Dạy học hàm số trong chương trình phổ thông

Theo nhà toán học Xô Viết Khinsin thì không có khái niệm nào khác có thể phản ánh những hiện tượng của thực tại khách quan một cách trực tiếp và cụ thể như khái niệm tương quan hàm, khôn

LOI CAM ON

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc tới T.S Nguyễn Quang Huy — người đã trực tiếp hướng dẫn, tận tình chỉ bảo để em hoàn thành khóa luận này

Em cũng xin được gửi lời cảm ơn tới tất cả các thầy cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là các thầy cô trong tổ phương pháp dạy học đã giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa luận

Do thời gian có hạn nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn để khóa luận hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên

Đào Thị Mừng

LOI CAM DOAN

Em xin cam đoan khóa luận nay là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới

sự hướng dẫn trực tiếp của T.S Nguyễn Quang Huy Khóa luận này không trùng với kết quả của bất kỳ công trình nghiên cứu nào

Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên Đào Thị Mừng

Chương 1: Phân tích khái niệm hàm số

1.1 Sự phát triển của khái niệm hàm trong lịch sử toán

MO DAU

1 Lý do chọn đề tài

Để đảm bảo việc giảng dạy có hiệu quả những nội dung môn toán ở nhà trường

phổ thông, mỗi sinh viên trước khi ra trường cần chuẩn bị cho mình những hành

trang tri thức: kỹ năng, kỹ xảo cần thiết về phương pháp dạy học Một trong những nội dung tri thức đó là hàm số

Hàm số là một trường hợp đặc biệt của khái niệm hàm Theo nhà toán học Xô Viết Khinsin thì không có khái niệm nào khác có thể phản ánh những hiện tượng của thực tại khách quan một cách trực tiếp và cụ thể như khái niệm tương quan hàm, không có khái niệm nào có thể thể hiện được ở trong nó những nét biện chứng của

tư duy toán học hiện đại như khái niệm tương quan hàm Thật vậy, bản chất của sự vật là vận động và sự vận động diễn ra trong những mối tương quan nhất định Với khái niệm hàm, người ta nghiên cứu sự vật trong trạng thái biến đổi sinh động của

nó chứ không phải trong trạng thái tĩnh lại, trong sự phụ thuộc lẫn nhau chứ không phải tách rời nhau Khái niệm hàm phản ánh sâu sắc hiện thực khách quan và thể hiện rõ nét tư duy biện chứng chính là ở chỗ đó Chính vì vậy, khái niệm hàm là một khái niệm cơ bản của toán học, nó giữ vị trí trung tâm trong chương trình môn Toán

ở nhà trường phổ thông, toàn bộ việc dạy học toán ở phổ thông đều xoay quanh khái Tiệm này

Nói riêng, đối với môn toán ở phổ thông trung học, hàm số xuyên suốt trong các mạch chương trình và tạo nên sự gắn bó giữa các phân môn toán học với nhau Việc sử dụng khảo sát hàm số và các tính chất của hàm số như một công cụ để giải bài tập toán trong nhiều trường hợp tỏ ra rất hiệu quả Hơn nữa, lời giải một số bài toán khi sử dụng công cụ hàm số thường ngắn gọn, rõ ràng, dễ hiểu hơn

Với mong muốn giúp cho bản thân cũng như các bạn sinh viên khoa toán hiểu sâu hơn nội dung về hàm số, từ đó có thể dạy học tốt hơn phần kiến thức này Em đã chọn đề tài: Dạy học hàm số trong chương trình phổ thông làm đề tài khóa luận cho mình

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu việc dạy học hàm số trong chương trình môn toán ở trường phổ thông, từ đó nâng cao chất lượng, hiệu quả dạy học chủ đề này

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

+ Tìm hiểu ý nghĩa, vai trò của việc dạy học hàm số ở phổ thông

+ Phân tích nội dung chương trình sách giáo khoa về dạy học hàm số

+ Đề xuất những lưu ý về phương pháp dạy học hàm số

4 Phương pháp nghiên cứu

+ Phương pháp nghiên cứu lý luận

+ Phương pháp quan sát - điều tra

5 Cấu trúc đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục khóa luận gồm hai chương:

Chương 1 Nghiên cứu khái niệm hàm số

1.1 Sự phát triển của khái niệm hàm trong lịch sử toán

NOI DUNG

Chuong 1 NGHIEN CUU KHAI NIEM HAM SO

1.1 Sự phát triển của khái niệm hàm trong lịch sử tốn

Từ một 1000 năm trước cơng nguyên, người Babilon đã biết lập những bảng tỉ

số thực nghiệm trong thiên văn và như vậy họ đã cĩ khái niệm sơ khai về hàm số Khái niệm này đến đầu thế kỷ thứ XVII mới được hình thành rõ ràng và cĩ hệ thống trong Tốn học, nhờ các cơng trình của Phermat và Descartes

Giữa thế kỷ thứ XVII nảy sinh nhu cầu về định nghĩa tổng quát hàm số do đụng chạm đến bài tốn về sự giao động của sợi dây Danh từ hàm số (funotio) được Leibnitze dùng lần đầu tiên vào khoảng năm 1694 Trong thế kỷ XVII khái niệm

hàm số gắn liền với biểu diễn hình học của hàm số bằng một đường

Thế kỷ XVII là giai đoạn chuyển biến việc biểu diễn tương quan hàm số từ

trực giác hình học sang biểu thức giải tích Năm 1718 Johann Bernoulli định nghĩa:

“Hàm số của một biến lượng là một biểu thức giải tích gồm biến lượng đĩ và các đại lượng khơng đổi” Năm 1748 D°Alembert cũng định nghĩa “Hàm số là một biểu thức giải tích” Trong thế kỷ XVIII biểu thức giải tích đĩng vai trị cơ bản trong việc xác định tương quan hàm số Tuy nhiên cũng cĩ những định nghĩa tổng quát hơn nảy nở trong thế kỷ này, coi hàm số như một đại lượng phụ thuộc Năm 1755 Euler định nghĩa: “Khi một đại lượng phụ thuộc vào các đại lượng khác sao cho sự thay đổi của các đại lượng thứ hai kéo theo sự thay đổi của đại lượng thứ nhất thì đại lượng thứ nhất gọi là hàm số của đại lượng thứ hai”

Trong thế kỷ XIX sự phát triển của giải tích tốn học địi hỏi mở rộng khái niệm hàm số, xây dựng khái niệm này dựa vào sự tương ứng giữa các giá trị của hai đại lượng Năm 1837 Dirichler định nghĩa: “y là hàm số của x nếu với mỗi giá trị của x thì tương ứng một giá trị hồn tồn xác định của y cịn sự tương ứng đĩ được thiết lập bằng cách nào thì điều này hồn tồn khơng quan trọng” Ơng nêu ví dụ:

1:x hữ ta 0:x vỗœ

y=D&)=|

Định nghĩa này được tất cả các nhà bác học thời bấy giờ chấp nhận Về sau lý thuyết tập hợp phát triển thành nền tảng của toán học đòi hỏi phải mở rộng hơn nữa khái niệm hàm số Người ta dựa vào lý thuyết tập hợp để định nghĩa khái niệm hàm Như vậy là khái niệm hàm số phát sinh, phát triển, ngày càng mở rộng, chính xác hóa và hoàn thiện do nhu cầu của thực tiễn

1.2 Những định nghĩa khác nhau về hàm

1.2.1 Định nghĩa hàm dựa vào đại lượng biến thiên

Khuynh hướng này xuất hiện sớm hơn về mặt lịch sử nên còn được gọi là khuynh hướng cổ điển Nó lấy những ứng dụng cổ truyền của toán học, trong vật lý,

kỹ thuật làm cơ sở và dựa vào đại lượng biến thiên

Trong khuôn khổ khuynh hướng này có hai dạng định nghĩa Cả hai dạng đều dựa vào sự tương ứng giữa những giá trị của một đại lượng biến thiên này với các giá trị của những đại lượng biến thiên kia Nhưng sự khác nhau là ở chỗ dạng thứ nhất coi hàm chính là bản thân đại lượng biến thiên nói ban đầu, còn dạng thứ hai coi hàm là một luật (hay quy tắc biểu thị sự tương ứng đó)

Ví dụ về dạng thứ nhất là định nghĩa: “Đại lượng y được coi là hàm số của đại lượng x, nếu với mỗi giá trị của x (trong khoảng biến thiên của nó) thì tương ứng một giá trị xác định của y, x gọi là đối số” (Đại số 10, sách bổ túc văn hóa, nhà xuất bản giáo dục Hà Nội, trang 58) [7]

Để minh họa cho dạng thứ hai, có thể nêu ví dụ: “Luật (quy tắc) theo đó các giá trị của đại lượng biến thiên phụ thuộc tương ứng với các giá trị của những đại lượng biến thiên độc lập gọi là hàm” (Bài giảng về đại số cao cấp của Mytskit) [7] Đương nhiên những phát biểu như trên không thể xem là những định nghĩa chặt chẽ của khái niệm hàm, bởi vì trong đó có từ “đại lượng biến thiên” mà việc chính xác hóa nó có những khó khăn nhất định Hơn nữa, trong định nghĩa dạng thứ hai còn có thuật ngữ quy tác hoặc luật mà nghĩa còn chưa được quy định rõ

1.2.2 Định nghĩa hàm dựa vào tập hợp

Khuynh hướng này không dùng đại lượng biến thiên mà lại dựa vào lý thuyết tập hợp Về mặt lịch sử, nó xuất hiện sau khuynh hướng nêu ở mục 1.2.1 nên còn được gọi là khuynh hướng hiện đại Khuynh hướng này dẫn tới mở rộng khái niệm

ham vì nó nghiên cứu những sự tương ứng không phải chỉ giữa các giá trị của những đại lượng Do đó, nó có khả năng phục vụ cho tất cả các ứng dụng cổ truyền của toán học cũng như nhiều ứng dụng mới xuất hiện trong thời gian gần đây

Trong khuôn khổ của khuynh hướng này người ta phân biệt bốn dạng định nghĩa: định nghĩa tình huống hàm, hàm như một quy tắc, hàm như một sự tương ứng

“hàm” người ta thường dùng từ “ánh xạ” và nói về ánh xạ của tập hợp M đến tập hợp F (Kolmogorov và Fomin: Những yếu tố của lý thuyết hàm và giải tích hàm)

“Cho hai tập hợp A và B Ta nói rằng đã xác định một ánh xạ @ của tập hợp A vào tập hợp B và ký hiệu ọ: A -› B nếu bằng cách nào đó đặt tương ứng mỗi phần

tử a e A một phần tử xác định b € B (Tran Van Hao 1968, trang 9) [7]

1.2.2.2 Hàm như một quy tắc tương ứng giữa hai tập hợp

Dạng thứ hai xem hàm như một luật hay quy tắc tương ứng giữa các phần tử

của hai tập hợp, chẳng hạn:

“X và Y là hai tập hợp đã cho Một ánh xạ f từ X đến Y là một quy tắc cho tương ứng với mỗi phần tử x eX một phần tử duy nhất y e Y” (Lê Đình Phi 1975,

trang 12) [7]

Trong những định nghĩa thuộc dạng trên, người ta dùng những khái niệm như

“quy tắc” hay “luật” Ý nghĩa của những từ này có thể được chính xác hóa nhờ khái niệm thuật toán, nhưng một sự chính xác hóa như thế lại dẫn đến thu hẹp khái niệm hàm

1.2.2.3 Hàm như một sự tương ứng

Dạng thứ ba coi hàm như một sự tương ứng Chẳng hạn:

“Theo định nghĩa tổng quát nhất thì hàm là một sự tương ứng mà theo đó với mỗi phần tử x của một tập hợp X tương ứng một phần tử y của tập Y nào đó”

(Klini: Nhập môn vào toán học) [7]

Những định nghĩa thuộc dạng này xuất phát từ khái niệm sự tương ứng là một khái niệm chưa được định nghĩa nhưng có thể dễ dàng giải thích bằng trực giác (do

đó có thể dùng được với yêu cầu chính xác không cao lắm)

1.2.2.4 Định nghĩa hàm triệt để dựa vào tập hợp

Các định nghĩa hàm thuộc ba dạng trên đã dựa vào tập hợp nhưng chưa triệt để

Vì vậy chúng chưa chỉ được đích danh hàm là gì (dạng thứ nhất) hoặc còn có những thuật ngữ chưa rõ, chẳng hạn như “quy tác” (dạng thứ hai), “sự tương ứng” (dạng thứ ba)

Dạng thứ tư khắc phục được nhược điểm của ba dạng trên bằng cách đưa thêm vào tập hợp những cặp để chính xác hóa khái niệm hàm Dạng này có hai cách định nghĩa: định nghĩa đây đủ và định nghĩa rút gọn

Về định nghĩa đầy đủ, Bourbaki định nghĩa:

“Một tập hợp G mà mỗi phần tử của nó là những cặp được gọi là một đồ thị Tập hợp tất cả các phần tử thứ nhất của các cặp trong G được gọi là miền xác định của đồ thị G, ký hiệu là pr,G Tập hợp tất cả các phần tử thứ hai của các cặp trong G được gọi là miền giá trị của G, ký hiệu là pr;G

Một bộ ba (G, A, B), trong đó G là một đồ thị sao cho pr,G c A và pr;G c B, được gọi là một sự tương ứng giữa các tập hợp A và B, A gọi là nguồn và B gọi là đích của sự tương ứng đó

Một đồ thị được gọi là một đồ thị hàm nếu trong đó không có hai cặp phân biệt nào cùng chung phần tử thứ nhất Một sự tương ứng (F, A, B) được gọi là một hàm nếu F là một đồ thị hàm và A = pr,F”

Như vậy theo những định nghĩa trên của Bourbaki thì một bộ ba tập hợp (F, A, B), trong đó F là tập những cặp sao cho pr,F c A và pr;F c B được gọi là một hàm nếu mỗi phần tử của A đều là thành phần thứ nhất của một và chỉ một cặp thuộc E

Về định nghĩa rút gọn, ta có thể trích dẫn ở Kolmogorov (1978, trang 28) [7]:

“Một hàm là một tập hợp những cặp (x, y) sao cho đối với mỗi x bất kỳ trong tập hợp đó không có quá một cặp (x, y) với phần tử thứ nhất x cho trước”

Như thế hàm theo định nghĩa rút gọn chính là đồ thị hàm theo định nghĩa đây

đủ, còn nguồn và đích không có mặt trong định nghĩa rút gọn

Định nghĩa đây đủ và định nghĩa rút gọn của khái niệm hàm theo lý thuyết tập hợp cũng thường hay xâm nhập lẫn nhau Chính Bourbaki nhiều khi cũng dùng khái niệm hàm theo định nghĩa rút gọn, cụ thể là trong những phần khác của tập sách cũng hay dùng từ “hàm” để chỉ “đồ thị hàm” Mặt khác, xuất phát từ định nghĩa rút gọn,sau khi đưa vào khái niệm miễn xác định D(f) của hàm f (tập hợp tất cả các phan tử thứ nhất của các cặp trong f) và khái niệm miễn giá trị E() của hàm f (tập hợp tất cả các phần tử thứ hai của các cặp trong f) người ta có thể chuyển sang định nghĩa đầy đủ, chẳng hạn bằng cách đưa vào những định nghĩa sau:

1.Néu D(f) = A va E(f) = B thi ngudi ta nói rằng f là ánh xạ A lên B

2.Néu D(f) = A va E(f) c B thi ngwoi ta nói rằng f là ánh xạ A vào B và viết là

f:A > B

3.Nếu DŒ@) c_A và E() = B thì người ta nói rằng f là ánh xạ từ A lên B

4.Nếu DŒ) c A và E(f) c B thì người ta nói rằng f là ánh xạ từ A vào B (xem

Kolmogorov, trang 28) [7]

Ở đây, định nghĩa hai thực chất trùng với định nghĩa đẩy đủ về hàm của Bourbaki

Trong các định nghĩa hàm theo khuynh hướng hiện đại, thực ra chỉ có dạng thứ

tư là triệt để dựa vào lý thuyết tập hợp Vậy những định nghĩa dạng này (theo cách day đủ hay rút gọn) là tiêu biểu nhất cho khuynh hướng hiện đại, tức là khuynh hướng lý thuyết tập hợp

1.3 Phân tích định nghĩa hàm

1.3.1 Định nghĩa theo cách đây đủ

Theo định nghĩa đầy đủ, khái niệm hàm có những đặc điểm sau đây:

Thứ nhất, một hàm được xác định bởi ba yếu tố: tập hợp những cặp nguồn và đích Thiếu một trong ba yếu tố đó thì hàm chưa được xác định Vai trò của tập hợp những cặp rõ ràng là không cần phải bàn cãi vì nó xác định quy tắc tương ứng Tuy

nhiên nếu chỉ cho tập hợp những cặp, tức là ta chỉ biết sự tương ứng giữa những vật riêng lẻ mà không biết rõ chúng là phân tử của hai tập hợp nào thì hàm vẫn chưa được xác định Chẳng hạn ta chưa thể coi sự tương ứng giữa các đối tượng riêng lẻ sau đây có xác định một hàm hay không:

1 2 2> 4 7> | Nếu coi các số đó là các phần tử của tập hợp số thực R ,tức là nếu lấy nguồn và đích đều là toàn bộ tập số thực R thì sự tương ứng đó không xác định một hàm, nhưng nếu thay nguồn R bởi nguồn { 1, 2, 7} và giữ nguyên đích là R thì ta lại được một hàm Ví dụ này nêu rõ vai trò của nguồn trong khái niệm hàm

Để thấy rõ vai trò đích, ta xét ví dụ sau đây:

(R' ký hiệu cho tập hợp các số thực không âm)

Đó là hai hàm khác nhau mặc dâu chúng có cùng nguồn và cùng tập hợp những cặp (chỉ có hai đích là khác nhau: R'vàR ) Nếu đã biết khái niệm hàm toàn ánh thì sẽ thấy hàm thứ nhất là một hàm toàn ánh còn hàm thứ hai không phải là hàm toàn ánh

Thứ hai, điều kiện ắt có và đủ để một bộ ba tập hợp (F, A, B) trong đó F là tập hợp những cặp sao cho pr,F c A va pr,F c B, là một hàm là:

p¡: Với mọi a e A đều tồn tại b e B sao cho (a, b) e F

P2: Với mọi (ai, b,) e F và mọi (a;, bạ) e F ta đều có: ai = a; > bị = bạ

(Có tác giả chỉ yêu cầu điều kiện p; trong định nghĩa hàm,nhưng ở đây ta theo chiêu hướng chung là yêu cầu cả p, lẫn p;)

Mỗi một trong hai điều kién p,, p; là ắt có nhưng chưa đủ để một bộ ba (F, A, B) đã nói ở trên là một hàm Hội của hai điều kiện đó mới là at có và đủ

Các điều kiện p, và p; chia tất cả các bộ ba tập hợp (F, A, B) trong đó F là tập hợp những cặp sao cho pr,A và pr;B thành bốn lớp, trong đó lớp thứ tư là tập các hàm từ A đến B

Với mọi a e A đều tồn tại b e B sao cho (a, b) e E (p)

Chứ không yêu cầu:

Với mọi b e B đều tồn tai a e A sao cho (a, b) e E (p;)

Trong hai trường hợp a) và b) sau đây thì a) không xác định một hàm còn b) lại xác định một hàm:

13

A B A B

Mặt khác, người ta yêu cầu:

Với mọi (ai, bị) e E và mọi (a;, bạ) e F ta đều có: a,=a;>b,=b„ (p;) Chứ không yêu cầu:

Với mọi (ai, b,) e E và mọi (a;, b,) e F ta đều có: b,=b;a¿=a, (py) Trong hai trường hop c) và d) sau đây thì c) không xác định một hàm còn d) lại xác định một hàm:

Những hàm thỏa mãn điều kiện p; được gọi là hàm toàn ánh, thỏa mãn điều kiện p„ được gọi là hàm đơn ánh, thỏa mãn cả hai điều kiện được gọi là hàm song ánh

Như vậy các điều kiện p; và p; chia tập hợp các hàm từ A đến B thành bốn lớp:

1 Sai Sai Hàm không toàn ánh và không đơn ánh

2 ‘| Sai Đúng | Hàm đơn ánh không toàn ánh

3 | Đúng | Sai Hàm toàn ánh không đơn ánh

1.3.2 Dinh nghĩa theo cách rút gọn

Định nghĩa hàm theo cách rút gọn không xét nguồn và đích Khi ấy, một hàm hoàn toàn được xác định bởi một tập hợp những cặp Cần chú ý rằng điều kiện p, không những phụ thuộc tập hợp những cặp mà còn phụ thuộc cả nguồn và đích, vì vậy nó mất ý nghĩa trong định nghĩa rút gọn Trái lại, điều kiện p; chỉ phụ thuộc tập hợp những cặp vì vậy nó vẫn có ý nghĩa trong định nghĩa rút gọn Do đó, ta có định nghĩa hàm theo cách rút gọn như mục 1.2.2.4 và từ định nghĩa này ta có:

Một tập hợp những cặp sẽ là một hàm khi và chỉ khi nó thỏa mãn điều kiện p Tương tự như vậy, điều kiện p; mất ý nghĩa trong định nghĩa rút gọn trong khi điều kiện p„ vẫn còn có ý nghĩa trong định nghĩa đó Vì thế, theo định nghĩa rút gọn không có khái niệm hàm toàn ánh nhưng vẫn có khái niệm hàm đơn ánh

Néu F 1a mot ham theo định nghĩa rút gọn thì (F, pr;F, pr;F) bao giờ cũng là một hàm theo định nghĩa đây đủ, thậm chí bao giờ cũng là hàm toàn ánh

1.3.3 Hàm và những hình thức biểu diễn khác nhau

Ta có thể gặp những hàm được diễn tả bằng bảng, bằng lời lẽ hay bằng biểu

thức giải tích, bằng một hay nhiều biểu thức, dưới dạng tường minh hay ẩn tàng,

cũng có khi không biểu thị được bằng biểu thức giải tích Nhưng dù là hàm được cho bằng bất kỳ cách nào, dưới bất kỳ hình thức nào, dù là theo định nghĩa đầy đủ hay rút gọn thì thông qua những dạng khác nhau này vẫn phải thấy được thực chất của khái niệm hàm là một sự tương ứng được thiết lập giữa các phần tử của hai tập hợp và thỏa mãn một số điều kiện nhất định

Trong lịch sử toán học đã có lúc người ta coi hàm là một đường, lại có khi coi hàm là một biểu thức giải tích, nhưng thực ra đó chỉ là những dạng biểu diễn khác nhau của hàm mà thôi Ta không nên để cho học sinh lâm lẫn hàm với phương tiện

biểu diễn nó

1.3.4 Định nghĩa hàm dựa vào tập hợp dưới góc độ giảng dạy toán học

Một vấn đề đặt ra là nên dạy cho học sinh khái niệm hàm theo cách định nghĩa nào Trả lời câu hỏi đó không dễ Không nên nghĩ một cách đơn giản rằng nên dạy cho học sinh khái niệm hàm triệt để dựa vào lý thuyết tập hợp chỉ với lý do là dạy cái hiện đại nhất Để có ý thức về sự lựa chọn cách định nghĩa khái niệm hàm, ta cần

đánh giá khuynh hướng hiện đại so với khuynh hướng cổ điển dưới góc độ giảng dạy toán học

Định nghĩa hàm theo lý thuyết tập hợp có những ưu điểm rất cơ bản:

Thứ nhất, một định nghĩa như thế là tổng quát nhất Ta nhìn nhận ưu điểm này

không phải chỉ đứng trên quan điểm khoa học toán học đơn thuần mà còn xét cả về mặt giáo dục toán học nữa Nếu theo quan điểm cổ điển dựa vào đại lượng biến thiên thì khái niệm hàm làm sao bao gồm được những phép biến hình trong hình học Nhờ tính tổng quát cao của khái niệm hàm theo lý thuyết tập hợp mà tính thống nhất của giáo trình toán học ở trường phổ thông được tăng cường Toàn bộ chương trình toán học đều xoay quanh khái niệm trung tâm là khái niệm hàm và ta có thể vận dụng khái niệm này để nghiên cứu những vấn đề rất khác nhau trong chương trình Cần chú ý rằng việc tăng cường tính thống nhất của toán học xóa bỏ ranh giới giả tạo giữa các phân môn của nó là một trong những xu hướng của việc cải cách môn toán ở nước ta cũng như trên thế giới

Tính tổng quát của khái niệm hàm theo lý thuyết tập hợp còn làm cho khái niệm này bao gồm hàng loạt ví dụ hay gặp trong thực tế hàng ngày: học sinh — tuổi của học sinh đó, thành phố — số dân Nhờ đó khái niệm hàm có một phạm vi ứng dụng rộng rãi và đồng thời ta cũng có một nguồn tài liệu phong phú để minh họa cho khái niệm này

Tính tổng quát cao của khái niệm hàm theo lý thuyết tập hợp làm cho khái niệm này bao gồm cả quan niệm hàm dựa vào đại lượng biến thiên như một trường hợp đặc biệt, do đó nó thâu tóm được tất cả những ứng dụng cổ truyền của khái niệm hàm dựa vào đại lượng biến thiên Vì vậy khó mà đồng tình với một số ý kiến cho rằng khái niệm hàm theo lý thuyết tập hợp là mất tính năng động (Xem Dorofeev 1978 trang 22, 23) [7] Đánh giá một định nghĩa không phải chỉ căn cứ vào những từ ngữ mà định nghĩa đó nói tới Vấn đề quan trọng là định nghĩa đó làm cho khái niệm tương ứng bao gồm được những đối tượng, hiện tượng nào Nếu khái niệm hàm theo lý thuyết tập hợp bao gồm cả quan niệm hàm dựa vào đại lượng biến thiên như một trường hợp riêng thì bao nhiêu lời lẽ ca ngợi về trường hợp riêng này (có tính năng động, là yếu tố cơ bản của tư duy ham ) chẳng nhẽ lại không đúng

đối với trường hợp tổng quát hay sao? Điều nói về sự không phù hợp giữa định nghĩa hình thức của hàm theo lý thuyết tập hợp với hình dung trực giác về hàm như đại lượng biến thiên (Dorofeev, sách đã dẫn, trang21, 22) [7] cũng không xác đáng Tại sao lại không phù hợp? Chẳng nhẽ một trường hợp riêng lại không phù hợp với trường hợp tổng quát hay sao? Đương nhiên, do tính trừu tượng của định nghĩa cho nên giữa sự hiểu biết trực giác thông qua những tình huống cụ thể và việc nắm vững định nghĩa có thể có khoảng cách nhất định Nhưng chính Dorofeev cũng phải thừa nhận rằng khoảng cách như thế không phải chỉ có trong trường hợp định nghĩa hiện

đại về hàm mà còn có ngay ở những định nghĩa cổ điển về hàm nữa

Thứ hai, định nghĩa hàm theo lý thuyết tập hợp là chặt chẽ nhất, rõ ràng nhất Trong định nghĩa này không chứa thuật ngữ “đại lượng” biểu thị một khái niệm rất khó chính xác hóa (sự chính xác hóa khái niệm đại lượng dương vô hướng trong từ điển bách khoa toán học của Liên Xô cũ đã cần tới một hệ gồm 10 tiên đề) Nếu theo khuynh hướng lý thuyết tập hợp một cách triệt để (dạng định nghĩa thứ tư, mục 1.2.2.4) thì ta còn loại bỏ được nhiều thuật ngữ mơ hồ, không rõ nghĩa như “quy tác”, “ứng”

Dorofellv (sách đã dẫn trang 22) [7] cho rằng định nghĩa hàm theo lý thuyết tập hợp cũng không chặt chẽ vì bản thân lý thuyết tập hợp ngây thơ cũng chứa đựng nhiều nghịch lý Tuy nhiên, ta không thể vì lý do đó mà cào bằng sự thiếu chặt chẽ của lý thuyết tập hợp với sự thiếu chính xác của các định nghĩa khác Rõ ràng là toán học ở trường phổ thông đứng trên lập trường thừa nhận lý thuyết tập hợp ngây thơ, và vì vậy không có lý do gì để công kích tính chặt chẽ của định nghĩa hàm theo

lý thuyết tập hợp

Sự chặt chẽ, rõ ràng của định nghĩa hàm theo lý thuyết tập hợp có ý nghĩa không chỉ về mặt khoa học toán học mà còn cả về mặt giáo dục toán học nữa Định nghĩa đó đạt được yêu cầu chặt chẽ, loại bỏ hoặc hạn chế bớt số những khái niệm chưa được chính xác hóa thì đứng về mặt nào đó cũng là giảm bớt những điều khó hiểu đối với học sinh Dorofellv (sách đã dẫn trang 22) [7] cho rằng định nghĩa hàm theo lý thuyết tập hợp là nhằm giảm bớt số những khái niệm cơ bản không định nghĩa, một mục đích hoàn toàn tự nhiên và dễ hiểu đối với khoa học toán học nhưng

lại không thể coi là mục đích đối với việc giảng dạy toán học, nhất là trong nhà trường phổ thông Theo ông thì việc lựa chọn một số khái niệm nào đó làm khái niệm không định nghĩa với mục đích đơn giản hóa việc nghiên cứu chúng trong dạy học có thể hiệu quả hơn là xu hướng cố gắng định nghĩa tất cả những gì không được định nghĩa Quan điểm không cần thiết phải cố gắng định nghĩa tất cả những gì có thể định nghĩa trong nhà trường phổ thông của Dorofellv là hoàn toàn đúng đắn, nhưng vận dụng quan điểm này để phê phán khái niệm hàm theo lý thuyết tập hợp lại không thích hợp Thật vậy, trong nhà trường phổ thông, việc xây dừng khái niệm hàm theo lý thuyết tập hợp không phải nhằm giảm bớt số những khái niệm không định nghĩa mà điều quan trọng là giảm bớt những khái niệm mơ hồ, thay bằng những khái niệm khác rõ ràng hơn (rõ ràng hơn không nhất thiết là phải định nghĩa

mà có thể trên cơ sở hình dung trực giác) Chẳng hạn khái niệm “tập hợp” rõ ràng

hơn khái niệm “đại lượng” trong khuynh hướng cổ điển, khái niệm “cặp” (trong định nghĩa triệt để dựa vào lý thuyết tập hợp) rõ ràng hơn khái niệm “quy tắc tương ứng” mặc dầu “tập hợp” và “cặp” ở nhà trường phổ thông cũng chỉ được mô tả chứ không hề được định nghĩa như Dorofellv e ngại

Về mặt nhược điểm thì phải thừa nhận rằng có sự không phù hợp giữa định nghĩa hàm theo lý thuyết tập hợp với nhiều thuật ngữ thường dùng (Dorofellv, sách

đã dẫn, trang 23,24) [7] Nếu như nghiêm ngặt tuân theo quan điểm tập hợp thì liên quan tới khái niệm hàm, ta phải sử dụng hàng loạt những ký hiệu và thuật ngữ không thông dụng, gây nên một sự thay đổi lớn trong ngôn ngữ toán học Chẳng hạn, ta sẽ phải dùng những thuật ngữ và ký hiệu sau đây:

“(x, y) e f, “Ham{(ssins)/xe{-2.4 hn hàm con don ánh của hàm

{(x.sinx)/xeR}”, "Í(x.x')/xeR] ={(x,2x)/xeR} ,

Trái lại nhiều thuật ngữ và ký hiệu thông dụng lại trở thành quy ước, không tự nhiên, không lôgic, không chính xác và có khi vô nghĩa nữa Ví dụ như công thức quen thuộc (sinx)'= cosx trở thành không hoàn toàn chính xác Thực vậy sinx là

ee

giá trị của hàm sin = {(x,sin x)/xeR} tại phân tử x eR, tức là một số, còn dấu

để chỉ phép lấy đạo hàm, không dùng được đối với những số Cũng có thể hợp pháp

hóa những cách viết như trên bằng sự giải thích như sau: Trong thực tế thay cho ký hiệu đầy đủ về hàm, người ta thường dùng ký hiệu vắn tắt là f(x) Tuy nhiên sự giải thích này lại làm cho ký hiệu f(x) trở thành có hai nghĩa: Một mặt nó là giá trị của hàm f ứng với giá trị x (nói chính xác), mặt khác nó lại là bản thân hàm f (nói một cách không hoàn toàn chính xác) Đương nhiên đối với hàm số sin và hàm số cos thì cũng có thể viết công thức trên dưới dạng hoàn toàn chính xác là sin' =cos Nhưng đối với hàng loạt hàm số khác như {(x, x )/xeR} chẳng hạn thì làm sao có cách viết vừa đơn giản vừa chính xác như thế được?

Ký hiệu lim ƒ() và í ƒ(z) dx cũng liên hệ với biểu thức f(x) hơn là với hàm f

Để định nghĩa giới hạn trong lý thuyết tập hợp, ta phải dùng một khái niệm đặc biệt gọi là loc x -› a và kí hiệu là o(a) chứ không dùng chữ cụ thể để ký hiệu cho biến,

và giới hạn của hàm theo loc o(a) được ký hiệu là lim ý Nhưng rõ ràng là ký hiệu như thế liên hệ với khái niệm o(a) vượt ra khỏi chương trình phổ thông

Nhược điểm về sự không phù hợp giữa định nghĩa hàm theo lý thuyết tập hợp với những thuật ngữ và ký hiệu thông dụng có thể khắc phục bằng cách chuyển những thuật ngữ và ký hiệu không thông dụng sang những thuật ngữ và ký hiệu thông dụng tương ứng nhờ những quy ước và dĩ nhiên phải chịu sự thiếu tự nhiên và

có khi cả sự thiếu chính xác của các quy ước đó

Hiện nay, xu hướng chung là người ta nhất trí rằng nên dạy khái niệm hàm ở trường phổ thông theo tỉnh thần của lý thuyết tập hợp Sự sai khác ý kiến còn lại ở chỗ: Nên tuân theo quan điểm tập hợp một cách triệt để (dựa vào định nghĩa dạng 4

ở mục 1.2.2.4) hay không triệt để (dựa vào các dạng định nghĩa 1, 2, 3 ở các mục 1.2.2.1 — 1.2.2.3) nên dạy định nghĩa hàm một cách tường minh hay không tường minh Sự sai khác này tùy thuộc yêu cầu và hoàn cảnh của mỗi nước Có nơi, khái niệm hàm được định nghĩa một cách tường minh và triệt để dựa vào lý thuyết tập hợp Theo Kolmogorov 1978 (trang 28) [7] thì vấn đề cơ bản trong việc dạy khái niệm hàm ở phổ thông là hình thành ở học sinh những hiểu biết đúng đắn về nội dung khái niệm đó theo tinh thần của lý thuyết tập hợp chứ không phải ở chỗ bắt

buộc phải phát biểu định nghĩa tương ứng một cách tường minh Ông cho rằng học sinh có thể dần dần lĩnh hội được nội dung cơ bản của khái niệm hàm nhờ những phát biểu sau đây qua những bậc lớp khác nhau, coi như những định nghĩa không tường minh của khái niệm đó:

với nó Tập hợp này có tính chất sau:

(F) Đối với x bất kỳ thì trong tập hợp M; chứa không quá một cặp (x, y) với phần tử ban đầu x cho trước

Rõ ràng miền xác định D của hàm f không gì khác hơn là tập hợp tất cả các phần tử thứ nhất của các cặp (x, y) e Mẹ

Chuong 2: DAY HOC HAM SO

2.1 Nội dung và triển khai chủ đề hàm số trong chương trình toán ở phổ thông

Ở lớp 7 khái niệm hàm số được mô tả thông qua tương quan phụ thuộc giữa hai đại lượng biến thiên và hai hàm số cụ thể y=ax, ya (a 0)

Chương trình lớp 9 xét tiếp các hàm số bậc nhất y=zøx+b (a 0), hàm số bậc hai đạng y=axŸ (a _ 0), hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến

Chương trình lớp 10 tổng kết về hàm số Học sinh được nghiên cứu đầy đủ hơn với các khái niệm: hàm số, tập xác định và đồ thị hàm số; đồng thời đưa ra các khái

niệm đồng biến, nghịch biến, sự biến thiên của hàm số; hàm số chắn, lẻ

Chương trình lớp I1 học sinh học hàm số lượng giác (chương 1), hàm số với đối số tự nhiên (chương 3)

Trong chương 1 (Đại số và Giải tích 11 kể cả sách nâng cao), sách giáo khoa

y=sinx, y= c0sx, y=tan x, y=cotx cùng với tính tuần hoàn và tính chẵn lẻ của nó Các hàm sốy=sinx,y=tanx,y=cotx cùng là những hàm số lẻ và hàm

Số y = cosx là ham s6 chan

Các hàm số y=sinx, y=cosx là những hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2_, các hàm y=tan x, y=cotx là những hàm số tuần hoàn với chu kỳ

Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 không đề cập đến khái niệm hàm số tuần

hoàn tổng quát mà những hiểu biết tổng quát về hàm số tuần hoàn được cung cấp

cho học sinh trong bài đọc thêm Sách giáo khoa Đại số và Giải tích II nâng cao đưa ra khái niệm hàm số tuần hoàn tổng quát:

“Hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có sốT sao cho với mọi x e D ta có

x+7eD,x-TeD và ƒ(x+T)=ƒ() Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là một hàm số tuần hoàn với chu kỳ T”

Trong chương 3, sách giáo khoa trình bày về khái niệm dãy số và nghiên cứu hai dãy số đặc biệt là cấp số cộng và cấp số nhân Thực chất, dãy số chính là hàm số với đối số tự nhiên

Phần này được trình bày tương tự nhau ở sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11

và sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 nâng cao

Lớp 12 có chương2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit Trước đây những hàm này được giới thiệu trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích II — NXBGD 2000 Nhưng theo chương trình đổi mới nội dung giáo dục, chương đạo hàm được đưa vào từ lớp 11 nhằm phục vụ cho việc dạy học vật lý ở đầu lớp 12 và dạy học hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit một cách đây đủ theo các bước Nên các hàm số này đã được đưa vào chương trình lớp 12

Sách giáo khoa Giải tích 12 kể cả sách nâng cao trình bày định nghĩa hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

Đối với hàm số ngược, SGK Giải tích 12 và SGK Giải tích 12 nâng cao không trình bày mà chỉ nói tới phép toán ngược:

“Phép toán lôgarit là phép toán ngược của phép lũy thừa”

2.2 Mục đích, yêu cầu dạy học

a Nắm vững khái niệm hàm số, thấy được những dạng khác nhau muôn hình muôn vẻ của khái niệm này trong tất cả các phân môn của toán học và qua các chương mục khác nhau, từ đó thấy được vị trí trung tâm toàn bộ chương trình toán phổ thông và tập luyện phương thức tư duy hàm

b Nắm vững phương pháp khảo sát hàm số, thoạt đầu bằng phương pháp sơ cấp và về sau bằng công cụ đạo hàm, biết vận dụng những phương pháp đó để khảo

sát những hàm số cụ thể: hàm số bậc nhất, bậc hai, hàm nghịch biến; hàm số mi,

Thấy được những mối liên hệ qua lại giữa hàm số và đồ thị và những ứng dụng của việc khảo sát hàm số, đặc biệt là trong việc giải phương trình và các bài toán về cực trị

c Phát triển ở học sinh năng lực tư duy hàm thông qua việc thực hiện các yêu

cầu (a) và (b) trong toàn bộ chương trình môn toán

Rèn luyện những thao tác tư duy, đặc biệt là trừu tượng hóa và khái quát hóa trong việc hình thành khái niệm hàm số từ những ví dụ muôn hình muôn vẻ

d Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, trước hết là tập dượt xem xét những sự vật và hiện tượng trong trạng thái động và trong những mối liên quan mật thiết với nhau

2.3 Hướng dẫn dạy học hàm số

2.3.1 Dạy học khái niệm hàm số

2.3.1.1 Hình thành những biểu tượng về hàm số ngay từ các lớp dưới lớp 7

Ngay từ những lớp đầu tiên của bậc tiểu học, học sinh đã được làm quen ngầm với khái niệm “tương ứng” Đó là những tương ứng đơn giản giữa các phần tử của hai tập hợp như: tương ứng giữa số học sinh và số ghế, tương ứng giữa số chén và số đĩa, tương ứng giữa giá trị của tổng và số hạng khi cho cố định số hạng còn lại

Ví dụ: Một biểu thức y=x+3sẽ cho tương ứng mỗi số x với một số y duy nhất nhận giá trị là x+3 Như vậy, khi x bằng 2 thì giá trị tương ứng của y là 5

Các em cũng được làm quen với một số bảng cộng, trừ các số tự nhiên

Ví dụ: (sách giáo khoa Toán 2, trang 89): Viết số thích hợp vào ô trống:

Ta có: P=ax4 sẽ cho tương ứng mỗi số a với một số P duy nhất nhận giá trị

là ax4 Như vậy, khi a bằng 3cm thì giá trị tương ứng của P là 12cm”, khi a bằng 5dm thì giá trị tương ứng của P là 20dm” và khi a bằng 8m thì giá trị tương ứng của Plà 32m!

Như vậy, sách giáo khoa toán ở tiểu học bước đầu cho học sinh làm quen một cách ngầm ẩn, với những đặc trưng khoa học luận của khái niệm hàm số như mối quan hệ phụ thuộc giữa hai đại lượng biến thiên, sự tương ứng giữa các phần tử của hai tập hợp nhằm hình thành những biểu tượng ban đầu về khái niệm hàm số, làm

cơ sở cho việc trình bày chính thức khái niệm này ở lớp 7

2.3.1.2 Khái niệm hàm số trong SGK các lớp 7, 9, 10

2.3.1.2.1 Ở lớp 7

Ở lớp 7 có hẳn một chương về hàm số Trước khi đưa ra định nghĩa và ký hiệu

về hàm số, sách đã khảo sát về đại lượng tỉ lệ thuận và tỉ lệ nghịch Việc giới thiệu những tương quan tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch có ý nghĩa cho việc chuẩn bị nghiên cứu

về hàm số Các ví dụ, các bài toán thường xuất phát từ thực tế, từ những mối quan hệ giữa các đại lượng trong vật lý mà học sinh đã học biểu thị tương quan tỉ lệ thuận, tỉ

lệ nghịch có tác dụng giúp học sinh hiểu việc nghiên cứu hàm số bắt nguồn từ thực tiễn Hàm số có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn và trong các bộ môn khoa học khác, tức là gợi động cơ đưa vào khái niệm hàm số

Sách giáo khoa trình bày định nghĩa về khái niệm hàm số bằng con đường quy nạp, xuất phát từ những ví dụ cụ thể về hàm số, rút ra những thuộc tính bản chất của khái niệm, sau đó định nghĩa khái niệm và củng cố khái niệm

Ví dụ 3: Thời gian t (h) của một vật chuyển động đều trên quãng đường 50 km

tỉ lệ nghịch với vận tốc v (km/h) của nó theo công thức: t=22 Tinh va lap bang gid

Vv

tri tuong tng cla t khi v = 5; 10; 25; 50

Sach gido khoa dua ra nhan xét: Trong vi du | ta thấy:

e Nhiệt độ T (°C) phụ thuộc vào sự thay đổi của thời gian t (giờ)

e Với mỗi giá thị của t ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của T

Định nghĩa khái niệm hàm số sách giáo khoa trang 63:

“Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x gọi là biến số”

Hàm số ở đây được trình bày theo quan điểm: coi hàm số như một khái niệm toán học mô tả sự phụ thuộc lẫn nhau giữa hai đại lượng biến thiên Định nghĩa này làm ẩn đi đặc trưng biến thiên của khái niệm hàm số, chỉ đề cập tới đặc trưng phụ thuộc và tương ứng Ở đây chưa nhắc tới thuật ngữ “biến thiên” và đặc trưng biến thiên của hàm số Có lẽ để học sinh tiếp thu một cách tường minh đặc trưng này ngay sau khi vừa làm quen với khái niệm hàm số là một việc khó, nó đòi hỏi ở một mức độ cao hơn khi học sinh đã nắm được những vấn đề cơ bản về hàm số

Ta thấy khái niệm hàm số ở đây được định nghĩa tương tự như định nghĩa của các nhà toán học thế kỷ XIX, chứ không dùng định nghĩa chặt chẽ nhờ lý thuyết tập hợp như trước đây Sách giáo khoa Đại số 7 — NXBGD năm 2001 trình bày định nghĩa về khái niệm hàm số theo quan điểm của lý thuyết tập hợp, coi hàm số là một quy tắc tương ứng giữa hai phần tử của hai tập hợp số

Định nghĩa: (sách giáo khoa Đại số 7 — NXBGD nam 2001, trang 73):

Như vậy, cách định nghĩa về khái niệm hàm số trong sách giáo khoa Toán 7 hiện hành là đơn giản, dễ hiểu đối với học sinh trung học cơ sở Qua đó, học sinh dễ dàng nắm được các thuộc tính bản chất của khái niệm hàm số đó là sự tương ứng và

sự phụ thuộc

Vi du: (Bai 28 trang 64): Cho ham sO y= f(xy=2

x

a) Tính f(5), f(3)

b) Hãy điền vào bảng các giá trị tương ứng của hàm số:

Khi có công thức của hàm số thì với mỗi giá trị của biến số x ta tìm được một giá trị hoàn toàn xác định của y và giá trị y tương ứng với x là duy nhất Do đó, bài tập này có tác dụng giúp học sinh củng cố đặc trưng tương ứng của hàm số Ở đây,

với mỗi giá trị xe R” cho tương ứng một và chỉ một giá trị yeR sao cho „=——

x

Ở đây, sách giáo khoa cũng không trình bày tường mỉnh các cách cho hàm số

mà chỉ nêu nên chú ý: Hàm số có thể được cho bằng bảng (ví dụ 1), bằng công thức (ví dụ 2 và ví dụ 3)

Trong sách giáo khoa các cách cho hàm số, hầu hết là cho bằng công thức điều

đó dễ gây cho học sinh hiểu lâm rằng mọi hàm số đều cho bằng công thức Cách trình bày trong sách giáo khoa hiện hành sẽ đơn giản với học sinh Nhưng thực tế học sinh sẽ gặp khó khăn khi gặp phải các trường hợp hàm số cho bằng các dạng khác nhau mà không biểu diễn được dưới dạng công thức

Có thể không cần nghiên cứu kỹ nhưng cũng cần thiết giới thiệu nhiều cách cho hàm số khác nhau để học sinh thấy được sự đa dạng của hàm số Từ đó, học

sinh hiểu và nắm vững được các thuộc tính bản chất của khái niệm hàm số một cách

chính xác, khoa học

2.3.1.2.2 Ở lớp 9

Ở lớp 7, học sinh đã được học về hàm số, đến lớp 9, các em vẫn tiếp tục được nghiên cứu về hàm số nhưng ở mức độ sâu rộng hơn Các vấn đề về hàm số được trình bày một cách khái quát hơn, chặt chế hơn trong chương 2 sách giáo khoa Toán

9 tập I và chương 4 sách giáo khoa Toán 9 tập 2

Định nghĩa hàm số được nhắc lại và cho ví dụ minh họa

Định nghĩa trang 42 — sách giáo khoa Toán 9 tập 1:

“Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tưrơng ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x gọi là biến số”

Ở đây, hàm số được mô tả là sự phụ thuộc giữa hai đại lượng biến thiên

Sách giáo khoa đưa ra các ví dụ về hàm số cho bằng bảng và công thức:

a) y là hàm số của x được cho bằng bảng sau:

Để nhấn mạnh lại đặc trưng tương ứng của hàm số sách giáo khoa đưa vào hoạt dong 1:

Cho hàm số `” `_ ˆ f(2); f3); f( 2);f( 10)?

Cùng với định nghĩa hàm số, sách giáo khoa lớp 9 thêm khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến

Sự đồng biến, nghịch biến được trình bày theo con đường quy nạp: xuất phát từ một hàm số cụ thể để khái quát lên thành định nghĩa

Hoạt động 3: Tính giá trị y tương ứng của các hàm số

y=2x+1va y=—2x+1 theo giá trị đã cho của biến x rồi điền vào bảng sau:

a) Xét hàm số y=2x+I xác định với mọi xeR :

Qua bảng trên ta thấy: khi cho x các giá trị tùy ý tăng lên thì các giá trị tương ứng của y=2x+l cũng tăng lên Ta nói rằng hàm số y=2x+1 đồng biến trên R Ta thấy đây là sự khái quát tính chất của tương quan tỉ lệ thuận mà học sinh đã được

học ở lớp dưới Nó ngầm ẩn đặc trưng phụ thuộc của hàm số và cho thấy sự biến đổi,

biến động của các đại lượng trong quan hệ hàm số Ở đây x và y có mối quan hệ phụ

thuộc lẫn nhau, khi x biến đổi nhận các giá trị tùy ý tăng dần thì y cũng thay đổi và

tăng dần tương ứng

b) Tương tự xét hàm số y=-2x+l xác định trên R ta cũng rút ra được hàm

số y=—2x+l nghịch biến trên R

Từ đó khái quát thành khái niệm hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến:

“Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị cuả x thuộc R

a) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f(x) cũng tăng lên thì hàm số y = f(x) được gọi là hàm số đồng biến trên R (gọi tắt là hàm số đồng biến)

b) Nếu giá trị của biến x tăng lên mà giá trị tương ứng f(x) lại giảm đi thì hàm số y = f(x) được gọi là hàm số nghịch biến trên R (gọi tắt là hàm số nghịch biến)

Nói cách khác: Với xạ, x; bất kỳ thuộc R

Nếu x, <x, mà ƒ(zx,)< ƒ(z,) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R

Nếu x, <x,mà ƒ(x,)> ƒ(x,) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên R

Các định nghĩa này chỉ ra cách chứng minh một hàm số là đồng biến hoặc nghịch biến trên R

Ở đây, sách giáo khoa không trình bày hàm số đồng biến, nghịch biến trên (a, b) cụ thể do ở lớp 9, học sinh chỉ nghiên cứu các hàm số xác định với mọi xeR Trong sách giáo khoa Toán 9, các hàm số y=ax+b(a#0)vay=ax (a#0) được trình bày tương đối kỹ Việc trình bày các hàm số này đều xuất phát từ những bài toán mở đầu liên quan đến những đại lượng vật lý như: quãng đường và thời gian cách giới thiệu này sẽ giúp cho học sinh thấy được sự cần thiết phải nghiên cứu hàm số, các hàm số luôn hiện diện trong thực tế, trong các ngành khoa học khác Điều đó có tác dụng gợi động cơ, gây hứng thú học tập cho học sinh, có thể phần nào giúp cho học sinh hình dung được hàm số hiện diện trong thực tế, trong các ngành khoa học khác như thế nào, và nghiên cứu hàm số là xuất phát từ yêu cầu của thực tế cuộc sống

Qua bài toán cụ thể khái quát lên định nghĩa hàm số bậc nhất:

“Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi cong thttc y=ax+b, trong dé a, b 1a các số thực xác định và (a0) ”

Như vậy, ở đây học sinh được nghiên cứu hàm số bậc nhất ở dạng tổng quát, còn hàm số y=zx(z#0)mà học sinh đã hoc ở lớp 7 là một trường hợp riêng của hàm số bậc nhất

Ví dụ: (Bài 6 trang 45 — 46):

Cho các hàm số y=0,5x và y=0,5x+2

a) Tính các giá trị tương ứng của mỗi hàm số theo giá trị đã cho của biến x rồi điển vào bảng sau: