Viết phương trình mặt phẳng α đi qua điểm O, vuơng gĩc với mặt phẳng P và song song với đường thẳng d.. Mỗi đề thi gồm 4 câu được lấy ngẫu nhiên từ ngân hàng đề thi.. Thí sinh A đã họ
Trang 1Câu 1 (1,0 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 4 2
y= − +x x −
Câu 2 (1,0 điểm) Tính giới hạn 2
0
lim
x
x x x x
→
Câu 3 (1,0 điểm)
a) Cho số phức z thỏa mãn 1(3 )
z
i = − + + Tìm phần thực và phần ảo của z b) Giải phương trình log2x+2 log2x2= 2
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân 1 ( ) ( )
0
I =∫ x− x+ dx
Câu 5 (1,0 điểm) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , Cho mặt phẳng
( )P :x−2y+2z− =3 0 và đường thẳng : 2 4
− − Viết phương trình
mặt phẳng ( )α đi qua điểm O, vuơng gĩc với mặt phẳng ( )P và song song với
đường thẳng d
Câu 6 (1,0 điểm)
a) Giải phương trình
2
0
=
b) Một ngân hàng đề thi gồm 20 câu hỏi Mỗi đề thi gồm 4 câu được lấy ngẫu nhiên từ ngân hàng đề thi Thí sinh A đã học thuộc 10 câu trong ngân hàng đề thi Tính xác suất để thí sinh A rút ngẫu nhiên được 1 đề thi cĩ ít nhất 2 câu đã thuộc
Câu 7 (1,0 điểm) Cho hình chĩp S ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B, AB=2a,
2
a
SA= và vuơng gĩc với đáy Gọi M là trung điểm AB Tính thể tích khối chĩp S ABC và sin của gĩc giữa hai mặt phẳng (SMC), (ABC)
Câu 8 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cĩ 0
45
Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC , N là điểm đối xứng với M qua AC , đường thẳng BN cĩ phương trình 7x− −y 19= Biết 0 A(− − , tam giác 1; 1) ABM
cân tại A và điểm B cĩ tung độ dương Tìm toạ độ các điểm cịn lại của tam giác
3
+
Câu 10 (1,0 điểm) Cho các số thực dương x y z, , và thỏa mãn
x +y +z +xy+yz+z = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
12 ln
x y z
x y z xy yz z
y z x
ĐỀ SỐ
30 ĐỀ THI THỬ KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016
Trang 2HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1 Bạn đọc tự làm
x x x
=
2 2
2 2
2 sin
x
x
2
sin
2
x x
x x
0
x
x x x x
→
=
Câu 3
a) Đặt z= + a bi (a b, ∈ ℝ), suy ra z= −a bi
Theo giả thiết, ta cĩ ( ) 1(3 ) ( )(1 ) ( ) 1(3 )
a bi
i
+
Vậy số phức z cĩ phần thực bằng 4, phần ảo bằng 1
x
x x
>
< ≠
Với điều kiện trên phương trình đã cho trở thành 2
2
2 2
2 log
log
x
x
2
log
Đặt t = log2x, phương trình trở thành
2 2
1
t
t
t
− =
=
● Với t=0, ta được log2x= ⇔ =0 x 1
● Với t=1, ta được log2x= ⇔ =1 x 2
Đối chiếu điều kiện, phương trình cĩ tập nghiệm S={ }1;2
2
1
Trang 3Suy ra ( ) ( )1 1
2
0 0
2
x x
I x x x − dx
∫
1
= − = − + =
∫ Vậy 1
12
I =
Bài tập tương tự Tính tích phân 1 ( )
2
1
I x x dx
−
Hướng dẫn
2
1
1
x
2
1
t= x + ⇒t = x + dx , suy ra tdt=xdx
Đáp số: I =0
Câu 5 Mặt phẳng ( )P có VTPT n P =(1; 2;2− ) Đường thẳng d có VTCP u d = − −( 1; 2;3) Mặt phẳng ( )α vuông góc với mặt phẳng ( )P và song song với đường thẳng d nên
có VTPT n α n u P, d ( 2; 5; 4)
Vậy phương trình mặt phẳng ( )α : 2x+5y+4z=0
Câu 6
4
Phương trình tương đương với 2
2 sin x+cos 4x−cos 2x= 0
2
2 sin x 2 sin 3 sinx x 0 2 sinx sinx sin 3x 0
● sinx= ⇔ =0 x k π, (k∈ ℤ)
x k
x k
π
π π
=
= +
ℤ
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là , 3 ( )
4
x=k π x= π+k π k∈ ℤ b) Không gian mẫu là số cách lấy ngẫu nhiên 4 câu hỏi từ ngân hàng 20 câu hỏi Suy ra số phần tử của không gian mẫu là 4
C
Gọi A là biến cố ''Thí sinh A rút được 1 đề thi có ít nhất 2 câu đã thuộc''
● Thí sinh A rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có 2 câu đã thuộc
Trang 4M
C
B
A
S
K
● Thí sinh A rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có 3 câu đã thuộc
Trường hợp này có 3 1
10 10 1200
C C = khả năng thuận lợi cho biến cố
● Thí sinh A rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có 4 câu đã thuộc
Trường hợp này có 4
C = khả năng thuận lợi cho biến cố
Suy ra số phần tử của biến cố A là Ω =A 2025+1200+210=3435
Vậy xác suất cần tính ( ) 3435 229
A
P A Ω
Câu 7 Diện tích tam giác vuông ABC là 1 2
2
ABC
S∆ = AB BC= a Thể tích khối chóp S ABC là 3
.
1 3
S ABC ABC
V = S∆ SA=a (đvtt)
Trong tam giác AMC , kẻ đường cao AK (K∈MC),
suy ra AK⊥MC ( )1
Ta có MC AK MC (SAK)
MC SA
⊥ ⇒ ⊥
suy ra MC⊥SK ( )2
Từ ( )1 và ( )2 , suy ra (SMC) (, ABC)=SK AK, =SKA
Ta có MKA∆ ∽∆MBC nên MA MC
2
MA BC a KA
MC
Trong tam giác vuông SAK , ta có
2 sin
2
SA SA SKA
SK SA AK
Vậy (SMC) hợp với (ABC) một góc α thỏa mãn sin 2
2
Câu 8 Phân tích Đề bài cho tọa độ điểm A(− −1; 1) và đường thẳng BN: 7x− −y 19=0 nên
ta tìm mối liên hệ giữa hai đối tượng này về góc hoặc khoảng cách Bằng các dữ kiện trong đề bài
đã cho ta chứng minh được tam giác ABN vuông cân tại A
Gọi H là chân đường cao xuất phát từ A của tam giác ABM
Vì tam giác ABM cân tại A nên BAH=HAM ( )1
Vì AM và AN đối xứng nhau qua AC nên MAC=NAC ( )2
Từ ( )1 , ( )2 và ( )3 suy ra 0
Tam giác ABM cân tại A nên AB=AM Lại có M , N đối xứng nhau qua AC
Từ ( )* và ( )* * , suy ra tam giác ABN vuông cân tại A nên AB= 2d A BC( , )=5
Trang 5Do B BN∈ nên B b b( ;7 −19)
( )
B b
loại
Đường thẳng AN qua A(− −1; 1) và cĩ VTPT AB=( )4;3 nên AN: 4x+3y+ = 7 0
Do N=AN∩BN nên N cĩ tọa độ thỏa mãn hệ 4 3 7 0 (2; 5)
x y
N
x y
− − =
Vì M , N đối xứng nhau qua AC nên tam giác CMN cân tại C Hơn nữa ta cĩ
0
45
45
CMN= Do đĩ tam giác CMN vuơng cân tại C
Suy ra BC=2CN Giả sử C x y( ; ), ta cĩ CB x( −3;y− , 2) CN x( −2;y+ 5)
Từ
2
CB CN
CB CN
=
ta cĩ hệ phương trình
( ) (2 )2 ( ) (2 )2
Giải hệ phương trình trên ta tìm được C(5; 4− ) hoặc 3; 16
C− −
Do A, C khác phía so với BN nên ta chọn B( ) (3;2 ,C 5; 4− )
Câu 9 Điều kiện: 1
2
y≥
1 ⇔8x −24x +30x−14= 2y+2 2y−1
Xét hàm số ( ) 3
3
f t = +t t trên ℝ Ta cĩ ( ) 2
f t = t + > ∀ ∈ ℝt Suy ra f t( ) đồng biến trên ℝ Nhận thấy ( )* cĩ dạng f(2x− =2) f( 2y−1)
2
1
x
≥
3 x−2 4x −8x+ − +5 x 26=6 16x+12 4x −8x+ −5 28
Cơsi
3
2
N
M
B
A
Trang 6( )
Thử lại và đối chiếu điều kiện, hệ có nghiệm ( ; ) 2;5
2
x y =
( )
2
x y x x x y
+ =
( )
x
+
( )
Hướng dẫn
Bài tập tương tự 1 Điều kiện: x≥3, y≥7x−24
Phương trình ( )2 ⇔ −14x+2y+48=(x− +3) x− − 3 2
⇔ −14x+2y+48=( x− −3 1)( x− + 3 2)
Suy ra x− − ≥ ⇔ ≥ Kết hợp với điều kiện, ta được 3 1 0 x 4 y≥ 4
Xét hàm số ( ) 3
3
f t = −t t trên 7;+∞)
Đáp số: (x y; ) (= 7;33)
Bài tập tương tự 2 Điều kiện: 2
2
x y≥ −
2 ⇔ ⇔ x y +3x y= y−1 +3 y−1
Xét hàm số ( ) 3
3
f t = +t t trên ℝ… ( )2 ( ) 2
Do đó hệ đã cho tương đương với
2 2
1
1 1
0
x y x
x y
x
Đáp số: ( ; ) 1 5 1; 5 , 1 5 1; 5
Trang 7Bài tập tương tự 3 Điều kiện: x −2y − > 2 0
Phương trình ( ) 2
1
1
x x x
+ +
( )
2
Xét hàm số ( ) 2
1
Đáp số: ( ; ) 3 13; 1 13 , 3 13; 1 13
x y
Bài tập tương tự 4 Điều kiện:…
Xét hàm số ( ) 3
1
f t = t + +t trên [− +∞1; ) Đáp số: (x y; ) (= 5;62)
Câu 10 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
5
Tương tự ta có:
y
Đặt t= + + , vì x y z x y z, , > nên có: 0
t =x +y +z + xy+yz+z ≥x +y +z +xy+yz+z = ⇒ >t
Mặt khác ta có: ( ) (2 ) (2 )2 2 2 2
x
x−y + −y z + −x z ⇒x +y +z ≥xy+yz+z
2t =2 x +y +z +4 xy+yz+zx
( 2 2 2 )
Vậy P f t( ) 2t 12 lnt 22 62 3
t t
≥ = − − + − với t= + + ∈x y z ( 6;3
Ta có f '( )t 2 12 222 123 2.t 6t2 3 11t 6
( )( )( )
3
t
Suy ra ( ) ( )3 11 12 ln 3
3
f t ≥f = − − , do đó ( ) 11 12 ln 3
3
P≥f t ≥ − − Khi x= = = thì y z 1 P= −11 12 ln 3−
Trang 8Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 11 12 ln 3
3