Một số vấn đề cơ sở trong phép tính biến phân

Lý do chọn đề tài Chúng ta đều biết: không có lý thuyết tổng quát cho phép giải mọi phương trình đạo hàm riêng; nhất là với các phương trình phi tuyến A u[ ] 0;= 1 trong đó, A [ ] × ký

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Chúng ta đều biết: không có lý thuyết tổng quát cho phép giải mọi phương trình đạo hàm riêng; nhất là với các phương trình phi tuyến A u[ ] 0;= (1) trong đó, A [ ] × ký hiệu toán tử đạo hàm riêng (nói chung là phi

tuyến) đã cho, còn u ký hiệu ẩn hàm Tuy nhiên, trong nhiều trường

hợp (chẳng hạn, với phương trình Hamilton – Jacobi và các luật bảo toàn), toán tử phi tuyến A[ ]× có thể biểu diễn được như là một kiểu

“đạo hàm” của một phiếm hàm “năng lượng” I[ ]× thích hợp, và (1) trở thành I u'[ ] 0.=

Lúc này, thay vì giải phương trình (1) một cách trực tiếp – một việc khó, người ta quan tâm đến việc tìm các “điểm tới hạn” của phiếm hàm I [ ] × - một việc dường như là dễ hơn, nhờ vào các công

cụ của giải tích hàm phi tuyến: phép tính biến phân

Rất nhiều bài toán – trên thực tế – được đưa về bài toán “cực trị của phiếm hàm” Có thể nói: Phép tính biến phân được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác nhau của toán học, cơ học và kỹ thuật Vì lý do đó, dưới sự hướng dẫn của thầy Nguyễn Duy Thái Sơn, tôi chọn “Một số vấn đề cơ sở trong phép tính biến phân” làm

đề tài nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ khoa học của mình

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Chúng tôi mong muốn tìm kiếm được nhiều tài liệu từ các

nguồn khác nhau, nghiên cứu kỹ càng các tài liệu đó, cố gắng lĩnh hội đầy đủ các kiến thức cũ và mới về phép tính biến phân để có thể trình bày lại các kiến thức cơ sở – theo cách mình hiểu – trong luận văn này với các chứng minh chi tiết và các ví dụ minh họa

Hy vọng luận văn có thể được sử dụng như một tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên các trường cao đẳng, đại học

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu: phép tính biến phân

3.2 Phạm vi nghiên cứu: các khái niệm, các định lý cơ sở và một số bài toán liên quan

4 Phương pháp nghiên cứu

Cơ bản sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu (sách, báo và các tài liệu trên internet có liên quan đến đề tài của luận văn) để thu thập thông tin nhằm hệ thống lại các vấn đề lý thuyết một cách logic, chi tiết hóa các chứng minh và tìm hiểu các bài toán, các ví dụ minh họa

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Mong muốn đề tài sẽ là tài liệu bổ ích cho sinh viên ngành toán trong việc tiếp cận với Một số vấn đề cơ sở trong phép tính biến phân

6 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và 3 chương

Chương 1 giới thiệu biến phân thứ nhất, phương trình Lagrange, biến phân thứ hai và hệ phương trình Euler-Lagrange

Euler-Chương 2 trình bày điều kiện cưỡng bức, tính nửa liên tục dưới, tính lồi, nghiệm yếu của phương trình Euler-Lagrange, trường hợp hệ phương trình và tính chính quy của nghiệm

Chương 3 trình bày về bài toán giá trị riêng phi tuyến, ràng buộc một bên, bất đẳng thức biến phân, định lý qua núi và ứng dụng trong phương trình elliptic nửa tuyến tính

CHƯƠNG 1 BIẾN PHÂN 1.1 BIẾN PHÂN THỨ NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH EULER- LAGRANGE

Giả sử U ⊂ℝ là một tập mở, bị chặn với biên trơn, là một tập compact và cho trước một hàm trơn

∶ ℝ × ℝ × →ℝ

Ta gọi à á ử

Kí hiệu

Ta viết = ( , , ) = ( , … , , , , … , ) với ∈ ℝ , ∈ ℝ, và ∈ Như vậy " " là biến số dưới đây được thế chỗ bởi ( ), và là biến sẽ được thế chỗ bởi ( ) Ta cũng đặt

= ( , … , ) = = , … ,

Kí hiệu này sẽ làm cho phần lí thuyết sau dễ hiểu

Bây giờ để chính xác hoá ý tưởng đã nói trong lời mở đầu, ta giả sử rằng phiếm hàm [∙]có dạng

(1) [ ] ≔ ( ( ), ( ), ) ,

với các hàm trơn ∶ → ℝ thỏa mãn điều kiện biên

(2) = trên

Giả sử thêm rằng một hàm trơn nào đó thỏa mãn điều kiện biên cần thiết: = trên , và là điểm đạt cực tiểu của phiếm hàm [∙] trong số tất cả các hàm thỏa mãn (2) Khi đó, ta chứng minh rằng tự động là một nghiệm của một phương trình đạo hàm riêng nào đó

Để khẳng định điều này, trước tiên ta chọn tuỳ ý hàm trơn ∈ ( ) và xét hàm giá trị thực

Vì là một điểm cực tiểu của phiếm hàm [∙] và + = = trên , dễ dàng ta thấy (∙) có một cực tiểu tại = 0 Do đó (4) (0) = 0

Đạo hàm trên được gọi là biến phân thứ nhất và ta tính toán

nó một cách tường minh bằng cách viết

0 = (0) = ( , , )

+ ( , , )

Cuối cùng, vì có tính compact nên ta có thể lấy tích phân từng phần và thu được

Đây là phương trình Euler-Lagrange liên quan với phiếm hàm

năng lượng [∙] được định nghĩa bởi (1) Nhận thấy rằng (6) là một phương trình đạo hàm riêng cấp hai tựa tuyến tính ở dạng phân tán Tóm lại, mọi cực tiểu trơn của phiếm hàm [∙] là một nghiệm của phương trình đạo hàm riêng Euler-Lagrange (6) vì thế đảo lại ta

có thể tìm được một nghiệm của (6) bằng cách tìm các cực tiểu của (1)

1.2 BIẾN PHÂN THỨ HAI

Biến phân thứ hai của phiếm hàm [∙] tại hàm được tính toán dựa trên phép tính của biến phân thứ nhất Từ điều này ta nhận xét rằng vì cho một cực tiểu đối với phiếm hàm [∙] , nên ta cần phải

có

(0) ≥ 0, (∙) được định nghĩa bởi (3)như ở trên Từ (5) ta có thể tính

= ⋮ ⋯ ⋱ ⋮

Vì trong 1.1 hàm liên qua với phiếm hàm

(7) [ ] ≔ ( ( ), ( ), ) ,

với các hàm trơn được định nghĩa là ∶ → ℝ , =( , … ), thỏa mãn điều kiện biên = trên , ∶ → ℝ

là cho trước Từ đó, ta có

( ) = ⋮ ⋯ ⋱ ⋮

là ma trận gradient của tại x

Bây giờ ta chứng tỏ rằng bất kì cực tiểu trơn = ( , … ) của phiếm hàm [∙] được lấy trong các hàm bằng trên , ta cần

phải giải một hệ các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến tính nào

Nói chung hệ phương trình đạo hàm riêng tựa tuyến tính bao gồm các phương trình Euler-Lagrange với các phiếm hàm [∙] được định nghĩa bởi (7)

Hiển nhiên được giải bởi tất cả hàm ∶ → ℝ Khi đó hàm

L được gọi là một Lagrangian không

Định lý 1.( Các Lagrangian không và các điều kiện biên)

Cho L là một Lagrangian không Giả sử , là hai hàm trong

( , ℝ ) sao cho

(15) ≡ trên

Khi đó

(16) [ ] = [ ]

Kí hiệu Nếu là một ma trận vuông n x n Ta kí hiệu cof –

ma trận đồng nhân tố mà khi ta bỏ đi ( , ) thì (cof ) =(−1) ( ) , trong đó ( ) bằng định thức của ma trận ( −1) × ( − 1)-thu được bằng việc bỏ đi hàng thứ k và cột thứ i của

ma trận

Bổ đề (Những hàng không phân kỳ)

Cho : ℝ → ℝ là một hàm trơn Khi đó

CHƯƠNG 2 CỰC TIỂU HÓA PHIẾM HÀM NĂNG LƯỢNG

TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM

2.1 ĐIỀU KIỆN CƯỠNG BỨC, TÍNH NỮA LIÊN TỤC DƯỚI

với ≔ | | Vì vậy [ ] → ∞ khi ‖ ‖ → ∞ Thông thường

ta gọi (5) là điều kiện cưỡng bức trên phiếm hàm [∙]

Từ phần này đến cuối luận văn ta dùng

≔ { ∈ , ( ) ⎸ = trên theo nghĩa vết}

để kí hiệu cho lớp các hàm được thừa nhận này Từ (4) ta chú ý rằng phiếm hàm [ ] được định nghĩa ( nhưng nó có thể bằng +∞) với mỗi ∈

2.1.2 Nữa liên tục dưới

Ta thấy rằng mặc dù một hàm liên tục ∶ ℝ → ℝ thỏa mãn điều kiện cưỡng bức thì thật sự đạt tới infimum của nó, thông thường tích phân phiếm hàm [∙] sẽ không như vậy Để hiểu vấn đề này ta đặt

≔

A

wÎinf [ ]

và chọn các hàm ∈ ( = 1, … ) sao cho

[ ] → khi → ∞

Ta gọi { } là một dãy giảm

Ta sẽ chứng tỏ rằng vài dãy con của { } hội tụ về một cực tiểu thực Tuy nhiên, đối với điều này, ta cần vài tính compact, và vấn đề nêu trên là hiển nhiên vì , ( ) có số chiều vô hạn Thật vậy, nếu ta sử dụng bất đẳng thức cưỡng bức (5) thì ta chỉ có thể kết luận rằng dãy cực tiểu nằm trong một tập con bị chặn của , ( ) Nhưng điều này không có nghĩa là tồn tại một dãy con hội tụ trong

, ( )

Do đó ta hướng đến topo yếu Vì ta giả sử 1 < < ∞ sao cho ( ) là phản xạ nên ta kết luận rằng tồn tại một dãy con

⊂ { } và một hàm ∈ , ( ) thỏa

⇀ yếu trong ( ) ⇀ yếu trong ( ; ℝ ).

ta viết gọn (8) như sau

Nói tóm lại, nhận xét chính rằng ta không cần công thức đầy

đủ của (10) Thay vào đó ta chỉ cần dùng

Khi đó ta nói [∙]là( dãy) các nữa liên tục dưới yếu trong

đúng như là một điều kiện cần với bất kì là một cực tiểu trơn

Định lý 1( Tính nữa liên tục dưới yếu)

Định lý 2 (Sự tồn tại cực tiểu)

Định lí 3(Tính duy nhất của cực tiểu)

2.3 NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE

EULER-Định nghĩa Ta nói ∈ là một nghiệm yếu của bài toán bờ (37) đối với phương trình Euler-Lagrange nếu như

( , , )

+ ( , , ) = 0

với mọi ∈ , ( )

Định lý 4 (Nghiệm của phương trình Euler-Lagrange)

Giả sử L thoả mãn các điều kiện mạnh (35), (36) và ∈ sao cho

[ ] = min ∈ [ ] Khi đó u là một nghiệm yếu của phương trình

[ ] ≔ ( ( ), ( ), ) được định nghĩa cho các hàm thích hợp ∶ → ℝ , trong đó ∶ × × ℝ × → ℝ được cho trước

Ta thừa nhận bất đẳng thức lồi

(43) ( , , ) ≥ | | − ( ∈ × , ∈ ℝ , ∈ ) với các hằng số > 0, ≥ 0, và cũng đặt

= { ∈ , ( ; ℝ )⎸ = trên theo nghĩa vết} trong đó ∶ → ℝ được cho trước

Định lý 5 (Sự tồn tại của cực tiểu)

Định lý 6 (Tính duy nhất của cực tiểu)

Định lý 7 (Nghiệm của hệ Euler-Lagrange)

2.4.2 Tính đa lồi

Bổ đề (Tính nữa liên tục yếu của các định thức)

Định lý 8 (Nữa liên tục dưới của các phiếm hàm đa lồi)

Định lý 9 (Sự tồn tại các cực tiểu, các phiếm hàm đa lồi)

2.5 TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM

2.5.1 Những ước lượng đạo hàm cấp hai

Ta chứng tỏ nếu ∈ ( ) là một nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng phi tuyến tính (3) thì thật sự ∈ ( ) Đầu tiên của tất cả điều đó ta giả sử

(5) | ( )| ≤ ( ∈ ℝ )

Ta giả sử thêm rằng lồi đều, vì thế tồn tại một hằng số > 0 sao cho

Định lý 1(Đạo hàm cấp hai đối với các cực tiểu)

2.5.2 Những nhận xét trên quy tắc cao hơn

Tiếp theo ta sẽ chứng tỏ rằng nếu là khả vi vô hạn thì khi đó

nó là

Tương tự với lý thuyết quy luật phát triển cho phương trình đạo hàm riêng eliptic cấp hai, nó có vẻ tự nhiên để cố gắng mở rộng ước tính từ phần trước để thu được những ước tính hơn nữa trong không gian Sobolev cao hơn ( ) với = 3,4, …

Để bắt đầu với điều đó ta chọn một hàm ∈ ( ) với ∈ {1, … , }, và trong đồng nhất thức (4) đặt = − mà để đơn giản ta lấy ≡ 0 Ta biết vì ∈ ( ) nên ta có thể lấy tích phân từng phần để tìm được

Nhưng từ (17) ta không thể áp dụng lý thuyết đều đặn để kết

luận rằng trơn, lý do là từ (15) và chỉ (15) ta có thể suy ra rằng

∈ ( )( , = 1, … , )

Tuy nhiên do tính độc lập để DeGiorgi và Nash khẳng định một định lí sâu sắc hơn rằng bất kì nghiệm của (17) phải thật sự được liên tục địa phương Hoolder đối với vài số mũ > 0 Do đó nếu ⊂⊂ thì ta có ∈ , ( ) và vì thế ∈ , ( )

Trở lại định nghĩa (15) Nếu trơn thì ta biết ∈ , ( ) ( , =

1, … , ) Khi đó (3) và định lý của Schauder thật sự khẳng định rằng ∈ , ( )

Nhưng khi đó ∈ , ( ) và do một phiên bản ước tính của Schauder ý nói ∈ , ( )

Cuối cùng chúng ta có thể tiếp tục cái gọi là argument

“bootstrap” để suy ra là , ( ) với = 1, … , và vì vậy ∈ ( )

CHƯƠNG 3 MỘT SỐ CHỦ ĐỀ LIÊN QUAN

3.1 BÀI TOÁN GIÁ TRỊ RIÊNG PHI TUYẾN TÍNH

Trước tiên ta nghiên cứu những bài toán với các ràng buộc tích phân

Để chi tiết ta xét bài toán về phiếm hàm năng lượng giảm (1) [ ] ≔12 | |

Trên mọi hàm với = 0 trên nhưng cũng lệ thuộc vào điều kiện biên là

(2) [ ] ≔ ( ) = 0,

trong đó ∶ ℝ → ℝ là một hàm trơn cho trước

Từ đây ta sẽ viết = ′ Bây giờ giả sử

(3) | ( )| ≤ (| | + 1),

và vì thế

(4) | ( )| ≤ (| | + 1) ( ∈ ℝ) với vài hằng số

Ta cũng giới thiệu lớp thích hợp có thể chấp nhận được

Nhận xét Vì là nghiệm yếu của bài toán giá trị biên phi tuyến tính

(11) −∆ = ( )trong = 0 trên ,

trong đó λ là nhân tử Lagrange tương ứng với ràng buộc tích phân

(12) [ ] = 0

Một bài toán của dạng (11) đối với các ẩn ( , ), với ≢ 0, là

một bài toán giá trị riêng phi tuyến tính

3.2 RÀNG BUỘC MỘT BÊN, BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN

Bây giờ ta nghiên cứu các phép tính của các bài toán biến phân với điểm nào đó, các ràng buộc một phía trên các giá trị của ( )với mỗi ∈ Để rõ ràng ta xét các bài toán của sự cực tiểu cho phiếm hàm năng lượng

[ ] ≔ 12| | − ,

trong số tất cả các hàm có liên quan tới tập

≔ { ∈ ( )⎸ ≥ ℎ hầu khắp nơi trong }, trong đó ℎ ∶ → ℝ được gọi là hàm ngưỡng,là một hàm trơn cho trước Do đó tập chấp nhận lồi A bao gồm các hàm ∈ ( ) thỏa

mãn ràng buộc một bên hoặc một phía mà ≥ ℎ Ta cũng giả sử rằng là một hàm trơn cho trước

Định lý 3 (Sự tồn tại của cực tiểu)

Định lý 4 (Biến phân đặc trưng của cực tiểu)

(2) ∶ → là liên tục Lipschitz trên tập con bị chặn của

Kí hiệu

(i) kí hiệu là tập các hàm ∈ ( ; ℝ) thỏa mãn (2)

(ii) Nếu ∈ ℝ thì ta viết

3.3.3 Ứng dụng trong phương trình elliptic nữa tuyến tính

Để minh họa tính có ích của định lý qua núi , bây giờ ta nghiên cứu bài toán bờ nữa tuyến tính :

Định lý 3 (Sự tồn tại)

Bài toán bờ (22) có ít nhất một nghiệm yếu ≢ 0

KẾT LUẬN

Qua một thời gian tìm hiểu, tiếp cận và nghiên cứu một số vấn

đề cơ sở trong phép tính biến phân, luận văn đã hoàn thành và đạt được mục tiêu nghiên cứu của đề tài với những kết quả cụ thể sau:

· Tổng quan và hệ thống đầy đủ các khái niệm và các ví dụ về ứng dụng của biến phân đối với phương trình Euler-Lagrange và hệ phương trình Euler-Lagrange

· Trình bày một cách đầy đủ và chi tiết các khái niệm nghiệm yếu, Lagrange không, số nhân Lagrange, các bổ đề liên quan

· Chứng minh chi tiết và làm rõ một số định lý, đặc biệt định

lý qua núi và ứng dụng của các định lý này trong phương trình eliptic nữa tuyến tính