Hàm phức 7

Hàm phức toán tử

Phép biến đổi bảo giác

Ý nghĩa hình học của đạo hàm phức Xét ham don tri:

w= f(z)=f(x+iy) =u(x, y) +iv(x, y)

V

Néu tai z) ta cé ham w= f(z) thoa ƒ#"'(zạ) #0

thì về mặt hình học có tính chất :

Cá trị argø ƒ'(zọ) là góc quay của đoạn vi phân

giá trị |Z'{zạ)| là độ khuếch đại đoạn vi phân

Ví dụ 1 : Tìm ảnh của nửa trên đường tròn

x“+y“=a^ (y>0) qua phép biến đổi w = z?

Ví dụ 2 : Tìm ảnh của đường thẳng x= ø( a>0)

qua phép biến đổi w = z?

Vi du 3:Cho ham w= z” Tìm sóc g1ữa hai đường

cong x“+ v2 =a* vA x=a tại giao điểm của

chúng ,Tìm góc øiữa hai đường cong ảnh

Ví dụ 4 : Tìm ảnh của đường thẳng y=x qua

phép biến đổi w = z?

Ví dụ 5: Tìm ảnh của đường thẳng y= b qua

X

phép biến đổi w = zˆ

Ví dụ 6 : Tìm ảnh của đường thẳng y =1 qua

phép biến đổi w = e“.

Ví dụ 7 : Tìm ảnh của đường thẳng x = l qua

phép biến đổi w = e“

Ví dụ 8 : Cho hàm w= e“ Tìm góc giữa hai

đường thang y=1 va x=1 tai giao điểm của chúng , Tìm góc giữa hai đường cong ảnh

Phép biến đổi song tuyến tính

c) Ảnh đường tròn ( đường thẳng là đường tròn

với bán kính là œ) là đường tròn

Ví dụ 9 : Tìm phép biến đổi phân số tuyến tính

đưa 3 điểm z = 0.1.7 thành MS, 0.—l+¡

qz+Ð _ z+Ù

cœ+d c'z+d phương trình 3 ẩn , 3 phương trình

Có thểtìm w= nhờ giải hệ

Ví dụ 10 : Tìm phép biến đổi phân số tuyến tính

đưa 3 điểm z=0.—l.œ thành 3 điểm

Trên đường tròn Z =] lay 3 diém tiy ¥ 1a

z =l,ï,—l Ảnh của đường tròn này là một

đường tròn trong mặt phẳng w đi qua các điểm

—2+i -6+3i

Day là phương trình của đường tròn có tâm tai

Phép biến đổi phân số tuyến tính đặc biệt :

_ i 2=20

Z—Z0

Ww

Vidu — Tìm hàm phân số tuyến tính đưa nửa

trên của mặt phẳng z thành đường tròn đơn vị sao

cho 2.1 có ảnh là 0 ——

Chứng minh

Trong miền D của mặt phẳng z xét đường cong

y=y(v) Hệ số góc tạo bởi tiếp tuyến tại một

diém (x,y) 1a /ø(œ)= y'(x).

Chứng minh

Trong miền D của mặt phẳng z xét đường cong y=y(v) Hệ số góc tạo bởi tiếp tuyến tại một

diém (x,y) 1a /ø(œ)= y'(x)

Ẩnh đường cong này qua phép biến đổi w= f(z)

là một đường cong có phương trình tham số

‘ = u(x, v(*))

v= Wx, y(*))

Hệ số góc của đường cong ảnh này là /ø

trong mặt phẳng 1w,

Hàm w = z +4 đưa đường tròn thành đường tròn

Hàm w= z đưa đường tròn thành đường tròn

Hàm w=z đưa đường tròn thành đường tròn

Một số phép biến đổi bảo giác cơ bản

Phép biếnđổi w=z2 , w=z” Phép biến đổi w=eF

Tính chất của phép biến đổi song tuyến tính

d) Nếu biết các điểm z.z2.z4 cho trước tương

ứng với các điểm wị 1w, w cho trước thì phép

biến đổi w= ƒ(z) có thể tìm theo công thức

Ví dụ: Tìm phép biến đổi phân số tuyến tính đưa

(p= ou? gut nếu a#0 )

a a a

nhờ giải hệ phương trinh 3 4n , 3 phương trình

Z =—>=——

Ví dụ:Tìm phép biến đổi phân số tuyến tính đưa

3 điểm z=0.—l.œ vào 3 điểm ww=—l.—2— ï

Ví dụ : Tìm phép biến đổi phân số tuyến tính

đưa 3 điểm z=0.—l.œ thành 3 điểm

Phép biến đổi phân số tuyến tính đặc biệt :

Ví dụ : Tìm phép biến đổi phân số tuyến tính

đưa nửa trên của mặt phẳng z thành đường

tròn đơn vị sao cho hai điểm z=27, z=1 cé

—4+3i

5

anhla w=0,w=