BẺ GÃY OXY-CHỦ ĐỀ 5: HÌNH VUÔNG

Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của AB, N là điểm trên cạnh AD sao cho AN2ND.. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD.. Tìm tọa độ các đỉnh

Bẻ gã y Oxy

Chủ đề 5: Hình vuông

Tài liệu thân tặng các em học sinh 12, chuẩn bị kỳ thi Tốt Nghiệp THPT Quốc gia

2016 Chúc các em đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp đến.

Huế, Ngày 19/05/2016

GV Chuyên luyện thi THPT Quốc Gia, TP Huế

I

P

K F

A

H

Trần Đình Cư GV THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 1

CHỦ ĐỀ 5 HÌNH VUÔNG Bài 1 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của AB, N là điểm trên

cạnh AD sao cho AN2ND Giả sử đường thẳng CN có phương trình x 2y 11 0   và điểm

5 1

M ;

2 2

 

 

  Tìm tọa độ điểm C

Giải

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên CN, ta có:   3 5

MH d M,CN

2

Xét tam giác CMN có

0

CN CM MN 2

2CN.CM 2

    Từ đó suy ra MC 3 10

2



Do C thuộc đường thẳng CN nên C 11 2c;c  , từ MC 3 10

2



2

5c 35c 50 0

Tìm được C 7; 2 , C 1;5   

Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có đỉnh A 2;2  Biết điểm M 6;3  thuộc cạnh BC, điểm N 4;6  thuộc cạnh CD Tìm tọa độ đỉnh C

Giải

Gọi I 5;9

2

 

 

  là trung điểm của MN Do

0 MCN90 nên C thuộc đường tròn tâm I đường kính MN

Vì CA là phân giác của góc MCN nên CA giao với đường tròn tại điểm E là điểm chính giữa MN không chưa C (A và E nằm cùng phía so với MN) Suy ra E là giao điểm của đường tròn (I) và trung trực của MN

Phương trình đường tròn    2 9 2 13

I : x 5 y

2 4

 

    

  Phương trình đường trung trực của MN: 2x 3y 7 0

2

  

Tọa độ điểm E là nghiệm của hệ:

x 5 y

2 4 7

2x 3y 0

2

   



   



Ta có E1 13 11; , E2 7 7;

2 2 2 2

    Vì A, E cùng phía so với MN nên chọn

7 7

E ;

2 2

 

 

  Phương trình AE : x y 0  Do C là giao điểm thứ hai của (I) và AE nên tọa độ C 6;6 

Cách khác

Gọi vec-tơ pháp tuyến của BC là    2 2 

n a;b , a b 0

pt BC : ax by 6a 3b 0

CD đi qua N 4;6  và vuông góc với NC suy ra pt CD: bx ay 6a 4b 0   

Ta có:

b 0 4a b 4a 2b

8a b 0

a b a b





E

N

I B

- Nếu b0 chọn a 1 Khi đó pt BC: x 6 0 và pt CD: y 6 0 

 

CBCCDC 6;6 Phương trình MN: 3x 2y 24 0   Kiểm tra A và C khác phía đối với đường thẳng MN nên C 6;6  thỏa mãn bài toán

- Nếu 8a b 0 chọn a 1, b 8  Khi đó pt BC: x 8y 30 0   và pt CD: 8x y 26 0   Suy ra

238 214

C ;

65 65

  loại do A và C cùng phía đối với đường thẳng MN Vậy điểm C cần tìm là C 6;6 

Bài 3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Biết điểm A có tung độ dương,

đường thẳng AB có phương trình 3x 4y 18 0   , điểm M 21; 1

4

  

 

  thuộc cạnh BC, đường thẳng

AM cắt đường thẳng CD tại N thỏa mãn BM.DN25 Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD

Giải

Đường thẳng BC qua M và vuông góc với AB nên

BC : 4x 3y 24  0 Khi đó tọa độ B là nghiệm của hệ

 

4x 3y 24 0 x 6

B 6;0 3x 4y 18 0 y 0

     

Ta thấy các tam giác sau đồng dạng với nhau: ΔMBA, ΔMCN

và ΔADN

Suy ra

MB MC AD

MB.ND AB.AD

AB  NC  ND 

Suy ra 25AB2 hay cạnh hình vuông bằng 5

Gọi A 4a  6; 3aAB, khi đó 25AB216a29a225  a 1

Vì điểm A có tung độ dương nên A 2;3 

Phương trình đường thẳng CD có dạng 3x4y m 0 m  18

Vì cạnh hình vuông bằng 5 nên d B;CD  18 m 5 m 7

m 43 5



     



 Với m7, pt CD: 3x 4y 7 0   , khi đó tọa độ C là nghiệm của hệ

4x 3y 24 0 x 3

C 3; 4 3x 4y 7 0 y 4

      

  (thỏa vì MC 5 )

Suy ra D 1; 1

 Với m 43, pt CD: 3x 4y 43 0   , khi đó tọa độ C là nghiệm của hệ

 

4x 3y 24 0 x 9

C 9;4 3x 4y 43 0 y 4

     

  (không thỏa vì MC5)

Bài 4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Điểm F 11;3

2

 

 

  là trung điểm của cạnh AD Đường thẳng EK có phương trình 19x 8y 18 0   với E là trung điểm của cạnh AB, điểm K thuộc cạnh DC và KD 3KC Tìm tọa độ điểm C của hình vuông ABCD biết điểm E có hoành độ nhỏ hơn 3

Giải

M B

A

N

Trần Đình Cư GV THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 3

2 EFK ABCD AEF FDK KCBE 5a

16

S FH.EK, FH d F;EK ; EK a 5

ABCD là hình vuông cạnh bằng 5 EF 5 2

2

  Tọa độ E là nghiệm:

 

2

2

5

x 2

19x 8y 18 0 y 2

 

  

AC qua trung điểm I của EF và ACEFAC: 7x y 29 0  

Ta có:  

10 x 7x y 29 0 3 10 17

3 3 19x 8y 18 0 y 17

3









Ta xác định được IC 9IP C 3;8 

5

Bài 5 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A 1;2  Gọi M, N lần lượt

là trung điểm của cạnh AD và DC; K là giao điểm của BN với CM Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK, biết BN có phương trình 2x y 8 0   và điểm B có hoành độ lớn hơn 2

Giải

Gọi E BN AD  D là trung điểm của AE

Dựng AH BN tại H AH d A;BN  8

5

Trong tam giác vuông ABE:

2

AH  AB AE 4AB   

B BN B b;8 2b b 2

 

AB 4 B 3;2

Phương trình AE: x 1 0 

E AE BN  E 1;10 D 1;6 M 1;4

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BKM  I là trung điểm của BM I 1;3 

BM

2

  Vậy phương trình đường tròn:   2 2

x 1  y 3 5

Bài 6 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh

BC, CD Tìm tọa độ đỉnh B, điểm M biết N 0; 2  , đường thẳng AM có phương trình x 2y 2 0  

và cạnh hình vuông bằng 4

Giải

Gọi I AM BN ΔBIM đồng dạng ΔABM suy ra AMBN nên BN : 2x y c 0  

I

P K F

E B

D C

A

H

H K

E

M

N

D

C

 

N 0; 2    c 2 BN : 2x  y 2 0.Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình:

6 x

x 2y 2 0 5 6 2

I ; 2x y 2 0 2 5 5

y 5

 



  

      

 



Từ ΔABM vuông:

2 2

AB.BM 4 BI

5

AB BM

 Tọa độ điểm B x; y  thỏa mãn:

B BN

2x y 2 0

4









    

   



Giải hệ ta được x 2

y 2





 

 và

2 x 5 6 y 5

 





  



Suy ra B 2;2  (loại 2; 6

5 5

  

 

 )

Tọa độ điểm M x; y  thỏa mãn: 2 2

2 2

x 2y 2 0

M AM

IM BM BI

  





       



Giải hệ ta được x 2

y 0





 

 và

2 x 5 4 y 5

 





 



Suy ra 1  2

2 4

M 2;0 , M ;

5 5

 

 

 

Bài 7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD và điểm E thuộc cạnh BC Một

đường thẳng qua A vuông góc với AE cắt CD tại F Đường thẳng chứa đường trung tuyến AM của tam giác AEF cắt CD tại K Tìm tọa độ điểm D biết A6;6 , M 4;2 , K 3;0

Giải

Ta có hai tam giác vuông ΔABE ΔADF vì AB AD và

BAEDAF (cùng ph với góc DAE )

Suy ra ΔAEF vuông cân và ME MA MF  AMEF

Ta có MA2; 4  Đường thẳng EF đi qua M có phương trình:

2 x4 4 y2   0 x 2y 8 0

Bây giờ ta tìm tọa độ các điểm E, F thỏa mãn ME MA MF 

Gọi T x; y  thuộc đường thẳng EF, thì x 2t 8; y t (t    )

Khi đó   2 2 2  2

MTMA 2t 8 4   t 2 2  4 20

5 t 2 20 t t 4 0

t 4





        

 Như vậy, có hai điểm T18;0 và T 0;42  (chính là hai điểm E và F) thuộc đường thẳng EF mà 1

MT MA

Trường hợp E8;0 , F 0;4  

I M N

A B

D

C

K M

E

F

Trần Đình Cư GV THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 5

Do F thuộc đường thẳng CD nên CD nhận KF 3;4 làm vec-tơ chỉ phương

Phương trình đường thẳng CD là: x 3t  

t

y 4 4t







  

 Khi đó D 3t;4 4t

Ta có:

AD KF KF.AD 0 3 3t 6 4 2 4t 0 t D ;

              

Trường hợp F8;0 , E 0;4  

Đường thẳng CD nhận FK 5;0 làm vec-tơ chỉ phương

Phương trình CD: x 8 5tt 

y 0

  





 

 Khi đó D 8 5t;0

AD KF KF.AD 0 5 2 5t 0 t D 6;0

5

          

Bài 8 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm O 7 3;

2 2

 

 

  Điểm M 6;6 thuộc  

cạnh AB và N 8; 2   thuộc cạnh BC Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông

Giải

Gọi G là điểm đối xứng của M qua O G 1; 3 CD  

Gọi I là điểm đối xứng của N qua O  I 1;5 AD

Phương trình cạnh MO qua M và có VTCP MO là:

9x 5y 24 0  

 Phương trình cạnh NE qua N và vuông góc với MO là:

5x 9y 22 0  

Gọi E là hình chiếu của N trên MG

163 39

E NE MG E ;

53 53

ại có NE MG NJ MG k 0, k   J 1;3

NE kNJ

 





 (vì NE, NJ cùng chi u) Suy ra phương tình cạnh AD: x 1 0 OK 9

2

    Vì KA KO KD  nên A, O, D thuộc đường tròn tâm K đường kính OK

Đường tròn tâm K đường kính OK có phương trình: x 12 y 3 2 81

 

    

 

Vậy tọa độ điểm A và D là nghiệm của hệ:  2 2

x 1

3 81 y 6

x 1 y

  



      



 Suy ra A 1;6 , D 1; 3     C 8; 3 , B 8;6     Trường hợp D 1;6 , A 1; 3     loại do M thuộc CD

E

J K I

G

H

F O

M

N

Bài 9 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có hai điểm M, N lần lượt là

trung điểm của AB và BC, biết CM cắt DN tại I 22 11;

5 5

 

 

  Gọi H là trung điểm DI, biết đường thẳng

AH cắt CD tại P 7;1

2

 

 

  Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết hoành độ điểm A nhỏ hơn

4

Giải

Ta có ΔMBD ΔNCD do đó CMDN Vì AHDN nên AMCP

là hình bình hành và P là trung điểm CD và góc AIP900

Đường thẳng AI vuông góc với PI qua I có dạng: 3x 4y 22 0  

A 2 4t;4 3t IA 4t ;3t

       

6

t 0 t

5

       

    

Nếu t 6

5

  thì A 34 2;

5 5

 

 

  (loại) Nếu t0 thì A 2;4  Đường thẳng AP : 2x  y 8 0, DNAP và đi qua I có dạng x2y0 Ta có

16 8

DN AP H ; D 2;1 C 5;1 B 5;4

5 5

 

 

Vậy A 2;4 , B 5;4 , C 5;1 , D 2;1       

Bài 1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của cạnh

BC, N thuộc cạnh AC sao cho AN 1AC

2

 Biết MN có phương trình 3x y 4 0   và D 5;1  Tìm tọa độ của điểm B biết M có tung độ dương

Giải

K NHBC tại H, NKDC tại K

Ta có ΔNKC ΔNHC NK NH

DK AN 1

AD / / NK

DC AC 4

DK BH

BH AN 1

AB / / NH

BC AC 4



    







Mà M là trung điểm BC nên H là trung điểm BM

ΔDKN ΔMHN

DNK MNH, ND NM

Mà KNH900DNK900ΔDNM vuông cân tại N

DN MN DN : x 5 3 y 1 0

       hay x 3y 8 0  

Tọa độ N thỏa hệ: x 3y 8 0 N 2; 2 

3x y 4 0

  





   

 Giả sử M m;3m 4   MN2 m;6 3m ; DN    10; MN DN 

E H P

M

P

K

N

H M

Trần Đình Cư GV THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 7

  2 2  2 m 3 M 3;5   

2 m 6 3m 10 m 2 1

m 1 M 1; 1 (loại)

  



   



 

1

3

y 2 1 y 1

     

     

Ta cĩ AP 1MC 1BC 1AD DP 5DA

B

B

3 5

y 5 1 1

5

     

 

   



Bài 11 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuơng ABCD cĩ đỉnh A thuộc đường thẳng

d : 5x 3y 13 0   M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh AB, AD sao cho AMAN Các đường thẳng lần lượt qua A và M vuơng gĩc với BN, cắt BD tại K 6; 2

5 3

  

 

  và

2 2

H ;

5 3

 

 

  Cho biết đỉnh A

cĩ hồnh độ và tung độ âm, tìm tọa độ các đỉnh của hình vuơng

H H H 2 – 2015)

Giải

Đường thẳng BD cĩ phương trình 5x 3y 4 0   Một vec-tơ chỉ

phương của BD là u  3;5

Theo giả thiết A d : x 2 3t

y 1 5t

  



    

 Suy ra DA   4 3t;1 5t 

Gĩc giữa hai đường thẳng DA và DB bằng 450 khi và chỉ khi:

  2 2

17 2t 1 1 t 0

t 1 2

34 3t 4 5t 1

   



  

Theo giả thiết thì A 2; 1

Đường thẳng qua A và vuơng gĩc với BD cĩ phương trình 3x 5y 1 0    Gọi I là tâm của hình vuơng thì tọa độ I là nghiệm của hệ 5x 3y 4 0

3x 5y 1 0

  



   

 Nên I 1 1;

2 2

 

 

 , suy ra B1;3 , C 3;2  

Vậy A 2; 1 , B 1;3 , C 3;2 , D 2; 2     

Bài 12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuơng ABCD cĩ A 1;7 , điểm M 7;5  thuộc đoạn BC, điểm N 4;1  thuộc đoạn CD Xác định tọa độ các đỉnh cịn lại của hình vuơng ABCD

Giải

Gọi AB: a x 1   b y 7 0 (vtpt   2 2

AB

n  a;b , a b 0)

AD : b x 1 a y 7 0

ABCD là hình vuơngd N;AB  d M;AD

P

I

K

H M

N

C

A(1;7) B

D

M(7;5) N(4;1)

2 2 2 2

3a 6b 6b 2a

a b a b

a 0, b 0

a 12b

 



  

 TH1: a 0, b 0 

AB: y 7; BC: x 7; CD: y 1   ; AD : x 1

     

B 7;7 , C 1;7 , D 1;1



TH2: a 12b, b 0 

AB:12x y 19; BC : x 12y 53 0  

35 131 6 145 14 145

Vậy B 7;7 , C 1;7 , D 1;1     

Bài 13 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có tâm I 5;3  Tìm tọa độ của điểm D biết rằng đường thẳng AB đi qua điểm M 2;4 , đường thẳng BC đi qua điểm N 3;1 

Giải

Gọi nAB a;b Phương trình đường thẳng AB là

a x 2 b y4 0

Ta có BCABnBCb; a  Phương trình đường thẳng BC là

b x 3 a y 1 0

Vì I là tâm của hình vuông ABCD nên ta có d I;AB  d I;BC

2 2 2 2

3a b 2b 2a

a b b a

3a b 2a 2b a b

3a b 2b 2a 5a 3b

    

TH1: a b Phương trình đường thẳng AB, BC lần lượt là x y 2 0   , x y 4 0   Suy ra

 

B 1;3 D đối xứng với B qua I nên D 9;3 

TH2: 5a3b Phương trình đường thẳng AB, BC lần lượt là 3x 5y 26 0   , 5x 3y 12 0   Suy ra

69 47 101 55

17 17 17 17

Bài 14 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Trên các cạnh AD, AB lấy hai điểm E

và F sao cho AE AF Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BE Tìm tọa độ của C biết C thuộc đường thẳng d : x 2y 1 0   và tọa độ F 2;0 , H 1; 1    

Giải

Gọi M là giao điểm của AH và CD Ta có hai tam giác ABE và ADM

bằng nhau (vì AB AD, ABE DAM  , do cùng ph với AEH ) Do đó

DMAEAF, suy ra BCMF là hình chữ nhật

Gọi I là tâm hình chữ nhật BCMF Trong tam giác vuông MHB ta có:

1

HM BM

2



Do BMCF nên HM 1CF

2

 , suy ra tam giác CHF vuông tại H

I(5;3)

B

D C

A

N(3;1) M(2;4)

F

I H

M

E

C

D

Trần Đình Cư GV THPT Gia Hội, Huế SĐT: 01234332133 9

Gọi tọa độ C 2c 1;c  , ta có: HC2c 2;c 1 , HF    1;1

Vì CHFH nên HC.HF 0 2c 2 c 1 0 c 1

3

        Vậy tọa độ C 1 1;

3 3

 

 

 

Bài 15 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD và BD : 2x y 2 0    , hai đường thẳng AB,

AD lần lượt đi qua M3;2 , N 1;6 Tìm tọa độ các đỉnh A, B Biết đỉnh B có hoành độ dương

Giải

Ta có d M;BD 2 5MB2 10

B BD B b;2b2 ; MB2 40

 

5b 10b 15 0

b 3 (th)

B 3; 4

 



      





AD đi qua N1;6 có VTPT BM   6; 2 hoặc n ' 3;1

AC : 3x y 3 0

AB qua M3;2 có VTPT n  1;3AB: x 3y 9 0

Tọa độ A: x 3y 9 x 0

3x y 3 y 3



    

  Vậy A 0;3 

Bài 16 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vuông ABCD có A 1;1 , AB  4 Gọi M là trung điểm cạnh

BC, K 9; 3

5 5

  

 

  là hình chiếu vuông góc của D lên AM Tìm

tọa độ các đỉnh còn lại của hình vuông, biết xB2

Giải

Gọi N là giao điểm của DK và AB Khi đó

ΔDAN ΔABM AN BM N là trung điểm cạnh AB Ta có

4 8

AK ;

5 5

 

  

 , phương trình AM: 2x y 3 0   , DK: x 2y 3 0  

Vì NDKN 2n 3;nAN2n2;n 1 

Mà AN 1AB 2 AN2 4

2

  2 2

2n 2 n 1 4

     5n26n 1 0 

1

n 1;n

5

    

Với n 1 xB 2xN xA 21 2

       (loại)

Với n  1 xB 1 2, yB  3 B 1; 3  

Phương trình BC: y  3 C 5; 3  

Phương trình CD: x 5 D 5;1 

Bài 17 Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của cạnh BC, phương

trình đường thẳng DM: x y 2 0   và C 3; 3   Biết đỉnh A thuộc đường thẳng d: 3x y 2 0   , xác định tọa độ các đỉnh A, B, D

C

D

M

N

N K

C

A B

D

Giải

Gọi A t; 2 3t  , từ tính chất của hình vuơng ta cĩ:

4t 4 2.4

d A; DM 2d C; DM

t 1 t 3 A 3; 7 A 1;5



        

Mặt khác A, C nằm v hai phía đối với đường thẳng DM nên chỉ cĩ

A 1;5 thỏa mãn

Gọi D d;d 2 thuộc DM, ta cĩ ADd 1;d 7, CDd 3;d 1  

  2  2  2 2

d 1 d 5 DA.DC 0

DA DC d 1 d 7 d 1 d 3

   



 

d 5 D 5;3

  

 

ABDCB  3; 1 Vậy A1;5 , B  3; 1 , D 5;3  

Bài 18 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuơng ABCD cĩ D 5;1  Gọi M là trung điểm của

BC, N là điểm thuộc đường chéo AC sao cho AC4AN Tìm tọa độ điểm C biết phương trình đường thẳng MN là 3x y 4 0   và M cĩ tung độ dương

Giải

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của N trên BC và CD

Khi đĩ NHCK là hình vuơng và H là trung điểm của BM, suy ra

ΔNMH ΔNBH ΔNDK 

Do đĩ DNM DNK KNM 

0 MNH KMN KNH 90

Hay DNMN  1 và NMND  2

Từ (1) suy ra pt DN là: x 3y 8 0   Do đĩ N 2; 2 

Ta cĩ M m;3m 4 Từ (2) suy ra   2 2

m2  3m 6  10

m 1

m 2 1

m 3





     



 

 

 







M 1; 1 (loại)

M 3;5 M 3;5 

Gọi C a; b  Ta cĩ

  2 2   2 2

a 5 a 3 b 1 b 5 0 DC.MC 0

DC 2MC a 5 b 1 2 a 3 b 5

      



2 2

a b 8a 6b 20 0 a b 8a 6b 20 0

a 2b 5 0 3a 3b 14a 38b 110 0

           

  





   

 

  a; b 5;5 C 5;5

9 17 9 17

5 5 5 5

   

    

    

Vì C và D nằm cùng phía đối với MN nên C 5;5 

M

C

D

K

H N

M C

A B

D