O

y

x

y = f(x)

Phương pháp:

B1: Tìm tọa độ tiếp điểm (x0; y0) với x0 là nghiệm của phương trình f’(x) = k, và y 0 = f(x 0 ).

B2: Thay x0, y0, f’(x0) vào (1)

B3: Rút gọn và suy ra kết quả.

Chú ý:- Nếu tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b thì hệ số góc k =a.

- Nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b thì hệ số góc k =

1

a

−

.

- Ở bước 1 có bao nhiêu nghiệm thì sẽ có bấy nhiêu tiếp tuyến nếu vô nghiệm thì không có

tiếp tuyến nào

Ví dụ 1: Cho hàm số y = -x3 + 3x + 2 Tìm tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc của tiếp tuyến là -9

3 Tìm tiếp tuyến khi biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x A ;y A )

B1: Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(x A ;y A ) và có hệ số góc k

Khi đó, phương trình của d là y = k(x-xA) +yA

B2: Điều kiện để d tiếp xúc với đồ thị (C) là hệ có nghiệm

Số nghiệm của hệ trên chính là số tiếp tuyến đi qua A

Ví dụ 1: cho hàm số (C): y = - x3 + 3x2 -2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua A(0;3)

DẠNG 2: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị.

Phương pháp chung:

 Số nghiệm của phương trình f(x) = 0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số y=f(x) với trục Ox

 Số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) chính là số giao điểm của hai đồ thị hàm số y = f(x) và

y = g(x)

Trang 13

y

x

y = f(x)

y = g(x)

y = m y

x

(C)

O

Biện luận số nghiệm của phương trình f(x) = g(x).

Phương pháp:

⇔

P(x) = Q(x,m) (Q(m,x) là đa thức bậc nhất).

B2: Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của hai đồ thị:

(C): y = P(x)

∆

: y = Q(x,m) (là đường thẳng).

B3: Cho ∆

chuyển động theo sự thay đổi của m, biện luận theo số giao điểm của ∆

và (C) từ đó suy ra

số nghiệm của phương trình

Nếu Q(x, m) = m => ∆

: vuông góc với Oy tại điểm M(0, m)

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 - 3x + 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Dùng đồ thị (C) để biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

x3 - 3x + 1- m = 0

Bài tập:

Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a)

3 2

1

3

; b) y = x3 – 6x2 + 9x; c) y = - x3 + 3x2 -2 ; d) y = - x3 + 3x2 ; e) y = 2x3 + 3x2 – 1; e) y = -x3 + 3x2 - 9x +1

Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = x4 – 2x2 + 1; b) y = -x4 + 3x2 + 4; c) y = x4 - 3x2 + 4;

a/ y = x4 – 2x2 – 1 b/ y =

4 2

x

c/ y = - x4 + 2x2 d/ y = x4 + x2 – 2

Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a/ y =

2x 4

x 1

−

−

b/ y =

1 2x

x 2

− +

c/ y =

6

x 3 +

d/ y =

2x 8 x

−

Bài 4: Cho hàm số (C): y = -x3 + 3x + 2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3–3x–2+m = 0 c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm I(0; 2) ĐS: y = 3x + 2

d) Viết phương trình tiếp tuyến, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -9x +1

Bài 5: Cho hàm số (C): y = x3 + 3x2 + 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm của phương trình: x3 + 3x2 – k = 0 c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng -1

Bài 6: Cho hàm số (C): y = - x4 + 2x2 + 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: -x4 + 2x2 + 1 – m = 0

c) Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có tung độ bằng 2

Bài 7: Cho hàm số (C): y = x4 – 2x2 – 3

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến là 24

Bài 8: Cho hàm số (C): y = x3 – 3x2 + 4

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y =

5x 1 3

Bài 9: Cho hàm số (Cm): y =

mx 1 2x m

− +

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 2

b) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số (C2) tại điểm (1;

1 4 ) ĐS: y =

x

8 − 8

Trang 15

Bài 10: Cho hàm số (Cm): y =

(m 1)x 2m 1

x 1

−

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = 0

b) Với giá trị nào của m, đồ thị của hàm số (Cm) đi qua điểm B(0; -1) ĐS: m = 0 c) Viết phương trình tiếp tuyến của hàm số tại giao điểm của nó với trục tung

Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ

Cho hàm sô y= f( )x

,đồ thị là (C) Các vấn đề về cực trị cần nhớ:

− Nghiệm của phương trình f x'( ) = 0

là hoành độ của điểm cực trị

− Nếu

( ) ( )00

f x

f x





<



thì hàm số đạt cực đại tại

0

x x=

− Nếu

( ) ( )

0 0

f x

f x



 >



thì hàm số đạt cực tiểu tại 0

x x=

3 2

1

3

y= x −mx + m+ x−

Định m để:

a.Hàm số luôn có cực trị

b.Có một cực trị trong khoảng (0; +∞)

c.Có hai cực trị trong khoảng (0; +∞)

2. Cho hàm số y = x3−3x2+3mx+3m+4.

a.Khảo sát hàm số khi m = 0.

b.Định m để hàm số không có cực trị.

c.Định m để hàm só có cực đại và cực tiểu.

3 3 2 9 3 5

y x= − mx + x+ m−

Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương

trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy

y x= + − m x + −m x m+ +

Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời

hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1

3 2

1

y= x −mx + m− x m− + C

Định m để hàm số có hai điểm cực trị cùng

dương

Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐƯỜNG CONG

Quan hệ giữa số nghiệm và số giao điểm

Cho hai hàm số y=f(x) có đồ thị (C1) và y=g(x) có đồ thị (C2) Khảo sát sự tương giao giữa hai

đồ thị (C1) và (C2) tương đương với khảo sát số nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (1) Số giao điểm

của (C1) và (C2) đúng bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (1)

(1) vô nghiệm  (C1) và (C2) không có điểm chung

(1) có n nghiệm  (C1) và (C2) có n điểm chung.

(1) có nghiệm đơn x1  (C1) và (C2) cắt nhau tại N(x1;y1)

Trang 17