Phương pháp nhóm hạng tử Phương pháp này vận dụng một cách thích hợp, tính chất giao hoán, tính chất kết hợp của phép cộng, để làm xuất hiện từng nhóm hạng tử có nhân tử chung, rồi sau đ
Trang 1Bài 1: PTĐTTNT
A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by)
Giải: Ta có:
A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax –by)
= 2x2 (ax + 2by + ax – by)
=2x2(2ax + by)
Bài 2: PTĐTTNT
P = (2a2 – 3ax)(5y + 2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)
Giải: Ta có:
: P = (2a2 – 3ax)(5y +2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b)
= (5y+2b)((2a2 – 3ax) – (6a2 – 4ax))
= (5y + 2b)(- 4a2 + ax)
= (5y + 2b)(x – 4a)a
Bài 3: PTĐTTNT
Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy
Giải:
Q = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy
= 3xy(x2 – 2x –y2 – 2yz – z2 + 1)
= 3xy((x2 – 2x + 1) – (y2 + 2yz + z2))
= 3xy((x – 1)2 – (y + z)2)
= 3xy((x – 1) –(y + z))((x – 1) + 9 y+ z))
= 3xy(x - y –z –1)(x + y + z – 1)
Bài 4: PTĐTTNT
B = x3 + 3x2 + 2x + 6
Giải:
B = x3 + 3x2 + 2x + 6
= x2(x + 3) + 2( x + 3)
= (x2 + 2)(x + 3)
Bài 5: PTĐTTNT
A = 6z3 + 3z2 + 2z +1
Giải:
A = 6z3 + 3z2 + 2z +1
= 3z2(2z + 1) + (2z + 1)
= (2z + 1)(3z2 + 1)
2 Phương pháp nhóm hạng tử
Phương pháp này vận dụng một cách thích hợp, tính chất giao hoán, tính chất kết hợp của phép cộng, để làm xuất hiện từng nhóm hạng tử có nhân tử chung, rồi sau đó vận dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng Sau đây là một số ví dụ để chúng ta tham khảo:
Bài 1: PTĐTTNT
B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2
Giải:
B = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2
= (xy2 – xz2) + (yz2 - zy2) + (zx2 – yx2)
= x(y2 – z2) + yz(z – y) + x2(z – y)
= x(y – z)(y + z) – yz(y – z) – x2(y – z)
= (y – z)((x(y + z) – yz – x2))
= (y – z)((xy – x2) + (xz – yz)
= (y – z)(x(y – x) + z(x – y))
= (y – z)(x – y)(z – x)
Bài 2: PTĐTTNT
A= 4x5 +6x3 +6x2 +9
Giải:
A= 4x5 +6x3 +6x2 +9
= 2x3(2x2 + 3) + 3(2x3 + 3)
= (2x3 + 3)(2x2 + 3)
Bài 3: PTĐTTNT
B = x6 + x4 + x2 + 1
Giải:
B = x6 + x4 + x2 + 1
= x4(x2 + 1) + ( x2 + 1)
= (x2 + 1)(x4 + 1)
Bài 4: PTĐTTNT
A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz
Giải:
: A = x2 + 2xy + y2 – xz - yz
= (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz)
= (x + y)2 – z(x + y)
= (x + y)(x + y – z)
Bài 5: PTĐTTNT
Giải:
P = x2(y – z) + y2z – xy2 + xz2 – yz2
= x2(y – z) + yz(y – z) – x(y2 – z2)
= x2(y – z) + yz(y – z) – x(y – z)(y + z)
= (y – z)((x2 + yz – x(y + z))
= (y – z)(x2 + yz – xy – xz)
= (y – z)(x(x – y) – z(x – y))
= (y – z)(x – y)(x – z)
= x2(y – z) - y2((y – z) + (x – y)) + z2(x – y)
=(y – z)(x2 – y2) – (x – y)(z2 – y2)
= (y – z) (x – y)(x + y) - (x – y)(z - y)(z + y)
= (y – z) (x – y)(x + y – (z + y))
= (y – z) (x – y)(x – z)
Bài 6: PTĐTTNT
A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc
Giải:
A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc
= ( a + b)(bc + ca + ab) + c(bc + ca + ab) - abc
= ( a + b)(bc + ca + ab) + bc2 + c2a + abc – abc
= ( a + b)(bc + ca + ab) + c2( a + b)
= ( a + b)(bc + ca + ab + c2)
= ( a + b)( c(b + c) + a(b + c))
= ( a + b)(b + c)(c + a)
Bài 7: PTĐTTNT
A = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc
Giải:
: A = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc
= (2a2b + 4ab2) – (a2c + 2abc) + (ac2+ 2bc2) – (4b2c+ 2abc)
= 2ab(a + 2b) – ac(a + 2b) + c2(a + 2b) – 2bc(a + 2b)
= (a + 2b)(2ab – ac + c2 – 2bc)
= (a + 2b)(a(2b – c) – c(2b –c))
= (a + 2b)(2b – c)(a – c)
Bài 8: PTĐTTNT
P = 4x2y2(2x + y) + y2z2(z – y) – 4z2x2(2x + z)
Trang 2= 4x2y2(2x + y) + z2(y2(z – y) – 4x2(2x + z)
= 4x2y2(2x + y) + z2( y2z – y3 – 8x3 – 4x2z)
= 4x2y2(2x + y) + z2(z(y2 – 4x2) – (y3 + 8x3))
= 4x2y2(2x + y) + z2(z(y – 2x)(y + 2x) – (y + 2x)(y2 – 2xy + 4x2))
= (2x + y)( 4x2y2 + z3 – 2xz3 – z2y2 + 2xyz2 – 4x2z2)
= (2x + y)(4x2(y2 – z2) – z2y (y – z) +2xz2( y – z))
= (2x + y)(y – z)(4x2y + 4x2z – z2y + 2xz2)
= (2x + y)( y – z)(y(4x2 – z2) + 2xz(2x + z))
= (2x + y)( y – z) (2x + z)(2xy – yz + 2xz)
3 Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Các hẳng đẳng thức thường dùng:
A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
A2 - 2AB + B2 = (A - B)2
A2 - B2 = (A + B) (A - B)
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
A3 - B3 = (A - B)( A2 + AB + B2)
A3 + B3 = (A + B)( A2 - AB + B2)
Bài 1: PTĐTTNT
B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4
Giải:
B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4
= (a6 – b6) + (a4 + a2b2 + b4 )
= (a3 + b3) (a3 - b3) + (a4 + a2b2 + b4 )
= (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) + (a4 + 2a2b2 + b4) – a2b2
= (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 + b2 )2– a2b2
= (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )
= (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) ((a – b)(a + b) + 1))
= (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )(a2 – b2 + 1)
Bài 2: PTĐTTNT
A = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2- 2y2z2
Giải:
A = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2- 2y2z2
= (x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2 + 2y2z2) – 4y2z2
= (x2 – y2 – z2)2 – 4y2z2
= (x2 – y2 – z2 – 2yz) (x2 – y2 – z2 + 2yz)
= (x2 – (y + z)2 )( x2 – (y - z)2 )
= (x – y – z) (x + y + z) (x – y + z)(x + y – z)
Bài 3: PTĐTTNT
A = (x + y)3 +(x - y)3
Giải:
Cách 1: A = (x + y)3 +(x - y)3
= ((x + y) +(x - y))3 – 3((x + y) +(x - y)) (x + y)(x - y)
= 8x3 – 3.2x(x2 – y2)
= 2x(4x2 – 3(x2 – y2))
= 2x(x2 + 3y2)
Cách 2: A = (x + y)3 +(x - y)3
= ((x + y) +(x - y))((x + y)2 – (x + y)(x – y) + (x – y)2
= 2x(2(x2 + y2) - (x2 – y2))
= 2x(x2 + 3y2)
Bài 4: PTĐTTNT
B = (x - y)3 +(y - z)3 +(z - x)3
Giải:
Dễ thấy : x – y =(x – z) + (z – y)
Từ đó ta có : (x - y)3 = (x – z)3 + (z – y)3 + 3(x – z)(z – y)((x – z) + (z – y))
= - (z - x)3 - (y - z)3 + 3(z – x)(y – z)(x – y)
= 3(z – x)(y – z)(x – y)
Bài 5: PTĐTTNT
A = (a + b+ c) – (a3 + b3+ c3)
Giải:
A = (a + b+ c) –(a3 + b3+ c3)
= a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + (b + c)3 - (a3 + b3+ c3)
= a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + b3 + 3b2c + c3 - (a3 + b3+ c3)
= 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + 3bc(b + c)
= 3(b + c)(a2 + ab + ac + bc)
= 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b)
= 3(b + c)(a + b)(a + c)
Bài 6: PTĐTTNT
P = x8 – 28
Giải:
P = x8 – 28
= (x4 + 24) (x4 - 24)
= (x4 + 24)((x2)2 – (22)2 )
= (x4 + 24)(x2 – 22)(x2 + 22)
= (x4 + 24)(x2 + 22)(x – 2)(x + 2)
Bài 7: PTĐTTNT
Q = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3)
Giải:
: Q = (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3)
= (x – 1)(x2 + x + 1) + 5(x – 1) (x + 1) + 3(x – 1)
= (x – 1)( x2 + x + 1 + 5x + 5 + 3)
= (x – 1)( x2 + 6x + 9)
= (x – 1)(x + 3)2
4 Phương pháp đặt ẩn phụ
Bằng phương pháp đặt ẩn phụ( đổi biến) ta có thể đưa một đa thức với ẩn số công kềnh, phức tap về một đa thức có biến mới, mà đa thức này sẽ dễ dàng phân tích được thành nhân tử Sau đay là một số bài toan: Bài 1: PTĐTTNT
A = (x2 + x) + 4(x2 + x) - 12
Giải:
Đặt : y = x2 + x , đa thức đã cho trở thành:
A = y2 + 4y – 12
= y2 – 2y + 6y – 12
= y(y – 2) + 6(y – 2)
= (y – 2)(y + 6) (1)
Thay : y = x2 + x vào (1) ta có :
A = (x2 + x – 2)(x2 + x – 6)
Bài 2: PTĐTTNT
A = (x2 + x + 1)( x2 + x + 2) - 12
Giải:
Trang 3= y2 + y – 12
= y2 – 3y + 4y – 12
= y(y – 3) + 4(y – 3)
= (y – 3)(y + 4) (*)
Thay: y = (x2 + x + 1) vào (*) ta có :
A = (x2 + x + 1 - 3)(x2 + x + 1 + 4)
= (x2 + x – 2) (x2 + x + 6)
= (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 6)