– Học lại tất cả các kiến thức căn bản về toán từ lớp dưới. – Phải thuộc những định nghĩa và định lý bằng cách làm nhiều bài tập. – Gặp một bài toán lạ và khó, bình tĩnh và kiên nhẫn phân tích để đưa về những bài toán cơ bản và quen thuộc. – Để có hiệu quả cao, cần phải có một chút yêu thích môn học. – Phải học đều từ đầu năm chứ không phải đợi gần thi mới học.
Trang 1BÀI
Bài 1 M t nhóm l p h c có 8 n và 2 nam x p hàng ch p nh k ni m nhân m t tháng h c chung cùng th y giáo
theo m t dãy hàng ngang Tính xác su t đ vi c x p theo 1 dãy hàng ngang đ m b o m i nam luôn có n đ ng c nh
2 bên (bi t r ng th y giáo chu n Men )
Bài 2 Trong khóa h c PenC – N3 c a hai th y Lê Anh Tu n và Nguy n Thanh Tùng cu i khóa h c có m t bài
ki m tra g m 12 câu dành cho ba chuyên đ khó nh t, trong đó có 3 câu thu c ch đ hình h c Oxy, 4 câu thu c ch
đ PT, BPT, HPT và 5 câu thu c ch đ B T, GTLN, GTNN Th y Tùng đ c “ u ái” ch n tr c ra 6 câu đ ch a
cho h c sinh (6 câu còn l i do th y Tu n đ m nhi m) Tính xác su t đ sau khi th y Tùng ch n thì s câu còn l i có
m t đ ba ch đ dành cho th y Tu n ch a
Bài 3 Trung tâm Hocmai có 9 nam giáo viên tr , trong đó có 1 giáo viên thu c cung B C p và 8 n giáo viên tr ,
trong đó có 2 giáo viên thu c cung B C p Tính xác su t đ 4 giáo viên vinh d đ c c tham gia vào “L tuyên
d ng tân sinh viên n m 2016”, sao cho có đ giáo viên nam, n và có ít nh t m t ng i thu c cung B C p
Bài 4 Trong m t ph ng t a đ Oxy các góc ph n t th I, th II, th III, th IV cho l n l t 1, 2, 3 và 4 đi m
phân bi t (các đi m không n m trên các tr c t a đ và ba đi m b t kì không th ng hàng) Ta ch n 3 đi m b t kì
trong 10 đi m trên Tính xác su t đ 3 đi m đ c ch n t o thành m t tam giác:
1) không có c nh nào c t tr c t a đ 2) có đúng 2 c nh c t tr c t a đ 3) c 3 c nh c t tr c t a đ
Bài 5 G i S là t p h p các s có 3 ch s đ c l p t các ch s 1, 9, 8 Ng i ta ch n ra 6 s t t p S đ t o ra 6
mã đ thi tr c nghi m c a môn V t lí trong kì thi THPT Qu c gia n m 2016 Tính xác su t đ 6 mã đ đ c ch n,
m i mã đ đ u có t ng các ch s là m t s l
Bài 6 T 16 ch cái c a ch “ KI THI THPT QUOC GIA” ch n ng u nhiên ra 5 ch cái Tính xác su t đ ch n
đ c 5 ch cái đôi m t phân bi t
Bài 7 Cho đa giác đ u 12 đ nh Ch n ng u nhiên 3 đ nh trong 12 đ nh c a đa giác Tính xác su t đ 3 đ nh đ c
ch n t o thành m t tam giác
1) đ u 2) không cân 3) không có c nh nào là c nh c a đa giác đã cho
Bài 8 làm m t đ toán g m 10 câu h i ph c v cho kì thi THPT Qu c Gia H i đ ng ra đ đã ch n t m t ngân
hàng g m 30 câu h i g m 16 câu h i d , 10 câu h i trung bình và 4 câu h i khó Tính xác xu t đ đ thi đ c ch n
nh t thi t ph i có đ 3 lo i câu h i (d , trung bình, khó), s câu h i khó là ít nh t và s câu h i d không ít h n 6
Bài 9 G i M là t p h p các s t nhiên ch n g m b n ch s đôi m t khác nhau Ch n ng u nhiên 1 s t t p M
Tính xác su t đ s đ c ch n có m t ch s 6 và ch s 9
Bài 10 Tu n và Tùng tham gia kì thi THPTQG trong đó có 2 môn thi tr c nghi m là V t Lý và Hóa H c thi c a
m i môn g m 6 mã đ khác nhau và các môn khác nhau có mã khác nhau thi đ c s p x p và phát cho các thí
sinh m t cách ng u nhiên Tính xác su t đ trong 2 môn thi đó Tu n và Tùng có chung m t mã đ thi
GV: Nguy n Thanh Tùng
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Trang 2Bài 11 M t l p h c có 30 h c sinh Ch n ng u nhiên 3 h c sinh đ tham gia ho t đ ng c a oàn tr ng Xác su t
ch n đ c 2 nam và 1 n là 12
29 Tính s h c sinh n c a l p
Bài 12 T i m t h i làng, có m t trò ch i quay s trúng th ng v i mâm quay là m t đ a tròn đ c chia đ u thành
10 ô và đ c đánh s t 1 đ n 10 m i l t ch i, ng i ch i đ c quay liên ti p mâm quay 2 l n, khi mâm quay
d ng kim quay ch t ng ng v i ô đã đ c đánh s Ng i ch i trúng th ng n u t ng c a hai s kim quay ch khi mâm quay d ng là m t s chia h t cho 3 Tính xác su t đ ng i ch i trúng th ng
Bài 13 T 1 h p ch a 16 th đ c đánh s t 1 đ n 16
1) Ch n ng u nhiên 4 th Tính xác su t đ 4 th đ c ch n
a) đ u đ c đánh s ch n (A, A1 – 2014) b) có t ng là 1 s l
2) Ch n ng u nhiên 2 th Tính xác su t đ tích hai s ghi trên hai th là 1 s chính ph ng
3) Tính xác su t đ trong 7 t m th đ c ch n có 3 t m th mang s l , 4 t m th mang s ch n trong đó có duy
nh t m t t m th chia h t cho 5
Bài 14 Có 6 Nhà Toán h c nam, 3 Nhà Toán h c n , 4 Nhà V t lí nam Tính xác su t đ l p ra m t đoàn công tác 3
ng i đ m b o c n có c nam và n , c Nhà Toán h c và Nhà V t lí
Bài 15 M t đoàn tàu có 7 toa tàu đang đ m t sân ga và có 7 hành khác t sân ga lên tàu M i ng i lên tàu đ c
l p v i nhau và ch n m t toa m t cách ng u nhiên Tính xác su t đ đoàn tàu có m t toa có 1 ng i, m t toa có 2
ng i, m t toa có 4 ng i và 4 toa còn l i không có ng i nào
Bài 16 G i T là t p h p các s t nhiên g m 5 ch s khác nhau Ch n ng u nhiên m t s t t p T Tính xác su t
đ s đ c ch n có ch s đ ng li n sau luôn l n h n ch s đ ng li n tr c và luôn có m t ch s 5
Bài 17 M t h p đ ng 10 chi c th đ c đánh s t 0 đ n 9 L y ng u nhiên ra 3 chi c th Tính xác su t đ 3 ch
s trên 3 chi c th đ c l y ra có th ghép thành m t s chia h t cho 5
Bài 18 G i T là t p h p các s t nhiên g m ba ch s chia h t cho 7 Ch n ng u nhiên 3 s t t p T Tính xác
su t đ t ng c a 3 s đ c ch n là m t s l
Bài 19 M t ngân hàng đ thi g m 20 câu h i M i đ thi g m 4 câu đ c l y ng u nhiên t 20 câu h i trên Thí sinh
A đã h c thu c 10 câu trong ngân hàng đ thi Tìm xác su t đ thí sinh A rút ng u nhiên đ c m t đ thi có ít nh t 2 câu đã thu c
Bài 20 M t ng i b ng u nhiên 3 lá th vào 3 phong bì đã ghi đ a ch Tính xác su t đ có ít nh t 1 lá th b đúng vào phong bì c a nó
Bài 21 i thanh niên xung kích c a m t tr ng ph thông có 12 h c sinh g m 5 h c sinh l p A, 4 h c sinh l p B
và 3 h c sinh l p C Ch n ng u nhiên 4 h c sinh đi làm nhi m v Tính xác su t đ trong 4 h c sinh đ c ch n
không có quá hai trong ba l p
Bài 22 Trong cu c thi “Rung chuông vàng”, có 20 b n l t vào vòng chung k t , trong đó có 5 b n n và 15 b n nam s p x p v trí ch i, ban t ch c chia thành 4 nhóm A B C D, , , sao cho m i nhóm có 5 b n Vi c chia nhóm
đ c th c hi n b ng cách b c th m ng u nhiên Tính xác su t đ 5 b n n thu c cùng m t nhóm
Bài 23 Có 5 đo n th ng có đ dài l n l t là 1cm, 2cm, 3cm, 4cm, 5cm L y ng u nhiên ra 3 đo n th ng, tính xác
su t đ 3 đo n th ng đ c ch n ra là đ dài 3 c nh c a 1 tam giác
Bài 24 G i A là t p h p t t c các s t nhiên có 5 ch s Ch n ng u nhiên m t s t t p A, tính xác su t đ ch n
đ c m t s chia h t cho 7 và ch s hàng đ n v b ng 1
Bài 25 T các ch s 0;1; 2;3; 4;5 l p ra đ c n s t nhiên l có 6 ch s , đôi m t khác nhau Tính xác su t đ có
th ch n ng u nhiên m t s trong n s v a l p th a mãn t ng ba ch s đ u l n h n t ng ba ch s cu i m t đ n v
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Trang 3S GI I BÀI TOÁN XÁC SU T
L I GI I
Bài 1 M t nhóm l p h c có 8 n và 2 nam x p hàng ch p nh k ni m nhân m t tháng h c chung cùng th y giáo theo m t dãy hàng ngang Tính xác su t đ vi c x p theo 1 dãy hàng ngang đ m b o m i nam luôn có n đ ng c nh
2 bên (bi t r ng th y giáo chu n Men )
Gi i
S cách x p 10 h c sinh cùng th y giáo theo 1 dãy hàng ngang là: n( ) 11!
G i T là bi n c “x p 10 h c sinh cùng th y giáo theo 1 dãy hàng ngang đ m b o m i nam luôn có n đ ng c nh 2 bên”
B c 1: X p 8 n theo 1 dãy hàng ngang, s cách x p là: 8! (cách)
B c 2: Gi a 8 n s có 7 kho ng tr ng
Lúc này, ta s x p 3 nam (g m c th y giáo) vào 7 kho ng tr ng (1 kho ng tr ng x p không quá 1 nam),
S cách x p là: 3
7
A (cách) Suy ra 3
7 ( ) 8!
n T A (cách)
V y xác su t c n tính là: ( ) 8! 73
( )
( )
7 33
11!
A
n T
P T
n
Bài 2 Trong khóa h c PenC – N3 c a hai th y Lê Anh Tu n và Nguy n Thanh Tùng cu i khóa h c có m t bài
ki m tra g m 12 câu dành cho ba chuyên đ khó nh t, trong đó có 3 câu thu c ch đ hình h c Oxy, 4 câu thu c ch
đ PT, BPT, HPT và 5 câu thu c ch đ B T, GTLN, GTNN Th y Tùng đ c “ u ái” ch n tr c ra 6 câu đ ch a cho h c sinh (6 câu còn l i do th y Tu n đ m nhi m) Tính xác su t đ sau khi th y Tùng ch n thì s câu còn l i có
m t đ ba ch đ dành cho th y Tu n ch a
Gi i
S cách th y Tùng ch n 6 câu t 12 câu là: 6
12 ( ) 924
n C
G i T là bi n c sau khi th y Tùng ch n thì s câu còn l i có m t đ 3 ch đ
Suy ra T là bi n c sau khi th y Tùng ch n thì s câu còn l i không đ 3 ch đ
8 7
6 5
4 3
2 1
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Trang 4Tr ng h p 1: Th y Tùng ch n 3 câu thu c ch đ hình h c Oxy và 3 câu không thu c ch đ Oxy
S cách ch n: 3 3
3 9 84
C C (cách)
Tr ng h p 2: Th y Tùng ch n 4 câu thu c ch đ PT, BPT, HPT và 2 câu không thu c ch đ PT, BPT, HPT
S cách ch n: 4 2
4 8 28
C C (cách)
Tr ng h p 3: Th y Tùng ch n 5 câu thu c ch đ B T, GTLN, GTNN và 1 câu không thu c ch đ
B T, GTLN, GTNN S cách ch n: 5 1
5 7 7
C C (cách) Suy ra n T( )84 28 7 119
Cách trình bày 1: Khi đó ( ) ( ) 119 17
( ) 924 132
n T
P T
n
, suy ra xác su t c n tìm là: ( ) 1 ( ) 115
132
P T P T
Cách trình bày 2: Khi đó n T( ) n( ) n T( )924 119 805
Suy ra xác su t c n tìm là: ( ) ( ) 805
( )
115
2 1 2
9
n T
P T
n
Bài 3 Trung tâm Hocmai có 9 nam giáo viên tr , trong đó có 1 giáo viên thu c cung B C p và 8 n giáo viên tr , trong đó có 2 giáo viên thu c cung B C p Tính xác su t đ 4 giáo viên vinh d đ c c tham gia vào “L tuyên
d ng tân sinh viên n m 2016”, sao cho có đ giáo viên nam, n và có ít nh t m t ng i thu c cung B C p
Gi i
S cách c 4 giáo viên t 17 giáo viên là: 4
17 ( ) 2380
n C
G i T là bi n c c 4 giáo viên trong đó có đ nam, n và có ít nh t m t ng i thu c cung B C p
B c 1: Ta s đi tính s cách c 4 giáo viên trong đó có đ nam và n
S cách là: 4 4 4
17 9 8 2184
C C C (ta dùng ph ng pháp ph n bù)
B c 2: Ta s đi tính s cách c 4 giáo viên trong đó có đ nam và n và không có ng i thu c cung B C p
C 1 nam giáo viên và 3 n giáo viên không có ng i thu c cung B C p, s cách là : 1 3
8 6 160
C C
C 2 nam giáo viên và 2 n giáo viên không có ng i thu c cung B C p, s cách là: 2 2
8 6 420
C C
C 3 nam giáo viên và 1 n giáo viên không có ng i thu c cung B C p, s cách là: 3 1
8 6 336
C C
V y s cách th a mãn: 160 420 336 916
Suy ra n T( )2184 916 1268
Khi đó xác su t c n tính là: ( ( ) 1268 317
595
) ( ) 2380
n T
P T
n
Chú ý: bài toán trong B c 1 , ta có th tính tr c ti p theo cách sau
C 1 nam giáo viên và 3 n giáo viên, s cách là : 1 3
9 8 504
C C
C 2 nam giáo viên và 2 n giáo viên, s cách là: 2 2
9 8 1008
C C
C 3 nam giáo viên và 1 n giáo viên, s cách là: 3 1
9 8 672
C C
V y s cách th a mãn: 504 1008 672 2184
Bài 4 Trong m t ph ng t a đ Oxy các góc ph n t th I, th II, th III, th IV cho l n l t 1, 2, 3 và 4 đi m phân bi t (các đi m không n m trên các tr c t a đ và ba đi m b t kì không th ng hàng) Ta ch n 3 đi m b t kì
trong 10 đi m trên Tính xác su t đ 3 đi m đ c ch n t o thành m t tam giác:
1) không có c nh nào c t tr c t a đ
2) có đúng 2 c nh c t tr c t a đ
3) c 3 c nh c t tr c t a đ
Gi i
S tam giác t o thành khi ch n 3 đi m t 10 đi m chính là s ph n t c a không gian m u: 3
10 ( ) 120
n C
1) G i A là bi n c “3 đi m đ c ch n t o thành tam giác không có c nh nào c t tr c t a đ ”
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Trang 5Khi đó 3 đi m đ c ch n ph i thu c cùng m t góc ph n t th III ho c th IV
Suy ra n A( )C33C43 5
V y xác su t c n tìm là: ( ) ( ) 5
( ) 120 24
1
n A
P A
n
2) G i B là bi n c “3 đi m đ c ch n t o thành
tam giác có đúng 2 c nh c t tr c t a đ ”
Khi đó 3 đi m đ c ch n ph i đ c l y t 2 đi m c a cùng m t
góc ph n t nào đó và 1 đi m không thu c góc ph n t đó
Suy ra: 2 1 2 1 2 1
2 8 3 7 4 6
n B C C C C C C
V y xác su t c n tìm là: ( ) ( ) 65
( ) 120
13 24
n B
P B
n
3) G i C là bi n c “3 đi m đ c ch n t o thành tam giác c 3 c nh c t tr c t a đ ”
Do tam giác t o thành ch có th ho c không có c nh nào c t tr c t a đ ho c có đúng 2 c nh c t tr c t a đ
ho c c 3 c nh c t tr c t a đ
Do đó, ta có: n( ) n A( )n B( )n C( )n C( ) n( ) n A( )n B( )50
V y xác su t c n tìm là: ( ) ( ) 50
( ) 120
5 12
n C
P C
n
Bài 5 G i S là t p h p các s có 3 ch s đ c l p t các ch s 1, 9, 8 Ng i ta ch n ra 6 s t t p S đ t o ra 6
mã đ thi tr c nghi m c a môn V t lí trong kì thi THPT Qu c gia n m 2016 Tính xác su t đ 6 mã đ đ c ch n,
m i mã đ đ u có t ng các ch s là m t s l
Gi i
G i s có 3 ch s d ng a a a 1 2 3
B c 1: M i ch s a a a 1, 2, 3 đ u có 3 cách ch n, nên s các s thu c t p S là 3.3.3 27 s
B c 2 : Ta đi tính s các s thu c t p S mà có t ng các ch s là m t s ch n
Tr ng h p 1: a a a 1, 2, 3 đ u ch n, suy ra s đó là 888 , có 1 s
Tr ng h p 2: a a a có 1 ch1, 2, 3 s ch n và 2 ch s l khác nhau, có 3! 6 s
Tr ng h p 3: a a a có 1 ch1, 2, 3 s ch n và 2 ch s l gi ng nhau, có 3.1 3 s
V y có 1 6 3 10 s th a mãn b c 2
Suy ra s các s thu c t p S mà có t ng các ch s là m t s l là 27 10 17 s
B c 3: S cách ch n 6 s t t p S là: 6
27
C (cách)
S cách ch n 6 s t 17 s mà có t ng các ch s là m t s l là: 6
17
C (cách)
V y xác su t c n tính là: 176
6 17
6188 148005
C
Bài 6 T 16 ch cái c a ch “ KI THI THPT QUOC GIA” ch n ng u nhiên ra 5 ch cái Tính xác su t đ ch n
đ c 5 ch cái đôi m t phân bi t
Gi i
S cách ch n 5 ch cái t 16 ch cái là: 5
16 ( ) 4368
n C
Ch “ KI THI THPT QUOC GIA” có 8 ch cái xu t hi n 1 l n là các ch : K, P, Q, U, O, C, G, A
có 1 ch cái xu t hi n 2 l n là ch : H
có 2 ch cái xu t hi n 3 l n là các ch : I, T
G i B là bi n c trong đó 5 ch cái đ c ch n đôi m t phân bi t
y
x A
IV III
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Trang 6G i t p X {K; P; Q; U; O; C; G; A}, khi đó ta có các tr ng h p sau:
Tr ng h p 1: Trong 5 ch đ c ch n đ u thu c t p X , s cách ch n: 5
8 56
C
Tr ng h p 2: Trong 5 ch đ c ch n có ch a 4 ch thu c t p X
và 1 ch H, s cách ch n: 4 1
8 2 140
C C
và 1 ch I, s cách ch n: 4 1
8 3 210
C C
và 1 ch T, s cách ch n: 4 1
8 3 210
C C
V y s cách ch n trong tr ng h p này là: 140 210 210 560
Tr ng h p 3: Trong 5 ch đ c ch n có ch a 3 ch thu c t p X
và 1 ch H, 1 ch I s cách ch n: 3 1 1
8 2 3 336
C C C
và 1 ch H, 1 ch T, s cách ch n: 3 1 1
8 2 3 336
C C C
và 1 ch I, 1 ch T, s cách ch n: 3 1 1
8 3 3 504
C C C
V y s cách ch n trong tr ng h p này là: 336 336 504 1176
Tr ng h p 4: Trong 5 ch đ c ch n có ch a 2 ch thu c t p X , 1 ch H, 1 ch I , 1 ch T
S cách ch n: 2 1 1 1
8 2 3 3 504
C C C C Khi đó n B( )56 560 1176 504 2296
V y xác su t c n tìm là: ( ) ( ) 2296
( ) 4
1 8
368
4 7
n B
P B
n
Bài 7 Cho đa giác đ u 12 đ nh Ch n ng u nhiên 3 đ nh trong 12 đ nh c a đa giác Tính xác su t đ 3 đ nh đ c
ch n t o thành m t tam giác
1) đ u 2) không cân 3) không có c nh nào là c nh c a đa giác đã cho
Gi i
S cách ch n 3 đ nh b t kì (chính là s tam giác) t 12 đ nh là: 3
12 ( ) 220
n C
1) G i A là bi n c mà 3 đ nh đ c ch n t o thành m t tam giác đ u
3 đ nh t o thành m t tam giác đ u thì các đ nh đó ph i n m các v trí cách đ u nhau, nên s cách ch n ra m t tam giác đ u là: ( ) 12 4
3
n A Khi đó xác su t c n tính là: ( ) ( ) 4
( ) 220 55
1
n A
P A
n
2) G i B là bi n c mà 3 đ nh đ c ch n t o thành m t tam giác không cân
G i đa giác đ u đã cho là A A1 2 A Vì 12 A A là tr1 7 c đ i x ng c a đa giác nên s tam giác cân đ nh A là 5 tam giác 1 (A A A1 2 12,A A A1 3 11,A A A1 4 10,A A A A A A1 5 9, 1 6 8) trong đó có m t tam giác đ u là A A A Hay v1 5 9 i đ nh A ta có 4 tam 1 giác cân không đ u T ng t s có 4 tam giác cân (không đ u) ng v i các đ nh A A2, 3, ,A 14
Suy ra s tam giác cân mà không ph i là tam giác đ u là: 12.4 48 Mà theo ý 1) ta có s tam giác đ u là: 4
Do đó s tam giác cân là: 48 4 52
V y s tam giác không cân là: n B( )220 52 168
Khi đó xác su t c n tính là: ( ) ( ) 168
( ) 2
42
20 55
n B
P B
n
3) G i C là bi n c mà 3 đ nh đ c ch n t o thành m t tam giác không có c nh nào là c nh c a đa giác đã cho
S tam giác có đúng m t c nh là c nh c a đa giác đã cho là : 12
S tam giác có 2 c nh là 2 c nh c a đa giác đã cho là : 12.8 96 ( ng v i m t c nh có 8 tam giác t o thành)
Suy ra n C( )220 (12 96) 112
V y xác su t c n tính là: ( ) ( ) 112
( ) 2
28
20 55
n C
P C
n
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Trang 7Bài 8 làm m t đ toán g m 10 câu h i ph c v cho kì thi THPT Qu c Gia H i đ ng ra đ đã ch n t m t ngân
hàng g m 30 câu h i g m 16 câu h i d , 10 câu h i trung bình và 4 câu h i khó Tính xác xu t đ đ thi đ c ch n
nh t thi t ph i có đ 3 lo i câu h i (d , trung bình, khó), s câu h i khó là ít nh t và s câu h i d không ít h n 6
Gi i
S cách ch n 10 câu h i t ngân hàng g m 30 câu h i là: 10
30 ( )
n C
G i A là bi n c mà 10 câu h i đ c ch n có đ 3 lo i câu h i (d , trung bình, khó), s câu h i khó là ít nh t và s
câu h i d không ít h n 6 Khi đó ta có:
Tr ng h p 1: Ch n đ c 6 câu h i d , 3 câu h i trung bình và 1 câu h i khó
S cách ch n là: C C C166 103 14
Tr ng h p 2: Ch n đ c 6 câu h i d , 2 câu h i trung bình và 2 câu h i khó
S cách ch n là: 6 2 2
16 10 4
C C C
Tr ng h p 3: Ch n đ c 7 câu h i d , 2 câu h i trung bình và 1 câu h i khó
S cách ch n là: C C C167 102 14
Tr ng h p 4: Ch n đ c 8 câu h i d , 1 câu h i trung bình và 1 câu h i khó
S cách ch n là: 8 1 1
16 10 4
C C C Suy ra n A( )C C C166 103 41C C C166 102 42C C C167 102 14C C C168 101 14
V y xác su t c n tính là:
6 3 1 6 2 2 7 2 1 8 1 1
16 10 4 16 10 4 16 10 4 16 10 4
10 30
( ) ( )
( )
4000 14007
n A
P A
Bài 9 G i M là t p h p các s t nhiên ch n g m b n ch s đôi m t khác nhau Ch n ng u nhiên 1 s t t p M
Tính xác su t đ s đ c ch n có m t ch s 6 và ch s 9
Gi i
G i các s c a t p M có d ng: a a a a v i 1 2 3 4 a40; 2; 4; 6;8
+) V i a4 0 a a a1 2 3 có s cách ch n: 3
9 504
A , suy ra có : 504 s +) V i a42; 4; 6;8: 4 cách ch n, suy ra a có 8 cách ch n và 1 a a có 2 3 A82 56
Suy ra các s l p đ c: 4.8.56 1792 s
V y n( ) n M( )504 1792 2296
G i A là bi n c mà s đ c ch n t t p M có m t ch s 6 và ch s 9
Suy ra s đ c ch n có d ng a a a a 1 2 3 4 trong đó có m t c ch s 6, ch s 9 và a40; 2; 4; 6;8
Khi đó ta có các tr ng h p:
Tr ng h p 1: a4 , suy ra s cách ch n 0 a a a có m t c ch s 6, ch s 9 là: 1 2 3 2
3.7 42
A
Tr ng h p 2: a4 và 6 a a a có m t ch s 9 1 2 3
+) a1 9 a a2 3 có s cách ch n là: 2
8
A +) a19;0; 6: có 7 cách ch n và a a có: 2 3 2.7 14 cách ch n
Suy ra các s l p đ c tr ng h p 2 là: 2
8 7.14 154
Tr ng h p 3: a42; 4;8: có 3 cách ch n và a a a có m t ch s 6 và 9 1 2 3
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Trang 8+) a1 6;9 : có 2 cách ch n; a a có s cách ch n là: 2 3 2.7 14
+) a16;9; 0;a4: có 6 cách ch n; a a2 396; 69: có 2 cách ch n
Suy ra các s l p đ c tr ng h p 3 là: 3.(2.14 6.2) 120
Khi đó ta có n A( )42 154 120 316
V y xác su t c n tính là: ( ) ( ) 316
( )
79
2 6 74
2
n A
P A
n
Bài 10 Tu n và Tùng tham gia kì thi THPTQG trong đó có 2 môn thi tr c nghi m là V t Lý và Hóa H c thi c a
m i môn g m 6 mã đ khác nhau và các môn khác nhau có mã khác nhau thi đ c s p x p và phát cho các thí sinh m t cách ng u nhiên Tính xác su t đ trong 2 môn thi đó Tu n và Tùng có chung m t mã đ thi
Gi i
S cách ch n mã đ hai môn thi c a Tu n là: 6.6 36
S cách ch n mã đ hai môn thi c a Tùng là: 6.6 36
Suy ra s ph n t c a không gian m u là: n( ) 36.361296
G i A là bi n c “Tu n và Tùng có chung m t mã đ thi”
Tr ng h p 1: Tu n và Tùng có chung mã đê thi m t V t Lý
Khi đó s cách nh n mã đ thi là: 6.6.1.5 180
Tr ng h p 2: Tu n và Tùng có chung mã đê thi m t Hóa H c
Khi đó s cách nh n mã đ thi là: 6.6.5.1 180
Suy ra n A( ) 180 180 360 V y xác su t c n tính là: ( ) ( ) 360 5
( ) 1296 18
n A
P A
n
Bài 11 M t l p h c có 30 h c sinh Ch n ng u nhiên 3 h c sinh đ tham gia ho t đ ng c a oàn tr ng Xác su t
ch n đ c 2 nam và 1 n là 12
29 Tính s h c sinh n c a l p.
Gi i
G i s h c sinh n c a l p là n (n*,n28) (1)
S cách ch n ra ba h c sinh b t kì là: 3
30
C cách
S cách ch n ra ba h c sinh trong đó có 2 nam và 1 n là: 2 1
30 n n
C C cách
Theo bài ra ta có: 302 1 2
3 30
14 12
29
2
n n
n
(2)
T (1) và (2) suy ra: n14 V y s h c sinh n c a l p là 14 h c sinh
Bài 12 T i m t h i làng, có m t trò ch i quay s trúng th ng v i mâm quay là m t đ a tròn đ c chia đ u thành
10 ô và đ c đánh s t 1 đ n 10 m i l t ch i, ng i ch i đ c quay liên ti p mâm quay 2 l n, khi mâm quay
d ng kim quay ch t ng ng v i ô đã đ c đánh s Ng i ch i trúng th ng n u t ng c a hai s kim quay ch khi mâm quay d ng là m t s chia h t cho 3 Tính xác su t đ ng i ch i trúng th ng
Gi i
m i l t ch i, s kh n ng ng i ch i có đ c là: n( ) 10.10 100
Ta chia 10 s t 1 đ n 10 thành 3 t p: X 3; 6;9: T p các s chia h t cho 3,
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Trang 9Y 1; 4; 7;10: T p các s chia 3 d 1 và Z 2;5;8: T p các s chia 3 d 2
G i A là bi n c ng i ch i trúng th ng Khi đó ta có 3 tr ng h p:
Tr ng h p 1: C hai l n kim quay đ u ch vào s thu c t p X , suy ra s cách: 3.3 9
Tr ng h p 2: L n quay 1 ch s thu c t p Y, l n quay 2 ch s thu c t p Z, s cách: 4.3 12
Tr ng h p 3: L n quay 1 ch s thu c t p Z, l n quay 2 ch s thu c t p Y, s cách: 3.4 12
V y n A( ) 9 12 12 33 V y xác su t c n tính: ( ) ( )
( )
33 100
n A
P A
n
Chú ý : Trong bài toán này các ph n t có th l p l i (vì l n quay 2 có th trùng v i s l n quay 1)
Bài 13 T 1 h p ch a 16 th đ c đánh s t 1 đ n 16
1) Ch n ng u nhiên 4 th Tính xác su t đ 4 th đ c ch n
a) đ u đ c đánh s ch n (A, A1 – 2014) b) có t ng là 1 s l
2) Ch n ng u nhiên 2 th Tính xác su t đ tích hai s ghi trên hai th là 1 s chính ph ng
3) Tính xác su t đ trong 7 t m th đ c ch n có 3 t m th mang s l , 4 t m th mang s ch n trong đó có duy
nh t m t t m th chia h t cho 5
Gi i
1) S cách ch n 4 th t 16 th là 4
16 ( ) 1820
n C Trong 16 th đ c đánh s , có 8 s ch n và 8 s l
a) 4 th đ c ch n đ u đ c đánh s ch n (A, A1 – 2014)
G i A là bi n c ch n 4 th đ u đánh s ch n
Suy ra s cách ch n 4 th đánh s ch n t 8 th đánh s ch n là: 4
8 ( ) 70
n A C
V y xác su t c n tính là ( ) ( ) 70
( ) 182
1 26
0
n A
P A
n
b) 4 th đ c ch n có t ng là 1 s l
Tr ng h p 1: Ch n 1 th đánh s l và 3 th đánh s ch n, s cách ch n: 1 3
8 8 448
C C
Tr ng h p 2: Ch n 3 th đánh s l và 1 th đánh s ch n, s cách ch n: 1 3
8 8 448
C C Suy ra n B( )448 448 896
V y xác su t c n tính là 32
65
( ) 896 ( )
( ) 1820
n B
P B
n
2) Ch n ng u nhiên 2 th Tính xác su t đ tích hai s ghi trên hai th là 1 s chính ph ng
S cách ch n 2 th t 16 th là 2
16 ( ) 120
n C
G i C là bi n c mà tích hai s ghi trên hai th là 1 s chính ph ng
Ta có 8 c p s mà tích là 1 s chính ph ng là: (1; 4), (1;9), (1;16), (4;9), (4;16), (9;16), (2;8), (3;12)
Suy ra n C( )8 V y xác su t c n tìm là: ( ) ( ) 8
( ) 120 15
1
n C
P C
n
3) Tính xác su t đ trong 7 t m th đ c ch n có 3 t m th mang s l , 4 t m th mang s ch n trong đó có duy
nh t m t t m th chia h t cho 5
S cách ch n 7 t m th t 16 t m th là: 7
16 11440
G i D là bi n c 7 t m th đ c ch n, có 3 t m th mang s l , 4 t m th mang s ch n và có duy nh t m t t m
th chia h t cho 5
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Trang 10Tr ng h p 1: Có 1 t m th mang s 10, có 3 t m th mang s l (b s 5 và 15 vì có duy nh t m t t m th chia
h t cho 5) và 3 t m th mang s ch n (b 10)
S cách ch n: 3 3 3 3
6 7 6 7
1.C C C C
Tr ng h p 2: Có 1 t m th mang s 5 ho c 15, có 2 t m th mang s l (b 5 và 15) và 4 t m th ch n (b s 10)
S cách ch n: 2 4
6 7
2.C C
6 7 6 7 ( ) 2 1750
n D C C C C
V y xác su t c n tính là: ( ) ( ) 1750
( ) 11440
175 1144
n D
P D
n
Bài 14 Có 6 Nhà Toán h c nam, 3 Nhà Toán h c n , 4 Nhà V t lí nam Tính xác su t đ l p ra m t đoàn công tác 3
ng i đ m b o c n có c nam và n , c Nhà Toán h c và Nhà V t lí
Gi i
S cách l p ra m t đoàn công tác 3 ng i t 11 ng i là: 3
11 ( ) 165
n C
G i A là bi n c mà đoàn 3 ng i đ c ch n có c nam và n , c nhà toán h c và nhà v t lí h c
Ch có 3 cách l p đoàn công tác nh sau:
G m 2 Nhà V t lí nam, 1 Nhà Toán h c n S cách ch n là: C42.C13 6.3 18
G m 1 Nhà V t lí nam, 2 Nhà Toán h c n S cách ch n là: C14.C23 4.3 12
G m 1 Nhà V t lí nam, 1 Nhà Toán h c n , 1 Nhà Toán h c nam
S cách ch n là: C14.C C13 16 4.3.672
Suy ra : n A( ) 18 + 12 + 72 = 102
Khi đó xác su t c n tính là: ( ) ( ) 102
( ) 1
34
65 55
n A
P A
n
Bài 15 M t đoàn tàu có 7 toa tàu đang đ m t sân ga và có 7 hành khác t sân ga lên tàu M i ng i lên tàu đ c
l p v i nhau và ch n m t toa m t cách ng u nhiên Tính xác su t đ đoàn tàu có m t toa có 1 ng i, m t toa có 2
ng i, m t toa có 4 ng i và 4 toa còn l i không có ng i nào
Gi i
M i ng i có 7 cách ch n toa tàu, nên s cách lên tàu c a 7 hành khách là: 7
( ) 7.7.7.7.7.7.7 7 823543
G i A là bi n c “có m t toa có 1 ng i, m t toa có 2 ng i, m t toa có 4 ng i và 4 toa còn l i không có ng i nào”
B c 1: Ch n 1 toa cho 4 ng i và ch n 4 ng i t 7 ng i, có: 4
7
7.C 245 cách
B c 2: Ch n 1 toa cho 2 ng i trong 6 toa còn l i và ch n 2 ng i t 3 ng i còn l i, có: 2
3
6.C 18 cách
B c 3: Ch n 1 toa trong 5 toa còn l i cho ng i cu i cùng lên, có: 5 cách
Suy ra n A( )245.18.522050
V y xác su t c n tính là: ( ) ( ) 22050
( ) 823543
450 16078
n A
P A
n
Bài 16 G i T là t p h p các s t nhiên g m 5 ch s khác nhau Ch n ng u nhiên m t s t t p T Tính xác su t
đ s đ c ch n có ch s đ ng li n sau luôn l n h n ch s đ ng li n tr c và luôn có m t ch s 5
Gi i
G i s t nhiên g m 5 ch s khác nhau có d ng: a a a a a 1 2 3 4 5
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01