phương pháp đổi biến số trong phép tính tích phân ở trung học phổ thông

Tóm tắt một số kết quả từ luận văn thạc sĩ Nghiên cứu sinh thái của phép tính tích phân trong giảng dạy Toán ở trung học phổ thông của Phạm Lương Quý 2007 Tham khảo luận văn thạc sĩ Ngh

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

_

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TRONG PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN

Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

_

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TRONG PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN

Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành : Lý lu ận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã s ố : 60 14 01 11

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2013

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đề tài “Phương pháp đổi biến số trong phép tính tích phân ở trung học phổ thông” do tôi thực hiện Số liệu của đề tài là trung thực và chưa được công bố ở các nghiên cứu khác Tôi xin chịu trách nhiệm về nghiên cứu của mình

Người cam đoan

Nguyễn Thị Phượng Linh

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin trân trọng dành những dòng đầu tiên này để bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến

TS Trần Lương Công Khanh, người đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn đến quí thầy cô: PGS TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Trần Lương Công Khanh, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Vũ Như Thư Hương, TS Nguyễn Thị Nga đã tận tình giảng dạy những kiến thức bổ ích về Didactic Toán trong toàn khóa học

Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Khoa Học Công Nghệ và Sau Đại Học, Khoa Toán - Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tạo những điều kiện học tập tốt nhất cho chúng tôi

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Long An, Ban Giám Hiệu trường THPT Cần Giuộc - Long An, nơi tôi công tác, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi

Nguyễn Thị Phượng Linh

MỤC LỤC

L ỜI CAM ĐOAN 1

LỜI CẢM ƠN 2

M ỤC LỤC 3

DANH M ỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT 5

M Ở ĐẦU 6

1 Lý do ch ọn đề tài 6

2 Ph ạm vi lý thuyết tham chiếu 7

3 M ục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu 8

4 T ổ chức của luận văn 8

CHƯƠNG 1: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TRONG PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN 9

1.1 Đạo hàm hàm số hợp - một điều kiện sinh thái của PPĐBS 9

1.1.1 Mối quan hệ thể chế với khái niệm đạo hàm hàm số hợp 9

1.1.2 Vấn đề nhận diện dạng của một hàm số cần lấy đạo hàm, tích phân : 18

1.2 V ấn đề đặt ẩn phụ cho PPĐBS trong phép tính tích phân 23

1.2.1 Hiện trạng dạy và học PPĐBS trong phép tính tích phân 23

1.2.2 Các dạng hàm số hợp được sử dụng và cách đặt ẩn số phụ tương ứng trong PPĐBS của phép tính tích phân 24

CHƯƠNG 2: THỰC NGHIỆM 30

2.1 Gi ới thiệu thực nghiệm 30

2.2 Bài toán th ực nghiệm 30

2.3 Phân tích a priori 31

2.3.1 Mục tiêu thực nghiệm: 31

2.3.2 Bài toán 1 31

2.3.3 Bài toán 2 33

2.4 Phân tích a posteriori 34

2.4.1 Phiếu khảo sát 1 34

2.4.2 Phiếu khảo sát 2 34

2.5 K ết luận 35

KẾT LUẬN 36

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 37

PH Ụ LỤC 38

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Tích phân là một khái niệm cơ bản, rất quan trọng của GT Trong chương trình Toán Trung học phổ thông, tích phân xuất hiện ở học kì II của lớp 12 và là một nội dung quan

trọng SGK GT 12 hiện hành dành hẳn một chương để nói về nguyên hàm, tích phân và ứng

dụng của nó, cuối chương còn có một bài kiểm tra 45 phút Tích phân cũng xuất hiện nhiều trong các kì thi học kì, cao đẳng và đại học

Để phục vụ cho bài toán tính tích phân, SGK GT 12 hiện hành đã giới thiệu 2 phương pháp cơ bản để tính tích phân, đó là PPĐBS và phương pháp tích phân từng phần

Với PPĐBS, SGK giới thiệu hai cách đổi biến số sau:

1

( ) ( )

u b b

f u x u x dx = f u du

∫ ∫ , v ới u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, hàm

s ố y = f(u) liên tục sao cho hàm hợp f[u(x)] xác định trên K; a và b là 2 số thuộc

Ví d ụ 2: Tính

1

2 0

−

∫ b ằng cách đặt x=sint (SGK GT 12 (BNC) –tr 159)

Hai ví dụ và hai hoạt động H1; H2 minh họa cụ thể cho hai PPĐBS mà SGK đã nêu Các ví dụ mà SGK sử dụng minh họa đều rất đơn giản Vậy khi vào giải một bài toán tích phân cụ thể không đơn giản như các ví dụ thì làm thế nào HS nhận ra được các biến số mới phù hợp cho PPĐBS? Mặt khác, nguyên hàm là một bài toán ngược không đơn giản của bài toán đạo hàm, vậy PPĐBS có liên hệ gì với đạo hàm của hàm hợp? Chính vì vậy chúng tôi

chọn đề tài: “Phương pháp đổi biến số trong phép tính tích phân ở Trung học phổ thông”

2 Phạm vi lý thuyết tham chiếu

Để tìm hiểu rõ hơn vấn đề đặt ra, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của Didactic Toán với việc sử dụng thuyết nhân học didactic và lý thuyết tình huống Ở luận văn này chúng tôi quan tâm đến hai điều kiện sinh thái của PPĐBS trong phép tính tích phân là đạo hàm hàm hợp và vấn đề đặt ẩn phụ Trong phạm vi của lý thuyết tham chiếu, chúng tôi phát biểu lại các câu hỏi nghiên cứu như sau :

1 Đạo hàm hàm hợp được xây dựng như thế nào trong chương trình trung học

phổ thông? Nhằm mục đích gì? Mối liên hệ của nó với PPĐBS trong phép tính tích phân ra sao?

2 Trong SGKHH thì PPĐBS được thực hiện với những dạng hàm số hợp nào, không được thực hiện với những dạng hàm số hợp nào? Với những dạng hàm số hợp mà SGK đã sử dụng cho PPĐBS trong phép tính tích phân thì cách đặt ẩn phụ tương ứng ra

3 Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu

Mục đích của luận văn là đi tìm những yếu tố trả lời cho câu hỏi trên Để đạt được điều này, chúng tôi đề ra phương pháp nghiên cứu như sau :

Để trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu, chúng tôi chọn phân tích SGK toán lớp 11, 12

hiện hành (BNC) và tham khảo thêm một số luận văn nghiên cứu về tích phân Nội dung trả

lời được chúng tôi trình bày trong chương I : “Phương pháp đổi biến số trong phép tính tích

phân”

Từ kết quả phân tích ở chương I giúp chúng tôi hình thành nên giả thuyết nghiên cứu,

tiến hành phân tích và thực nghiệm để kiểm chứng giả thuyết đó Vấn đề này được chúng tôi trình bày trong chương II: Thực nghiệm

4 Tổ chức của luận văn

Luận văn bao gồm phần mở đầu, phần kết luận và phần nội dung như sau:

I Phần mở đầu: bao gồm các phần: lý do chọn đề tài, khung lý thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu và tổ chức luận văn

II Nội dung:

Chương 1: Phương pháp đổi biến số trong phép tính tích phân

1.1 Đạo hàm hàm số hợp - một điều kiện sinh thái của PPĐBS

1.2 Vấn đề đặt ẩn phụ cho PPĐBS trong phép tính tích phân

Chương 2: Thực nghiệm

III Phần kết luận: trình bày các kết quả đạt được của luận văn

CHƯƠNG 1: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TRONG PHÉP TÍNH

TÍCH PHÂN

1 1 Đạo hàm hàm số hợp - một điều kiện sinh thái của PPĐBS

1.1.1 Mối quan hệ thể chế với khái niệm đạo hàm hàm số hợp

1.1.1 1 Đạo hàm hàm số hợp trong SGKHH

1.1.1.1.1 Tóm tắt một số kết quả từ luận văn thạc sĩ Nghiên cứu sinh thái của phép tính tích phân trong giảng dạy Toán ở trung học phổ thông của Phạm Lương Quý (2007)

Tham khảo luận văn thạc sĩ Nghiên cứu sinh thái của phép tính tích phân trong giảng

d ạy Toán ở trung học phổ thông của Phạm Lương Quý (2007), chúng tôi rút ra một số kết

1975-+ Khái niệm hàm số hợp phục vụ cho việc tính đạo hàm hàm số hợp và công thức đổi

biến số

- Trong chương trình hiện hành: khái niệm hàm số hợp được trình bày trong chương

Đạo hàm ở lớp 11, ngay sau phần Các quy tắc tính đạo hàm để chuẩn bị kiến thức tính đạo

hàm của hàm số hợp

 Các nhận xét về hai khái niệm hàm số hợp trong SGK và SGV

SGK ĐS & GT 11 (BNC) tr 201 đưa vào khái niệm hàm số hợp như sau:

Cho hai hàm số y = f(u) và u = u(x) Thay thế biến u trong biểu thức f(u) bởi biểu thức u(x), ta được

bi ểu thức f[u(x)] với biến x Khi đó, hàm số y = g(x) với g(x) = f[u(x)] được gọi là hàm số hợp của hai hàm số f và u ; hàm số u gọi là hàm số trung gian

SGV ĐS & GT 11 (BNC) tr 236 nêu khái niệm hàm số hợp như sau:

Cho hàm số u: D →  và f: D f →  sao cho u(D) ⊂ D f Khi đó hàm số g: D → xác định bởi g(x)

= f[u(x)] g ọi là hàm số hợp của hàm số f và hàm số u, kí hiệu là g = fu Như vậy ta có g(x) = ((f u)(x) =

và nghiên cứu các hàm số có dạng: y = u n

, y = u , y = log a u

- Trong phần bài tập, không xuất hiện các dạng bài tập: tìm hàm số hợp của 2 hàm số

cho trước, tìm tập xác định của hàm số hợp, phân tích hàm h cho trước thành hợp của hai

hàm số f và g, không có bài tập liên quan trực tiếp đến hàm số hợp so với chương trình trước

1990 Phần lý thuyết chỉ trình bày hàm hợp của hai hàm số, phần bài tập lại yêu cầu tính đạo hàm của hàm hợp của 3 hàm số, hay hàm hợp của 4 hàm số

- Ký hiệu g f không được đưa vào mà khi nói hàm hợp của hai hàm số y = f(u) và u

= g(x), ta ch ỉ thực hiện một phép thay chữ hình thức y = f(g(x)) Hàm số u = g(x) chỉ được

xem được là hàm số trung gian, thậm chí là một biến

- Việc tính đạo hàm hàm hợp chỉ được thực hiện một cách hình thức công thức y’ x =

y’ u u’ x , trong đó u được xem là một biến trung gian Điều này làm cho hàm số hợp được xem như là hàm số của biến trung gian thay vì được xem là hàm của hàm Hàm số hợp được đưa vào với mong muốn cung cấp yếu tố công nghệ của phép tính đạo hàm hàm hợp, phép đổi biến trong tích phân xác định Tuy nhiên, trong thực hành, yếu tố công nghệ này nhanh chóng biến thành một phép thay chữ hình thức HS tính đạo hàm hàm hợp bằng cách thực

hiện phép thay chữ hình thức và thực hiện phép đổi biến u = ϕ(x) nhờ các kiểu bài tập được

dạy

- Trên thực tế, việc tính đạo hàm hàm hợp được thực hiện như một phép thay chữ hình

thức mà không cần sự can thiệp của hàm hợp Điều này một mặt cho phép tính đạo hàm một cách máy móc và nhanh chóng, mặt khác làm lu mờ ý nghĩa của hàm hợp và làm cách chọn

biến mới u = u(x) trong tích phân xác định trở nên khó giải thích vì trong thể chế hiện hành,

không tồn tại việc đọc ngược kết quả đạo hàm để tính nguyên hàm, ngay cả khi có mặt hay

vắng mặt ostensif ∫ do vấn đề phân tích một hàm số hợp thành các hàm số cấu thành để giải bài tập là nằm ngoài mối quan hệ thể chế

1.1.1.1.2 Đạo hàm hàm số hợp trong quá trình thực tế dạy học

Trong quá trình dạy học phép tính đạo hàm hàm số hợp, HS có tự nhận ra được các

biến trung gian cần thiết không? GV làm thế nào để giải thích về các biến trung gian đó?

Ví dụ sau được chúng tôi ghi nhận qua một tiết dự giờ: bài tập 33e tr 212, SGK ĐS &

Trước khi yêu cầu HS lên bảng giải bài tập, GV đã gợi ý cho HS kỹ thuật giải thông qua

một hệ thống câu hỏi được chúng tôi ghi lại trong biên bản dự giờ như sau:

[35] GV: Cô m ời Huy Bài này em sẽ tính đạo hàm bằng cách nào?

[36] HS: Dạ, u n

[37] GV: v ậy u là gì và n là bao nhiêu?

[38] HS: d ạ n = 2, u = cos 2

4 x

π −

[39] GV: Các em phân bi ệt bài này với bài số 3 (là bài tập: y = cos 2x+1) Cả 2 bài đều là các

hàm s ố lượng giác, nhưng bài này là u n

, bài 3 là cosu Khác chỗ nào? (Chỉ vào bài 3) Bài

này mũ là mấy? Là mũ 1 nên các em phân biệt cho cô: gặp lượng giác mà mũ 1 thì mình xem cái góc đó là x, mình tính luôn Gặp lượng giác mà không phải bậc 1 mà bậc 2 trở lên thì nó là công thức u n Rồi, bây giờ lên làm giùm cô nhé!

HS (lên b ảng thực hiện bài giải)

Hàm số trên là một hàm số hợp, nhưng hàm số trên là hợp của các hàm số trung gian nào?

HS có nhận ra được các hàm số trung gian đó hay không? Để làm điều đó, GV trước khi cho

HS giải bài tập, đã chú ý cho HS đến việc nhận dạng đạo hàm của bài toán là u n

bằng một số câu hỏi gợi ý như: bài này em sẽ tính đạo hàm bằng cách nào?hay u là gì và n là bao nhiêu? Từ đó áp

dụng công thức tính đạo hàm để tìm đạo hàm của hàm số đã cho Bên cạnh đó, GV cũng chú ý phân biệt cho HS sự khác biệt với các dạng hàm số khác như: các em phân biệt bài này

v ới bài số 3 (là bài tập: y = cos 2x+1)… Sự phân biệt này có thể giúp HS nhận ra các dạng hàm số hợp cần lấy đạo hàm, các biến trung gian cần thiết và chúng trở thành yếu tố công nghệ - lý thuyết cho quá trình này trong bối cảnh vắng bóng sự can thiệp của hàm hợp

Bảng 1.1 Trích biên bảng dự giờ của GV

L ời giải của HS (đã được GV nhận xét-bổ sung)

Trình bày c ủa GV (khi thực hiện chỉnh sửa bài làm của HS)

[44] GV : được lượng giác bậc 1 rồi thì hãy nhận xét v ề góc? Ta có thể sử dụng công thức gì?

[46] GV: (cosu)’ v ậy (cosu)’ bằng gì? À, trừ u đạo hàm nhân sinu?

[47] GV: căn của gì đây? (Gv chỉ vào 2

4 x

π

− ) [49] GV : có nghĩa là áp dụng công thức gì?

[51] GV: ( u )’ bằng gì?

[53] GV: rồi, ( u )’ = '

2

u u

[53] GV: (ghi công thức) 2sina cosa = sin 2a

Bài giải trên đây là của HS, GV thực hiện chỉnh sửa, bổ sung Trong quá trình chỉnh sửa bài giải của HS, mỗi khi gặp các dạng đạo hàm mới xuất hiện như : u n , cosu, u GV đều

gợi ý để nhắc lại các dạng đó cho HS qua một số câu hỏi: được lượng giác bậc 1 rồi thì hãy nhận xét về góc? Ta có thể sử dụng công thức gì? hay căn của gì đây? có nghĩa là áp dụng công thức gì? Sau khi HS nhận ra được các dạng đạo hàm, GV ghi các dạng đạo hàm đó bên cạnh, còn các công thức đạo hàm tương ứng (u n

)’= n.un-1.u’; (cosu)’ = -sinu.u’, ( u)’ = '

g(x) = x , h(x) = cosx, i(x) = x2 nên là hàm hợp của 4 hàm số Tuy nhiên, khi tiến hành giúp

HS nhận ra dạng đạo hàm cần tính, GV không chỉ ra đây là hàm hợp của 4 hàm số, mà chỉ

chú ý HS đến những dạng công thức tính đạo hàm được học trong SGK của các hàm : un;

cosu; u . Ở đây, các biến trung gian u của hàm số hợp này không xuất hiện tường minh Vì

vậy khi giảng giải ở mỗi bước, GV đều phải chỉ ra dạng đạo hàm là gì, từ đó HS xác định ra các biến u, thực hiện việc tính đạo hàm bằng cách thay các biến u đã được xác định vào các công thức tính đạo hàm

Qua quá trình khi GV thực hiện chỉnh sửa bài làm của HS, chúng tôi nhận thấy: nội dung các câu hỏi nhận xét về đặc điểm các hàm số lượng giác cần lấy đạo hàm được lập lại giống

nhau nhu: hàm s ố lượng giác có bậc mấy ; nhận xét về góc?hay căn của gì đây? Điều đó nói lên rằng: trong thực hành, để nhận dạng hàm số hợp cần lấy đạo hàm, HS không dùng đến định nghĩa mà thay vào đó là các hướng dẫn mang tính công nghệ lý thuyết được GV cung cấp trong thực hành giảng dạy Các biến trung gian u không xuất hiện tường minh nên các dạng hàm số hợp như cosu, u , u n được GV ghi bên cạnh ở những chổ cần lấy đạo hàm

của dạng đó sau khi đã gợi ý cho HS nhận ra được dạng của các hàm số hợp

1.1.1.1.3 Kết luận

Như vậy, đạo hàm hàm số hợp trong SGKHH được trình bày đơn giản với công thức y’ x

= y’ u u’ x Việc tính đạo hàm hàm số hợp được thực hiện như một phép thay chữ hình thức

mà không cần sự can thiệp của hàm hợp Trong thực hành, HS không dùng đến định nghĩa hàm số hợp mà sử dụng các hướng dẫn mang tính công nghệ - lý thuyết được GV cung cấp

để xác định dạng hàm số hợp cần lấy đạo hàm, các biến trung gian cần thiết

1.1.1 2 Đạo hàm hàm số hợp trong PPĐBS phép tính tích phân

PPĐBS được trình bày ở lớp 12 trong chương Tích phân (chương trình 1992); trong chương Nguyên hàm và tích phân (chương trình 2000) và trong chương Nguyên hàm, tích

phân và ứng dụng (chương trình 2008) nhằm phục vụ cho việc tìm nguyên hàm, tính tích

u b

u a

f u du

Trong đó hàm u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y = f(u) liên tục sao cho hàm hợp

f[u(x)] xác định trên K ; a và b là hai số thuộc K

Trên cơ sở đó, SGK GT 12 (BNC) đưa ra hai cách đổi biến số trong tích phân xác định như sau:

( ) [ ( )] '( )

b a

Theo kết quả nghiên cứu trên thì đạo hàm của hàm số hợp được đưa vào chương trình

nhằm mục đích cung cấp yếu tố công nghệ cho phép đổi biến trong tích phân xác định Tuy nhiên, sự liên hệ giữa đạo hàm hàm hợp và công thức đổi biến số chưa thực sự được làm rõ, đạo hàm hàm hợp chỉ được sử dụng để chứng minh công thức đổi biến số trong PPĐBS tìm nguyên hàm

Định lý 1: SGK GT 12 (BNC) tr 142

Định lí 1: cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho

Trong thực hành, SGK hướng HS đến việc biến đổi du = du(x) = u’(x)dx và sau đó tìm

nguyên hàm theo biến u Khi đó, công thức (1) được viết lại như sau:

Trong ví dụ trên, SGK đã chọn cách đặt ẩn phụ u = u(x) = 2x+1 Tuy nhiên, trước khi

đặt ẩn phụ, SGK đã thực hiện bước biến đổi (2x+1)4dx = 1

2(2x+1)

4(2x+1)’dx = 1

2

(2x+1)4d(2x+1) nhằm mục đích làm rõ hơn việc đưa f[u(x)].u’(x)dx về f(u)du Qua bước

biến đổi thì biến mới u(x), hàm số f[u(x)] và du(x) xuất hiện rõ hơn: u(x) = 2x+1; f[u(x)] =

đặt biến mới u = 2x+1 và lấy nguyên hàm theo biến u Điều này có thể dẫn đến việc HS chỉ

nhận ra dạng nguyên hàm khi ở biến u với du mà không phải từ kiến thức về hàm hợp hay đạo hàm của hàm số hợp, tức dạng g(x) = f[u(x)]u’(x)

SGV không giải thích hay hướng dẫn gì thêm từ ví dụ trên Các hoạt động H1, H2 trong SGK về PPĐBS tìm nguyên hàm chỉ được SGV hướng dẫn sơ lược đặt biến số mới u

là gì, sau đó thay vào biểu thức ở đề bài và nêu kết quả của bài toán Như vậy SGV cũng hướng HS đến việc đưa bài toán về biến u, tìm nguyên hàm trên biến u mà không sử dụng hàm hợp hay đạo hàm hàm số hợp để xác định biến mới và tìm nguyên hàm hàm số Mặc dù

việc quan sát các hàm số hợp, đạo hàm hàm số hợp giúp HS phát hiện ra biến số phụ u(x) là

gì hay tìm được nguyên hàm nhanh chóng, chính xác hơn nhưng đã không được SGK chú ý khai thác Vậy có phải chăng GV và HS xem việc đổi biến số qua biến u là cách giải tối ưu cho bài toán tìm nguyên hàm bằng PPĐBS?

Ở các ví dụ mà SGK đưa vào để minh họa cho PPĐBS thì cách đổi biến được cụ thể

hóa rõ ràng theo các bước: đặt ẩn phụ u = u(x) (hay x = x(t)), tính du = u’ x dx (hay dx =

x’ tdt); đổi cận; thế vào và tính tích phân

Ví d ụ 2: SGK GT 12( (BNC)) tr 159:

Ví dụ 2: Tính

1

2 0

Việc tính tích phân

1

2 0

1 x dx −

phụ x = sint, tính dx = costdt; đổi cận: 0 = sin0 và 1 = sin

2

π

; thế vào và tính tích phân Trong ví dụ này, nếu giữ nguyên biểu thức 2

1 x dx − thì việc lấy nguyên hàm trực tiếp không thực hiện được vì hàm số trên không nằm trong các hàm có thể lấy nguyên hàm trực

tiếp Chính vì vậy việc giải bài toán này cần đến ẩn số phụ để có thể chuyển một hàm không

thể lấy nguyên hàm trực tiếp về hàm có thể lấy nguyên hàm trực tiếp được Việc hàm số

2

1 x − không thể lấy nguyên hàm trực tiếp cũng có nghiã là hàm số đó không là đạo hàm

của hàm số hợp nào nên nếu chọn đổi biến theo cách 1 thì bài toán rất có khả năng đi vào

1 x − không là đạo hàm của hàm số hợp nào là nguyên nhân chính Khi SGK thực hiện đổi biến theo cách 2 đã chọn ẩn số phụ x = sint, với

hợp

Mặt khác, từ kết quả ghi nhận được ở trên là trong thể chế hiện hành không tồn tại

việc đọc ngược kết quả đạo hàm để tính nguyên hàm Những điều này làm cho đạo hàm của hàm số hợp và PPĐBS tồn tại riêng rẽ, không có sự liên kết chặt chẽ Khi tính tích phân

bằng PPĐBS, HS chỉ chú ý đến việc tìm các biến số trung gian u = u(x) nào phù hợp và

thực hiện việc biến đổi du = du(x) = u’(x)dx để được một tích phân theo biến mới đơn giản hơn mà không chú ý đến f[u(x)].u’(x) chính là đạo hàm của hàm số hợp F[u(x)] Nếu HS

nhìn thấy được điều này thì việc chọn biến số trung gian u = u(x) để tính tích phân có thể

được giải thích rõ ràng và hợp lý hơn

Như vậy, trong thể chế hiện hành, giữa PPĐBS và đạo hàm hàm số hợp không có sự liên kết chặt chẽ Mặc dù việc sử dụng hàm số hợp, đạo hàm hàm số hợp vào trong PPĐBS không những giúp xác định biến số phụ u(x) thuận lợi hơn mà còn giúp HS lựa chọn được cách giải đúng cho bài toán đổi biến số để tìm nguyên hàm, tính tích phân Tuy nhiên,

những lợi ích này đã không được SGK khai thác triệt để Chính điều này gây ra sự lúng túng cho HS khi chọn biến số trung gian u = u(x) hay x = x(t) trong PPĐBS để tính tích phân

1.1.2 Vấn đề nhận diện dạng của một hàm số cần lấy đạo hàm, tích phân :

1.1.2.1 N hận diện dạng của một hàm số hợp cần lấy đạo hàm:

Như trên chúng tôi đã phân tích, mặc dù việc sử dụng hàm số hợp, đạo hàm hàm số

hợp vào trong PPĐBS mang lại các lợi ích thiết thực, tuy nhiên, để thực hiện được quá trình

đó còn phụ thuộc vào việc nhìn ra được dạng của các hàm số hợp cần sử dụng Quá trình này được trang bị cho HS như thế nào?

1.1.2.1.1 N hận diện dạng đạo hàm của hàm số hợp trong SGKHH:

Khái niệm hàm số hợp được giới thiệu ở lớp 11 để phục vụ cho việc tính đạo hàm

của hàm số hợp qua công thức g’(x) = f’[u(x)].u’(x) (định lý 4 tr 201 SGK ĐS & GT 11

(BNC) (2007)) Việc thực hành tính đạo hàm của hàm số hợp chỉ được thực hiện với một số các hàm đã được nêu như: y= u x( ) ,y = un(x); và các hàm số lượng giác như y = sin[u(x)]; y = cos[u(x)]; y = tan[u(x)]; y = cot[u(x)] Về sau, ở lớp 12, việc tính đạo hàm hàm số hợp được bổ sung các hàm y = au(x)

; y = logau(x); y = uα(x) Các hàm này đều được SGK nêu cụ thể công thức tính đạo hàm, công thức tính đạo hàm của hàm số hợp qua các định lý hay một số hệ quả của định lý

Khi thực hành lấy đạo hàm của một hàm số hợp thì trước tiên phải nhìn ra được dạng

của hàm số hợp bằng cách dựa vào định nghĩa hàm số hợp để xác định rõ các hàm số trung gian, từ đó có thể xác định dạng của hàm số hợp và sau đó mới tiến hành lấy đạo hàm SGK

giới thiệu định nghĩa hàm số hợp là hợp của 2 hàm số y = f(u) và u = u(x), công thức tính đạo hàm của hàm số hợp y’ x = y’ u u’ x, nhưng phần bài tập lại sử dụng hàm hợp của 3 hay 4 hàm số Cụ thể như SGK ĐS & GT 11 (BNC) (2007) có:

Bài tập 29c(tr 211): y = cos 2x+ có d1 ạng y = h (g f) với f(x) = 2x+1, g(x) =

x , h(x) = cosx là hàm hợp của 3 hàm số; hay bài tập 33e(tr 212): y = cos2

2

π −

có

Hay như SBT ĐS & GT 11 (BNC) có bài tập 5.20i tr 182: y = sin2(cos3x) có d ạng y

= i (h (g f)) với f(x) = 3x, g(x) = cosx, h(x) = sinx, i(x) = x2] là hàm hợp của 4 hàm số

Mặc dù mong muốn của SGK là muốn HS vận dụng thành thạo công thức y’ x = y’ u u’ x, nhưng điều đó lại gây khó khăn cho HS khi tiến hành xác định dạng của hàm số hợp cần tính đạo hàm

Bên cạnh đó, định nghĩa hàm số hợp là công cụ duy nhất để HS xác định dạng của

hàm số hợp thì lại được trình bày như là một sự thay thế biến u vào f(u) Việc làm rõ các

biến u(x) thay thế đó để có thể xác định dạng của hàm số hợp là rất quan trọng khi thực hiện

lấy đạo hàm của hàm số hợp nhưng lại không được đề cập đến Tuy việc xác định hàm số đó

có là hàm số hợp hay không, dạng hàm số hợp là gì cần phải dựa vào phần định nghĩa hàm

số hợp nhưng khi đi vào các bài tập, quá trình này không dựa vào định nghĩa nữa mà chỉ

dựa vào các hệ quả suy ra từ định lý 4 về công thức tính đạo hàm hàm hợp với các dạng hàm cụ thể như: y= u x( );y = un(x); y = sin[u(x)]; y = cos[u(x)]; y = tan[u(x)]; y = cot[u(x)]

(ở lớp 11); y = a u(x)

; y = logau(x); y = uα(x) (ở lớp 12) mặc dù các công thức này chỉ được sử

dụng khi đã xác định được dạng của hàm số cần lấy đạo hàm

Với những bài tập tính đạo hàm của hàm số hợp, SGK chỉ cung cấp các công cụ cần thiết cho việc tính đạo hàm của hàm số hợp mà không chú ý đến việc xác định dạng của hàm số hợp đó Công cụ lý thuyết mà SGK sử dụng xác định hàm hợp là định nghĩa hàm

hợp Tuy nhiên, định nghĩa này cũng chỉ nói đến hàm hợp một cách hình thức như là sự thay

thế các biến, mà không nói đến bản chất là tích các ánh xạ, lại không làm rõ việc xác định

các hàm số trung gian

1.1.2.1.2 N hận diện dạng đạo hàm của hàm số hợp trong quá trình dạy học:

Ví dụ sau được chúng tôi ghi nhận qua một tiết dự giờ của giáo viên

Bài tập y = cos 2 x+ , (bài t1 ập 29c tr 211, SGK ĐS & GT 11 (BNC) (2007))

Để giúp HS nhận ra dạng đạo hàm của hàm số hợp cần tính, GV đầu tiên đã phải yêu

cầu HS nhắc lại một số các công thức tính đạo hàm Sau đó tiến hành đối thoại với HS nhằm

gợi ý cho HS tìm ra được dạng đạo hàm cần tính

[17] GV: bài này có th ể sử dụng công thức nào để tính đạo hàm của hàm số?

[18] Cả lớp: …

[19] GV : lưu ý cho Cô thứ 1 là các em phải để ý đến bậc của hàm số lượng giác, ở đây là bậc mấy? [20] Cả lớp: dạ, bậc 1

[21] GV: còn góc này có ph ải là x không?

[22] Cả lớp: thưa cô, không

[23] GV: vậy hàm số này là cosu Mời một em lên bảng nhé!

2 2 1 1 sin 2 1

Bài giải trên do HS thực hiện và được GV chỉnh sửa, bổ sung Các dòng chữ ghi bên

cạnh như cosu; (cosu)’ = -sinu.u’; ( ) '

' 2

u u

u

= là của GV nhắc lại cho HS bằng ngôn ngữ nói Ta có thể thấy, việc xác định dạng của một hàm số hợp không dựa vào định nghĩa về hàm số hợp mà SGK đã nêu mà chủ yếu dựa vào các công thức đạo hàm đã được SGK cung

cấp GV thực hiện hướng dẫn HS xác định dạng đạo hàm cần tính, HS không quan tâm đến

việc xác định các hàm số trung gian của hàm số hợp đang xét là gì

Thực tế dạy học cho thấy quá trình xác định các dạng hàm số hợp tồn tại các quy tắc

ngầm ẩn giữa GV và HS như sau:

- GV, HS không dựa vào định nghĩa hàm số hợp để xác định dạng hàm số hợp cần tính đạo hàm mà đều dựa vào các công thức tính đạo hàm để từ đó có thể xác định dạng của hàm số hợp cần tính đạo hàm

- HS bắt buộc phải thuộc các công thức tính đạo hàm mà SGK đã nêu, không quan tâm đến việc xác định hàm số hợp cần tính đạo hàm là hợp của các hàm số nào, GV có nhiệm vụ chỉ ra dạng của hàm số hợp cần tính đạo hàm đó

1.1.2.1.3 Kết luận

Qua đó, chúng tôi nhận thấy các công cụ lý thuyết sử dụng thực hiện bài toán tính đạo hàm của hàm số hợp được SGK cung cấp đầy đủ Khi đã xác định được dạng của các hàm số cần tính đạo hàm, cho dù các hàm số hợp này là hợp của nhiều hơn 2 hàm số, HS

vẫn thực hiện được việc tính đạo hàm Trong khi đó, các công cụ lý thuyết cho việc nhận