Hàm số bậc ba trong chương trình phổ thông

Nó được thiết lập dựa trên các ngành đại số, lượng giác, hình học giải tích và còn được gọi là "ngành toán nghiên cứu về hàm số" trong toán học cao cấp.. 1.2 Vị trí của khái niệm và các

Luận văn này đươc hoàn thành dưới sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình, chu đáo của thầy Nguyễn Phú Lộc Và thầy cũng là người cho em động lực để hoàn thành luận văn Em xin phép gửi đến thầy sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắn nhất về sự tận tâm của thầy đối với

em trong suốt cả quá trình

Em cũng xin chân thành cám ơn quý Thầy, Cô trong bộ môn

Sư phạm Toán học, khoa Sư phạm và trường Đại học Cần Thơ, những người mà trong suốt 4 năm học vừa qua đã cho em kiến thức, quan tâm, động viên và truyền cho em lòng yêu nghề, sự tận tâm với nghề giáo

Cuối cùng em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, những người thân và bạn bè đã luôn bên cạnh, quan tâm giúp đỡ em trong suốt chặng đường vừa qua

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 5

1 Lý do chọn đề tài 5

2 Mục đích nghiên cứu 5

3 Phương pháp nghiên cứu 6

4 Đối tượng nghiên cứu 6

5 Nội dung nghiên cứu 6

PHẦN NỘI DUNG 7

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 7

1.1 Giải tích toán học 7

1.1.1 Lịch sử hình thành giải tích toán học 7

1.1.2 Ý nghĩa của việc ra đời giải tích toán học 7

1.2 Vị trí của khái niệm và các mô hình cơ bản để hình thành khái niệm 7

1.2.1 Vị trí của khái niệm và yêu cầu dạy học khái niệm 7

1.2.2 Mô hình hình thành khái niệm bắt đầu từ phân tích các ví dụ 8

1.2.3 Mô hình hình thành khái niệm từ so sánh ví dụ và phản ví dụ 10

1.2.4 Mô hình hình thành khái niệm toán học bắt đầu từ việc chỉ ra sự tồn tại khái niệm 11

1.2.5 Mô hình hình thành khái niệm toán học bắt đầu từ sự phân chia các nhóm đối tượng 13

1.2.6 Mô hình hình thành khái niệm bằng cách phân tích tìm dạng – mẫu (pattern) 15

Bảng 1.9 Mô hình hình thành khái niệm bằng cách phân tích tìm dạng – mẫu (pattern) 15

Bảng 1.10 Ví dụ Mô hình hình thành khái niệm bằng cách phân tích tìm dạng – mẫu (pattern) 16

1.2.7 Mô hình hình thành khái niệm bắt đầu từ phân tích định nghĩa 17

1.3 Vị trí của dạy học định lý và các mô hình cơ bản dùng cho dạy học định lý 18 1.3.1 Vị trí của định lý và yêu cầu dạy học định lý 18

1.3.2 Mô hình dạy học định lý bắt đầu từ phát biểu định lý 18

1.3.3 Mô hình dạy học định lý với một vấn đề cần chứng minh 21

Bảng 1.15 Mô hình dạy học định lý với một vấn đề cần chứng minh 21

Bảng 1.16 Ví dụ mô hình dạy học định lý với một vấn đề cần chứng minh 22

1.3.4 Mô hình dạy học định lý có khâu nêu giả thuyết 24

Bảng 1.17 Mô hình dạy học định lý có khâu nêu giả thuyết 24

1.3.5 Mô hình dạy học định lý với một vấn đề tìm kiếm 25

Bảng 1.19 Mô hình dạy học định lý với một vấn đề tìm kiếm 25

Bảng 1.20 Ví dụ Mô hình dạy học định lý với một vấn đề tìm kiếm 26

1.3.6 Mô hình dạy học với sách giáo khoa 27

1.3.7 Mô hình dạy học với một tình huống kết thúc mở 29

Bảng 1.23 Mô hình dạy học với một tình huống kết thúc mở 29

Bảng 1.24 Ví dụ mô hình dạy học với một tình huống kết thúc mở 30

Chương 2 CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN HÀM SỐ BẬC BA

3 2 0

yax bx  cx d a 32

2.1 Định nghĩa 32

2.2 Đạo hàm 32

2.2.1 Đạo hàm của hàm số tại một điểm 32

2.2.2 Đạo hàm của hàm số trên một khoảng 32

2.2.3 Đạo hàm hàm số bậc ba 33

2.3 Tính đơn điệu của hàm số 33

2.3.1 Định nghĩa 33

2.3.2 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu 33

2.3.3 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu 34

2.3.4 Quy tắc xét chiều biến thiên của hàm số 34

2.3.5 Sự biến thiên của hàm số bậc ba 34

2.4 Cực trị của hàm số 34

2.4.1 Định nghĩa 34

2.4.2 Nguyên lý cực trị của hàm số 35

2.5 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 37

2.5.1 Định nghĩa 37

2.5.2 Quy tắc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 37

2.6 Tính lồi 38

2.6.1 Định lý 38

2.6.2 Hệ quả 39

2.7 Điểm uốn của đồ thị 39

2.7.1 Định nghĩa 39

2.7.2 Định lý 39

2.7.3 Quy tắc tìm điểm uốn 39

2.8 Đồ thị hàm số bậc ba yax3bx2 cx d a 0 40

Chương 3 CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ BẬC BA TRONG SÁCH GIÁO KHOA GIẢI TÍCH 12 41

3.1 Các bài toán về sự biến thiên của hàm số 41

3.2 Các bài toán về cực trị của hàm số bậc ba 45

3.3 Giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất của hàm số bậc ba 50

3.4 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba   3 2 0 yax bx  cx d a 54

Chương 4 MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ BẬC BA 63

4.1 Dạng toán về tính đơn điệu của hàm số 63

4.1.1 Kiến thức cơ bản 63

4.1.2 Một số dạng bài tập thường gặp 63

4.1.3 Các bài toán ví dụ 66

4.2 Dạng toán về cực trị 70

4.2.1 Kiến thức cơ bản 70

4.2.3 Các bài toán ví dụ 73

4.3 Dạng toán về sự tương giao 84

4.3.1 Kiến thức cơ bản 84

4.3.2 Một số dạng bài toán thường gặp 85

4.3.3 Các bài toán ví dụ 87

4.4 Dạng toán về tiếp tuyến 90

4.4.1 Kiến thức cơ bản 90

4.4.2 Một số dạng toán thường gặp 91

4.4.3 Các bài toán ví dụ 93

4.5 Dạng toán về biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị 100

4.5.1 Các dạng toán thường gặp 100

4.5.2 Các bài toán ví dụ 101

Chương 5 CÁC GIÁO ÁN ĐỀ NGHỊ SỬ DỤNG GIẢNG DẠY MỘT VÀI KIẾN THỨC LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ BẬC BA 106

5.1 Giáo án 1 106

5.2 Giáo án 2 111

5.3 Giáo án 3 117

Chương 6 KHẢO SÁT MỨC ĐỘ HIỂU BIẾT CỦA HỌC SINH VỀ HÀM SỐ BẬC BA 122

6.1 Mục đích khảo sát 122

6.2 Đối tượng khảo sát 122

6.3 Phương pháp khảo sát 122

6.4 Thời gian khảo sát 124

6.5 Kết quả khảo sát 124

PHẦN KẾT LUẬN 127

TÀI LIỆU THAM KHẢO 128

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là môn học có ứng dụng trong hầu hết tất cả các ngành khoa học tự nhiên cũng như trong các lĩnh vực khác của đời sống xã hội Vì vậy toán học có vị trí đặc biệt trong việc phát triển và nâng cao dân trí Toán học không chỉ cung cấp cho người học (học sinh) những kiến thức cơ bản, những kĩ năng tính toán cần thiết

mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện kĩ năng tư duy logic, một phương pháp luận khoa học

Ta có thể thấy tầm quan trọng của toán học, điển hình nhất môn toán là môn thi bắt buộc đối với thí sinh xét tốt nghiệp, cũng như là môn xét tuyển đối với hầu hết các ngành học ở bậc đại học Trong cấu trúc đề thi thì kháo sát sự biến thiên và

vẽ đồ thị hàm số chiếm một phần năm tổng số điểm Ở chương trình giải tích 12, học sinh được học 3 hàm gồm: hàm số bậc ba, hàm trùng phương và hàm phân thức hữu tỉ Trong đó, các bài toán liên quan đến khảo sát sự biến thiên và đồ thị hàm số bậc ba là phong phú và đa dạng hơn cả

Ở chương trình giải tích 12, cũng đã đưa vào giảng dạy khảo sát sự biến thiên

và vẽ đồ thị hàm số bậc ba Tuy nhiên, kiến thức không chuyên sâu vào hàm số bậc

ba nên học sinh gặp khó khăn trong việc tiếp cận lý thuyết và giải quyết các bài tập liên quan, đặc biệt là các dạng bài tập nâng cao cần vận dụng nhiều kiến thức khác nhau

Trong dạy học toán thì việc tìm ra phương pháp giải bài tập toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc hệ thống, sử dụng đúng phương pháp dạy học, giải bài tập góp phần hình thành và phát triển tư duy của học sinh Nhằm giúp học sinh nắm vững và vận dụng tốt những kiến thức đã học vào việc giải toán Tôi quyết định chọn đề tài “ HÀM SỐ BẬC BA TRONG CHƯƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG” Thông qua đề tài tôi muốn tổng hợp nội dung về khảo sát sự biến thiên vẽ đồ thị hàm số bậc ba trong sách giáo khoa lớp 12 ở phổ thông Qua đó, phân loại và tổng hợp cũng như đưa ra phương pháp giải cho một số dạng bài tập thường gặp thích hợp về hàm số bậc ba, giúp học sinh chuẩn bị tốt cho kỳ thi đại học cũng như kỳ thi Trung học phổ thông quốc gia

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về “ Hàm số bậc ba trong chương trình phổ thông” nhằm phân tích nội dung liên quan đến hàm số bậc ba trong chương trình phổ thông và tổng hợp các dạng toán dùng để ôn thi trung học phổ thông quốc gia Cũng như đề ra một số

phương pháp dạy thích hợp giúp học sinh hiểu, nắm vững kiến thức và vận dụng tốt kiến thức đã học vào việc giải toán về hàm số bậc ba

3 Phương pháp nghiên cứu

- Phân tích nội dung chương trình, tổng hợp và phân dạng các toán trong chương trình sách giáo khoa giải tích 12

- Tổng hợp các dạng toán nâng cao về hàm số bậc ba trong các tài liệu tham khảo

- Khảo sát thực trạng về khả năng quan sát và đọc đồ thị hàm số bậc ba của học sinh trường trung học phổ thông

4 Đối tượng nghiên cứu

- Các kiến thức liên quan đến hàm số bậc ba trong chương trình giải tích 12 cơ bản và nâng cao

- Các bài toán cơ bản và nâng cao về hàm số bậc ba trong chương trình phổ thông

- Các mô hình dạy học khái niệm và định lý

- Đối tượng khảo sát: 100 học sinh lớp 12A1, 12A2 và 12C4 ở trường THPT

Giai Xuân

5 Nội dung nghiên cứu

Luận văn gồm có 6 chương

Chương 1: Trình bày những cơ sở lý thuyết về hoạt động dạy học khái niệm và dạy học định lý toán học

Chương 2: Trình bài các kiến thức cần thiết cho việc nghiên cứu hàm số bậc ba bao gồm đạo hàm, sự biến thiên, cực trị,…

Chương 3: Tổng hợp, phân dạng, đưa ra phương pháp giải và một số ví dụ các bài toán về hàm số bậc ba trong Sách giáo khoa giải tích 12 cơ bản và nâng cao Chương 4: Tổng hợp, phân dạng, phương pháp giải và một số ví dụ về các bài toán nâng cao về hàm số bậc ba dùng thể ôn thi trung học phổ thông quốc gia Chương 5: Các giáo án đề nghị sử dụng giảng dạy một vài kiến thức liên quan đến hàm số như sự biến thiên, cực trị, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Chương 6: Khảo sát mức độ hiểu biết của học sinh về đồ thị hàm số bậc ba Mặc dù đã cố gắng học tập nghiên cứu kỹ đề tài, song khó tránh khỏi thiếu sót, hạn chế Em rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của quý thầy cô, bạn bè để luận văn được hoàn chỉnh hơn Em chân thành cảm ơn!

PHẦN NỘI DUNG

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1 Giải tích toán học

1.1.1 Lịch sử hình thành giải tích toán học

Theo [11,tr.1] Giải tích toán học (tiếng Anh: mathematical analysis), còn gọi

đơn giản là giải tích, là ngành toán học nghiên cứu về các khái niệm giới hạn, đạo

hàm, tích phân Nó có vai trò chủ đạo trong giáo dục đại học hiện nay

Phép toán cơ bản của giải tích là "phép lấy giới hạn" Để nghiên cứu giới hạn của một dãy số, hàm số, ta phải "đo" được "độ xa gần" giữa các đối tượng cần xét giới hạn đó Do vậy, những khái niệm như là Ma trận (toán học), tôpô được tạo ra

để mô tả một cách chính xác, đầy đủ việc đo độ xa, gần ấy

Các yếu tố được nghiên cứu trong giải tích thường mang tính chất "động" hơn

là tính chất "tĩnh" như trong đại số

Lịch sử giải tích trải qua vài thời kỳ riêng biệt, chủ yếu chia thành ba giai đoạn cổ đại, trung đại và hiện đại Từ thời cổ đại người ta đã đưa ra ý niệm về phép tính tích phân nhưng chưa phát triển thành một phương pháp có hệ thống Phần cơ bản của phép tích phân như tínhdiện tích và thể tích được ghi nhận từ các nhà toán học Ai Cập khi họ tính được thể tích tứ diện vào thời điểm năm 1800 trước Công nguyên Cho dù không có bằng chứng xác thực cho biết họ đã làm cách nào nhưng

theo Morris Kline trong tác phẩm "Tư tưởng toán học từ thời cổ đại đến hiện đại,

tập 1" cho rằng họ đã dùng phương pháp thử và sai

1.1.2 Ý nghĩa của việc ra đời giải tích toán học

Giải tích có ứng dụng rất rộng trong khoa học kỹ thuật, để giải quyết các bài toán mà với phương pháp đại số thông thường tỏ ra không hiệu quả Nó được thiết lập dựa trên các ngành đại số, lượng giác, hình học giải tích và còn được gọi là

"ngành toán nghiên cứu về hàm số" trong toán học cao cấp Giải tích có một cách gọi phổ thông hơn là phương pháp tính

1.2 Vị trí của khái niệm và các mô hình cơ bản để hình thành khái niệm

1.2.1 Vị trí của khái niệm và yêu cầu dạy học khái niệm

a) Định nghĩa khái niệm

Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh một lớp đối tượng và do đó một khái niệm có thể được xem xét theo phương diện: bản thân lớp đối tượng xác định được gọi là ngoại diên, còn toàn bộ các thuộc tính chung của các lớp đối tượng này được gọi là nội hàm của khái niệm đó Giữa nội hàm và ngoại diên có mối quan hệ

ngược lại Nếu ngoại diên của khái niệm A cũng là một bộ phận của khái niệm B, thì khái niệm A được gọi là một khái niệm chủng của khái niệm B, còn khái niệm B được gọi là một khái niệm loại của A

b) Ví trí của khái niệm và yêu cầu của việc dạy học khái niệm

Trong việc dạy học toán, cũng như việc dạy học bất cứ một khoa học nào ở trường phổ thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách vững chắc cho học sinh khái niệm Đó là cơ sở toàn bộ kiến thức Toán học của học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả năng vận dụng các kiến thức đã học Quá trình hình thành các khái niệm có tác dụng lớn đến việc phát triển trí tuệ, đồng thời cũng góp phần giáo dục thế giới quan cho học sinh (qua việc nhận thức đúng đắn quá trình phát sinh và phát triển của các khái niệm Toán học)

Việc dạy học khái niệm Toán học ở trường trung học phổ thông phải làm cho học sinh dần đạt được các yêu cầu sau:

“a) Nắm vững các đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm

b) Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng cho trước có thuộc phạm vi một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết thể hiện khái niệm, nghĩa là biết tạo ra một đối tượng thuộc phạm ví một khái niệm cho trước

c) Biết phát biểu rõ ràng chính xác định nghĩa của một số khái niệm

d) Biết vận dụng các khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động giải toán và ứng dụng trong thực tiễn

e) Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệm với những khái niệm khác trong một hệ thống khái niệm

Các yêu cầu trên đây có quan hệ chặt chẽ với nhau Song vì lý do sư phạm, các yêu cầu trên không phải lúc nào cũng được đặt ra với mức độ như nhau đối với từng khái niệm” (theo 5, tr.87 ) 

1.2.2 Mô hình hình thành khái niệm bắt đầu từ phân tích các ví dụ

Theo 7, tr.87 

Quy trình: Xem bảng 1.1

Bảng 1.1 Mô hình hình thành khái niệm bắt đầu từ phân tích các ví dụ

Hoạt động của thầy (a) Hoạt động của học sinh (b)

1a Gợi động cơ học tập

2a Đưa ra vào ví dụ và đặt câu hỏi:

3a Giới thiệu tên khái niệm và đặt câu

hỏi: “Một cách tổng quát, các em hãy

phát biểu định nghĩa khái niệm ?

4a Giáo viên chỉnh sửa và chính xác

hóa định nghĩa khái niệm

của các ví dụ

3b Phát biểu định nghĩa khái niệm

4b Phát biểu và ghi lại định nghĩa

Nhận định về mô hình

- Hình thành khái niệm theo mô hình trên, giáo viên tạo cơ hội cho học sinh phân tích tìm đặt điểm chung của các ví dụ, trừu tượng hóa, khái quát hóa để cuối cùng tự phát biểu định nghĩa khái niệm

- Đối với một số khái niệm khó, giáo viên nên đưa ra thêm một số câu hỏi để

từ định nghĩa học sinh rút ra những tính chất cần chú ý thêm của khái niệm

Ví dụ minh họa: Xem bảng 1.2

Bảng 1.2 Ví dụ mô hình hình thành khái niệm bắt đầu từ phân tích các ví dụ

Hoạt động của thầy Hoạt động của học sinh

1a Gợi động cơ học tập

Tương truyền nhà vua Ấn Độ cho phép

người phát minh ra bàn cờ vua được lựa

chọn một phần thưởng Người đó chỉ xin

nhà vua thưởng một số thóc được đặt lên

64 ô của bàn cờ như sau: đặt lên ô thứ

nhất củ bàn cờ một hạt, tiếp đến ô thứ 2

là 2 hạt, ô thứ ba là bốn hạt, cứ như thế

số thóc ô sau gấp đôi ô trước

Hãy cho biết số thóc ô thứ nhất đến ô thứ

Dãy số (3): số hạng sau bằng số

hạng trước nhân với 1

4 Vậy các dãy số trên có cùng tính chất là số hạng sau bằng số hạng

số hạng đứng ngay trước nó với một số

không đổi q Số không đổi q được gọi là

công bội của cấp số nhân

Cấp số nhân có thể hữu hạn hoặc vô hạn

3b Phát biểu định nghĩa Cấp số nhân là dãy số mà số hạng sau bằng số hạng trước nhân với một số không đổi

4b Phát biểu lại định nghĩa Cấp số nhân là dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) trong đó kể từ số hạng thứ hai mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước

nó với một số không đổi q Số không đổi q được gọi là công bội

của cấp số nhân

1.2.3 Mô hình hình thành khái niệm từ so sánh ví dụ và phản ví dụ

Theo 7, tr.89 

Quy trình: Xem bảng 1.3 như sau

Bảng 1.3 Mô hình hình thành khái niệm từ so sánh ví dụ và phản ví dụ

Hoạt động của thầy (a) Hoạt động của học sinh (b)

1a Gợi động cơ học tập

2a Đưa ra một số ví dụ và phản ví dụ

Yêu cầu học sinh hãy chỉ ra những

tính chất khác biệt của ví dụ và phản

ví dụ

3a Các ví dụ trên, được gọi là Một

cách tổng quát, khi nào .được gọi

là ?

4a Chính xác hóa định nghĩa khái

niệm và yêu cầu học sinh lập lại định

nghĩa

1b Hành động theo yêu cầu của thầy 2b Quan sát, liệt kê những điểm khác nhau của ví dụ và phản ví dụ (Quan sát và so sánh)

3b Phát biểu định nghĩa khái niệm

4b Nhắc lại định nghĩa

Nhận định về mô hình

- Hình thành khái niệm theo mô hình trên, tạo cơ hội cho giáo viên phân tích,

so sánh chỉ ra các đặc điểm khác biệt của các ví dụ và phản ví dụ, khái quát hóa để cuối cùng tự phát biểu định nghĩa khái niệm

- Đối với một số khái niệm khó, giáo viên nên đưa ra thêm một số câu hỏi để

từ định nghĩa học sinh rút ra những tính chất cần chú ý thêm của khái niệm

Ví dụ minh họa: Xem bảng 1.4 như sau

Bảng 1.4 Ví dụ mô hình hình thành khái niệm từ so sánh ví dụ và phản ví dụ

Hoạt động của thầy Hoạt động của học sinh

1a Gợi động cơ

Chúng ta biết hai đoạn thẳng gọi là bằng nhau

nếu độ dài của chúng bằng nhau Vậy đối với

hai vectơ thì điều kiện trên còn đúng không?

2a Đưa ra ví dụ và phản ví dụ:

Cho học sinh quan sát ví dụ và phản ví dụ

3a Mỗi cặp vectơ trong cột ví dụ trên được

gọi là hai vectơ bằng nhau

Một cách tổng quát, hai vectơ thỏa mãn điều

kiện gì thì được gọi là hai vectơ bằng nhau

4a Điều kiện cùng hướng đã bao gồm điều

kiện cùng phương nên ta có định nghĩa:

Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng

có cùng hướng và cùng độ dài

Nếu a và b bằng nhau ta viết a b

Hãy phát biểu định nghĩa bằng cách kí hiệu

1b Cần tìm điều kiện để hai vectơ bằng nhau là gì

2b Liệt kê các điểm giống nhau và khác nhau của các cặp vectơ trong cột ví dụ và phản

ví dụ

Ví dụ Phản ví dụ

- Có cùng phương

- Có độ dài bằng nhau

- Có cùng hướng

- Không cùng phương

- Không có

độ dài bằng nhau

- Không cùng hướng 3b Phát biểu định nghĩa khái niệm:

Hai vectơ bằng nhau có cùng phương, cùng hướng, cùng độ dài

Bảng 1.5 Mô hình hình thành khái niệm toán học bắt đầu từ việc chỉ ra sự tồn tại khái niệm

Hoạt động của thầy (a) Hoạt động của học sinh (b)

1a Từ các kiến thức đã học, chỉ ra sự

tồn tại khái niệm mới (cần học)

2a Giới thiệu định nghĩa và đặt câu

hỏi: Một (đối tượng) phải thỏa mãn

những điều kiện gì thì nó được gọi

là (tên khái niệm)?

3a Đưa ra các ví dụ và phản ví dụ và

yêu cầu học sinh xét xem trường hợp

nào là ví dụ và trường hợp nào không

là ví dụ bằng câu hỏi: Trong các sau

đây, nào là (tên khái niệm) và .nào

không là (tên khái niệm)?

4a Yêu cầu học sinh đưa ra một số ví

dụ

1b Hành động theo sự yêu cầu giáo viên

2b Phân tích định nghĩa để chỉ ra những dấu hiệu đặc trưng của khái niệm

3b Đối chiếu với định nghĩa để đưa

ra câu trả lời

4b Đối chiếu với định nghĩa để đưa

ra câu trả lời (Cho ví dụ về khái niệm)

Nhận định về mô hình

- Mô hình này phỏng theo cách xây dựng khái niệm của các nhà toán học: bắt đầu chỉ ra sự tồn tại khái niệm, tiếp đến là định nghĩa khái niệm (giới thiệu tên khái niệm)

- Chỉ ra sự tồn tại khái niệm có thể bằng các cách khác nhau như: chứng minh

sự tồn tại, bằng ví dụ, bằng mô hình,

- Khi sử dụng mô hình này, giáo viên nên chú ý khâu củng cố khái niệm vì qua chúng học sinh nắm rõ hơn các dấu hiệu dặc trưng khái niệm

Ví dụ minh họa: Xem bảng 1.6 như sau

Bảng 1.6 Ví dụ mô hình hình thành khái niệm toán học bắt đầu từ việc chỉ ra sự tồn tại khái niệm

Hoạt động của thầy Hoạt động của học sinh

1a Chỉ ra sự tồn tại của khái

b 12

2 2cos

Một hàm số thỏa mãn điều kiện

gì thì được gọi là nguyên hàm

Bảng 1.7 Mô hình hình thành khái niệm toán học bắt đầu từ sự phân chia các nhóm đối tượng

Hoạt động của thầy (a) Hoạt động của học sinh (b)

1a Gợi động cơ

2a Đưa ra một nhóm đối tượng trong

đó có một số thuộc ngoại diên khái

niệm mà học sinh sắp học và yêu cầu

học sinh phân các đối tượng trên thành

các nhóm khác nhau

3a Yêu cầu học sinh trình bày kết quả

và nêu cơ sở của sự phân nhóm của

mình

4a Nếu học sinh có sự phân loại mà

nhóm đối tượng thuôc ngoại diên đối

tượng sắp học (Nếu không có như

mong đợi, giáo viên gợi ý) thì giáo viên

giới thiệu tên khái niệm và yêu cầu học

sinh phát biểu định nghĩa khái niệm

5b Chính xác hóa định nghĩa khái

niệm và yêu cầu học sinh lập lại định

Ví dụ minh họa: Xem bảng 1.8 như sau

Bảng 1.8 Ví dụ mô hình hình thành khái niệm toán học bắt đầu từ sự phân chia các nhóm đối tượng

Hoạt động của thầy Hoạt động của học sinh

1a Gợi động cơ học tập

Chúng ta đã được học về dãy số, hôm

nay chúng ta sẽ tìm hiểu các dãy số có

tính chất đặc biệt

2a Cho một số dãy số sau:

1b Tìm hiểu tính chất đặc biệt

3a Hãy phân chia 4 nhóm trên thành

hai nhóm khác nhau cà cho biết lý do?

4a Trong cách phân nhóm thức hai:

dãy (1), dãy (3) được gọi là cấp số

một số không đổi d Số không đổi d

được gọi là công sai của cấp số cộng

Cấp số cộng có thể là hữu hạn hoặc vô

hạn

3b Nhóm 1: (1), (2); (3),(4) Nhóm 2: (1), (3); (2),(4) 4b Phát biểu định nghĩa Cấp số cộng là dãy số mà số hạng sau bằng số hạng trước cộng với một số không đổi

5b Phát biểu lại định nghĩa Cấp số cộng là một dãy số (có thể hữu hạn hoặc vô hạng) mà trong đó

kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng cuẩ số hạng đứng

ngay trước nó và một số d không

đổi

Số d được gọi là công sai

1.2.6 Mô hình hình thành khái niệm bằng cách phân tích tìm dạng – mẫu (pattern)

Theo 7, tr.95 

Quy trình: Xem bảng 1.9 như sau

Bảng 1.9 Mô hình hình thành khái niệm bằng cách phân tích tìm dạng – mẫu (pattern)

Hoạt động của thầy (a) Hoạt động của học sinh (b)

1a Gợi động cơ học tập cho học sinh

2a Đưa ra một đối tượng mẫu và yêu

cầu học sinh tìm đặc điểm, tìm mối liên

hệ giữa các yếu tố trong vật mẫu

3a Khi học sinh tìm đúng dạng mẫu

thuộc nội hàm của khái niệm cần học

1b Hành động theo yêu cầu của thầy

2b Quan sát và tìm đặc điểm của dạng mẫu

3b Học sinh phát biểu định nghĩa khái niệm

Giáo viên giới thiệu tên khái niệm và

yêu cầu phát biểu định nghĩa khái niệm

một cách tổng quát

4a Chính xác hóa định nghĩa khái

niệm và yêu cầu học sinh lặp lại định

- Mô hình này có thể ứng dụng dạy học nhiều khái niệm ở trường phổ thông

Ví dụ minh họa: Xem bảng 1.10 như sau

Bảng 1.10 Ví dụ Mô hình hình thành khái niệm bằng cách phân tích tìm dạng – mẫu (pattern)

Hoạt động của thầy Hoạt động của học sinh

1a Gợi động cơ học tập của học sinh

2a Cho dãy số sau: 3, 5, 7,

Hỏi: Ba số trên là ba số hạng đầu của

một dãy số Hãy cho biết dãy số này

được cho theo quy luật nào?

3a Các các câu trả lời đều đúng

Trong bài học hôm nay, ta chú ý đến

Cấp số cộng là dãy số mà số hạng sau bằng số hạng trước cộng với một

số không đổi

4b Phát biểu lại định nghĩa Cấp số cộng là một dãy số (có thể hữu hạn hoặc vô hạn) mà trong đó kể

một số không đổi d Số không đổi

d được gọi là công sai của cấp số

cộng Cấp số cộng có thể là hữu hạn

hoặc vô hạn

từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng cuẩ số hạng đứng ngay

trước nó và một số d không đổi

Số d được gọi là công sai

1.2.7 Mô hình hình thành khái niệm bắt đầu từ phân tích định nghĩa

Theo 7, tr.96 

Quy trình: Xem bảng 1.11 như sau

Bảng 1.11 Mô hình hình thành khái niệm bắt đầu từ phân tích định nghĩa

Hoạt động của thầy (a) Hoạt động của học sinh (b)

1a Gợi động cơ học tập cho hoc sinh

2a Giới thiệu định nghĩa, và đặt câu

hỏi: Một (đối tượng) phải thỏa mãn

những điều kiện gì thì nó được gọi

là (tên khái niệm)?

3a Đưa ra các ví dụ và phản ví dụ và

yêu cầu học sinh xem xét trường hợp

nào là ví dụ và trường hợp nào không

là ví dụ bằng câu hỏi: Trong các sau

đây, nào là (tên khái niệm) và nào

không là (tên khái niệm)?

4a Yêu cầu học sinh đưa ra một số ví

dụ (Các em hãy cho ví dụ là (tên khái

niệm)?)

1b Hành động theo yêu cầu của giáo viên

2b Phân tích định nghĩa để chỉ ra những dấu hiệu đặc trưng của khái niệm

3b Nhận dạng khái niệm và trả lời câu hỏi

4b Đối chiếu với định nghĩa để đưa ra câu trả lời (Cho ví dụ về khái niệm)

Nhận định về mô hình

- Đây là mô hình có tính truyền thống nhưng yếu tố “tích cực hóa hoạt động” của học sinh trong quá trình hình thành khái niệm bởi đề ra những câu hỏi cho học sinh phân tích định nghĩa tìm ra những dấu hiệu đặc trưng của khái niệm

- Hình thành khái niệm từ mô hình này, giáo viên yêu cầu học sinh đưa ra nhiều ví dụ và phản ví dụ để củng cố khái niệm

Ví dụ minh họa: Xem bảng 1.12 như sau

Bảng 1.12 Ví dụ mô hình hình thành khái niệm bắt đầu từ phân tích định nghĩa

Hoạt động của thầy Hoạt động của học sinh

2a Gọi học sinh phát biểu định nghĩa

và đặt câu hỏi: Một dãy số phải thỏa

mãn những điều kiện gì thì nó được gọi

là cấp số cộng ?

3a Trong các dãy số sau đây, dãy số

nào sau đây là cấp số cộng ? Vì sao?

chất và đạo đức

1.3.2 Mô hình dạy học định lý bắt đầu từ phát biểu định lý

Theo 7, tr.98 

Quy trình: Xem bảng 1.13 như sau

Bảng 1.13 Mô hình dạy học định lý bắt đầu từ phát biểu định lý

Hoạt động của thầy (a) Hoạt động của học sinh (b)

1a Gợi động cơ học tập định lý

2a Phát biểu định lý Yêu cầu học

sinh phân tích định lý

3a Yêu cầu học sinh tìm hướng

chứng minh định lý có thể có

4a Yêu cầu học sinh xem xét và

1b Hành động theo yêu cầu của giáo viên

2b Chỉ ra đâu là giả thiết đâu là kết luận của định lý

3b Đề xuất các hướng chứng minh

4b Phân tích để xác định cách chứng

đánh giá các hướng chứng minh

5a Yêu cầu học sinh trình các hướng

- Mô hình này có thể sử dụng dạy học những định lý có cách chứng minh khá dài cần nhiều thời gian để trình bày trên lớp

- Mô hình này có thể sử dụng khi giáo viên muốn giới thiệu cho học sinh nhiều cách chứng minh định lý hoặc một cách chứng minh nào đó khác với cách chứng minh của sách giáo khoa

Ví dụ minh họa: Xem bảng 1.14 như sau

Bảng 1.14 Ví dụ mô hình dạy học định lý bắt đầu từ phát biểu định lý

Hoạt động của thầy Hoạt động của học sinh

1a Gợi động cơ học tập

Chúng ta thường gặp nhiều dãy số là

cấp số cộng trong khoa học, kĩ thuật

cũng như trong cuộc sống; chẳng hạn,

tiền lương của một công nhân tăng lên

theo từng tháng Sau mỗi tháng lương

được tăng lên 70.000 đồng Biết rằng

tháng thứ nhất lương là 1.500.000

đồng Một yêu cầu đặt là tính tổng tiền

lương của công nhân này trong 3 năm

Vậy làm thế nào có được tổng?

Nếu ta tính lương của từng tháng rồi

cộng lại thì quá chậm Ta chú ý lương

từng tháng của công nhân lập thành

cấp số cộng (36 số hạng) Định lý nào

sao đây cho chúng ta cách tính nhanh

tổng số tiền mà công nhân nhận được

sau 3 năm

1b Tính lương từng tháng rồi cộng lại

- Biết được mục đích cảu tiết học là học công thức tính tổng các số hạng đầu tiên của cấp số cộng

Giả sử  u n là một cấp số cộng Với

mỗi số nguyên dương n , gọi S là n

tổng n số hạng đầu tiên của nó Khi

Yêu cầu học sinh phân tích tìm giả

thiết và kết luận

3a Yêu cầu học sinh tìm hướng chứng

minh định lý

4a Yêu cầu học sinh xem xét và chọn

lựa hướng chứng minh

5a Yêu cầu học sinh trình bày cách

chứng minh

6a Nhận xét cách chứng minh của học

sinh và nêu lên tầm quan trọng của

định lý trong thực tế giúp lựa chạn

phương án phù hợp, có hiệu quả

Ví dụ 1: Tính tổng tiền lương của công

nhân trong bài toán mở đầu

Ví dụ 2: Một kỹ sư chọn ký hợp đồng

5 năm với một công ty Nếu theo

phương án A, người lao động sẽ được

36 triệu đồng năm đầu tiên và sau đó

mỗi năm tăng 3 triệu đồng Nếu theo

phương án B, người lao động nhận 7

triệu đồng quý đầu tiên và từ quý thứ 2

Và S n  u1 u2   u n

Kết luận:  1 

2

n n

3b HS đề xuất các hướng chứng minh:

minh hai kết quả bằng nhau

Hướng 2: Dùng biến đổi tương đương

Đến năm thứ 5 thì tiền lương là

5 36 4.3 48

u    triệu Tổng tiền lương 5 năm là (36 48)5

2102

A

triệu

tăng 500.000 đồng Nếu em là người

ký hợp đồng, em sẽ chọn phương án

nào?

Xét phương án B: Giả sử số tiền lương mỗi quý là các số hạng của cấp số cộng  v n với số hạng đầu tiên là 7 và công sai là 0,5

Đến năm thứ 5 thì tiền lương quý 20

là v20  7 19.0,520,5 triệu Tổng tiền lương 5 năm là (7 20,5)5

2752

B

triệu Vậy chọn phương án B

1.3.3 Mô hình dạy học định lý với một vấn đề cần chứng minh

Theo 7, tr.101 

Quy trình: Xem bảng 1.15 như sau

Bảng 1.15 Mô hình dạy học định lý với một vấn đề cần chứng minh

Hoạt động của thầy (a) Hoạt động của học sinh (b)

1a Gợi động cơ học tập cho học sinh

2a Phát biểu bài toán có yêu cầu là

chứng minh một điều sắp học Yêu

cầu học sinh phân tích bài toán

3a Yêu cầu học sinh tìm hướng chứng

minh có thể có

4a Yêu cầu học sinh xem xét và đánh

giá các hướng chứng minh

5a Yêu cầu học sinh thực hiện lời giải

theo hướng chứng minh thích hợp

3b Đề xuất các hướng giải

4b Phân tích các hướng chứng minh

- Mô hình có thể sử dụng khi giáo viên gợi ý học sinh tìm ra cách chứng minh khác với cách chứng minh nêu ra trong sách giáo khoa

Ví dụ minh họa

Dạy học định lý “Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số ( )( ) f x thì mọi

nguyên hàm của hàm số ( )f x đều có dạng F x( ) , với C là hằng số tùy ý” C

(SGK giải tích 12 cơ bản) Xem bảng 1.16 như sau

Bảng 1.16 Ví dụ mô hình dạy học định lý với một vấn đề cần chứng minh

Hoạt động của thầy Hoạt động của học sinh

1a Gơi động cơ học tập cho HS:

Cho hàm số f x( )2x Hãy chỉ ra

các nguyên hàm của hàm số trên

Theo các em, một nguyên hàm bất kì

ta cần giải quyết như sau đây

2a Phát biểu bài toán:

Bài toán: Cho F x là nguyên hàm ( )

Hướng 2: Giả sử ( )G x là một nguyên

hàm bất kì của f x Ta chứng minh ( )( ) ( )

5a Yêu cầu HS chứng minh theo

nguyên hàm của hàm số f x trên ( )

 nếu biết một nguyên hàm của

5b Chứng minh bài toán Giả sử G x là một nguyên hàm của ( )( )

f x , tức G x( ) f x( ), x  Vậy G x( )F x( ) là một hàm hằng trên

1.3.4 Mô hình dạy học định lý có khâu nêu giả thuyết

Theo 7, tr.104 

Quy trình: Xem bảng 1.17 như sau

Bảng 1.17 Mô hình dạy học định lý có khâu nêu giả thuyết

Hoạt động của thầy (a) Hoạt động của học sinh (b)

1a Gợi động cơ

2a Yêu cầu học sinh quan sát, xem xét

các trường hợp riêng, tìm các mối liên

4a Chỉnh sửa và kết luận về giả thuyết

mà lớp cần kiểm chứng Yêu cầu học

sinh tìm cách kiểm chứng giả thuyết

5a Yêu cầu học sinh xem xét và đánh

giá đúng đắng của giải thuyết

6a Kết luận, phát biểu định lý, chỉ ra

công dụng, tầm quan trọng của định

lý,

1b Hành động theo yêu cầu của giáo viên

2b Phân tích để tìm ra các mối liên hệ

3b Nêu ra giải thuyết (dự đoán)

4b, Đề xuất cách kiểm chứng và thực hiện vùng kiểm chứng

5b Kết luận về tính đúng sai của giả thuyết để chấp nhận hay bác bỏ

6b Nhận biết được tầm quan trọng của định lý

Ví dụ minh họa: Xem bảng 1.18 như sau

Bảng 1.18 Mô hình dạy học định lý có khâu nêu giả thuyết

Nội dung Hoạt động của thầy Hoạt động của học

Tổng quát hóa bài toán

Nhận xét, chính xác hóa kết quả

2/ Chỉnh sửa và phát biểu định lý

3/ Vận dụng:

Tính a)

3 i

Dựa vào kết quả trên phán đoán kết quả tổng quát

Phát biểu lại định lý

Hoạt động nhóm giải quyết bài toán

Ba học sinh lên bảng trình bài bài giải

1.3.5 Mô hình dạy học định lý với một vấn đề tìm kiếm

Theo 7, tr.106 

Quy trình: Xem bảng 1.19 như sau

Bảng 1.19 Mô hình dạy học định lý với một vấn đề tìm kiếm

Hoạt động của thầy (a) Hoạt động của học sinh (b)

1a Gợi động cơ học tập cho học sinh

2a Nêu ra vấn đề (Bài toán) với nội

dung là tìm kiếm công thức, một hệ

thức, nào đó

3a Yêu cầu học sinh phân tích đề bài

4a Yêu cầu học sinh tìm hướng giải

quyết có thể có

5a Yêu cầu học sinh xem xét và đánh

giá các hướng giải

6a Yêu cầu học sinh thực hiện lời giải

theo hướng giải thích hợp nhất

1b Hành động theo yêu cầu của thầy 2b Nhận ra được vấn đề cần giải quyết

3b Chỉ ra được đâu là điều đã cho, đâu là điều phải tìm

4b Đề xuất các hướng giải

5b Phân tích các hướng giải

6b Thực hiện lời giải

Mô hình này có thể dùng được khi

- Do nhu cầu tìm một công thức hay cách thức mới có tính tiện lợi hơn cách đã biết

- Do nhu cầu giải quyết một bài toán có tính tổng quát hơn mà công cụ đã biết khó áp dụng để giải

- Quá trình dạy học nhấn mạnh đến khâu rèn luyện cho hoc sinh cách tìm tòi lời giải bài toán

Ví dụ minh họa: Xem bảng 1.20 như sau

Bảng 1.20 Ví dụ Mô hình dạy học định lý với một vấn đề tìm kiếm

Nội dung Hoạt động của thầy Hoạt động của

học sinh

ĐỊNH LÝ:

Trong không gian

cho hai đường

2/ Kiến tạo định lý:

Dựng hình hộp như hình vẽ:

Thể tích hình hộp V tính

bằng những công thức nào?

Trả lời câu hỏi

- Là độ dài đoạn vuông vuông góc chung của chúng

- Có thể tính bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song tương ứng chứa chúng

Trả lời câu hỏi

Chính xác hóa kết luận, hình thành định lý

3/ Phát biểu định lý

4/ Vận dụng định lý

Trong định lý, để tính khoảng cách giữa d và 1 d 2

cần tìm các yếu tố nào?

Nhận xét, đánh giá, sửa sai

V h B

Cả lớp nhận xét, rút kinh nghiệm

1.3.6 Mô hình dạy học với sách giáo khoa

Theo 7, tr.109 

Quy trình: Xem bảng 1.21 như sau

Bảng 1.21 Mô hình dạy học với sách giáo khoa

Hoạt động của thầy (a) Hoạt động của hoc sinh (b)

1a Gợi động cơ hộc tập

2a Và yêu cầu học sinh hãy tự đọc nội

dung định lý trong sách giáo khoa và

phân tích định lý chỉ rõ đâu là giải

thiết đâu là kết luận

3a Yêu cầu học sinh phân tích cách

chứng minh định lý trong sách giáo

khoa Tùy theo nội dung trình bày

1b Hành động theo yêu cầu của thầy

2b Đọc và phân tích định lý: chỉ ra đâu là giả thiết và đâu là kết luận

3b Tiến hành đọc phân tích phần chứng minh định lý trong sách giáo khoa (nhằm trả lời các câu hỏi

các câu hỏi dẫn dắt cho học sinh

Chẳng hạn, như:

- Tác giả dùng kiến thức nào mà các

em đã họ để chứng minh

- Từ đâu mà có được điều ?

- Tại sao từ mà suy được ?

- Dạy học theo mô hình này sẽ phát triển khả năng tự học cả học sinh Qua quá

trình học tập dưới hình thức này học sinh được tập dượt cách phân tích và tự tìm hiểu định lý trình bày trong sách giáo khoa

- Phát triển khả năng phân tích một lập luận cho học sinh Học sinh được tập dượt cách chỉ ra luận đề, luận cứ và luận chứng của một lập luận thông qua phân tích cách chứng minh định lý trong sách giáo khoa

- Mô hình này có thể áp dụng đối với các định lý mà có phần chứng minh trong sách không quá phức tạp

Ví dụ minh họa: Xem bảng 1.22 như sau

Bảng 1.22 Ví dụ mô hình dạy học với sách giáo khoa

Nội dung Hoạt động của thầy Hoạt động của

2/ Yêu cầu học sinh đọc định lý trong SGK

Đọc SGK, một học sinh đọc lớn trước lớp

SGK đã dùng kiến thức cơ bản nào để chứng minh tính chất 3?

Làm rõ bước lập y và tính giới hạn

Làm sao có được kết quả b) 4/ Vận dụng

Tính đạo hàm các hàm số : a) ysin(2x 5)

y x

Nghiên cứu cách chứng minh của SGK, trả lời các câu hỏi

Hoạt động nhóm giải bài toán, trình bài sản phẩm trên bảng nhóm

1.3.7 Mô hình dạy học với một tình huống kết thúc mở

Theo 7, tr.111 

Quy trình: Xem bảng 1.23 như sau

Bảng 1.23 Mô hình dạy học với một tình huống kết thúc mở

Hoạt động của thầy (a) Hoạt động của học sinh (b)

1a Gợi động cơ học tập cho học sinh

2a Đưa ra tình huống kết thức mở (tình

huống có thể có nhiều đáp số) với những

câu hỏi dẫn dắt như:

- Từ đây các em có thể suy ra điều gì?

- Làm thế nào chúng ta có thể ?

- Tại sao điều này xảy ra ?

3a Yêu cầu học sinh trình bày các kết

quả, thảo luận (tiếp tục đưa ra câu hỏi

1b Hành động theo yêu cầu của thầy

2b Tìm lời đáp (có thể có nhiều lời đáp khác nhau)

3b Trình bày kết quả và thảo luận

gợi ý nếu cần để có được lời đáp như

- Quá trình học tập dưới hình thức này học sinh được tập dượt sử dụng suy luận để luận ra điều mới từ điều đã biết, tự đưa ra thêm giả thiết của bài toán (nếu cần) Kết quả mà học sinh tìm được có thể rất khác nhau và nhiều hơn những điều

mà giáo viên mong đợi

Ví dụ minh họa: Xem bảng 1.24 như sau

Bảng 1.24 Ví dụ mô hình dạy học với một tình huống kết thúc mở

Hoạt động của thầy (a) Hoạt động của học sinh (b)

trung bình trong tam giác

1a Trong hình thang cũng có

khác niệm đường trung bình Các

em thử định nghĩa ra sao?

2a Sau khi chính xác hóa định

nghĩa đường trung bình của hình

thang, giáo viên đưa ra tình

huống: Để tìm hiểu về đường này,

Học sinh phát biểu các kiến thức liên quan đến đường trung bình trong tam giác

1b Học sinh đưa ra định nghĩa

2b Học sinh làm theo nhóm để tìm lời đáp

các em giải bài toán sau đây:

Cho hình thang ABCD Gọi M ,

N lần lượt là trung điểm của AD

và BC Kéo dài BM cắt CD tại

P Với giả thiết như đã cho, các

em có thể suy ra được điều gì?

3a Yêu cầu học sinh trình bày các

kết quả, thảo luận (tiếp tục đưa ra

câu hỏi gợi ý nếu cần có được lời

đáp như mong đợi)

4a Giáo viên đúc kết, phát biểu

định lý đường trung bình của hình

thang và chỉ ra tầm quan trọng của

Chương 2 CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN HÀM SỐ BẬC BA

 khi x dần đến x được gọi 0

là đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm x , kí hiệu là 0 f x( )0 hoặc y x( )0 , nghĩa là

0 0

( ) ( )( ) lim f x f x

b) Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa: Muốn tính đạo hàm của hàm số f tại

điểm x theo định nghĩa, ta thực hiện hai bước sau: 0

Bước 1: Tính y theo công thức  y f x( 0  , trong đó x x)  là số gia của biến số tại x 0

 







c) Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y f x( ) tại điểm x là 0

hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị đó tại điểm M x f x0( ; ( ))0 0

d) Ý nghĩa cơ học của đạo hàm: Vận tốc tức thời v t tại thời điểm ( )0 t (hay vận 0

tốc tại t ) của một chuyển động có phường trình 0 ss t( ) bằng đạo hàm của hàm số ( )

2/ Nếu hàm số f có đạo hàm trên J thì hàm số f  xác định bởi f : J ℝ gọi

là đạo hàm của hàm số f x f x( ) 2.2.3 Đạo hàm hàm số bậc ba

Hàm khả vi là đơn điệu tăng (giảm) khi và chỉ chi khi đạo hàm của nó không

âm (không dương)

Tương tự, nếu f là hàm đơn điệu giảm ta có f x  0

  Cho x2  bất kỳ Theo định lý giá trị trung bình ta có x1

   là cùng dấu với f x và do đó f sẽ đơn điệu tăng khi f  là

không âm, và là đơn điệu giảm nếu f  là không dương Định lý đã được chứng

minh

2.3.3 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

Giả sử hàm số ( )f x có đạo hàm trên khoảng 

1) Nếu f x    , (0, x f x  chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc  ) 0thì hàm số đồng biến trên khoảng 

2) Nếu f x 0,  , (x f x  chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc  ) 0thì hàm số nghịch biến trên khoảng 

3) Nếu f x 0,  thì hàm số không đổi trên  x

- Việc tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của một hàm số còn được nói gọn là xét chiều biến thiên của hàm số đó

- Nếu việc xét chiều biến thiên của hàm số mà không nói rõ trên miền nào thì

ta phải đi xét chiều biến thiên trên tập xác định của nó

2.3.4 Quy tắc xét chiều biến thiên của hàm số

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số ( )f x

Bước 2: Tìm đạo hàm f x của hàm số đó

Bước 3: Tìm các giá trị của x thuộc tập xác định của hàm số để f x  0hoặc f x không xác định (ta gọi đó là các điểm tới hạn của hàm số)

Bước 4: Chia tập xác định của hàm số bởi các điểm tới hạn của nó Xét dấu của đạo hàm trên từng khoảng đó

Bước 5: Dựa vào bảng dấu và định lý trên suy ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

2.3.5 Sự biến thiên của hàm số bậc ba

2.4.2 Nguyên lý cực trị của hàm số

a) Điều kiện cần bậc nhất

Định lý: Định lí Fermat về điều kiện cực trị của hàm số

Cho f xác định trên khoảng a b Nếu f đạt cực trị tại điểm ,  ca b,  và

Từ hai điều trên ta suy ra f c  Vậy định lý được chứng minh 0

Chú ý: Mệnh đề ngược lại của định lý trên không đúng Từ điều kiện đạo hàm

bằng 0 tại điểm x chưa thể suy ra 0 x là cực trị của hàm số Ví dụ hàm số 0 y có x3

đạo hàm bằng 0 tại điểm x  nhưng không đạt cực trị tại 0 x  0

b) Điều kiện đủ bậc nhất

chưa điểm x (hay còn gọi là lân cận của điểm 0 x ) Giả sử f có đạo hàm tại mọi 0

điểm trong lân cận ấy

(i) Nếu khi x đi qua x mà đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì hàm số đạt 0

Bước 2: Giải phương trình ( ) 0f x  , tìm nghiệm x x , 1, 2

Bước 3: Xét dấu ( )f x và dựa vào định lý trên để kết luận x có là cực trị hay i

không

c) Điều kiện cực trị bậc hai

hai liên tục tại điểm ca b,  :

(i) Nếu f đạt cực tiểu địa phương tại c thì f x( ) và ( ) 00 f c  Ngược lại, nếu f x( ) và ( ) 00 f c  thì f có cực tiểu địa phương tại c

(ii) Nếu f đạt cực đại địa phương c thì f x( ) và ( ) 00 f c  Ngược lại, nếu f x( ) và ( ) 00 f c  thì f có cực đại địa phương tại c

Chứng minh

(i) Chứng minh điều kiện cần: Tính suy biến của đạo hàm bậc nhất tại điểm c

đã được chỉ ra trong định lý Fermat Ta chỉ cần chứng minh tính không âm của đạo

hàm bậc 2 tại điểm c Lấy số dương  đủ bé sao cho f x( ) f c( ) 0

( ) ( ).( ) ( ) (x z) 0

f z  f z x z  f z A   hay

2

f z  A x c  f x  f c

Khi cho x tiến dần đến c thì vế phải luôn luôn không âm (vì c là điểm cực

tiểu) và vế trái tiến dần tới f c( ) (vì f (.) là hàm liên tục và vì z luôn nằm giữa x

và c ) Điều này có nghĩa rằng f c( ) là không âm và điều kiện cần đã được chứng minh xong

Chứng minh điều kiện đủ

Nên khi x đủ nhỏ, (f c    cùng dấu với x x)  Chứng tỏ đạo hàm đổi dấu

từ âm sang dương khi x đi qua c và vì vậy hàm số đạt cực tiểu tại c

(ii) Chứng minh tương tự

Định lý đã được chứng minh xong

Từ định lý trên ta có

Quy tắc 2 tìm cực trị hàm số

Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất y và đọa hàm bậc hai y

Bước 2: Giải phương trình y  , tìm các nghiệm 0 x x , 1, 2

Bước 3: Tính các giá trị của y tại các điểm x x và dựa vào định lý trên để 1, 2kết luận x có là cực trị hay không i

2.5.2 Quy tắc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn  a b và có đạo hàm trên khoảng ( ; ); a b , có

thể trừ một số hữu hạn điểm Nếu f x( ) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc 0

( ; )a b thì ta có quy tắc tìm giá trị lớn nhất và giá tị nhỏ nhất của hàm f trên đoạn

 a b như sau: ;

1) Tìm các điểm x x1, 2, ,x thuộc ( ; ) m a b tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0

hoặc không có đạo hàm

2) Tính f x( ), ( ), , (1 f x2 f x m), ( ), ( )f a f b

3) So sánh các giá trị tìm được

Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của f trên đoạn  a b , số ;

nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của f trên đoạn  a b ;

Điều này có nghĩa f  là hàm đơn điệu tăng

  Ngược lại, giả sử f  là hàm đơn điệu tăng, ta sẽ chỉ ra rằng f là hàm

Hàm khả vi bậc hai là lồi khi và chỉ khi đạo hàm của nó không âm

2.7 Điểm uốn của đồ thị

Ta có thể tóm tắt định nghĩ trên như sau: Điểm uốn là điểm mà tại đó đồ thị hàm số chuyền từ lõm sang lồi hoặc ngược lại

Chứng minh

Từ 1) suy ra: khi đối số x đi qua c thì đồ thị hàm số đổi miền lồi sang lõm

hoặc ngược lại Chứng tỏ M c f c là điểm uốn đồ thị hàm số ( , ( ))

Trong trường hợp 2) tính lồi (lõm) của đồ thị hàm số vẫn giữ nguyên Do đó điểm M c f c không là điểm uốn ( , ( ))

2.7.3 Quy tắc tìm điểm uốn

Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất y

Bước 2: Tính đạo hàm bậc hai y

Bước 3: Giải phương trình y  , tìm các nghiệm 0 x x 1, 2,

Bước 4: Xét dấu đạo hàm bậc hai y và kết luận về điểm uốn: Nếu qua x mà i

đạo hàm bậc hai y đổi dấu thì x là điểm uốn Còn nếu qua i x mà đạo hàm bậc hai i y không đổi dấu thì x không là điểm uốn i

2.8 Đồ thị hàm số bậc ba yax3bx2 cx d a 0

Khi tiến hành khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ta tiến hành các bước sau đây: 1) Tìm tập xác định của hàm số

2) Xét sự biến thiên của hàm số

- Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực (nếu có) của hàm số

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có)

- Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm:

Tìm đạo hàm của hàm số, xét dấu đạo hàm, xét chiều biên thiên và tìm cực trị của hàm số (nếu có), điền các kết quả vào bảng

3) Vẽ đồ thị của hàm số