Câu hỏi bài tập Câu 1: Chứng minh rằng ta có các hệ thức giao hoán giữa các toán tử sau: 1.. Câu 4: Tìm sự phụ thuộc thời gian của tọa độ trung bình t và xung lượng trung bình < pˆ>t của
Trang 1Câu hỏi bài tập Câu 1: Chứng minh rằng ta có các hệ thức giao hoán giữa các toán tử sau:
1 [ˆx, p = ih,ˆx] [ˆy, p = 0 , ˆx] [ˆz, p = 0ˆx]
2 L , x = i yˆz ˆ h , ˆ L , z = 0ˆ ˆz ,L , y = -i xˆ ˆz h , ˆ
Câu 2: Câu hỏi: Với L ˆ+ = L ˆx + i L ˆy và L ˆ− = L ˆx − i L ˆy hãy chứng minh các hệ thức giao hoán sau:
a [ L ˆ+, L ˆ−] = 2 L ˆz
b [ ] L ˆ+, L ˆz = − L ˆ+
c ˆ2 ˆ ˆ ˆ 2 ˆ
L =L L− + +L +hL
Câu 3: Đối với dao động tử điều hòa một chiều, hãy đánh giá giá trị <xˆ>, < pˆ> và nghiệm lại hệ thức bất định Heisenberg
Câu 4: Tìm sự phụ thuộc thời gian của tọa độ trung bình <xˆ>t và xung lượng trung bình
< pˆ>t của dao động tử điều hòa 1 chiều
Câu 5: Chứng minh rằng đối với dao động tử điều hòa một chiều ta có:
<E> = 2<Eđ> = 2<Et>
Câu 6: Hạt bị nhốt trong một hố thế có bề sâu vô hạn thế năng có dạng:
0
V x
Trạng thái của hạt là: ( ) 1cos 3cos 3
1 Tìm xác suất của phép đo năng lượng giá cho ta giá trị 2 22, 9 2 22
2 Tìm mật độ xác suất để hạt có toạ độ
2
a
Câu 7: Xét hạt có khối lượng m chuyển động trong hố thế một chiều hình chữ nhật có
thành cao vô hạn Thế năng V(x) có dạng:
0
V x
Tìm hàm sóng đã chuẩn hóa và năng lượng của hạt trong hố thế
Trang 2Câu 8: Toán tử Hamilton ˆH của hạt ở trong giếng thế vuông góc một chiều có dạng:
( )
2
d
ˆH = - + V x 2m dx
h trong đó:
( )
0 khi 0 x d
V x = x > d
khi
x < 0
Tìm hàm riêng đã chuẩn hoá và trị riêng của toán tử ˆH đã cho
Câu 9: Câu hỏi: Trạng thái của hạt được mô tả bởi hàm sóng:
( )
2 2 x
- + ikx 2a
φ x = Ae
Trong đó a, k là những hằng số và A = 1
a π
Tính các trị trung bình x , x 2 , ∆ x 2 , và 2
x
p
∆
Nghiệm lại hệ thức bất định Cho các tích phân đặc biệt sau
Câu 10: Chứng minh:
1 L yˆx, ˆ=i zhˆ, L zˆy,ˆ=i xhˆ L xˆz,ˆ=i yhˆ
2 L pˆx, ˆx=0, L pˆy, ˆy=0 L pˆz, ˆz=0
Câu 11: Những đại lượng cơ học nào sẽ được bảo toàn khi hạt chuyển động trong trường
thế U(z) = az (a = const)
Câu 12: Trạng thái của rôtato phẳng ở thời điểm ban đầu t = 0 được mô tả bởi hàm sóng:
ψ(φ,0) = Asin 2 φ
1 Tìm A
2 Tính trị trung bình của hình chiếu mô men xung lượng trên trục Oz
3
Tài liệu tham khảo: Bài tập Vật lý lý thuyết tập 2 và Bài tập Cơ học lượng
tử (Nguyễn Văn Hùng)
α α
α α
π α
∂
∂
=
−
=
=
−
=
=
−
=
∫
∫
∫
∞ +
∞
−
∞ +
∞
−
∞ +
∞
−
1 2
2 3
2 2
2 1
) exp(
0 ) exp(
; )
exp(
I dx x x
I
dx x x
I dx
x I