khái niệm hàm loga trong chương trình phổ thông

Caractéristiques du concept du Logarithme et de la Fonction logarithmique dans quelque manuels universitaires...14 1.2.1 Logarithme et Fonction logarithmique dans le manuel [a] ...15 1.2

PHẠM TRẦN HOÀNG HÙNG

KHÁI NIỆM HÀM SỐ LOGARIT TRONG TRƯỜNG

PHẠM TRẦN HOÀNG HÙNG

KHÁI NIỆM HÀM SỐ LOGARIT TRONG TRƯỜNG

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS LÊ VĂN TIẾN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2008

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Văn Tiến, người đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Đoàn Hữu Hải, PGS.TS Claude Comiti, PGS.TS Annie Bessot, TS Alain Birebent đã nhiệt tình hướng dẫn, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức cơ bản và rất thú vị về didactic toán, cung cấp cho chúng tôi những công cụ hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu

Tôi xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Xuân Tú Huyên đã nhiệt tình giúp tôi dịch luận văn này sang tiếng Pháp

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn:

- Trưởng phòng Thanh tra đào tạo, các đồng nghiệp trong phòng Thanh tra đào tạo đã tạo điều kiện thuận lợi và luôn động viên, giúp đỡ để tôi hoàn thành tốt khóa học của mình

- Ban lãnh đạo và chuyên viên phòng KHCN-SĐH trường Đại học Sư phạm TP.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học

- Ban Giám hiệu cùng thầy cô trong tổ Toán trường THPT Nguyễn Hiền, trường THPT Nguyễn Văn Côn đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cha mẹ, anh chị và những người thân yêu trong gia đình tôi luôn động viên, nâng đỡ tôi về mọi mặt

Phạm Trần Hoàng Hùng

Page de titre

Remerciements

Table des matières 1

Liste des abréviations 3

Liste des tableaux 4

INTRODUCTION 5

Chapitre 1 CONCEPT DU LOGARITHME ET DE LA FONCTION LOGARITHMIQUE AU NIVEAU DE SAVOIR SAVANT 12

1.1 Historique 12

1.2 Caractéristiques du concept du Logarithme et de la Fonction logarithmique dans quelque manuels universitaires 14

1.2.1 Logarithme et Fonction logarithmique dans le manuel [a] 15

1.2.2 Logarithme et Fonction logarithmique dans le manuel [b] 20

Chapitre 2 CONCEPT DU LOGARITHME ET DE LA FONCTION LOGARITHMIQUE AU NIVEAU DE SAVOIR À ENSEIGNER 25

2.1 Manuel scolaire publié en 1991 25

2.2 Manuel scolaire (selon le programme de modification fusionnée) publié en 2000 37

2.3 Manuel scolaire publié en 2008 41

Chapitre 3 EXPÉRIMENTATIONS 48

Expérimentation A 49

3.1 Finalité de l’expérimentation 49

3.2 Contenu de l’expérimentation 49

3.3 Analyse des résultats 50

3.4 Conclusion 53

Expérimentation B 53

3.5 Finalité de l’expérimentation 53

3.6 Organisation de l’expérimentation 53

3.7 Analyse a priori des questions expérimentales 54

3.7.1 Construction des questions expérimentales 54

3.7.2 Système des questions expérimentales .54

3.7.3 Stratégie et Influence des variables observables 56

3.8 Analyse de la scénario 62

3.9 Analyse a posteriori 62

3.9.1 Fiche 1 63

3.9.2 Fiche 2 64

3.10 Conclusion .65

CONCLUSION 66 BIBLIOGRAPHIES

ANNEXES

Universitaires De France 108, Boulevard Saint-German, Paris 1960 [V1] Algèbre et Analytique 11e, Trần Văn Hạo, Phan Trương Dần,

1991, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation [P1] Livre du professeur Algèbre et Analytique 11e, Trần Văn Hạo, Phan

Trương Dần, 1991, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation [E1] Livre d’Exercices Algèbre et Analytique 11e, Trần Văn Hạo, Phan Trương

Dần, 1991, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation [V2] Algèbre et Analytique 11e, Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh, 2000, Maison

d’Édition du Minitère de l’Éducation [P2] Guide pédagogique Mathématiques 11e, Văn Như Cương, Trần Văn Hạo,

Ngô Thúc Lanh, 2000, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation [E2] Livre d’Exercices Algèbre et Analytique 11e, Trần Văn Hạo, Ngô Thúc

Lanh, 2000, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation [V3] Analytique 12e, Trần Văn Hạo (Directeur de l’Éditeur), 2008, Maison

d’Édition du Minitère de l’Éducation [P3] Livre du professeur Analytique12e, Trần Văn Hạo (Directeur de l’Éditeur),

2008, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation [E3] Livre d’Exercices Analytique12e, Vũ Tuấn (Directeur de l’Éditeur), 2008,

Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation

LISTE DES TABLEAUX

Tableau 2.1 Statistique des exemples et des exercices relatifs à la fonction

logarithmique dans le manuel [V1] et le livre d’Exercices [E1]

36

Tableau 2.2 Statistique des exemples et des exercices relatifs à la fonction

logarithmique dans le manuel [V2] et le livre d’Exercices [E2]

40

Tableau 2.3 Statistique des exemples et des exercices relatifs à la fonction

logarithmique dans le manuel [V3] et le livre d’Exercices [E3]

INTRODUCTION

1 Premiers constats et questions de départ

Fonction demeure un objet qui joue toujours un rôle important dans le programme des Mathématiques aux lycées Parmi des types de fonction, nous nous intéressons particulièrement au logarithme pour les raisons ci-dessous :

- Le concept du logarithme qui se ramène à la fonction logarithme n’est pas seulement mentionné dans les Mathématiques mais encore dans différents domaines comme : physique, chimie, …etc Ce fait enmène à poser plusieures questions comme suit :

+ Quelles sont des ressemblances et des différences entre la définition du logarithme dans les mathématiques et celle dans autres sciences ?

Algèbre et Analyse 11 publié en 1991 (avant la partie de la dérivée et

l’intégrale) : Fonction exponetielle -> Logarithme de base a -> Fonction logarithme -> Logarithme de base 10, e

Algèbre et Analyse 11 ( avec ajustements) publié en 2000 (avant la partie

de la dérivée et l’intégrale) : Fonction exponetielle -> Fonction réciproque -> Fonction logarithme -> Logarithme de base 10,e

Analyse 12 publié en 2008 ( après la partie de la dérivée, avant la partie de

l’intégrale) : Fonction puissance -> Logarithme de base a -> Lgarithme de base 10,e  Fonction exponentielle -> Fonction logarithme

Comment paraissent –elles donc les notions du logarithme et de la fonction logarithme au programme mathématique aux lycées Quel est le rôle de ces objets?

Et comment s’évoluent – ils?

De manière systématique, nous trouvons la nécessité de poser ces questions comme suit :

 Au niveau du savoir savant, comment sont-ils mentionnés, le concept du logarithme et celui de la fonction logarithme? Quels sont leurs caractéristiques?

 Au niveau du savoir à enseigner au lycée, pourquoi présente –il le contenu de ces notions en suivant cet ordre mais pas un autre?

 Révèle-t-il des ressemblances et des différences entre l’oragnisation des savoirs reliées au logarithme et à la fonction logarithme chez l’université et celle du lycée? Les raisons expliquent ces différences?

 Comment explique -t-elle, institution cet ordre du choix?

 Quelles sont les conséquences proviennent du choix des types de tâche et des techniques chez les objets de l’institution (élèves et enseignant) ?

 Demeure -t- il des différences ou des liaisons entre le concept du logarithme et

de la fonction logarithme dans les mathématiques et celui chez les autres disciplines?

2 Objectifs de recherche et cadre théorique

Ce mémoire vise à trouver les réponses pour les questions ci –dessus

Pour déterminer les éléments clés de ces questions, nous posons notre étude dans le cadre théorique du didactique des mathématiques, dont les détails sont :

 Théorie anthropologique : le rapport institutionnel et le rapport individuel en face d’un savoir, d’une organisation mathématique;

 Théorie des situations : contrat didactique

 Théorie anthropologique

En ce cas, nous faisons seulement des brièves descriptions de deux notions qui ont besoin d’une référence de la théorie anthropologique pour déterminer les réponses des questions posées

Rapport institutionnel, rapport individuel en face d’un savoir

Rapport institutionnel :

Le raport R(I,O) de l’institution I avec le savoir O est un ensemble des interactions entre l’institution I et le savoir O Il révèle ó, par quel moyen O apparaỵt, comment O existe et son rơle pour I ?

Rapport individuel:

La relation R(X,O) de l’individu X avec le savoir O est un ensemble des interactions entre l’individu X et le savoir O Il révèle ce que X pense et comprend

de O, comment il manipule O?

L’apprentissage de l’individu X envers le savoir O est le processus d’établir

ou d’ajuster la relation (X,O) Évidemment, pour un savoir O, le rapport de l’institution I dans laquelle l’individu X est une part laisse toujours une marque dans le raport (X, O) Pour étudier R(X,O), il nous faut le mettre dans R(I,O)

Organisations mathématiques

Activités mathématiques se présentent une partie des activités sociales; la réalité mathémathique est une type de la réalité sociale; il faut donc construire un modèle qui favorit la description et les études de cette réalité En basant sur ce

point de vue, Yves Chevallaerd (1998) a présenté la notion praxéologie

D’après Chevallard, chaque praxéologie est un ensemble de 4 éléments

[T,,,], dans lequel T est une type de tâche,  est la technique qui permet à résoudre T;  est la technologie expliquant la technique , et  est la théorie qui explique la technologie 

Une praxéologie dont les éléments contiennent des natures mathématiques

s’appelle une organisation mathématique

Bosch M et Y Chevallard (1999) ont clarifié: “Pour une place institutionnelle définie, le rapport institutionnel envers un sujet est déterminé et transformé par un ensemble des tâches occupées et réalisé par l’individu obtenant cette place, sous l’aide des techniques indiquées Le fait de réalisation de différentes tâches que l’individu doit faire tout au long de sa vie dans différentes institutions, ó l’individu est considéré comme le sujet (alternatiement ou simultanément), produit le rapport entre lui même et le sujet mentionné »

Donc, la recherche des organisations mathématiques qui relient étroitement

au savoir O nous aide à clarifier le raport entre R(I,O) de l’institution I envers le savoir O; de ce point, la relation maintenue entre l’individu X et le savoir O devient alors éclaircie

Identifier des organisations mathématiques relatives au savoir O nous aide ainsi à définir des règles du contrat didactique : par exemple chaque individu a le droit de faire telles choses, ne doit pas faire telles choses et comment utilise-il le savoir O

 Théorie des situations

Dans cette partie, nous n’aborde que la notion qui a besoin de la référence :

le contrat didactique

Contrat didactique

Le contrat didactique concerne quelques savoirs qui sont modélisation des droits et des devoirs de l’enseignant et même des élèves envers ces objets Il est compris comme un ensemble des règles (souvent implicites) qui divisent et limitent les responsabilités de chaque membre (l’élève et l’enseignant) envers un savoir mathématique enseigné

La définition du contrat didactique permet d’expliquer les comportements de l’enseignement et de l’élève, de trouver le sens des activités qu’ils mènent ; de ce point, nous pouvons expliquer exactement les événements observés dans la classe D’après Annie BESSOT et Claude COMITI (2000), pour reconnaître des effets du contrat didactique, nous pouvons suivre les étapes suivantes:

 Créer un bouleversement dans le système éducatif pour mettre les membres principaux (l’enseignant et l’élève) dans une étrange situation appelée situation cassant le contrat :

+ En changeant les conditions d’utilisation des savoirs,

+

+

+

En profitant la maîtrise prématurée de l’élève pour des tels savoirs

En se mettant hors du domaine des savoirs examinés ou utilisant les situations que les savoirs examinés sont incapables de résoudre

En posant l’enseignant face aux comportements qui n’accordent pas à leur souhait chez les élèves

 Analyser les composantes du système éducatif en vigeur :

+

+

+

En étudiant les réponses de l’élève au cours,

En analysant des évaluations mathématiques des élèves dans l’utilisation des savoirs,

En analysant des exercices resolus ou favoris dans le manuel

En particulier, nous pouvons reconnaître certains éléments représentatifs pour le savoir du contrat didactique en étudiant les critères de validation de l’utilisation des savoirs qui est fixée pas seulement par des textes ou par la définition du savoir, mais encore par des situations d’application, par des conventions tirées de l’enseignement Les critères décidant la validation du savoir

en ce cas ne dépendent plus au\ savoir lui-même mais aux contraintes du système didactique

Le fait d’enseigner un nouveau savoir produit toujours des situations cassant

le contrat pour les anciens savoirs et demande de négocier de nouveaux contrats : l’apprentissage est le processus d’habituation des élèves vers ces bouleversements

à travers de la négociation avec l’enseignant D’après Brousseau, cette négociation conduit à une type de jeu dont les règles sont provisoirement stables ; ce jeu permet aux membres principaux, surtout aux élèves de donner leur décision dans

la marge de garantie qui est nécessaire pour assurer leur indépendance tout au long

de l’acquisition

L’étude des règles du contrat didactique demeure indispensable parce que pour bien préparer le furur, l’enseignant doit examiner le passé dont la forme réelle est le contrat en vigeur Le contrat sur lequel l’enseignant agit s’évolue discontinuellement, est formé d’une serie des événements venant l’un après l’autre, représetatifs pour les ruptures du contrat Casser le contrat révèle le principe essentiel pour l’évolution attendue

3 Reformulation des questions et des buts du recherche

Au sein du cadre théorique mentionné, nous reformulons nos questions :

Q1 Quels sont les caractéristiques de l’épismologie du logarithme et de la fonction logarithme dans la formation et l’évolution ?

Q2 À l’université, quels sont des caractéristiques du rapport entre l’institution avec la notion du logarithme et de la fonction logarithme ? Quel est son rôle ? sa nature ?

Q3 Comment se forme t-il et s’évolue-t-il le rapport entre l’institution et la notion du logarithme et de la fonction logarithme chez les lycées aux Vietnam? Quels sont des caractéristiques des oraganisations mathématiques qui renvoient à ces notions ? Comment s’évoluent –elles à l’étape de renouvellement du programme et du manuel ? Quelles sont des conditions et des contraintes de l’institution sur ces notions et les notions relatives ? Quels sont des règles de contrat construits par l’enseignement-l’apprentissage du sujet logarithmique ?

Q4 Quelles sont des ressemblances et des différences tirées du rapport entre l’institution et la notion du logarithme, de la fonction logarithme aux universités par rapport aux lycées résidés au Vietnam? Q5 Comment influence -t-il le rapport institutionnel de l’enseignement du logarithme, de la fonction logarirthme chez le lycée sur le rapport l’enseignant - l’élève ?

ÉTUDIER LES SAVOIRS À ENSEIGNER:

Institution de l’enseignement des mathématiques aux lycées

vietnamiens

EXPÉRIEMENTER:

Relation individuelle entre l’enseignant et l’élève Nous pouvons paraphraser le plan de la méthode de recherche comme suit :

 Premièrement, nous allons étudier des savoirs savants en analysant certains manuels de mathématiques des universités Cette étude vise à comprendre les présentations des définitions du logarithme et de la fonction logarithme au niveau du savoir savant

 Le résultat de l’étude des savoirs sera le base de réfrérence pour l’analyse de l’institution de l’enseignement des mathématiques aux lycées Concrètement, nous allons analyser la notion du logarithme, de la fonction logarithme dans les manuels, les livres de professeurs, les documents supplémentaires relatifs aux lycées

 Les résultats obtenus conduiront aux nouvelles questions et aux hypothèses dont l’adéquation sera justifíée à travers de l’expérimentation La recherche par l’expérimentation des enseignants et des élèves chase à comprendre des effets de l’institution sur la relation individuelle entre l’enseignant et l’élève

5 Structure du mémoire

Ce mémoire contient 3 parties : l’introduction, 3 chapitres et la conclusion

 L’introduction présente certains constats et questions de départ qui nous enmènent au sujet du mémoire, aux buts de recherche, aux méthodes de recherche et enfin à la structure du mémoire

 Chapitre 1 présente l’analyse des notions du logarithme et de la fonction logarithme au niveau du savoir savant Concrètement, nous abordons certains éléments historiques relatifs à ces sujets, l’analyse des présentations de ces notions dans certains manuels chez les universités

 Chapitre 2 présente l’analyse du rapport entre l’institution de l’enseignement des mathématiques aux lycées et la notion du logarithme et de la fonction logarithme

 Chapitre 3 présente les éxpérimentations dont la première est ménée aux enseignants des mathématiques de la classe 12 du lycée vietnamien pour comprendre les effets de l’institution sur le rapport de l’enseignant-l’élève ; la deuxième est ménée sur les élèves de la classe 12 pour trouver leur rapport individuel vers la notion du logarithme et de la fonction logarithme

 La conclusion présente brièvement les résutats obtenus des chapitres 1,2,3 et des nouvelles pistes de recherche tirés du mémoire

Ce chapitre vise à clarifier les caractéristiques de la définition du logarithme

et de la fonction logarithme et les définitions qui revoient à ces sujets au niveau du savoir savant Plus concrètement, en analysant un certain nombre des manuels universitaires, nous avons envie de trouver l’itinéraire et la méthode d’introduire ces définitions, leur rôle et leur fonction et ainsi la liaison de ces sujets (si elle existe) entre les mathématiques et les autres domaines

Par manque des documents à consulter, nous n’avons pas pu creuser l’épistémologie comme notre souhait Cependant, quelques détails historiques sont abordés au but de supporter l’analyse des manuels de mathématiques chez les universités

1.1 Quelques traits historiques

Cette partie est construite sous l’aide de la consultation des sources d’information suivantes :

 Les Logarithmes et Leurs Applications Par André Delachet Presses

Universitaires De France 108, Boulevard Saint-German, Paris 1960

 COURS SUR LES FONCTIONS LOGARITHMES Bac Pro

(http://maths-sciences.fr/documents/bacproindus/maths/logarithmes/c.pdf)

 http://www.leon-ollee.com:8080/HomoCalculus/vn/visite/theme1/r_neper.as

1 Note des traducteurs : Pour le chapitre 1 qui s’allonge de la page 12 jusqu’à la page 24, nous n’avons traduit que les 3 pages : 12, 23, 24

Conclusion du chapitre 1

Dans le chapitre 1, nous avons étudié certains traits historiques qui renvoient

à la fonction logarithme et nous avons clarifié des manières de présentation de ces sujets dans les manuels mathématiques à l’échelle universitaire

Un nombre des résultats principaux trouvés dans le chapitre 1 :

 En matière de la définition de la fonction logarithme:

+ La fonction logarithmique est toujours définie comme une application f venant de R* à R, elle est la solution de l’équation : f(xt) = f(x) + f(t) dans laquelle, x et t quelconque appartiennent à *

R Cette équation révèle la nature de l’application f : transformer la multiplication en l’addition

 L’itinéraire d’introduction des sujets dans le manuel [a] différencie à celle dans [b]:

Dans le manuel [a] : Fonction logarithme (généralité)  Fonction logarithme népérien  Fonction logarithme de base a  Fonction exponentielle de base e, a  Fonction puissance  Tableau logarithmique de base 10

Dans le manuel [b]: Fonction logarithme népérien  Fonction exponentielle de base e  Extension de l’exposant et de la puissance  Fonction exponentielle de base a  Fonction logarithme de base a  Tableau logarithmique de base 10

 L’itinéraire d’apparition de la notion du logarithme et de la fonction logarithme dans l’histoire distingue celle dans le manuel universitaire:

Dans l’histoire: la notion du logarithme se présente avant celle de la fonction logarithme

+

+

Dans le manuel universitaire : la notion de la fonction logarithme est introduite avant celle du logarithme

 En matière des caractères de la fonction logarithme de base a:

L’ensemble de définition est R*, l’ensemble des valeurs est R

 La base a > 1: fonction croissante

 La base a positif < 1: fonction décroissante

 En matière de la nature de la fonction logarithme:

Remplacer la multiplication par l’addition

 Au sujet de la notion de la fonction logarithme et les notions relatives, nous avons trouvé 3 types de tâches comme suit:

T1: “Calculer la valeur d’une grandeur”

T2: “Trouver la valeur d’une expression calculée par le logarithme décimal”

T3: “Étudier la fonction logarithme népérien”

Chapitre 2 NOTION ET FONCTION LOGARITHMIQUE

AU NIVEAU DE SAVOIR À ENSEIGNER

Les objectifs du chapitre

Ce chapitre vise à expliciter :

 Les caractéristiques de la relation entre l’Institution et le logarithme, sa fonction ainsi que sa position dans l’enseignement des Mathématiques au lycée vietnamien

 Les contraintes de l’Institution sur la notion logarithme, sa fonction et notamment les règles du contrat didactique vis-à-vis de ces notions dans l’enseignement des mathématiques

 Certaines caractéristiques du changement didactique au niveau du logarithme

et de la fonctionlogarithmique

Afin d’atteindre les objectifs susmentionnés, nous avons choisi d’analyser les programmes et les manuels vietnamiens utilisés dans les différentes périodes : période 1991, période de remaniement à l’an 2000 et la période en cours (2008) Les résultats atteints dans le chapitre 1 serviront de référence pour les analyses de ce chapitre qui suit

La fonction logarithmique dans le manuel mathématique utilisé au lycée vietnamien

Au moment de notre analyse, le lycée vietnamien se trouve au sein de la transition entre le programme remanié de l’an 2000 (le logarithme est enseigné en première) et le programme d’enseignement par filière (le logarithme est enseigné

0.1 Manuels de la période 1991

Dans cette période existent à la fois 3 manuels Le premier est rédigé par Phan Duc Chinh Le deuxième par Tran Van Hao et le troisième par Ngo Thuc Lanh

Dans ces 3 manuels, la fonction logarithmique est définie quasiment similaire Or nous avons choisi d’analyser le logarithme dans le deuxième, vu qu’il est partiellement plus complet

Voici notre liste de documentation :

 Algèbre et Analyse 11, Tran Van Hao, Phan Truong Dan, 1991, Edition Giao Duc [V1]

 Guide pédagogique de “Algèbre et Analyse 11”, Tran Van Hao, Phan Truong Dan, 1991, Edition Giao Duc [P1]

 Livre d’exercices de “Algèbre et Analyse 11”, Tran Van Hao, Phan Truong Dan, 1991, Edition Giao Duc [E1]

Dans le manuel [V1], nous constatons l’ordre d’apparition des notions étant comme ci-dessous :

L’ordre d’apparition des notions dans le manuel [V1] est ressemblant à celui du manuel [b] présenté dans le chapitre 1 Cependant, le développement de la notion puissance n’est pas précédé par la présentation de la fonction logarithmique de Neper et la fonction exponentielle de e, autrement dit la fonction exponentielle de a est définie directement à partir du développement de la notion puissance, sans l’intermédiaire de la logarithmique

de Neper et la fonction exponentielle de e Ainsi est écrit dans le guide pédagogique :

“Par le développement de façon successive de la notion exponentielle à base d’un nombre entier, d’un rationnel et d’un irrationnel, le manuel a présenté l’exposant réel x d’un nombre réel et positif a D’ó il définit : la fonction exponentielle est identifiée par

la formule y a x ”

Nous commençons par une équation exponentielle simple : on a : a > 0 et a ≠

1, résoudre l’équation avec b étant un nombre réel, à la page 201– [V1] Par

la résolution graphique, le manuel [V1] démontre que cette équation admet toujours une solution avec b étant un nombre positif, et conclut que cette solution est unique car l’équation

Par la suite, le manuel [V1] définit la fonction logarithmique à base a selon le

point de vue de la fonction réciproque : la fonction logarithmique à base a est le

réciproque de la fonction exponentielle y a x Selon la définition du logarithme et

la formule de la fonction exponentielley a x , on a : xloga y Donc :

“Avec a > 0, a ≠ 1, la fonction logarithmique à base a est identifiée avec tout valeur de la variable x, étant positive et donnée par l’expression yloga x”

Ceci montre la première propriété de la fonction logarithmique mentionnée

dans la définition du logarithme à base a : l’ensemble des définitions est R*,

l’ensemble des valeurs est R

D’ailleurs, la fonction yloga x est la réciproque de la fonction y a x, d’ó, en se basant sur la propriété de la fonction exponentielle, on déduit la propriété de la fonction logarithmique Le manuel [V1] a proposé ainsi la troisième

propriété de la fonction logarithmique : la fonction logarithmique est continue sur

*

R

De plus, à partir de la représentation graphique de la fonction exponentielle,

le manuel [V1] déduit la propriété de celle de la fonction logarithmique :

La quatrième propriété : la fonction est croissante quand la base est supérieure à 1, la fonction décroissante quand la base étant positive est inférieure à

1

La cinquième propriété : la graphique de la fonction logarithmique est en entier à droite de l’axe des ordonnées et admet l’axe des ordonnées comme asymptote verticale

A la rubrique 3 du chapitre VI, page 124, le manuel [V1] présente le logarithme décimal et sa table Dans l’application de logarithme décimal pour les opérations réelles ou quand on doit résoudre des expressions contenant les nombres positifs et les opérations : multiplication, division, puissance, extraction,

on utilise éventuellement les propriétés de logarithme pour convertir ces expressions en logarithmes

Nous constatons que le nombre e  2,71828 et le logarithme de Neper sont totalement absents dans le manuel [V1] Il serait probable que le manuel [V1] met plus d’accent sur le calcul (travail de l’élève) à travers la consultation de la table

de logarithme que l’étude théorique (la calculette n’est pas considérée comme

outil) C’est la raison pour laquelle le rôle du logarithme de Neper n’est pas important

 Les praxéologies liés à la fonction logarithmique

Nous constatons avant tout la nécessité de rappeler les types de tâches qui ont des rapports avec le logarithme et la fonction logarithmique en tant que savoir savant Ce sont les trois types de tâches suivantes :

T1: “Calculer la valeur d’une grandeur ”

T2: “Calculer la valeur d’une expression logarithmique ”

T3: “Etudier la fonction logarithmique de Neper ”

Au niveau du savoir enseigné, le type de tâche T1 n’apparaît pas de façon explicite dans le manuel [V1], les traces de T1 ne se révèlent qu’à travers T’1, T”1

b

a a

B a , với a,b > 0, a,b  1

Technologie – Théorie ’ 1 - ’ 1: Définition du logarithme

Nous trouvons que le problème de type T’1 peut être résolu d’une autre façon en utilisant la calculette ou la représentation graphique, pourtant n’existe aucun exercice ou exemple qui présente cette résolution La résolution attendue de l’Institution est : “quand on calcule une expression ou résout une équation contenant les logarithmes de bases différentes, il nous faut les transformer en une seule base” (page 112 – Guide pédagogique [P1]) Selon nos statistiques, dans ce

chapitre il n’existe que 3 exemples (parmi 50 exemples et exercices) de type T’1,

et tous les trois (soit 100 %) sont résolus avec la technique ’1

Type de tâche Exemple Exercice Total Utilisation de ”

1

Taux d’utilisation

de ”1

Les caractéristiques du type T’1 dans le manuel [V1]:

 Les logarithmes sont sous forme loga b ou alogb N, ou bien susceptibles d’être transformés en une de ces deux formes

 a, b dans loga b et alogb N sont susceptibles d’être transformés en forme :

r

a c et b c , avec r, s étant les rationnels s

 Le résultat du calcul de l’expression contenant un logarithme est une valeur exacte, et non pas une valeur approchée

A partir de ces caractéristiques, les problèmes de type T’1 proposés sont tous susceptibles d’être transformés en forme loga b ou alogb N(on peut transformer a, b

dans loga b et alogb N en forme : a c et r b c  , avec r, s étant les rationnels), ce s

qui donne à une utilisation efficace de la technique ’1

Autrement dit, nous supposons l’existence de manière implicite d’une règle contractuelle de l’Institution :

R 1: L’expression contenant le logarithme à calculer possède absolument les deux caractéristiques suivantes :

Elle est sous forme loga b ou alogb N, ou susceptible d’être transformée en une de ces deux formes

+

+ a, b dans loga b et alogb N sont susceptibles d’être transformés en forme

r

a c và b c , avec r, s étant les rationnels s

Selon ce contrat, l’Institution attend à ce que les enseignants proposent aux élèves des problèmes liés à l’expression contenant le logarithme et satisfaisants aux deux caractéristiques susmentionnées

Sachant que c = log 315 Calculer log2515 en fonction de c

+ Transformer l’expression contenant le logarithme en forme irréductible

Technologie – Théorie ’ 1 - ’ 1 :Définition du logarithme

Le fait que le manuel [V1] intègre le type de tâche T”1 sert à éclaircir la signification de la notion logarithme Il permet de trouver la solution de toute équation exponentielle a x  (a > 0, a ≠ 1, b > 0), c’estxloga b Selon nos statistiques, dans ce chapitre il existe 1 exemple et 8 exercices (parmi 50 exemples

et exercices) de type T”1, et tous ces neufs sont résolus avec la technique ”1

Type de tâche Exemple Exercice Total Utilisation de ”

1

Taux d’utilisation

de ”1

En analysant les problèmes de type T”1 du manuel, se révèle une contrainte implicite de l’Institution vis-à-vis de ce type de tâche : l’Institution veut que la réponse de l’élève ne soit pas un nombre réel approché et que le résultat (si le problème contient un logarithme) soit absolument irréductible Autrement dit, l’Institution n’accepte pas l’utilisation de la calculette pour calculer la valeur approchée ou de la représentation graphique pour lire le résultat du problème Donc, nous supposons l’existence de manière implicite des règles contractuelles de l’Institution :

R 2: Le résultat de l’expression contenant un logarithme est une valeur exacte,

et non pas approchée

R 3: Ne pas utiliser la calculette pour calculer la valeur de l’expression contenant le logarithme

R 4: Ne pas utiliser la représentation graphique pour calculer l’expression contenant le logarithme

En plus, dans la partie théorique du logarithme, le manuel [V1] aborde l’utilisation de la représentation graphique dans la résolution d’un logarithme à base a du nombre b Cependant cette technique est destinée uniquement à illustrer l’existence de la solution (unique) de l’équation exponentielle simple , avec

a > 0, a ≠ 1, b étant un réel positif Cette technique ne s’applique pas pour résoudre les exemples et exercices de ce type de tâche Cela montre implicitement que l’enseignant est chargé de donner les hypothèses, d’assurer la validité du problème donné ainsi que l’exactitude des solutions de l’élève De leur part, l’élève donne sa solution en analysant les données du problème Il n’est pas obligé de bien examiner sa réponse

x

a  b

Exemple : (exemple 1 à la page 215 – Manuel [V1])

Calculer le logarithme décimal de l’expression A

Consulter la table XIII – La mantisse du logarithme décimal pour calculer

la valeur de lgA

Consulter la table XIV – La valeur de la fonction 10x pour calculer la valeur de l’expression A

Technologie – Théorie ’ 1 - ’ 1 : Définition du logarithme

Le type de tâche T2 consiste à trouver la valeur de l’expression logarithmique

à base quelconque

Exemple : (exercice 6.9 à la page 210 – Manuel [V1])

Démontrer que : 2

2

1log log (log )

2

a x a x a x

Et puis résoudre l’équation : log log3x 9x 2

Solution :

3 3

log 2log 2

x x





   

 9

19

x x

Technologie – Théorie ’ 1 - ’ 1 : Définition du logarithme

Les caractéristiques du type T’2:

 Les problèmes sont convertis en loga x , avec x étant l’inconnue à trouver 

 L’inconnue x n’existe pas simultanément dans la base et dans l’expression

logarithmique

Dans le manuel [V1], le type de tâche T3 n’est pas réalisé d’une façon complète (vu que la notion dérivée n’est pas enseignée), on ne voit que ses traces qui sont : les types de tâche T’3, T”3 và T’”3

Exemple : (exercice 6.13 à la page 213 – Manuel [V1]) Comparer les valeurs :

a) log2 5 et log 2,52 b) log3 1

2 et 2

2log

3 c) log5 3 et

4 5

3 > 2

2log3

 log3 1

2 > 2

2log3

c) On a : 3 < 410  log5 3 < 4

5

log 10

quand 0 < x <1 on a loga xlogb x

Si 0 < a < b, quand x > 1 on a loga xlogb x

+

quand 0 < x <1 on a loga xlogb x

logarithmique

L’analyse des problèmes de type de tâche T”3 du manuel scolaire [V1] nous affirme que la solution de ces problèmes ne se base pas sur la comparison des valeurs décimales de ces 2 chiffres mais sur les propriétés graphiques de la

fonction logarithme Autrement dit, il est inacceptable que les élèves utilisent la calculette pour calculer les logarithmes en valeurs approchées qui sont ensuite mise en comparaison En même temps, l’utilisation des graphiques pour comparer les 2 logarithmes n’existe pas Selon notre statistique dans ce chapitre, il y a 4 exemples et 6 exercices (sur la totalité de 50 exemples et exercices) de type T”1 et ces 10 exemples et exercices (100%) sont résolu d’après la technique ”3

Type de tâche Exemples Exercices Totalité Utilisation de ”

R 5: Ne pas utiliser la calculette pour comparer les 2 logarithmes

R 6: Ne pas utiliser la graphique pour comparer les 2 logarithmes

logarithme”

Exemple: (ex 6.10 page 213––manuel [V1]) Identifier le domaine de définition de ces fonctions

a) y = log (2 3 )

10 xSolution

Technologie - Théorie ’ 1 - ’ 1 : Définition du logarithme

Tableau 2.1: Statistique des exemples et des exercices relatifs à la fonction logarithmique dans le manuel [V1] et le livre d’Exercices [E1]

Les 2 types de tâche T”1: “Réduire l’expression contenant logerithme” et

T”3: “Comparer les 2 logarithmes” sont à renforcer la definition du logarithme: logarithme est une valeur exacte et pour comparer les 2 logarithmes on se base sur les propriétés de la graphique

Le type de tâche T’3: “Dessiner la représentation graphique de la fonction”

représente la caractéristique de la fonction logarithme qui est la fonction inverse

de la fonction exponentielle Les propriétés de la fonction logarithme sont déduites

de celles de la fonction exponentielle

En analysant les types de tâche apparus dans le manuel [V1], nous prévoyons une existence implicite des règles du contrat didactique:

R 1: L’expression contenant le logarithme à calculer doit remplir les 2 caractéristiques suivantes:

 Avoir la forme loga b ou alogb N, ou pouvoir se transformer en l’une de ces 2 formes

 Pouvoir transformer a, b dans loga b et alogb N en: a c et r b c tel r, s s

sont les nombres rationels

R 2: Le résultat du calcul d’une expression contenant le logarithme est une valeur exacte, non pas une valeur approchée

R 3: Ne pas utiliser la calculette pour calculer la valeur d’une expression contenant le logarithme

R 4: Ne pas utiliser la graphique pour calculer la valeur d’une expression contenant le logarithme

R 5: Ne pas utiliser la calculette pour comparer les 2 logarithmes

R 6: Ne pas utiliser la graphique pour comparer les 2 logarithmes

en 2000

Voici la liste de documentation:

 Algèbre et Analytique 11, Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh, 2000, Maison d’Édition du Ministère de l’Éducation [V2]

 Guide pédagogique de Mathématiques 11, Văn Như Cương, Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh, 2000, Maison d’Édition du Ministère de l’Éducation [P2]

 Livre d’Exercices de Algèbre et Analytique 11, Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh, 2000, Maison d’Édition du Ministère de l’Éducation [E2]

Dans le manuel [V2], nous constatons l’ordre d’apparition des notions étant comme ci-dessous :

La fonction logarithme mentionée dans le manuel [V2] est la fonction inverse

de la fonction exponentielle Dans cette période, le rôle de la fonction inverse qui

se présente à la partie 1 – chapitre VI est très important Après, le manuel [V2] affirme que la fonctiony a x (a > 0, a  1) est une fonction monotone donc sa

fonction inverse est la fonction logarithme à base a

Fonction inverse

(Partie 1–Chương VI)

Fonction logarithme à base a

(Partie 2–Chapitre VI)

De cette définition, la première caractéristique de la fonction logarithme se présente: l’ensemble de définition estR*, l’ensemble des valeurs est R

La deuxième caractéristique qui est toujours couper l’axe des abscisses à un point (1 ; 0) et passer le point (a ; 1) est clarifiée dans le manuel [V2] (page 162 –

manuel [V2]): “Selon la définition de la fonction logarithme à base a (a > 0, a  1)

on a: log y

a

y x   a x

L’égalité x a y aloga x nous démontre que le logarithme à base a (a > 0, a 

1) du nombre positif x est le nombre y tel que a y  ” x

Cette caractéristique se représente à travers ces exemples:

Exemple 1: (ex.1 à la page 160 – manuel [V2])

[V2])

Finalement, le manuel [V2] compte aussi le logarithme décimal et le logarithme naturel Ils sont définis à travers la valeur concrète de la base a comme ci-dessous:

“Logarithme décimal est le logarithme à base 10

Logarithme naturel est le logarithme à base e  2,71828… ( e lim(1 1)n

 Organisations mathématiques relatives à la definition de la

fonction logarithme

À cette période, le manuel [V2] ne mentionne que les 5 types de tâche relatifs

à la definition du loarithme et celle de la fonction logarithme Sauf les 4 types de

tâches T’1, T”1, T’2 và T”3 sont non-diminués, les autres sont tous changés

Les 2 types T”’1 et T”’3 sont disparus totalement

Pour le type de tâche T”3 :“Comparer les 2 logarithmes”, la technique de

resolution connaît aussi des changements

Technique ” 31 :

Le nombre entier M qui obtient la valeur de 0 (ou 1) aura

+

+

le premier logarithme supérieur à M

le deuxième logarithme inférieur à M

Technologie - Théorie ” 31 - ” 31 :

R est l’ensemble ordonné total

Caractéristiques du type de tâche T”3 dans le manuel [V2]:

 Le nombre entier M est égal à 0 (ou1)

Avec cette caractéristique, tous les problèmes de type T”3 proposés sont comparables au nombre entier 0 (ou 1) D’après notre statistique, ce chapitre contient seulement 8 exercices (sur la totalité de 55 exemples et exercices) de type T”3 et tous ces 8 exercices (soit 100%) sont résolu par la technique ”3

Type de tâche Exemple Exercice Totalité Utilisation de ”

Nombre de Type de tâche

 Le nombre entier M utilisé dans la technique ”3 est égal à 0 (ou 1)

 La fonction logarithme mentionée dans le manuel [V2] est la fonction inverse de la fonction exponentielle

Le rôle de la fonction inverse dans le manuel [V2] est très important Avec la fonction inverse, toutes les caractéristiques et propriétés de la fonction logarithme

se représentent dans le manuel [V2] et sont démonstrées presque complètement

Le tableau 2.2 montre que les types majoritaires dans le manuel [V2] et le livre d’exercices [E2] sont T’1 et T”1 Les types T’2, T’3 et T”3 ne s’apparaissent

que dans le Livre d’Exercices Le type T”’1 est totalement disparu en raison de la calculette qui est utilisée comme un outil de résoudre et la table de logarithme n’est plus dans le manuel [V2] En outre, le type T”’3 n’existe pas dans le manuel [V2]

Les problèmes de type T”3 :“Comparer les 2 logarithmes” sont demandés à

utiliser la technique ”31 pour résoudre, à comparer les 2 logarithmes par intermédiaire qui est le nombre entier 0 (ou 1), à éviter d’utiliser les propriétés de

la graphique puisque “Toutes les propriétés de la fonction logarithme se représentent concrètement sur sa graphique et sont déduites directement des propriétés correspondantes de la fonction exponentielle “, mais ces propriétés ne

sont pas démonstrées

0.3 Manuel scolaire publié en 2008

Il existe 2 blocs de manuels scolaires dans les lycées actuellement Le premier (élémentaire) est rédigé par le Directeur de l’éditeur Trần Văn Hạo, le deuxième (avancé) de Đoàn Quỳnh

En raison de limite de temps, nous ne mentionons que le premier (élémentaire) de l’auteur Trần Văn Hạo dans cemémoire

Voici la liste de documentation:

 Analytique 12, Trần Văn Hạo (Dir.), 2008, Maison d’Édition du Ministère

(Partie 4–Chapitre II)

(Partie 3–Chapitre II)

Quand on propose la définition d’un objet mathématique quelconque, doit démonstrer l’existence de cet objet Donc, pour définir le logarithme, on doit démonstrer l’existence du logarithme

Calculer le logarithme à base a du nombre b, avec a et b donnés, est de trouver un nombre x tel que x

a  , c’est-à-dire résoudre l’équation b x

a  b

L’existence de solution de cette équation est donc équivalent à l’existence du

logarithme à base a du nombre b

Pour considérer les solutions de l’équation x

a  , on doit construire la b

fonction exponentielle Après avoir étudié la variation et dessiné la graphique de la fonction exponentielley a x

x a

sur le même repère de coordonnés avec la droite y =

b, on voit que: l’équation n’a pas de solutions quand b  0 et possède une seule solution quand b > 0 (Dans ce cas, la solution  de l’équation , b > 0 s’appelle logarithme à base a du nombre b)

La définition du logarithme à base a se présente comme ci-dessous (page 62–manuel [V3]):

“Étant donné les 2 nombres positifs a, b avec a ≠ 1 Le nombre  qui remplit l’égalité est appelé logarithme à base a du nombre b et est symbolysé par

et uniquement un nombre  tel que a  ” b

En outre, le logarithme de base a du nombre b n’est que défini avec la base a positive et différent à 1 pour ces raisons:

 Avec  quelconque, la puissance a n’existe que si a > 0

lg, dans les calculettes, la touchette est notée log ; le symbol du logarithme naturel est Log, dans les calculette, la touchette est notée ln Alors, pour faciliter l’utilisation des calculette et la lecture des livres, le manuel [V3] utilise tous les 2 symbols log et lg pour le logarithme décimal; le symbol ln pour le logarithme naturel

La définition du logaritme est déduite de la définition de la puissance exposant d’un nombre réel La finalité est d’aider les élèves à comprendre que le logarithme est défini par un nombre positif différent à 1 et par la puissance de cette base On voit aussi que les operation d’élever d’un nombre à la puissance et

de logarithmiser selon la meme base sont inverses À partir de l’activité 1 de

l’élève: “Trouver x pour: a) 2 x  , b) 8 2 1

4

x  , c) 3 x 81, d) 5 1

125

x  ” (page 61–

manuel [V3]), on fait une remarque: “Étant donné le nombre positif a et l’équation

on a les 2 problèmes contraires:

“Étant donné les 2 nombres positifs a, b avec a ≠ 1 Le nombre  qui remplit l’égalité est appelé le logarithme de base a du nombre b est symbolysé

Alors, quand on parle du logarithme, c’est le logarithme d’un nombre positif,

“il n’existe pas de logarithme d’un nombre négatif et de 0” (page 62–manuel

[V3]) Autrement dit, la première caractéristique de la fonction logarithme est:

l’ensemble de définition est R*, l’ensemble des valeurs est R

La deuxième caractéristique de la fonction logarithme: couper l’axe des abscisses en point (1 ; 0) et passer le point (a ; 1), est dite dans le manuel [V3] et démonstrée par l’activité 3 des élèves (page 62–manuel [V3])

“Étant donné les 2 nombres positifs a, b avec a ≠ 1 On a des propriétés suivantes

log 1 0a  , log a a  1

loga b

a  , log ( ) b a a  

Démonstrer ces propriétés”

Après, par les autres activités des élèves, le manuel [V3] continuellement propose les propriétés et les règles de convertir des bases du logerithme

Dans l’exemple appliqué (page 66–manuel [V3]), il y a un problème comparant les 2 logarithmes Ce problème est résolu par l’application la propriété

de puissance et de la définition du logarithme Le livre du professeur [P3] explique

“Il faut faire attention que l’on n’a pás encore les propriétés pour comparer les logarithmes, donc on doit appliquer les propriétés de puissance Après le chapitre

§4, il est possible de demander aux eleves d’appliquer la monotonie de la fonction logarithme pour comparer directement”

Le logarithme décimal et le logarithme naturel sont concrétisés de la définition précédente avec la base a = 10 et a = e (avec lim(1 1)n

Est-ce que les élèves peuvent utiliser les calculettes pour calculer les logarithmes de base a du nombre b? Quelle est l’explication du manuel [V3]? La réponse se trouve à la partie Attention (à la fin de la page 67 – manuel [V3]) comme suit: “Pour calculer log , avec a  10 et a  e, par les calculettes, on peut utiliser la règle de convertir les bases”

a b

Quelle est l’explication de l’Institution? Quelle est l’influence du concept des professeurs sur les élèves? C’est aussi un problème à intéresser et peut être mentionné dans une autre recherche

À la partie 4–chapitre II à la page 74, la fonction logarithme est définie dans

le manuel [V3] comme suit:

“Étant donné le nombre positif a différent à 1

La fonction y loga x est appelée la fonction logerithme de base a ”

suite, par les outils comme la dérivée et la limite qui sont introduits à la classe 11,

le manuel [V3] étudie la fonctionyloga x en deux cas a > 1 et 0 < a < 1

Les caractéristiques restées de la fonction logarithme sont facilement vérifiées par le graphique