SKKN phân dạng một số phương trình vô tỉ thường gặp trong chương trình phổ thông

LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình vô tỉ thường gặp trong chương trình toán phổ thông hơn nữa nó thường có mặt trong các đề thi đại học cao đẳng và trung học chuyên nghiệp.. Trong chương tr

A.PHẦN MỞ ĐẦU

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Phương trình vô tỉ thường gặp trong chương trình toán phổ thông hơn nữa nó thường có mặt trong các đề thi đại học cao đẳng và trung học chuyên nghiệp Trong chương trình toán phổ thông , bài toán về phương trình vô tỉ là bài toán thường gặp và có nhiều dạng , với mỗi dạng tương ứng có những cách giải khác nhau Nếu học sinh không nắm vững các dạng phương trình vô tỉ thường gặp và cách giải tương ứng thì việc giải phương trình gặp nhiều khó khăn Vì lẽ

đó mà tôi chọn đề tài là:"phân dạng một số phương trình vô tỉ thường gặp trong chương trình phổ thông" Vì phần kiến thức này rất rộng , nên tôi chỉ đi

sâu vào các dạng phương trình vô tỉ có mặt trong chương trình phổ thông và lấy 1 số ví dụ áp dụng từ các đề thi ĐH-CĐ và THCN trong những năm gần đây

II.NỘI DUNG ĐỀ TÀI

A Phần mở đầu

B Nội dung

C Kết luận

III GIỚI HẠN CHỌN ĐỀ TÀI :

Đề tài này giới hạn trong chương trình phổ thông

B A B

A C B A

C B A

2 0 0

A  ta được phương trình :

3

A B A B C C (2)

Chú ý: - Phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1)

- Phép bình phương 2 vế của một phương trình mà không có điều kiện

cho 2 vế không âm là một phép biến đổi hệ quả Sau khi tìm được nghiệm ta phải thử lại

 (1x)(12x) 2x1

0



x (thỏa mãn (*)) Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x=0

 Thông thường nếu ta gặp phương trình dạng :

Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta

được:1  x 3 3 x   1 x 2 x2x 1, để giải phương trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơi phức tạp một chút

Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trình :

* Khi giải phương trình vô tỷ, trước hết cần phải xác định điều kiện cho

ẩn Từ việc làm đó, ta nghĩ đến việc chia thành các trường hợp của n, đó là n chẵn hoặc n lẻ

+ Trường hợp 1: Nếu n chẵn, thì phương trình tương đương với hệ sau:

+ Kết luận: - Nếu n chẵn: phương trình vô nghiệm

- Nếu n lẻ: phương trình có hai nghiệm x = 0; x =

1

m t t

loai t

2      

x x x x m

Bài 3 Cho phương trình: x2 2x 4 ( 3 x)(x 1 ) m 2

a Giải phương trình khi m = 12 b Tìm m để phương trình có nghiệm?

3 x

1 x ) 3 x ( 4 ) 1 x )(

3 x

) ( 1 0

3 2

2

m t t

loai t

t t

+) Với t = 3 , thế vào (2) ta được:

+) Vậy với m= 3 phương trình đã cho có nghiệm: x=-3 , x=6

+) (P) là parabol có hệ số góc a=1>0 , và có tọa độ đỉnh (1 ; -10 )

+) Bảng biến thiên của f(t)

3

x

x x x

4) (ĐH-A’02): x 4  x 4  2x 12  2 x2 16 ĐS:x=5

5) Cho phương trình: x 1  3 x (x 1 )( 3 x) m (m-tham số)

(ĐHSP Vinh 2000)

a Giải phương trình khi m = 2 b Tìm để phương trình đã cho có nghiệm

Dạng 3: Đặt ẩn phụ nhưng vẫn còn ẩn ban đầu

(Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn )

- t - 8x-1=0 Nhận thấy x = 0 không là nghiệm Do đó đây là phương trình bậc hai đối với ẩn t mà hệ số còn chứa x

 = 1 + 32x (8x +1) = 256x2

+ 32x + 1 = (16x +1)2phương trình đối với t có các nghiệm là:

t =   1 8x

1 16x 1

8x16x

5 21x

 

Ví dụ2: giải phương trình : 2(1 – x) x2 2x 1 = x2 – 2x – 1 (1)

GIẢI: Đặt: t = x2 2x 1 , ĐK: t  0 (*)

 x2

= t2 – 2x + 1 +)Khi đó phương trình (1) trở thành: 2.(x – 1).t = (t2

t

2 2

4 1 2

0

x x

0 1 2 3

0

' 2

vi VN x

x x

+)Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: x = -1  6

u2 + 1 2

u   u3

- 2u + 1 = 0 Giải ra ta được nghiệm u=1 suy ra phương trình chỉ có 1 nghiệm là x=1

Ví dụ2 : Giải phương trình:

3 3

16

1 1

16

x

x x



5 (1)

0

x

x

* Nhận thấy:

1

16

1 1

16 3

x x

5 2t2-5t+2=0 

2

t t

1

x=

127

1

9 x  x  x 2) x3  1  x2  3x 1

2

12 2 2

x x

x

4)

12

35 1

Dạng 4: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :

 Chúng ta đã biết cách giải phương trình: 2 2

Vậy PT đã cho có 1 nghiệm x = 65

Bài tập vận dụng

x x

4 7

4 PHƯƠNG PHÁP GIẢN ƯỚC

2 ) 2 ( ) 1

2 0 0 1

0 ) 2 (

0 ) 1 (

x x x

x x x x

x x

x x

Xét 3 trường hợp sau:

TH1 : nếu x=0 ta thấy (1) đúng=> x=0 là nghiệm của phương trình (1)

TH2 : nếu x-2 , ta có:

vn x

x x

x x

x x

x

x

x x

) 2 1 ( ) 2 )(

1 ( 4

0 2 1 2 1 ) 2 )(

1

(

2

2 2 1

1 ( 2 2 2 1

4 2 1 )

1 2 ( ) 2 )(

2

x x x

x

x x

8 9 2 1

 (x - 5)2 = 0  x =5 giá trị này thoả mãn x  2 nên là nghiệm

 Nếu 1  x < 2 thì phương trình tương đương với:

2 = x 3

2

  x = 1 thoả mãn

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 5 và x =1

Bài tập vận dụng: Giải phương trình:

x 2 1 x  1 x 2 1 x  1 2 ĐS: -1  x  0 2) 2 x 2 2 x 1 x 1 4 ĐS: x=3

6 PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP 6.1 Nhân lượng liên hợp để xuất hiện nhân tử chung

   

3 0

9 3 2

0 ) 9 3

3 1 )

2

(

2

0 ) 2 )(

1 1 ( ) 10 3 1 )(

2

(

0 1 1

) 2 )(

1 1 ( ) 10 3 1 )(

1 1 )(

1 1 (

x x

x

x x

x x

x

x

x x

x x

x x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=3

Bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:

3x  5x  1 x   2 3 x   x 1 x  3x 4 ĐS: x=2 2) (OLYMPIC 30/4 đề nghị) : 2 2

x    x x  ĐS: x=2 3) 3 2 3

x   x x  ĐS: x=3

6.2 Đưa về “hệ tạm “

Phương pháp

 Nếu phương trình vô tỉ có dạng A B C, mà : A B C

ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của x Ta có thể giải như sau :

A B   0

0

A B

) / ( 2 2

2 0

2

2 4 ) 2 ( 2

2 4

)

2

(

2 ,

2 2 4

) 2 ( 0

2

2 4 )

2

(

2 2

2 2

m t x x

x x

x x

x

x x

x x

+) vậy phương trình có nghiệm duy nhất là: x = 2

Ví Dụ2: Giải phương trình (OLYMPIC 30/4 -2007): 2 2 9

2 1

5 1

c) x2 5 5x  9 x2 2 5x  1 7 ĐS: x=5

8 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HỆ

Dạng 1: Đưa về hệ phương trình bình thường Hoặc hệ đối xứng loại một

 Đặt u x v,  x và tìm mối quan hệ giữa  x và  x từ đó tìm được hệ theo u,v

2

4

1 1

2 2

tìm nghiệm của phương trình

Ví dụ 3 Giải phương trình sau: x 5  x  1 6

Giải: Điều kiện: x 1

Đặt a x 1, b 5  x 1(a 0,b 0) thì ta đưa về hệ phương trình sau:

Dạng 2: Đưa phương trình đã cho về hệ đối xứng loại hai ( phương trình

chữa căn bậc 2 và lũy thừa bậc 2)

 Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phương trình bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II

 Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau :  

2 2

việc giải hệ này thì đơn giản

Bây giời ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách đặt y f x  sao cho (2) luôn đúng , y x  2 1, khi đó ta có phương trình :

Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc 2 :  

2 2

Việc chọn  ; thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng

* Bước 1: Biến đổi vế phải thành luỹ thừa có số mũ bằng chỉ số của căn thức vế trái

+ Cụ thể:  Chọn ẩn phụ là y Cơ số của luỹ thừa vế trái của kết quả bước 1

là (2x + 1) Thay ẩn x bởi ẩn phụ y ta có biểu thức chứa ẩn phụ là (2y + 1)

 Ta có đẳng thức 2y + 1 = x2 (**)

* Bước 3: Thành lập hệ phương trình đối xứng kiểu 2

Từ các điều kiện trên ta dễ dàng suy ra được hệ :

Đây là hệ phương trình đối xứng kiểu 2

Giải hệ này ta được

loại vì không thoả mãn (**)

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1

4 và x =

5 218

2 2

Trừ hai vế của phương trình ta được (xy x)( y)  0

Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là: x  2 2

Kết luận: Nghiệm của phương trình là {1  2; 1  3}

Đặt 2y  3 4x 5 ta được hệ phương trình

sau:

2 2

Dạng 1 : f(x) = g(x) , trongđó y = f(x) là một hàm số luôn đồng biến trên

(a;b), còn hàm số y=g(x) là hàm số luôn nghịch biến trên (a;b) ( hàm số y=g(x)

có thể là hàm hằng) và ngược lại Khi đó nếu phương trình đã cho nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Ví dụ: (ĐH-A’07)tìm m để phương trình sau có nghiệm thực

4 2

1 2

1 1

1 2

Đặt: 4

1 1

3 1

f(t) Phương trình đã cho có nghiệm (2) có nghiệm t0 ; 1  1 m 1

Dạng 2 : Dạng f(u) = f(v) , trong đó hàm số: y = f(x) là một hàm số luôn đồng

biến hoặc luôn nghịch biến Khi đó ta có: f(u) = f(v)  u = v

*) Chứng minh : Ta thấy f(u) và g(v) có dạng giống nhau, chỉ khác nhau về

phần chữ ( cách đặt tên biến) Do đó ta có thể coi hai hàm số y= f(u) và y = f(v)

đó là một

+) xét hàm số y = f(x) ,không mất tính tổng quát ta giả sử đó là hàm số luôn

đồng biến khi đó : -) f(u) > f(v)  u > v

1 4

1 2 1 2

2 2

x x

x x

1 2 2 1

m           ĐS: 2  1 m 1

2)(ĐH.A’08) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm

thực phânbiệt:4 2x 2x  2 4 6 x  2 6 x m(mR) ĐS:2 ( 4 6  6 ) m 3 ( 4 4  4 )

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

Giải:

1) Với bài toán này nếu giải theo cách bình thường như bình phương hay đặt

ẩn phụ sẽ gặp nhiều khó khăn Tuy nhiên, nếu tinh ý một chút các em sẽ thấy ngay VT là một hàm đồng biến và x=1 là một nghiệm của phương trình nên theo định lí 1 ta có được x=1 là nghiệm duy nhất Vậy ta có cách giải như sau Tập xác định: D 7 57 ;

*Nếu x > 1 suy ra f(x) > f(1) = 4 nên pt vô nghiệm

*Nếu x < 1 suy ra f(x) < f(1) = 4 nên pt vô nghiệm

Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của phương trỡnh đó cho

Chú ý:

* Với các hàm số y=ax+b với a > 0 là một hàm đồng biến và nếu f(x)

là hàm đồng biến thì hàm n f (x) ( với điều kiện căn thức tồn tại) cũng là một hàm đồng biến nên ta dẽ dàng nhận ra VT của phương trình là hàm đồng biến

* Khi dự đoán nghiệm thì ta ưu tiên những giá trị của x sao cho các biểu thức dưới dấu căn nhận giá trị là số chính phương

2) Với bài toán này cũng vậy nếu dùng phép biến đổi tương đương hay đặt ẩn phụ sẽ gặp khó khăn và theo chú ý trên ta cũng dễ dàng nhận thấy VT của phương trình là một hàm đồng biến và phương trình có nghiệm x =1 Do đó phương trình này có nghiệm duy nhất x=1 ( Các giải tương tự như bài 1)

3) Với đường lối như hai bài trên thì khá khó khăn để giải quyết được bài toán này Tuy nhiên nếu nhìn kĩ thì ta thấy các biểu thức dưới dấu căn ở hai vế có chung một mối liên hệ là x+2=(x+1)+1 và 2x2

10 PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HOÁ

*)Trong phương trình vô tỉ nếu:

*) Nhờ sử dụng các công thức lượng giác mà việc khử căn trổ nên rất thuận lợi

1 2 ) 1 ( ) 1 ( 1

1  x x  x   x (1 )

( 2 2 ) 2 2

(Sin t Cos t  Cos3 t Sin3 t   S



int 2

1 1 int) 2

1 1

1 2

Bài tập vận dụng: giải các phương trình sau:

1) x3 + 2 3 2

2 2 )

1 3

3 ( ) 2

1

) 2

3 ( ) 2

1 (x  =2 (*) Phương trình được viết lại như trên gợi cho ta liên tưởng đến công thức nào ?

Giải :Với cùng hệ trục toạ độ cho trước đặt M(x ;0) ; A(

2 1

 ;2

3) ;B(

2

1

;2 3

)

Từ phương trình (*) ta suy ra MA+MB=AB suy ra A,B,M thẳng hàng Suy ra x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình

x x

x  2  1  4  2  1 

C KẾT LUẬN

Với đề tài này, qua thực tế dạy học tôi thấy học sinh tiếp thu nhanh và làm bài hứng thú ,phát huy tính tích cực , tự giác , chủ động sáng tạo của học sinh giúp cho người học khả năng biến quá trình « học tập » thành quá trình « tự học tập » Hi vọng đề tài này sẽ giúp các em học sinh vững vàng hơn trong viêc giải các phương trình vô tỉ trong chương trình phổ thông cũng như chuẩn bị tham gia các kì thi ĐH- CĐ và THCN

Trên đây chỉ là một số kinh nghiệm mà bản thân tôi rút ra trong quá trình dạy học môn toán Vì thời gian và kinh nghiệm còn hạn chế, không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế , rất mong được sự góp ý của quý thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp và các em học sinh để đề tài được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1/ Nguyễn Thái Hoè, Dùng ẩn phụ để giải toán, NXBGD, 2004

2/ Phan Huy Khải, Toán nâng cao cho học sinh Đại số THPT tập 1, NXBHN,

5/ Tuyển chọn các đề thi ĐH-CĐ từ năm 2000-2010

6/ Sách bồi dưỡng đại số 10 – NXB Hà Nội

(Ngoài ra tôi còn tham khảo nhiều tài liệu của các đồng nghiệp và các tác giả khác)

MỤC LỤC Trang 1 PHƯƠNG PHÁP LUỸ THỪA ……… 2

2 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ……… 5

3 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH …… 15

4 PHƯƠNG PHÁP GIẢN ƯỚC 17

5 PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI… 18 6 PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP……… 19

7 PHƯƠNG PHÁP NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ……… 20

8 PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HỆ……… 22

9 PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ 27

10 PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HOÁ……… 30

11 SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC VEC TƠ……… 31

Tam phước, ngày 20 tháng 5 năm 2013 Người thực hiện

Trịnh Thị Trang

SỞ GDĐT ĐỒNG NAI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT

Đơn vị : THPT TAM

PHƯỚC

NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

Biên hòa , ngày 22 tháng 5 năm 2013

PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

- Có giải pháp hoàn toàn mới 

- Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có 

2 Hiệu quả

- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao 

- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng trong ngành có hiệu quả cao 

- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao 

- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả 

3 Khả năng áp dụng

- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính

- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực

- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu

XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN

(Ký tên và ghi rõ họ tên)

TRẦN THỊ THANH HƯƠNG

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

(ký tên, ghi rõ họ tên và đóng dấu)

Hoàng Thị Hương