Hàm phức 4

Hàm phức toán tử

Chương lH : Tích phân hàm biến phức

Tích phân đường loại 2

2)Tính chất :

e | |ƒ(z)& |<Mf.L trong đó

C

M =Max |f(z)|, L la dé daicta C

zZEC

3)Cách tính tích phân hàm biến phức :

Ví dụ: [zzđz với C là nửa trên đường tròn đơn

vị lấy theo chiêu dương y=sint

Ví dụ: Tính | Z ˆ dz với € là đoạn thẳng nối

GC

diém 0 véidiém (1+/)

Chu ý : Nếu C có phương trình tham số lầ

x= x(t), v= VE),

Phương trình tham số của đường tròn C là

z=zp+ReT, đz=¡ReÍÍ đi (=0 —> 2m) Vậy

Chú ý rằng giá trị tích phân vừa tính

không phụ thuộc bán kính R

b) Nếu #(z) là hàm giải tích trên C và đường

cong Œ không kín nối hai điểm A,B ( A diém dau

B điểm cuối ) dùng công thức Newton-Leibnitz :

Ví dụ : Tính | Z ˆ đz với € là đoạn thẳng nối

C

điểm O với điểm (1+?)

Ví dụ : Tính [sinz đz trong đó C là đoạn thẳng

C

^“ A’ ` a

nối hai điểm từ O đến zi

Chú ý về nguyên hàm ( lấy tích phân từng phần ,

đổi biến tương tự như hàm thực )

|cos 3z đz =

|sin 2z đz =

|zcosz dz=

Ví dụ : Tính ƒ zđ“đz trong đó C là đường cong

C bất kỳ nối hai điểm từ 1 đến 7/2

c) Néu C 1a đường cong kín , ta dùng các định lý

Cauchy

ƒ{z) có đạo hàm

Công thức cũng đúng cho miện D có biên

øôm nhiêu đường cong ( miên đa liên )

Hệ quả 2 :

(Tích phân không phụ thuộc đường đi )

| f(2)dz= | #(z)&

Néu ham f(z) lA ham có đạo ham trong mién

Tuy nhiên nếu xét tích phân ƒ “Š`“ 3z với C

x2

Vidu: Tinh [ e đz

C với C ˆ là đường tròn tầm O ban kinh R

Ví dụ : Chứng tỏrằng | ae | ae

c sinz ¢, sinz

với Cla dudng cong x? + y7 =1, C 1A dutng

thẳng =1— x, nối 2 diém 4 va i trong góc phần tư thứ nhất

b) Định lý tích phân Cauchy 2:

¡-#E) dz= Í sŒ)

CŒZ~Z0 C +Z—Z0 đz (không phụ thuộc £)

Ví dụ : | =5 - “ đ.z

ŒZ 2—2z

C là đường tròn tâm O bán kính 4 theo chiều dương

Na

z+4 z7+2z+5

điểm z¡ =—l+2? và z2 =—l—2¿ , hai điểm này

a) Ham f(z)= không giai tich tai hai

nằm ngòai hình tròn do đó trong hình tròn đơn vị hàm đã cho là hàm giải tích , Theo định lý

Cauchy 1 thi | as đz =0

ŒZ“+2z+5

z+4 z7+2z+5

điềm zZI =—Ì + 2¡ ,điềm này năm trong mién D

giới hạn bởi © ( điểm Z¡ =—l—2¡ không nằm trong

miền D),

z+4

2742745

Z¡ =—l+2¡, và điểm z2 =—l—2¡ , hai điểm này

nằm trong miền D giới hạn bởi C,

Ví dụ : i = dz

— 2Z

Cla lường tròn đơn vị lấy theo chiều dương

Dinh ly tich phan Cauchy 3 :

Cho e(z) là hàm có đạo hàm trong miền D,

C là biên của Ð, zọo là một điểm năm trong D

| s(Z) dz = 2Ti e?)(za)

Khi do

OC (z—zo)"*1 cứ

| gw) dw |=|2ni g'(z)|

| 280) dw |=|2nig"(z)|

Z

e

Vidu : Tinh | 5 dz

ŒZ“+2Z+Ì với C là đường tròn |z—1|=3

VíÍ dụ : Chứng tổrằng | ae | a

Có Gq 7

v2 v2 với C là ellipse cha =1,C€1 là đường tròn đơn

vị lấy ngược chiều kim đồng hồ.

Chú ý rằng miên ] có thê là miền đa liên

Biên Ð gồm có C7” và Cz