PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

A. TỌA ĐỘ ĐIỂM VECTƠI. Hệ trục toạ độ ĐỀCÁC trong mặt phẳng : xOx : trục hoành yOy : trục tung O : gốc toạ độ i j , : véc tơ đơn vị (      i j i j 1 vaø )Quy ước : Mặt phẳng mà trên đó có chọn hệ trục toạ độ ĐềCác vuông góc Oxy được gọi là mặt phẳng Oxy và ký hiệu là : mp(Oxy)II. Toạ độ của một điểm và của một véc tơ:1. Định nghĩa 1: Cho M mp Oxy  ( ). Khi đó véc tơ OM được biểu diển một cách duy nhất theo i j , bởi hệ thức có dạng :     OM xi y j vôùi x,y  . Cặp số (x;y) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của điểm M.Ký hiệu: M(x;y) ( x: hoành độ của điểm M; y: tung độ của điểm M )      ( ; )ñ nM x y OM xi y j Ý nghĩa hình học: x OP  vaø y=OQ2. Định nghĩa 2: Cho a mp Oxy  ( ). Khi đó véc tơ a được biểu diển một cách duy nhất theo i j , bởi hệ thức có dạng :     a a i a j 1 2 1 2 vôùi a ,a  . Cặp số (a1;a2) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của véc tơ a . Ký hiệu: 1 2 a a a  ( ; )       1 2 1 2 =(a ;a )ñ na a a i a j Ý nghĩa hình học: 1 1 1 2 2 2 a A

Chủ đề 9: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

A TỌA ĐỘ ĐIỂM - VECTƠ

i j : véc tơ đơn vị (   

1 và

i j i j )

Quy ước : Mặt phẳng mà trên đĩ cĩ chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuơng gĩc Oxy được gọi là mặt phẳng

Oxy và ký hiệu là : mp(Oxy)

II Toạ độ của một điểm và của một véc tơ:

1 Định nghĩa 1: Cho Mmp Oxy( ) Khi đĩ véc tơ OM

được biểu diển một cách duy nhất theo

 ,

i j bởi hệ thức cĩ dạng :   

  

 với x,y

Cặp số (x;y) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của điểm M

Ký hiệu: M(x;y) ( x: hồnh độ của điểm M; y: tung độ của điểm M )

  

  /

P

x y

P

x

y

x y

III Các cơng thức và định lý về toạ độ điểm và toạ độ véc tơ :

 Định lý về sự cùng phương của hai véc tơ:

 Định lý 3 : Cho hai véc tơ và với a b b  0

a cùng phương b   !k sao cho ak b.

 Nếu a  0

thì số k trong trường hợp này được xác định như sau:

 Định lý 5: Cho hai véc tơ a( ;a a1 2) và b( ;b b1 2)

ta cĩ :

a cùng phương b  a 1b2a b2 10

(Điều kiện cùng phương của 2 véc tơ)

A B

)

;(x B y B B

V Tích vơ hướng của hai véc tơ:

(Cơng thức tính tích vơ hướng theo tọa độ)

 Định lý 7: Cho hai véc tơ a( ;a a1 2)

ta cĩ :

a  a12a22

(Cơng thức tính độ dài véc tơ )

 Định lý 8: Nếu A x y( A; A) và B(x ;B y B) thì

AB (x Bx A)2(y By A)2 (Cơng thức tính khoảng cách 2 điểm)

 Định lý 9: Cho hai véc tơ a( ;a a1 2) và b( ;b b1 2)

ta cĩ

ab  a1 1b a b2 2 0

(Điều kiện vuơng gĩc của 2 véc tơ)

 Định lý 10: Cho hai véc tơ a( ;a a1 2) và b( ;b b1 2)

ta cĩ

.cos( , )

VI Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k:

Định nghĩa: Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k ( k  1 ) nếu như : MAk MB.

A M B

  

 Định lý 11 : Nếu A x y( A; A) , B(x ;B y B) và MAk MB.

( k  1 ) thì

1

M

x k x x

Đặc biệt : M là trung điểm của AB  2

y y y

1

C B A G

C B A

y y y y

x x x

GC GB

G

x GA

ABCgiáctamtâm

'

là chân đường cao kẻ từ A

cùng phương

AA BC A

H A

B

A

C D

J

B

A

C D

)(

n

a

II Phương trình đường thẳng :

1 Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng :

a Định lý : Trong mặt phẳng (Oxy) Đường thẳng (  ) qua M0(x0;y0) và nhận a( ;a a1 2)



làm VTCP sẽ có :

2 Phương trình tổng quát của đường thẳng :

a Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M 0 (x 0 ;y 0 ) và có VTPT n( ; )A B



là:

( ) : ( A x x 0)B y y(  0) 0 (A2B20)

b Phương trình tổng quát của đường thẳng :

Định lý :Trong mặt phẳng (Oxy) Phương trình đường thẳng (  ) có dạng :

Điều kiện cần và đủ để một điểm nằm trên đường thẳng là tọa độ điểm đó

)

; ( 0 0

0 x y M

)

; (x y M

a

x y

O

)

; ( 0 0

0 x y M

)

; (x y M

n

x y

O

)

; ( 0 0

0 x y M

)

; (A B

n 

x y

O

)

; ( B A

a  

)

; (B A

a  

3 Các dạng khác của phương trình đường thẳng :

a Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(x A ;y A ) và B(x B ;y B ) :

b Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn:

Định lý: Trong mp(Oxy) phương trình đường thẳng (  ) cắt trục hồnh tại điểm A(a;0) và trục tung tại

điểm B(0;b) với a, b0 cĩ dạng: x y 1

ab 

c Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M 0 (x 0 ;y 0 ) và cĩ hệ số gĩc k:

Định nghĩa: Trong mp(Oxy) cho đường thẳng  Gọi  (Ox, ) thì ktg được gọi là hệ số gĩc

của đường thẳng 

Định lý 1: Phương trình đường thẳng  qua M x y0( ;0 0) cĩ hệ số gĩc k là :

y - y = k(x - x ) (1) 0 0

Chú ý 1: Phương trình (1) khơng cĩ chứa phương trình của đường thẳng đi qua M0 và vuơng gĩc

Ox nên khi sử dụng ta cần để ý xét thêm đường thẳng đi qua M0 và vuơng gĩc Ox là

x = x 0

Chú ý 2: Nếu đường thẳng  cĩ phương trình yax b thì hệ số gĩc của đường thẳng là k  a

Định lý 2: Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số gĩc của hai đường thẳng   ta cĩ : 1, 2

 1//2  k1k2

   1 2  k 1k2 1

c Phương trình đt đi qua một điểm và song song hoặc vuơng gĩc với một đt cho trước:

i Phương trinh đường thẳng (1) //( ): Ax+By+C=0 có dạng: Ax+By+m =0  1

ii Phương trinh đường thẳng (1)  ( ): Ax+By+C=0 có dạng: Bx-Ay+m =0 2

x y

)

; (x B y B B

A

x x B A

y

B y

x

y

)

; (x A y A

A B(x B;y B)

A

y y B

x y

)

; (x y M x y

0

y

Chú ý: m m được xác định bởi một điểm có tọa độ đã biết nằm trên 1; 2   1; 2

III Vị trí tương đối của hai đường thẳng :

i ii iii

AA ( ) // ( )

AA ( ) ( )

A

B i

IV Góc giữa hai đường thẳng

1.Định nghĩa: Hai đường thẳng a, b cắt nhau tạo thành 4 góc Số đo nhỏ nhất trong các số đo

của bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng a và b (hay góc hợp bởi hai

đường thẳng a và b) Góc giữa hai đường thẳng a và b đước kí hiệu là a, b

Khi a và b song song hoặc trùng nhau, ta nói rằng góc của chúng bằng 00

2 Công thức tính góc giữa hai đường thẳng theo VTCP và VTPT

a) Nếu hai đường thẳng có VTCP lần lượt là u

v v thì

V Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng :

Định lý 1: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng ( ) : Ax By C  0 và điểm M x y0( ;0 0)

Khoảng cách từ M0 đến đường thẳng ( ) được tính bởi công thức:

O

) (

0

M

H

là phương trình của đường tròn (C) có tâm I(a;b), bán kính R a2b2 c

II Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:

Định lý : Trong mp(Oxy) Phương trình tiếp tuyến với đường tròn

( ) :C x2y22ax2by c 0tại điểmM x y( ;0 0) ( ) C là :

( ) : x x y y a x0  0  ( x0)b y y(  0) c 0

VI Các vấn đề có liên quan:

1 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn:

Định lý:

O

)

; (a b I R a

b

)

; (x y M

(C) I(a;b)

)(

)

;( 0 0

0 x y M

)

(C

I

R M H

I R H

2 Vị trí tương đối của hai đường trịn :

( ) và (C ) tiếp xúc trong

Lưu ý: Cho đường trịn ( ) :C x2y22ax2by c 0

+ Trừ vế với vế hai phương trình (1) và (2) để được phương trình 1 ẩn Từ phương trình 1 ẩn tìm được rút x hoặc

y và thay vào (1) hoặc (2) để tiếp tục được phương trình 1 ẩn Giải phương trình nầy ta sẽ được kết quả cần tìm

D RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TỐN

I CÁC BÀI TỐN CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

Bài 1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng   :x2y  và hai điểm 3 0 A  1;1 ,B 1; 2 1) Viết phương trình đường thẳng  d đi qua 1 A và song song với đường thẳng  

2) Viết phương trình đường thẳng  d2 đi qua B và vuơng gĩc với đường thẳng  

3) Viết phương trình đường thẳng AB

Bài 2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cĩ 3; 0

x  y , điểm M   1; 1 là trung điểm của đoạn AD Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD ,

biết đường thẳng AB đi qua điểm E  1;1

Bài 4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC Điểm M2; 0 là trung điểm của AB Đường

trung tuyến và đường cao kẻ từ A lần lượt có phương trình 7x2y 3 0 và 6x  y 4 0 Viết phương trình

đường thẳng AC

Bài 5 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang vuông ABCD có   0

90

B C Phương trình các

đường thẳng AC và DC lần lượt là x2y0 và x  y 3 0 Xác định tọa độ các đỉnh của hình thang

ABCD , biết trung điểm cạnh AD là 3; 3

2) Tìm tọa độ điểm F sao cho ACCF

Bài 7 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A  1;1 và đường thẳng   :x2y  Tìm tọa độ điểm M trên 6 0đường thẳng   sao cho AM  5

Bài 8 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A 1; 2 và đường thẳng   :x2y  Tìm tọa độ điểm M trên 1 0đường thẳng   sao cho AM 2 2

Bài 9 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết A  1; 2 ;B 2; 1 Tìm tọa độ điểm I thỏa mãn  IA  và 4

Bài 12 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A5; 4 và đường thẳng    : 3x   y 4 0

Tìm tọa độ điểm A đối xứng với điểm A qua đường thẳng '  

Bài 13 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A2; 0 ,  B 1;1 và đường thẳng   :x3y  3 0

1) Viết phương trình đường thẳng  d đi qua A1 và tạo với   một góc 450

2) Viết phương trình đường thẳng  d2 đi qua A và cách B một khoảng bằng 2 2

II CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ HÌNH HỌC PHẲNG

Bài 1 Cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm của BC , N là điểm trên cạnh AC sao cho 1

4

AN AC

Chứng minh rằng tam giác DMN vuông tại N

Gợi ý chứng minh

Lấy điểm phụ F là trung điểm của DI sẽ giúp tìm ra lời giải bài toán

Bài 2 Cho hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm của BC , N là điểm trên CD sao cho CN2ND Chứng minh MAN 450

Gợi ý chứng minh

Cách 1: Chứng minh ADN ∽ AHM,từ đó sẽ suy ra được đpcm

Cách 2: Tính độ dài ba cạnh của tam giác AMN theo a (cạnh hình vuông)

Áp dụng định lý Côsin vào tam giác AMN sẽ được đpcm

Bài 3 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên đường chéo AC Các điểm M K ,

lần lượt là trung điểm của AH và DC Chứng minh rằng BMKM

Gợi ý chứng minh

Lấy điểm phụ E là trung điểm của BH sẽ giúp tìm ra lời giải bài toán

Bài 4 Cho tam giác ABC cân tại A Gọi D là điểm trên cạnh AB sao cho AB3AD và H là hình chiếu vuông góc của B trên CD , M là trung điểm của HC Chứng minh rằng AMBM

Gợi ý chứng minh

Gọi N I là giao điểm của đường thẳng qua B vuông góc với BC với các đường thẳng , CD CA ,

Chứng minh tứ giác NAME là hình bình hành và E là trực tâm tam giác NBM sẽ suy ra được đpcm

Bài 5 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M là điểm đối xứng của B qua C , N là hình chiếu vuông góc của B

trên đường thẳng MD Chứng minh rằng AN CN

Gợi ý chứng minh

Tứ giác BCND và tứ giác ABCN nội tiếp sẽ giúp ta tìm ra lời giải bài toán

Bài 6 Cho tam giác ABC cân tại A , D là trung điểm đoạn AB , I E lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam

giác ABC , trọng tâm tam giác ADC và G là giao điểm của AI và CD Chứng minh rằng DGIE

Gợi ý chứng minh

Chứng minh G là trực tâm tam giác DEI

Bài 7 Cho hình vuông ABCD Gọi M N lần lượt là trung điểm của các cạnh , AB BC Gọi I là giao điểm của ,

CM và DN Chứng minh rằng AI AD

Gợi ý chứng minh

Lấy điểm phụ P là trung điểm của DC sẽ giúp tìm ra lời giải bài toán

Bài 8 Cho hình thang vuông ABCD AD900 và DC2AB , H là hình chiếu của D trên đường chéo

AC , M là trung điểm của đoạn thẳng HC Chứng minh rằng BM MD

Gợi ý chứng minh

Lấy điểm phụ E là trung điểm của DH sẽ giúp tìm ra lời giải bài toán

Bài 9 Cho hình thang vuông ABCD   0

90

AB và BC 2AD , H là hình chiếu vuông góc của điểm B trên cạnh CD , M là trung điểm của đoạn thẳng BC Chứng minh rằng AHMH

Gợi ý chứng minh

Tứ giác BDHM và tứ giác AHMD nội tiếp sẽ giúp ta tìm ra lời giải bài toán

Bài 10: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O R , phân giác trong của góc A cắt BC,  tại D , tiếp tuyến tạI

A với đường tròn cắt BC tại E Chứng minh tam giác ADE cân tại E

Bài 11: Cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho

3

AN  NC Tính độ dài đoạn IN biết rằng MN  10

Bài 12: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O R, , H là trực tâm tam giác, AH cắt BC tại K và cắt

đường tròn tại D Chứng minh K là trung điểm của HD

Bài 13: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O R , ,  M N là chân các đường cao kẻ từ đỉnh B và C ,Gọi I J lần lượt là giao điểm của , BM CN với đường tròn Chứng minh AO, IJ

Bài 14: Cho hình vuông ABCD M là một điểm tùy ý trên đường thẳng BD MB M, D, H K lần lượt là ,

hình chiếu vuông góc của M trên các đường thẳng AB AD Chứng minh rằng CM, HK

Bài 15: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O R, , K là tâm đường tròn nội tiếp tam giác, AK cắt đường

III CÁC BÀI TOÁN THI CĐ - TSĐH NĂM 2014

Bài 1 (CĐ)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy, cho điểm A ( 2;5) và đường thẳng ( ) : 3d x4y 1 0 Viết phương trình

đường thẳng đi qua A và vuông góc với ( )d Tìm tọa độ điểm M thuộc ( )d sao cho AM 5

Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy , cho hình bình hành ABCD Điểm M ( 3; 0) là trung điểm của cạnh AB ,

điểm H(0; 1) l hình chiếu vuông góc của B trên AD và điểm 4;3

3

G 

  là trọng tâm tam giác BCD Tìm tọa độ

các điểm B và D

Bài 4 (ĐH-K.A)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy , cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm của đoạn AB và N là

điểm thuộc đoạn AC sao cho AN 3NC Viết phương trình đường thẳng CD , biết rằng M(1; 2) và N(2; 1)

Đáp án

VI CÁC DẠNG TOÁN THI

Dạng 1: Tìm tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài toán tổng quát: Tìm điểm M  :axby  thỏa điều kiện cho trước c 0

+ Quan hệ song song, vuông góc

+ Tính chất của điểm và đường đặc biệt trong tam giác

+ Tam giác đồng dạng

+ Ba điểm thẳng hàng, hai vectơ cùng phương

Chuyển tính chất hình học sang phương trình với ẩn m Giải phương trình tìm mM

Phương pháp 2

B1 Xem điểm M là giao điểm của hai đường (đường thẳng, đường tròn)

B2 Lập phương trình các đường Giải hệ tìm M

Ví dụ 1 Cho điểm A1;3 và đường thẳng  có phương trình x2y 2 0 Dựng hình vuông ABCD sao cho

hai đỉnh B, C nằm trên  và các tọa độ đỉnh C đều dương Tìm tọa độ các đỉnh B, C, D

Giải hệ này ta được:  0

 (loại) Suy ra: C 2; 2 

Vì I là trung điểm của BD nên:  B I D  

 Vậy tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật là A 2;1 , B 5; 4 , C 7; 2 , D 4; 1        .

Ví dụ 4 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A 2; 4 , B 0; 2      và trọng tâm G thuộc đường thẳng 3x  y 1 0 Hãy tìm tọa độ của C biết rằng tam giác ABC có diện tích bằng 3

b2

AMB60

Bài giải

 (C) có tâm I1; 2 và bán kính R 5

AMB 60 AMI AMB 30

 Vậy có hai điểm cần tìm là M13; 2 và M23; 4.

Ví dụ 6 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A 0; 2  và đường thẳng  d : x2y  Tìm trên đường thẳng (d) 2 0hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB2BC

Bài giải

 Từ yêu cầu của bài toán ta suy ra B là hình chiếu vuông góc của A trên (d)

 Phương trình đường thẳng   qua A và vuông góc với (d) là: 2x y m0

t5

Ví dụ 7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng

d x  y và A  4;8 Gọi M là điểm đối xứng của B qua C , N là hình chiếu vuông góc của B trên

đường thẳng MD Tìm tọa độ điểm B và C , biết rằng N5; 4 

 Do M đối xứng với B qua C nên CM CB Mà CBAD và CM ||AD nên tứ giác ACMD là hình bình

hành Suy ra AC DM|| Theo giả thiết, BNDM , suy ra BN AC và CBCN Vậy B là điểm đối xứng

Ví dụ 8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau

và AD3BC Đường thẳng BD có phương trình x2y 6 0 và tam giác ABD có trực tâm là H  3; 2

Tìm tọa độ các đỉnh C và D

Bài giải

 Gọi I là giao điểm của AC và BD IBIC Mà IBIC nên IBC vuông cân tại IICB450

BH ADBH BC HBC vuông cân tại B  I là trung điểm của đoạn thẳng HC

 Do CH BD và trung điểm I của CH thuộc BD nên tọa độ điểm C thỏa mãn hệ