100 bài tập hình học lớp 9

Mà DEB+AED=2v AED=ACB 3.Gọi tiếp tuyến tại A của O là đường thẳng xy Hình 1 Hình 1 Bài 2: ChoO đường kính AC.trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường tròn tâm O’, đường kính BC.Gọi M là t

MỘT TRĂM BÀI TẬP

HÌNH HỌC LỚP 9

Lời nói đầu:

Trong quá trình ôn thi tốt nghiệp cho học sinh lớp 9,chúng ta đều nhận thấy học sinh rất ngại chứng minh hình học Cũng do học sinh còn yếu kiến thức bộ môn.Hơn nữa giáo viên thường rất bí bài tập nhằm rèn luyện các kỹ năng, đặc biệt là luyện thi tốt nghiệp.Đồng thời do học sinh chúng ta là học sinh có hoàn cảnh gia đình còn nghèo vì vậy học sinh yếu kỹ năng vận dụng nếu chúng ta chỉ chữa một vài bài tập mà thôi

Do để học sinh có thể chủ động trong quá trình làm bài,các bài tập trong tài liệu này chỉ có tính cất gợi ý phương án chứng minh chứ chưa phải là bài giải hoàn hảo nhất

Bên cạnh đó để có bài tập riêng của từng giáo viên,người giáo viên cần biết biến đổi bài tập trong tài liệu này sao cho phù hợp với đối tượng học sinh

Tài liệu được sưu tầm trong các sách và đã được thống kê trong phần phụ lục.Cấm việc in sao,sao chép dưới bất kỳ hình thức nào mà không có sự nhất trí của tác giả

Dù có nhiều cố gắng song tài liệu chắc chắn kông thể không có sai soat.Mong được sự góp ý của bạn đọc.Thư về:

Bài 1: Cho ABC có các đường cao BD và CE.Đường thẳng DE cắt đường tròn

ngoại tiếp tam giác tại hai điểm M và N

1 Chứng minh:BEDC nội tiếp

2 Chứng minh: góc DEA=ACB

3 Chứng minh: DE // với tiếp tuyến tai A của đường tròn ngoại tiếp tam giác

4 Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Chứng minh: OA là

phân giác của góc MAN

1sđ AB góc xAB=ACB mà góc ACB=AED(cmt)

xAB=AED hay xy//DE

4.C/m OA là phân giác của góc MAN

Do xy//DE hay xy//MN mà OAxyOAMN.OA là đường trung trực của

MN.(Đường kính vuông góc với một dây)AMN cân ở A AO là phân

giác của góc MAN

5.C/m :AM2=AE.AB

Do AMN cân ở A AM=AN cung AM=cung AN.góc MBA=AMN(Góc

nội tiếp chắn hai cung bằng nhau);góc MAB chung

MAE ∽ BAM

MA

AE AB

MA

  MA2=AE.AB



1.C/m BEDC nội tiếp:

C/m góc BEC=BDE=1v Hia điểm D và E cùng làm với hai đầu đoạn thẳng BC một góc vuông

2.C/m góc DEA=ACB

Do BECD ntDMB+DCB=2v

Mà DEB+AED=2v

AED=ACB 3.Gọi tiếp tuyến tại A của (O) là đường thẳng xy (Hình 1) Hình 1

Bài 2:

Cho(O) đường kính AC.trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường tròn tâm O’, đường kính BC.Gọi M là trung điểm của đoạn AB.Từ M vẽ dây cung DE vuông góc với AB;DC cắt đường tròn tâm O’ tại I

1.Tứ giác ADBE là hình gì?

2.C/m DMBI nội tiếp

3.C/m B;I;C thẳng hàng và MI=MD

4.C/m MC.DB=MI.DC 5.C/m MI là tiếp tuyến của (O’) Gợi ý:

D

I

A M O B O’ C

E 3.C/m B;I;E thẳng hàng

Do AEBD là hình thoi BE//AD mà ADDC (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)BEDC; CMDE(gt).Do góc BIC=1v BIDC.Qua 1 điểm B có hai đường thẳng BI và BE cùng vuông góc với DC B;I;E thẳng hàng

C/m MI=MD: Do M là trung điểm DE; EID vuông ở IMI là đường trung tuyến của tam giác vuông DEI MI=MD

MEB=MCI (cùng chắn cung MI) Từ đó suy ra góc O’IC=MIB MIB+BIO’=O’IC+BIO’=1v Vậy MI O’I tại I nằm trên đường tròn (O’) MI là tiếp tuyến của (O’)

1.Do MA=MB và ABDE tại M nên ta có DM=ME

ADBE là hình bình hành Mà BD=BE(AB là đường trung trực của DE) vậy ADBE ;là hình thoi

2.C/m DMBI nội tiếp

BC là đường kính,I(O’) nên Góc BID=1v.Mà góc DMB=1v(gt)

BID+DMB=2vđpcm

Hình 2



Bài 3:

Cho ABC có góc A=1v.Trên AC lấy điểm M sao cho AM<MC.Vẽ đường

tròn tâm O đường kính CM;đường thẳng BM cắt (O) tại D;AD kéo dài cắt (O) tại

S

1 C/m BADC nội tiếp

2 BC cắt (O) ở E.Cmr:MR là phân giác của góc AED

3 C/m CA là phân giác của góc BCS

4.C/m CA là phân giác của góc BCS

-Góc ACB=ADB (Cùng chắn cung AB)

-Góc ADB=DMS+DSM (góc ngoài tam giác MDS)

-Mà góc DSM=DCM(Cùng chắn cung MD)

DMS=DCS(Cùng chắn cung DS)

Góc MDS+DSM=SDC+DCM=SCA

Vậy góc ADB=SCAđpcm



1.C/m ABCD nội tiếp:

C/m A và D cùng làm với hai đầu đoạn thẳng

BC một góc vuông

2.C/m ME là phân giác của góc AED

Hãy c/m AMEB nội tiếp

Góc ABM=AEM( cùng chắn cung AM)

Góc ABM=ACD( Cùng chắn cung MD) Góc ACD=DME( Cùng chắn cung MD) Hình 3

Bài 4:

Cho ABC có góc A=1v.Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM>MC.Dựng đường tròn tâm O đường kính MC;đường tròn này cắt BC tại E.Đường thẳng BM cắt (O) tại D và đường thẳng AD cắt (O) tại S

1 C/m ADCB nội tiếp

2 C/m ME là phân giác của góc AED

3 C/m: Góc ASM=ACD

4 Chứng tỏ ME là phân giác của góc AED

5 C/m ba đường thẳng BA;EM;CD đồng quy

Gợi ý:

A

3.C/m góc ASM=ACD

Ta có A SM=SMD+SDM(Góc ngoài tam giác SMD) Mà góc SMD=SCD(Cùng chắn cung SD) và Góc SDM=SCM(Cùng chắn cung SM)SMD+SDM=SCD+SCM=MCD

Vậy Góc A SM=ACD

4.C/m ME là phân giác của góc AED (Chứng minh như câu 2 bài 2) 5.Chứng minh AB;ME;CD đồng quy

Gọi giao điểm AB;CD là K.Ta chứng minh 3 điểm K;M;E thẳng hàng

Do CAAB(gt);BDDC(cmt) và AC cắt BD ở MM là trực tâm của tam giác KBCKM là đường cao thứ 3 nên KMBC.Mà MEBC(cmt) nên K;M;E thẳng hàng đpcm



1.C/m ADCB nội tiếp: Hãy chứng minh:

Góc MDC=BDC=1v Từ đó suy ra A vad D cùng làm với hai đầu đoạn thẳng BC một góc vuông…

2.C/m ME là phân giác của góc AED

Do ABCD nội tiếp nên

Hình 4

Bài 5:

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AB<AC nội tiếp trong đường tròn tâm

O.Kẻ đường cao AD và đường kính AA’.Gọi E:F theo thứ tự là chân đường vuông

góc kẻ từ B và C xuống đường kính AA’

1 C/m AEDB nội tiếp

2/C/m: DB.A’A=AD.A’C Chứng minh được hai tam giác vuông DBA và

A’CA đồng dạng

3/ C/m DEAC

Do ABDE nội tiếp nên góc EDC=BAE(Cùng bù với góc BDE).Mà góc

BAE=BCA’(cùng chắn cung BA’) suy ra góc CDE=DCA’ Suy ra DE//A’C Mà

góc ACA’=1v nên DEAC

4/C/m MD=ME=MF

Gọi N là trung điểm AB.Nên N là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác

ABDE Do M;N là trung điểm BC và AB MN//AC(Tính chất đường trung bình)

Do DEAC MNDE (Đường kính đi qua trung điểm một dây…)MN là đường

trung trực của DE ME=MD

 Gọi I là trung điểm AC.MI//AB(tính chất đường trung bình)

A’BC=A’AC (Cùng chắn cung A’C)

Do ADFC nội tiếp Góc FAC=FDC(Cùng chắn cung FC) Góc A’BC=FDC hay

DF//BA’ Mà ABA’=1vMIDF.Đường kính MIdây cung DFMI là đường

trung trực của DFMD=MF Vậy MD=ME=MF

1/C/m MFEC nội tiếp

2/C/m BM.EF=BA.EM 3/C/M AMP∽FMQ

4/C/m góc PQM=90o Giải:

AP MF

AM FQ

1/C/m MFEC nội tiếp:

(Sử dụng hai điểm E;F cung làm với hai đầu đoạn thẳng CM…)

2/C/m BM.EF=BA.EM C/m:EFM∽ABM:

Ta có góc ABM=ACM (Vì cùng chắn cung AM) Hình 6

Bài 7:

Cho (O) đường kính BC,điểm A nằm trên cung BC.Trên tia AC lấy điểm D

sao cho AB=AD.Dựng hình vuông ABED;AE cắt (O) tại điểm thứ hai F;Tiếp

tuyến tại B cắt đường thẳng DE tại G

1 C/m BGDC nội tiếp.Xác định tâm I của đường tròn này

2 C/m BFC vuông cân và F là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD

3 C/m GEFB nội tiếp

4 Chứng tỏ:C;F;G thẳng hàng và G cũng nằm trên đường tròn ngoại tiếp

BCD.Có nhận xét gì về I và F

Xét hai tam giác FEB và FED có:E F chung;

Góc BE F=FED =45o;BE=ED(hai cạnh của hình vuông ABED).BFE=E FD

2

1.90o=45o.(Góc giữa tiếp tuyến BG và dây BF)

Mà góc FED=45o(tính chất hình vuông)Góc FED=GBF=45o.ta lại có góc

FED+FEG=2vGóc GBF+FEG=2v GEFB nội tiếp

4/ C/m C;F;G thẳng hàng:Do GEFB nội tiếp Góc BFG=BEG mà

BEG=1vBFG=1v.Do BFG vuông cân ở FGóc BFC=1v.Góc

BFG+CFB=2vG;F;C thẳng hàng C/m G cũng nằm trên… :Do

GBC=GDC=1vtâm đường tròn ngt tứ giác BGDC là FG nằn trên đường tròn

ngoại tiếp BCD Dễ dàng c/m được I F

1/C/m BGEC nội tiếp:

-Sử dụng tổng hai góc đối…

-I là trung điểm GC

2/C/mBFC vuông cân:

Góc BCF=FBA(Cùng chắn cung BF) mà góc FBA=45o(tính chất hình vuông)

Góc BCF=45o Góc BFC=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)đpcm

C/m F là tâm đường tròn ngoại tiếp BDC.ta C/m F cách đều các đỉnh B;C;D

Do BFC vuông cân nên BC=FC

ở E và F,cắt AC ở I(E nằm trên cung nhỏ BC)

1 C/m BDCO nội tiếp

2 C/m: DC2=DE.DF

3 C/m:DOIC nội tiếp

4 Chứng tỏ I là trung điểm FE

1sđcung BC(Góc nội tiếp) (1)

Sđ góc BOC=sđcung BC(Góc ở tâm);OB=OC;DB=DC(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau);OD chungBOD=CODGóc BOD=COD

2sđ gócDOC=sđ cung BC sđgóc DOC=

2

1sđcungBC (2) Từ (1)và (2)Góc DOC=BAC

Do DF//ABgóc BAC=DIC(Đồng vị) Góc DOC=DIC Hai điểm O và I cùng làm với hai đầu đoạn thẳng Dc những góc bằng nhau…đpcm

4/Chứng tỏ I là trung điểm EF:

Do DOIC nội tiếp  góc OID=OCD(cùng chắn cung OD) Mà Góc OCD=1v(tính chất tiếp tuyến)Góc OID=1v hay OIID OIFE.Bán kính OI vuông góc với dây cung EFI là trung điểmEF

1/C/m:BDCO nội tiếp(Dùng tổng hai góc đối)

3 C/m Mn là phân giác của góc BMQ

4 Hạ đoạn thẳng MP vuông góc với BN;xác định vị trí của M trên cung

AB để MQ.AN+MP.BN có giác trị lớn nhất

Giải:Có 2 hình vẽ,cách c/m tương tự.Sau đây chỉ C/m trên hình 9-a

-Tổng hai góc đối

2/C/m: NQ.NA=NH.NM

Xét hai vuông NQM và NAH đồng dạng

3/C/m MN là phân giác của góc BMQ Có hai cách:

 Cách 1:Gọi giao điểm MQ và AB là I.C/m tam giác MIB cân ở M

 Cách 2: Góc QMN=NAH(Cùng phụ với góc ANH) Góc NAH=NMB(Cùng chắn cung NB)đpcm 4/ xác định vị trí của M trên cung AB để MQ.AN+MP.BN có giác trị lớn nhất

Ta có 2SMAN=MQ.AN 2SMBN=MP.BN

M là điểm chính giữa cung AB

Bài 10:

Cho (O;R) và (I;r) tiếp xúc ngoài tại A (R> r) Dựng tiếp tuyến chung

ngoài BC (B nằm trên đường tròn tâm O và C nằm trên đư ờng tròn tâm (I).Tiếp

tuyến BC cắt tiếp tuyến tại A của hai đường tròn ở E

1/ Chứng minh tam giác ABC vuông ở A

2/ O E cắt AB ở N ; IE cắt AC tại F Chứng minh N;E;F;A cùng nằm trên

một đường tròn

AEBEO là đường trung trực của AB hay OEAB hay góc ENA=1v

Tương tự góc EFA=2vtổng hai góc đối……4 điểm…

3/C/m BC2=4Rr

Ta có tứ giác FANE có 3 góc vuông(Cmt)FANE là hình vuôngOEI vuông ở

E và EAOI(Tính chất tiếp tuyến).Aùp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

có: AH2=OA.AI(Bình phương đường cao bằng tích hai hình chiếu)

2

1BC.ABC vuông ở

A

2/C/m A;E;N;F cùng nằm trên…

-Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì EO là phân giác của tam giác cân

1 C/m OMHI nội tiếp

2 Tính góc OMI

3 Từ O vẽ đường vuông góc với BI tại K.C/m OK=KH

4 Tìm tập hợp các điểm K khi M thay đổi trên OB

Giải:

A

O M B

H

K

I

Cùng chắn cung OH)OHK=HAB+HAO=OAB=45o

OKH vuông cân ở KOH=KH 4/Tập hợp các điểm K…

Do OKKB OKB=1v;OB không đổi khi M di động K nằm trên đường tròn đường kính OB

Khi M≡Othì K≡O Khi M≡B thì K là điểm chính giữa cung AB.Vậy quỹ tích điểm

K là 4

1đường tròn đường kính OB



1/C/m OMHI nội tiếp:

Sử dụng tổng hai góc đối

2/Tính góc OMI

Do OBAI;AHAB(gt) và OBAH=M Nên M là trực tâm của tam giác ABI

IM là đường cao thứ 3 IMAB

góc OIM=ABO(Góc có cạnh tương ứng vuông góc)

Mà  vuông OAB có OA=OB

OAB vuông cân ở O góc OBA=45ogóc OMI=45o3/C/m OK=KH

Ta có OHK=HOB+HBO (Góc ngoài OHB)

Do AOHB nội tiếp(Vì góc AOB=AHB=1v) Góc HOB=HAB (Cùng chắn cung HB) và OBH=OAH(Cùng chắn Hình 11

Bài 12:

Cho (O) đường kính AB và dây CD vuông góc với AB tại F.Trên cung BC

lấy điểm M.Nối A với M cắt CD tại E

1 C/m AM là phân giác của góc CMD

2 C/m EFBM nội tiếp

3 Chứng tỏ:AC2=AE.AM

4 Gọi giao điểm CB với AM là N;MD với AB là I.C/m NI//CD

5 Chứng minh N là tâm đường trèon nội tiếp CIM

4/C/m NI//CD Do cung AC=AD CBA=AMD(Góc nội tiếp chắn các cung bằng

nhau) hay NMI=NBIM và B cùng làm với hai đầu đoạn thẳng NI những góc

bằng nhauMNIB nội tiếpNMB+NIM=2v mà NMB=1v(cmt)NIB=1v hay

NIAB.Mà CDAB(gt) NI//CD

5/Chứng tỏ N là tâm đường tròn nội tiếp ICM

Ta phải C/m N là giao điểm 3 đường phân giác của CIM

 Theo c/m ta có MN là phân giác của CMI

 Do MNIB nội tiếp(cmt) NIM=NBM(cùng chắn cung MN)

Góc MBC=MAC(cùng chắn cung CM)

Ta lại có CAN=1v(góc nội tiếpACB=1v);NIA=1v(vì NIB=1v)ACNI nội

tiếpCAN=CIN(cùng chắn cung CN)CIN=NIMIN là phân giác CIM

Vậy N là tâm đường tròn……

1/C/m AM là phân giác của góc CMD

Do ABCD AB là phân giác của tam giác cân COD. COA=AOD

Các góc ở tâm AOC và AOD bằng nhau nên các cung bị chắn bằng nhau

cung AC=ADcác góc nội tiếp chắn các cung này bằng nhau.Vậy CMA=AMD

2/C/m EFBM nội tiếp

Ta có AMB=1v(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

EFB=1v(Do ABEF)

Bài 13:

Cho (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn.Vẽ các tiếp tuyến AB;AC và cát tuyến ADE.Gọi H là trung điểm DE

1 C/m A;B;H;O;C cùng nằm trên 1 đường tròn

2 C/m HA là phân giác của góc BHC

3 Gọi I là giao điểm của BC và DE.C/m AB2=AI.AH

4 BH cắt (O) ở K.C/m AE//CK

2/C/m HA là phân giác của góc BHC

Do AB;AC là 2 tiếp tuyến cắt nhau BAO=OAC và AB=AC

cung AB=AC(hai dây băøng nhau của đường tròn đkOA) mà BHA=BOA(Cùng chắn cung AB) và COA=CHA(cùng chắn cung AC) mà cung AB=AC

Hình 13

Bài 14:

Cho (O) đường kính AB=2R;xy là tiếp tuyến với (O) tại B CD là 1 đường

kính bất kỳ.Gọi giao điểm của AC;AD với xy theo thứ tự là M;N

1 Cmr:MCDN nội tiếp

2 Chứng tỏ:AC.AM=AD.AN

3 Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN và H là trung điểm

MN.Cmr:AOIH là hình bình hành

4 Khi đường kính CD quay xung quanh điểm O thì I di động trên đường

MNIHMN là IOCD.Do ABMN;IHMNAO//IH Vậy cách dựng I:Từ O

dựng đường vuông góc với CD.Từ trung điểm H của MN dựng đường vuông góc

với MN.Hai đường này cách nhau ở I

Do H là trung điểm MNAhlà trung tuyến của vuông

AMNANM=NAH.Mà ANM=BAM=ACD(cmt)DAH=ACD

Gọi K là giao điểm AH và DO do ADC+ACD=1vDAK+ADK=1v hay AKD

vuông ở KAHCD mà OICDOI//AH vậy AHIO là hình bình hành

4/Quỹ tích điểm I:

Do AOIH là hình bình hành IH=AO=R không đổiCD quay xung quanh O thì I

nằm trên đường thẳng // với xy và cách xy một khoảng bằng R

1/ C/m MCDN nội tiếp:

AOC cân ở OOCA=CAO; góc CAO=ANB(cùng phụ với góc AMB)góc ACD=ANM

Mà góc ACD+DCM=2v

DCM+DNM=2v DCMB nội tiếp

2/C/m: AC.AM=AD.AN Hãy c/m ACD∽ANM

3/C/m AOIH là hình bình hành

 Xác định I:I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDNI là giao điểm dường trung trực của CD và Hình 14

Q

Bài 15:

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O.Gọi D là 1 điểm trên cung nhỏ

BC.Kẻ DE;DF;DG lần lượt vuông góc với các cạnh AB;BC;AC.Gọi H là hình chiếu của

D lên tiếp tuyến Ax của (O)

1 C/m AHED nội tiếp

2 Gọi giao điểm của AH với HB và với (O) là P và Q;ED cắt (O) tại M.C/m

Xét hai tam giác DEH và DFG có:

Do EHAD nội tiếp HAE=HDE(cùng chắn cung HE)(1)

Và EHD=EAD(cùng chắn cung ED)(2)

Vì F=G=90oDFGC nội tiếpFDG=FCG(cùng chắn cung FG)(3)

FGD=FCD(cùng chắn cung FD)(4)

5/C/m: E;F;G thẳng hàng:

Ta có BFE=BDE(cmt)và GFC=CDG(cmt)

hàng



1/C/m AHED nội tiếp(Sử dụng hai điểm H;E cùng làm hành với hai đầu đoạn thẳng AD…)

2/C/m HA.DP=PA.DE Xét hai tam giác vuông đồng dạng:

HAP và EPD (Có HPA=EPD đđ) 3/C/m QM=AB:

Do HPA∽EDPHAB=HDM Mà sđHAB=

4 AI kéo dài cắt đường thẳng BM tại N.Chứng minh AC=BN

5 C/m: NMIC nội tiếp

Xét 2  vuông ACB và ICK có C chungACB∽ICK



CK

CB IC

Do AIB=IAC+ICA(góc ngoài IAC) và IAC Cân ở IIAC=ICA

AIB=2IAC(1) Ta lại có BKM=BMK và BKM=AIB(cùng chắn cung AB-tứ giác AKIB nội tiếp)

AIB=BMK(2) mà BMK=MNA+MAN(góc ngoài tam giác MNA) Do MNA cân ở M(gt)MAN=MNABMK=2MNA(3)

Từ (1);(2);(3)IAC=MNA và MAN=IAC(đ đ)…

5/C/m NMIC nội tiếp:

do MNA=ACI hay MNI=MCI hai điểm N;C cùng làm thành với hai đầu…)

Do I là trung điểm BC và KIBC(gt)

KBC cân ở K Hình 16

Bài 17:

Cho (O) đường kính AB cố định,điểm C di động trên nửa đường tròn.Tia

phân giác của ACB cắt (O) tai M.Gọi H;K là hình chiếu của M lên AC và AB

1 C/m:MOBK nội tiếp

2 Tứ giác CKMH là hình vuông

3 C/m H;O;K thẳng hàng

4 Gọi giao điểm HKvà CM là I.Khi C di động trên nửa đường tròn thì I chạy

trên đường nào?

Do  vuông HCM có 1 góc bằng 45o nên CHM vuông cân ở H HC=HM, tương

tự CK=MK Do C=H=K=1v CHMK là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau

CHMK là hình vuông

3/C/m H,O,K thẳng hàng:

Gọi I là giao điểm HK và MC;do MHCK là hình vuôngHKMC tại trung điểm

I của MC.Do I là trung điểm MCOIMC(đường kính đi qua trung điểm một

dây…)

Vậy HIMC;OIMC và KIMCH;O;I thẳng hàng

4/Do góc OIM=1v;OM cố địnhI nằm trên đường tròn đường kính OM

-Giới hạn:Khi CB thì IQ;Khi CA thì IP.Vậy khi C di động trên nửa đường

tròn (O) thì I chạy trên cung tròn PHQ của đường tròn đường kính OM



Hình 17

1/C/m:BOMK nội tiếp:

Ta có BCA=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

CM là tia phân giác của góc BCAACM=MCB=45o

cungAM=MB=90o

dây AM=MB có O là trung điểm AB OMAB hay gócBOM=BKM=1v

BOMK nội tiếp

HC

3/Gọi tiếp tuyến tại H của (O) là Hx

DoAH=HD;AO=HO=DOAHO=HODAOH=HOD màAOD cân ở

OOHAD và OHHx(tính chất tiếp tuyến) nên AD//Hx(1)

B;C cùng làm với hai đầu đoạn MN những góc bằng nhau MNCB nội tiếpNMC=NBC(cùng chắn cung NC) mà DBC=DAC (cùng chắn cung DC)

NMC=DAC MN//DA(2).Từ (1)và (2)MN//Hx

4/C/m HOKD nội tiếp:

Do DJ//BHHBD=BDJ (so le)cung BJ=HD=AH=

Bài 19:

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB,bán kính OCAB.Gọi M là 1 điểm

trên cung BC.Kẻ đường cao CH của tam giác ACM

1 Chứng minh AOHC nội tiếp

2 Chứng tỏ CHM vuông cân và OH là phân giác của góc COM

3 Gọi giao điểm của OH với BC là I.MI cắt (O) tại D.Cmr:CDBM là hình

1sđcung AC=45o.CHM vuông cân ở M

C/m OH là phân giác của góc COM:Do CHM vuông cân ở HCH=HM;

CO=OB(bán kính);OH chungCHO=HOMCOH=HOMđpcm

3/C/m:CDBM là thang cân:

Do OCM cân ở O có OH là phân giácOH là đường trung trực của CM mà

IOHICM cân ở IICM=IMC mà ICM=MDB(cùng chắn cung BM)

IMC=IDB hay CM//DB.Do IDB cân ở IIDB=IBD và MBC=MDC(cùng

chắn cungCM) nên CDB=MBDCDBM là thang cân

4/C/m BNI và AMC đồng dạng:

Do OH là đường trung trực của CM và NOH CN=NM

Do AMB=1vHMB=1v hay NMAM mà CHAMCH//NM,có góc

CMH=45oNHM=45oMNH vuông cân ở M vậy CHMN là hình vuông

2/C/mCHM vuông cân:

Do OCAB trại trung điểm OCung AC=CB=90o

1 Chứng tỏ OMN cân

2 C/m :OMAN nội tiếp

3 BO kéo dài cắt AC tại D và cắt (O) ở E.C/m BC2+DC2=3R2

4 Đường thẳng CE và AB cắt nhau ở F.Tiếp tuyến tại A của (O) cắt FC tại I;AO kéo dài cắt BC tại J.C/m BI đi qua trung điểm của AJ

Ta có BCE=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)có B=60oBFC=30o

 OM=ON  OMN cân ở O

2/C/m OMAN nội tiếp:

do  OBM=  ONA(cmt)  BMO=ANO mà BMO+AMO=2v  ANO+AMO=2v

 AMON nội tiếp

3/C/m BC 2 +DC 2 =3R 2

Do BO là phân giác của  đều  BO  AC hay

 BOD vuông ở D.Aùp dụng hệ thức Pitago ta có:

BC 2 =DB 2 +CD 2 =(BO+OD) 2 +CD 2 =

=BO 2 +2.OB.OD+OD 2 +CD 2 (1) Mà OB=R  AOC cân ở O có OAC=30 o

Hình 20

CI

KJ FI AK



Bài 21:

Cho ABC (A=1v)nội tiếp trong đường tròn tâm (O).Gọi M là trung điểm

cạnh AC.Đường tròn tâm I đường kính MC cắt cạnh BC ở N và cắt (O) tại D

1 C/m ABNM nội tiếp và CN.AB=AC.MN

2 Chứng tỏ B,M,D thẳng hàng và OM là tiếp tuyến của (I)

3 Tia IO cắt đường thẳng AB tại E.C/m BMOE là hình bình hành

4 C/m NM là phân giác của góc AND

C/m OM là tiếp tuyến của (I):Ta có MO là đường trung bình của ABC (vì

M;O là trung điểm của AC;BC-gt)MO//AB mà ABAC(gt)MOAC hay

MOIC;M(I)MO là tiếp tuyến của đường tròn tâm I

3/C/m BMOE là hình bình hành: MO//AB hay MO//EB.Mà I là trung điểm MC;O

là trung điểm BCOI là đường trung bình của MBCOI//BM hay

OE//BMBMOE là hình bình hành

4/C/m MN là phân giác của góc AND:

Do ABNM nội tiếp MBA=MNA(cùng chắn cung AM)

MBA=ACD(cùng chắn cung AD)

Do MNCD nội tiếp ACD=MND(cùng chắn cung MD)

ANM=MNDđpcm



1/

C/m ABNM nội tiếp:

(dùng tổng hai góc đối)

C/m CN.AB=AC.MN Chứng minh hai tam giác vuông ABC và NMC đồng dạng

2/C/m B;M;D thẳng hàng Ta có MDC=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm I) hay MD  DC

BDC=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O)

Hình 21

Bài 22:

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a.Gọi I là điểm bất kỳ trên đường chéo AC.Qua I kẻ các đường thẳng song song với AB;BC,các đường này cắt

AB;BC;CD;DA lần lượt ở P;Q;N;M

1 C/m INCQ là hình vuông

2 Chứng tỏ NQ//DB

3 BI kéo dài cắt MN tại E;MP cắt AC tại F.C/m MFIN nội tiếp được trong đường tròn.Xác định tâm

4 Chứng tỏ MPQN nội tiếp.Tính diện tích của nó theo a

5 C/m MFIE nội tiếp

3/C/m MFIN nội tiếp: Do MPAI(tính chất hình vuông)MFI=1v;MIN=1v(gt)

hai điểm F;I cùng làm với hai đầu đoạn MN…MFIN nội tiếp

Tâm của đường tròn này là giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật MFIN 4/C/m MPQN nội tiếp:

Do NQ//PMMNQP là hình thang có PN=MQMNQP là thang cân.Dễ dàng C/m thang cân nội tiếp

TÍnh SMNQP=SMIP+SMNI+SNIQ+SPIQ=

1SABCD=

2

1a2 5/C/m MFIE nội tiếp:

Ta có các tam giác vuông BPI=IMN(do PI=IM;PB=IN;P=I=1v

PIB=IMN mà PBI=EIN(đ đ)IMN=EIN

Ta lại có IMN+ENI=1vEIN+ENI=1vIEN=1v mà MFI=1vIEM+MFI=2v

FMEI nội tiếp

1/C/m INCQ là hình vuông:

MI//AP//BN(gt)MI=AP=BN

NC=IQ=PD NIC vuông ở N có ICN=45o(Tính chất đường chéo hình vuông)NIC vuông cân ở N

INCQ là hình vuông

2/C/m:NQ//DB:

Do ABCD là hình vuông DBAC

Do IQCN là hình vuông NQIC Hình 22



Bài 23:

Cho hình vuông ABCD,N là trung điểm DC;BN cắt AC tại F,Vẽ đường tròn

tâm O đường kính BN.(O) cắt AC tại E.BE kéo dài cắt AD ở M;MN cắt (O) tại I

1 C/m MDNE nội tiếp

2 Chứng tỏ BEN vuông cân

3 C/m MF đi qua trực tâm H của BMN

4 C/m BI=BC và IE F vuông

5 C/m FIE là tam giác vuông

Ta có BIN=1v(góc nt chắn nửa đtròn)

 BI  MN Mà EN  BM(cmt)  BI và EN là hai đường cao của  BMN  Giao điểm của EN và BI

là trực tâm H.Ta phải C/m M;H;F thẳng hàng

Do H là trực tâm  BMN  MH  BN(1)

MAF=45 o (t/c hv);MBF=45 o (cmt)  MAF=MBF=45 o  MABF nội tiếp  MAB+MFB=2v mà

MAB=1v(gt)  MFB=1v hay MF  BM(2)

Từ (1)và (2)  M;H;F thẳng hàng

4/C/m BI=BC: Xét 2  vuông BCN và BIN có cạnh huyền BN chung;NBC=NEC (cùng chắn cung

NC).Do MEN=MFN=1v  MEFN nội tiếp  NEC=FMN(cùng chắn cung FN);FMN=IBN(cùng

phụ với góc INB)  IBN=NBC  BCN=  BIN  BC=BI

*C/m  IEF vuông:Ta có EIB=ECB(cùng chắn cung EB) và ECB=45 o  EIB=45 o 

Do HIN+HFN=2v  IHFN nội tiếp  HIF=HNF (cùng chắn cung HF);mà HNF=45 o (do  EBN

vuông cân)  HIF=45 o  Từvà   EIF=1v  đpcm

5/ * C/mBM là đường trung trực của QH:Do AI=BC=AB(gt và cmt)  ABI cân ở B.Hai  vuông

ABM và BIM có cạnh huyền BM chung;AB=BI  ABM=  BIM  ABM=MBI;  ABI cân ở B có

BM là phân giác  BM là đường trung trực của QH

1/C/m MDNE nội tiếp

Ta có NEB=1v(góc nt chắn nửa đường tròn)

 MEN=1v;MDN=1v(t/c hình vuông)

 MEN+MDN=2v  đpcm 2/C/m BEN vuông cân:

NEB vuông(cmt)

Do CBNE nội tiếp

 ENB=BCE(cùng chắn cung BE) mà BCE=45 o (t/c hv)  ENB=45 o  đpcm

3/C/m MF đi qua trực tâm H của

Mà HAM=MHC (cùng phụ với góc ACH)

Do HMC=MCN=CNH=1v(gt)MCNH là hình chữ nhật MH//CN hay MHC=HCNHKM=HCN

4/C/m: M;N;I;K cùng nằm trên một đường tròn

Do BKHI nội tiếpBKI=BHI(cùng chắn cung BI);BHI=IDH(cùng phụ với góc IBH)

Do IHND nội tiếpIDH=INH(cùng chắn cung IH)BKI=HNI

1/C/m AMHK nội tiếp:

Dùng tổng hai góc đối) 2/C/m: JA.JH=JK.JM Xét hai tam giác:JAM và JHK có: AJM=KJH (đđ).Do AKHM nt

HAM=HKM( cùng chắn cung HM)

JAM∽JKH

đpcm 3/C/m HKM=HCN

vì AKHM nội tiếp

HKM=HAM(cùng chắn cung HM) Hình 24

Do AKHM nội tiếpAKM=AHM(cùng chắn cung AM);AHM=MCH(cùng

phụ với HAM)

Do HMCN nội tiếpMCH=MNH(cùng chắn cung MH)AKM=MNH

mà BKI+AKM+MKI=2vHNI+MNH+MKI=2v hay IKM+MNI=2v M;N;I;K

cùng nằm trên một đường tròn

1 Chứng minh D;H;E thẳng hàng

2 C/m BDCE nội tiếp.Xác định tâm O của đường tròn này

D

O

BDE=BCEHai điểm D;C cùng làm với hai đầu đoạn thẳng BE…

Xác định tâm O:O là giao điểm hai đường trung trực của BE và BC

3/C/m:AMDE:

Do M là trung điểm BCAM=MC=MB=

2

BCMAC=MCA;mà ABE=ACB(cmt)MAC=ADE

Ta lại có:ADE+AED=1v(vì A=1v)CAM+AED=1vAIE=1v vậy AMED 4/C/m AHOM là hình bình hành:

Do O là tâm đường tròn ngoại tiếp BECDOM là đường trung trực của BC

OMBCOM//AH

Do H là trung điểm DE(DE là đường kính của đường tròn tâm H)OHDE mà AMDEAM//OHAHOM là hình bình hành



1/C/m D;H;E thẳng hàng:

Do DAE=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm H)DE là đường kính D;E;H thẳng hàng

2/C/m BDCE nội tiếp:

HAD cân ở H(vì HD=HA=bán kính của đt tâm H)HAD=HAD mà HAD=HCA(Cùng phụ với HAB)

Hình 25

E F

M

Bài 26:

Cho ABC có 2 góc nhọn,đường cao AH.Gọi K là điểm dối xứng của H qua

AB;I là điểm đối xứng của H qua AC.E;F là giao điểm của KI với AB và AC

1 Chứng minh AICH nội tiếp

2 C/m AI=AK

3 C/m các điểm: A;E;H;C;I cùng nằm trên một đường tròn

4 C/m CE;BF là các đường cao của ABC

5 Chứng tỏ giao điểm 3 đường phân giác của HFE chính là trực tâm của

Theo chứng minh trên ta có:AI=AH.Do K đx với H qua AB nên AB là đường trung trực

3/C/m A;E;H;C;I cùng nằm trên một đường tròn:

DoEABvà ABlà trung trực của KHEK=EH;EA

chung;AH=AKAKE=AHEAKE=EHA màAKI cân ở A(theo c/m trên AK=AI)

AKI=AIK.EHA=AIE hai điểm I và K cung làm với hai đầu đoạn AE…A;E;H;I

cùng nằm trên một đường tròn ký hiệu là (C)

Theo cmt thì A;I;CV;H cùng nằm trên đường tròn(C’)  (C) và (C’) trùng nhau vì có

chung 3 điểm A;H;I không thẳng hàng)

4/C/m:CE;BF là đường cao của ABC

Do AEHCI cùng nằm trên một đường tròn có AIC=1vAC là đường kính.AEC=1v

( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)Hay CE là đường cao của ABC.Chứng minh tương

tự ta có BF là đường cao…

5/Gọi M là giao điểmAH và EC.Ta C/m M là giao điểm 3 đường phân giác của HFE

EBHM nt MHE=MBE(cùng chắn cungEM)

BEFC nt FBE=ECF (Cùng chắn cung EF)

HMFC ntFCM=FMH(cùng chắn cung MF)

1/C/m AICH nội tiếp:

Do I đx với H qua ACAC là trung trực của HIAI=AH và HC=IC;AC chung

AHC=AIC(ccc)

AHC=AIC mà AHC=1v(gt)AIC=1v

2 C/m BCKD nội tiếp.,xác định tâm của đường tròn này

3 Gọi giao điểm của DC với (O) là I.C/m B;O;I thẳng hàng

Nhưng ta lại có:BAC=2BKC(cmt)BDC=BKC BCKD nội tiếp

Xác định tâm:Do AB=AC=ADA là trung điểm BD trung tuyến CA=

2

1 BDBCD vuông ở C Do BCKD nội tiếp DKB=DCB(cùng chắn cungBD).Mà BCD=1vBKD=1vBKD vuông ở K có trung tuyến KAKA=

2

1 BD AD=AB=AC=AK A là tâm đường tròn… 3/C/m B;O;I thẳng hàng:Do góc BCI=1v,mà B;C;I(O) BI là đường kính B;O;I thẳng hàng

4/C/mBI=DI:

Cách 1: Ta có BAI=1v(góc nội tiếp chắn nử đường tròn)hay AIDB,có A là trung điểmAI là đường trung trực của BDIBD cân ở IID=BI

1/Chứng tỏ:BAC=BMC (cùng chắn cung BC) BMC=MKC+MCK(góc ngoài MKC)

Mà MK=MC(gt)MKC cân ở MMKC=MCK

BMC=2BKC

BAC=2BKC

2/C/mBCKD nội tiếp:

Ta có BAC=ADC+ACD(góc ngoài ADC) mà Hình 27

M N

 O

Cách 2: ACI=ABI(cùng chắn cung AI)ADC cân ở

DACI=ADIBDC=ACDIDB=IBDBID cân ở Iđpcm

Bài 28:

Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong(O).Gọi I là điểm chính giữa cung AB(Cung

AB không chứa điểm C;D).IC và ID cắt AB ở M;N

1 C/m D;M;N;C cùng nằm trên một đường tròn

Do IDA=ICB(cùng chắn hai cung hai cung bằng nhau IA=IB) hay EDF=ECF

hai điểm D và C cùng làm với hai đầu đoạn EF…EDCF nội tiếp

 EFD=ECD(cùng chắn cung ED),mà ECD=IMN(cmt) EFD=FMN EF//AB

1 C/m AECF nội tiếp

2 C/m: AF2=KF.CF

3 C/m:EGFK là hình thoi

4 Cmr:khi E di động trên BC thì EK=BE+DK và chu vi CKE có giá trị không đổi

5 Gọi giao điểm của EF với AD là J.C/m:GJJK

3/C/m: EGFK là hình thoi -Do AK là đường trung trực của FEGFE cân ở G

GFE=GEF.Mà GE//CF (cùng vuông góc với AD)GEF=EFK(so le) GFI=IFKFI là đường trung trực của GKGI=IK,mà I F=IEGFKE là hình thoi

4/C/m EK=BE+DK: vuông ADF và ABE có AD=AB;AF=AE.(AE F vuông cân)ADF=ABE BE=DF nà FD+DK=FK VÀ FK=KE(t/v hình thoi)KE=BE+DK

C/m chu vi tam giác CKE không đổi:Gọi chu vi là C= KC+EC+KE =KC+EC+BE +DK

=(KC+DK)+(BE+EC)=2BC không đổi

Do AECF nội tiếp

DCA=FEA(cung chắn cung AF).Mà DCA=45o

FA

Hình 29

Cho ABC.Gói H laø tröïc tađm cụa tam giaùc.Döïng hình bình haønh BHCD Gói I

laø giao ñieơm cụa HD vaø BC

1 C/m:ABDC noôi tieâp trong ñöôøng troøn tađm O;neđu caùh döïng tađm O

2 So saùnh BAH vaø OAC

3 CH caĩt OD tái E.C/m AB.AE=AH.AC

4.Gói giao ñieơm cụa AI vaø OH laø G.C/m G laø tróng tađm cụa ABC

Vaø BHACCDAC hay ACD=1v,maø A;D;Cỉ naỉm tređn ñöôøng troønAD laø

ñöôøng kính.Vaôy O laø trung ñieơm AD

2/So saùnh BAH vaø OAC:

BAN=QCB(cuøng phú vôùi ABC) maø CH//BD( do BHCD laø hình bình haønh)

QCB=CBD(so le);CBD=DAC(cuøng chaĩn cung CD)BAH=OAC

1/c/m:ABDC noôi tieâp:

Gói caùc ñöôøng cao cụa

ABC laø AN;BM;CN

Do AQH+HMA=2vAQHM noôi tieâpBAC+QHM=2v maø QHM=BHC(ñ ñ) BHC=CDB(2 goùc ñoâi cụa hình bình haønh)

BAC+CDB=2VABDC noôi tieâp

Caùch xaùc ñònh tađm O:do CD//BH(t/c hình bình haønh) Hình 30

AN gaịp nhau ôû D

1 C/m:B;K;C;J cuøng naỉm tređn moôt ñöôøng troøn

2 c/m: BI.KC=HI.KB

3 C/m:MN laø ñöôøng kính cụa (O)

4 C/m ACBD laø hình bình haønh

1/C/m B;K;C;J cuøng naỉm tređn moôt ñöôøng troøn

-Söû dúng toơng hai goùc ñoẫi -Söû dúng hai goùc cuøng laøm vôùi hai ñaău ñoán thaúng moôt goùc vuođng

2/C/m: BI.KC=HI.KB

Xeùt hai tam giaùc vuođng BIH vaø BKC coù IBH=KBC(ñ ñ)

ñpcm 3/ C/m MN laø ñöôøng kính cụa (O)

Do cung AB=90o.ACB=ANB=45o

KBC;AKN laø nhöõng Hình 31

 O

SđABM=

2

1 sđAM và cung MA+AM=AB=90o.AMD=45o và AMD=BMH(đ đ)

BMI=45oBIM vuông cânMBI=45oMBH=MBI+IBH=90o hay MBN=1vMN

là đường kính của (O)

5/C/m OH//DH

Do MN là đường kính MAN=1v(góc nt chắn nửa đtròn) mà CAN =45o

MAC=45o hay cung MC=90oMNC=45o.Góc ở tâm MOC chắn cung

Cho hình vuông ABCD.Gọi N là một điểm bất kỳ trên CD sao cho CN<ND;Vẽ

đường tròn tâm O đườn kính BN.(O) cắt AC tại F;BF cắt AD tại M;BN cắt AC tại

E

1 C/m BFN vuông cân

2 C/m:MEBA nội tiếp

3 Gọi giao điểm của ME và NF là Q.MN cắt (O) ở P.C/m B;Q;P thẳng

hàng

4 Chứng tỏ ME//PC và BP=BC

5 C/m FPE là tam giác vuông

FME=45o và MAC=45o(tính chất hình vuông)FME=MAC=45o

MABE nội tiếp

3/C/m B;Q;P thẳng hàng:

Do MABE ntMAB+NEB=2v;mà MAB=1v(t/c hình vuông)MEB=1v hay

MEBN.Theo cmt NFBMQ là trực tâm của BMNBQMN(1)

Ta lại có BPN=1v(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay BPMN(2)

1/c/m:BFN vuông cân:

ANB=FCB(cùng chắn cung FB).Mà FCB=45o(tính chất hình vuông)

ANB=45oMà NFB=1v(góc nt chắn nửa đường tròn)

BFN vuông cân ở F 2/C/m MEBA Nội tiếp:

DoFBN vuông cân ở F Hình 32

Do FPNB nội tiếpFPB=FNB=45o(cmt)

Dễ dàng cm được QENP nội tiếpQPE=QNE=45ođpcm



Bài 33:

Trên đường tròn tâm O lần lượt lấy bốn điểm A;B;C;D sao cho AB=DB.AB và

CD cắt nhau ở E.BC cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn(O) ở Q;DB cắt AC tại K

1 Cm: CB là phân giác của góc ACE

2 c/m:AQEC nội tiếp

A C

O D

QAB=ADB=BCE(cmt) QAE=QCDhai điểm A và C cùng làm với hai đầu đoạn QE…đpcm

3/C/m: KA.KC=KB.KD

1/C/m CB là phân giác của góc ACE:

Do ABCD nội tiếp BCD+BAD=2v Mà BCE+BCD=2VBCE=BAD

Do AB=AC(gt)BAD cân ở BBAD=BDA.ta lại có BDA=BCA (Cùng chắn cung AB)BCE=BCA

1 C/m:D nằm trên đường thẳng BF

2 C/m ADCF nội tiếp

Do ADCF ntDAC=DFC(cùng chắn cung CD).Mà ADCE là hình bình hành

DAC=ACE(so le),ta lại có CFD=NME(cùng chắn cung EN)ACM=CMN

JF

 MaØ AB=AC(gt)JI=NJ

1/C/m:D nằm trên đường thẳng

BF

Do ADCE là hình bình hànhDE và AC là hai đường chéo.Do B là trung điểm của

AC B cũng là trung điểm DE hay DBE thẳng hàng.Mà B;E;F thẳng hàng D nằm trên BF

2/C/m ADCF nội tiếp:

Do ADCf là hình bình hành

BC

NJ AB

JI 

1 C/m:ACBD là hình vuông

2 AM cắt CD ;CB lần lượt ở P và I.Gọi J là giao điểm của DM và AB.C/m IB.IC=IA.IM

3 Chứng tỏ IJ//PD và IJ là phân giác của góc CJM

4 Tính diện tích AID theo R

C

M

A O

D

IMJ=IBJ=45oM và B cùng làm với hai đầu đoạn IJ…MBIJ nội tiếp

IJB+IMB=2v mà IMB=1v IJB =1v hay IJAB.Mà PDAB(gt) IJ//PD

 C/m IJ là phân giác của góc CMJ:

-Vi IJAB hay AJI=1v và ACI=1v(t/c hình vuông)ACIJ nội tiếp

 IJC=IAC(cùng chắn cung CI) mà IAC=IBM(cùng chắn cungCM) -Vì MBJI nội tiếp MBI=MJI(cùng chắn cung IM)

 IJC= IJMđpcm 4/Tính diện tích AID theo R:

Do CB//AD(tính chất hình vuông) có ICB khoảng cách từ đến AD chính bằng CA.Ta lại có IAD và CAD chung đáy và đường cao bằng nhau

SIAD=SCAD.Mà SACD=

1/C/m:ACBD là hình vuông:

Vì O là trung điểm của AB;CD nên ACBD là hình bình hành

Mà AC=BD(đường kính) và ACDB (gt)hình bình hành ACBD là hình vuông

2/C/m: IB.IC=IA.IM Xét 2 IAC và IBM có CIA=MIB(đ đ) IAC=IBM(cùng chắn cung CM)

4 C/m:Các tứ giác BMHO;HO’NC nội tiếp

5 C/m AMN vuông cân

A

M O O’ N

B H C

Phân giác của hai góc trênOBH=O’AH và OHB=O’HA=45o

HBO∽HAO’ (1)

' H O

OH HA

HB 

HB

HO HA

HO' (Tính chất tỉ lệ thức).Các cặp cạnh HO và HO’ của HOO’tỉ lệ với các cặp cạnh của HBA và góc xen giữa BHA=O’HO=1v

Tương tự AHO’=O’HC=45o

O’HO=45o+45o=90o hay O’HO vuông ở H

2/C/m: HB.HO’=HA.HO

Do ABC vuông ở A và AHBCABH=CAH(cùng phụ với góc C) mà OB;O’A lần lượt là

1 C/m:AIMD nội tiếp

5/Tính CD theo R:

Do KI là trung trực của AOAKO cân ở KKA=KO mà KO=AO(bán kính)

AKO là  đềuKI=

23

R CI=KC=

2

KI=43

R Aùp dụng PiTaGo trong tam giác vuông ACI có:CA=

4

7416

CA

AC AI

4

7:2

R R

Hình 37

1/C/m AIMD nội tiếp:

Sử dụng hai điểm I;M cùng làm với hai đầu đoạn AD… 2/c/m: CM.CA=CI.CD

C/m hai CMD và CAI đồng dạng

3/C/m CD=NC:

sđNAM=

2

1sđ cung AM (góc giữa tt và một dây) sđMAB=

2

1 sđ cung AM

NAM=MAB

9R áp dụng hệ thức câu 2CD=

43



Bài 38:

Cho ABC.Gọi P là một điểm nằm trong tam giác sao cho góc

PBA=PAC.Gọi H và K lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ P xuống

AB;AC

1 C/m AHPK nội tiếp

2 C/m HB.KP=HP.KC

3 Gọi D;E;F lần lượt là trung điểm của PB;PC;BC.Cmr:HD=EF; DF=EK

4 C/m:đường trung trực của HK đi qua F

4/C/m đường trung trực của HK đi qua F

Ta phải C/m EF là đường trung trực của HK.Hay cần c/m FK=FH

Do HD=DP+DBHDP=2ABP(góc ngoài tam giác cân ABP)

Tương tự KEP=2ACP

Mà ABP=ACD(gt)

Do PEFD là hình bình hành(cmt)PDF=PEF(2)

Từ (1) và (2)HDF=KEF mà HD=FE;KE=DFDHF∽EFK(cgc)FK=FH

3/C/m HD=FE:

Do FE//DO và DF//EP (FE và

FD là đường trung bình của

PBC)DPEF là hình bình hành.DP=FE.Do D là trung điểm của BPDH là trung

2/C/m: CF2=EF.GF: Xét 2 ECF và CGF có:

-Do DE FC ntFCE=FDE(cùng chắn cung FE);FDE=FBC(so le).Do GBCF nt (tự c/m)FBC=FGC(cùng chắn cung FC)FGC=FCE

-Do GBCF ntGBF=GCF(cùng chắn cùngG) mà GBF=FDC(so le).DoDEFC nội tiếp FDC=FCE(cùng chắn cùngC)FCG=FECECF∽CGFđpcm 3/C/m Oi đi qua trung điểm AG.Gọi giao điểm của đường tròn tâm O đường kính

AC là J Do AG//CJ và CGAGAGCJ là hình chữ nhật AG=CJ Vì OICJ nên

I là trung điểm CJ(đường kính  với 1 dây…)đpcm

Hình 39

4/C/m EOFG nội tiếp:Do CEA=AGC=1vAGCE nt trong (O)AOG=2GCE

(góc nt bằng nửa góc ở tâm cùng chắn 1 cung;Và EAG+GCE=2v(2góc đối của tứ

giác nt).Mà ADG+ADC=2v(2góc đối của hbh)EOG=2.ADC(1)

Do DEFC ntEFD=ECD(cùng chắn cungDE);ECD=90o-EDC(2 góc nhọn của 

vuông EDC)();Do GBCF ntGFB=GBC(cùng chắn cung GB);BCG=90o

-GBC().Từ ()và()EFD+GFB=90o-EDC+90o-GBC=180o-2ADC mà

EFG=180o-(EFD+GFB)=180o-180o+2ADC=2ADC(2)

4 C/m A là tâm đường tròn nội tiếp BDE

5 Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O);(O’)

D E

 DAC ∽ø EAFđpcm

4/C/m A là tâm đường tròn ngoại tiếp BDE.Ta phải c/m A là giao điểm 3 đường phân giác của DBE (Xem cách c/m bài 35 câu 3)

5/Để DE là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn cần điều kiện là:

Nếu DE là tiếp tuyến chung thì ODDE và O’EDE.Vì OA=OD AOD cân ở OODA=OAD.Tương tự O’AE cân ở O’O’AE=O’EA.Mà O’AE=OAD(đ đ)

ODO’=OEO’D và E cùng làm với hai đầu đoạn thẳngOO’ những góc bằng nhauODEO’ nt ODE+EO’O=2v.Vì DE là tt của (O) và

(O’)ODE=O’ED=1vEO’O=1vODEO’ là hình chữ nhật

DA=AO’=OA=AE(t/c hcn) hay OA=O’A

Vậy để DE là tt chung của hai đường tròn thì hai đường tròn có bán kính bằng nhau.(hai đường tròn bằng nhau)

Hình 40



Bài 41:

Cho (O;R).Một cát tuyến xy cắt (O) ở E và F.Trên xy lấy điểm A nằm ngoài

đoạn EF,vẽ 2 tiếp tuyến AB và AC với (O).Gọi H là trung điểm EF

1 Chứng tỏ 5 điểm:A;B;C;O;H cùng nằm trên một đường tròn

2 Đường thẳng BC cắt OA ở I và cắt đường thẳng OH ở K.C/m:

OI.OA=OH.OK=R2

3 Khi A di động trên xy thì I di động trên đường nào?

4 C/m KE và KF là hai tiếp tyuến của (O)

Do ABO vuông ở B có BI là đường cao.Aùp dung hệ thức lượng trong tam giác

vuông ta có:OB2=OI.OA ;mà OB=R.OI.OA=R2.(1)

Xét hai  vuông OHA và OIK có IOH chung.AHO∽KIO

OI

OH OK

Ta có ABO=ACO(tính chất tiếp tuyến).Vì H l;à trung điểm dây

FE nên OHFE (đường kính đi qua trung điểm 1 dây) hay kính

AO

-Xét hai EKO và EHO.Do OH.OK=R2=OE2

OK

OE OE

OH

 và EOH chung

EOK∽HOE(cgc)OEK=OHE mà OHE=1vOEK=1v hay OEEK tại điểm E nằm trên (O)EK là tt của (O)

-c/m 

Bài 42:

Cho ABC (AB<AC) có hai đường phân giác CM,BN cắt nhau ở D.Qua A kẻ

AE và AF lần lượt vuông góc với BN và CM.Các đường thẳng AE và AF cắt BC ở I;K

1 C/m AFDE nội tiếp

2 C/m: AB.NC=BN.AB

3 C/m FE//BC

4 Chứng tỏ ADIC nội tiếp

Chú ý bài toán vẫn đúng khi AB>AC

BD

Hình 42

Từ (1) và (2) 

AN

AB CN

BC

 đpcm 3/c/M fe//bc:

Do BE là phân giác của ABI và BEAIBE là đường trung trực của AI.Tương tự

CF là phân giác của ACK và CFAKCF là đường trung trực của AK E là F

lần lượt là trung điểm của AI và AK FE là đường trung bình của AKIFE//KI

Cho ABC(A=1v);AB=15;AC=20(cùng đơn vị đo độ dài).Dựng đường tròn tâm

O đường kính AB và (O’) đường kính AC.Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại

điểm thứ hai D

1 Chứng tỏ D nằm trên BC

2 Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ DC.AM cắt DC ở E và cắt (O) ở N

C/m DE.AC=AE.MC

3 C/m AN=NE và O;N;O’ thẳng hàng

4 Gọi I là trung điểm MN.C/m góc OIO’=90o

5 Tính diện tích tam giác AMC

A

O N O’

B D E C

M

-Tính DB: Theo PiTaGo trong  vuông ABC có: BC= AC2AB2  152202 25.Aùp

dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có: AD.BC=AB.AC  AD=20.15:25=12

DAI=DCIADIC nội tiếp

1/Chứng tỏ:D nằm trên đường thẳng BC:Do

ADB=1v;ADC=1v(góc nt chắn nửa đường tròn)

ADB+ADC=2v

D;B;C thẳng hàng

DE MA

1 (MC+AD) mà cung MC=DM  cung MC+AD=AM

 AED =BAC  BAE cân ở B mà BM  AE  NA=NE

C/m O;N;O’ thẳng hàng:ON là đường TB của  ABE  ON//BE và OO’//BE

 O;N;O’ thẳng hàng

4/Do OO’//BC và cung MC=MD  O’M  BC  O’M  OO’  NO’M vuông ở O’ có O’I là trung tuyến  INO’ cân ở I  IO’M=INO’ mà INO’=ONA(đ đ);  OAN cân ở

O  ONA=OAN  OAI=IO’O  OAO’I nt  OAO’+OIO’=2v mà OAO’=1v  OIO’=1v

5/ Tính diện tích  AMC.Ta có S AMC =

3 Tính các cạnh và các đường chéo của ABCD

4 Gọi M;N là trung điểm các cạnh DC và AB.Trên DA kéo dài về phía A lấy điểm P;PN cắt DB tại Q.C/m MN là phân giác của góc PMQ

P

A J N K B

Q

I O

AD=90 o  ACD=45 o

 BAC=ACD=45 o  AB//CD

Vì cung DAB=150 o Cung ABC

=150 o  BCD=CDA  ABCD là thang cân

Do cung BC=90 o  BOC=90 o   BOC vuông cân ở O  BC=AD=R 2Do cung CD=120 o

 DOC=120 o Kẻ OK  CD  DOK=60o  sin 60 o =

OD

DK

 DK=

23

R Tương tự IC=

26

R ; AC =

DB=IA+IC =

22)31(2

62

Cho  đều ABC có cạnh bằng a.Gọi D là giao điểm hai đường phân giác góc A

và góc B của tam giấcBC.Từ D dựng tia Dx vuông góc với DB.Trên Dx lấy điểm

E sao cho ED=DB(D và E nằm hai phía của đường thẳng AB).Từ E kẻ EFBC

Gọi O là trung điểm EB

1 C/m AEBC và EDFB nội tiếp,xác định tâm và bán kính của các đường

tròn ngoại tiếp các tứ giác trên theo a

2 Kéo dài FE về phía F,cắt (D) tại M.EC cắt (O) ở N.C/m EBMC là thang

cân.Tính diện tích

3 c/m EC là phân giác của góc DAC

4 C/m FD là đường trung trực của MB

5 Chứng tỏ A;D;N thẳng hàng

6 Tính diện tích phần mặt trăng được tạo bởi cung nhỏ EB của hai đường

tròn

Hình 44

ME

JN DE

AN



DE

NB ME

NI



Vì NB=NA 

ME

NI ME

n Sin

AB

60sin2180

a )2

EB=

36

a OE=

66

a

2/C/m EBMC là thang cân:

Góc EDB=90o là góc ở tâm (D) chắn cung EBCung EB=90ogóc ECN=45o.EFC vuông cân ở FFEC=45oMBC=45o(=MEC=45o)

EFC=CBM=45oBM//EC.Ta có FBM vuông cân ở FBC=EM EBMC là thang cân

Do EBMC là thang cân có hai đường chéo vuông gócSEBMC=

2

1BC.EM (BC=EM=a)SEBMC=

2

1a2 3/C/m EC là phân giác của góc DCA:

Ta có ACB=60o;ECB=45oACE=15o

Do BD;DC là phân giác của đều ABC DCB=ACD=30o và ECA=15o

ECD=15o ECA=ECDEC là phân giác của góc ECA