[2016] ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN CÁC MÔN THI THỬ LỚP 10 PTNK ĐỢT 2 – Trung Tâm Phổ Thông Năng Khiếu (Dạy – Học Thêm) TO N CHUY N

aGọi H là giao điểm của AD với EF, vì D là trực tâm tam giác AEF nên AH vuông góc với EF Q đối xứng với D qua AC nên Mà đối đỉnh nên Tứ giác BDHF nội tiếp nên Do đó tứ giác AFEQ nội tiế

Bài 1 a) Vì 3 3    2 2 

0

a ax y b bx y a b a ab b x 

0

b bx  y c cx y b c b bcc x 

0

a abb b bcc  ac a c b ac 

a c a b c 0 a b c 0

b) Nếu p nguyên tố và p > 3 thì (𝑝2− 1) chia hết cho 3, nếu n là số nguyên thì (n2

– 2) không chia hết cho 3

Do đó nếu p1> 3 thì số chính phương m = ( 𝑝12+ 𝑝22+ ⋯ + 𝑝172 ) chia 3 dư 2, vô

lý

Nếu p1 = 3 thì ( 𝑝172 − 𝑝162 ) = ( 𝑝172 − 1) − (𝑝162 − 1) chia hết cho 3 = p1

Nếu p1 = 2 thì p16, p17 là các số lẻ nên ( 𝑝172 − 𝑝162 ) chia hêt cho 2 = p1

BÀi 2 a) {𝑥

2+ 4𝑦2 = 16 ( 1 − 𝑥𝑦

𝑥+2𝑦) (1)

√𝑥 + 2𝑦 + 2𝑦 = 𝑥2 (2) Điều kiện : x + 2y > 0

Do (𝑎2+ b2) ( a + b) = [ (a+ b)2 – 2ab ](a+b) = ( a + b)3 – 2ab ( a + b) nên

(1) ⇔ ( x + 2y)3 – 4xy ( x + 2y) + 16 xy – 16 (x + 2y) = 0

⇔ ( x + 2y) [ ( x + 2y )2 – 16] − 4𝑥𝑦 ( 𝑥 + 2𝑦 − 4) = 0

⇔ ( x + 2y – 4)(𝑥2+ 4𝑦2+ 4( 𝑥 + 2𝑦)) = 0

⇔ x + 2y = 4( x + 2y > 0 nên 𝑥2+ 4𝑦2+ 4( 𝑥 + 2𝑦)> 0 )

Kết hợp với (2) tìm được nghiệm của hệ : ( -3; 7

2 ) và ( 2; 1)

TRUNG TÂM DẠY – HỌC THÊM

PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU

ĐÁP ÁN KỲ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

LẦN 2 – 2016

MÔN: TOÁN CHUYÊN



b) 𝑥3− 3𝑥2+ (𝑎 + 2)𝑥 − 𝑎 = 0 (1)

(1) ⇔ ( 𝑥 − 1)(𝑥2− 2𝑥 + 𝑎) = 0 ⇔ x = 1 hoặc 𝑥2− 2𝑥 + 𝑎 = 0 ( 2)

Nếu m , n ( m < n ) là các nghiệm của (2) thì m + n = 2 nên m < 1 < n, vậy x1 = m,

𝑥2 = 1, 𝑥3 = 𝑛 Do đó S = (𝑥3+ 𝑥1)(𝑥3− 𝑥1) + 6𝑥1+ 2𝑥3+ 3 = 2(𝑥3− 𝑥1) + 6𝑥1 + 2𝑥3+ 3 = 4(𝑥3+ 𝑥1) + 3 = 11

Bài 3.Đặt A =1+𝑏𝑐

𝑎 +1+𝑐𝑎𝑏 +1+𝑎𝑏𝑐 , B = √𝑎2+ 2 + √𝑏2+ 2 + √𝑐2+ 2

𝑇𝑎 𝑐ó 𝑏𝑐

𝑎 + 𝑐𝑎

𝑏 ≥ 2√𝑏𝑐

𝑎 𝑐𝑎

𝑏 = 2𝑐 𝑇ươ𝑛𝑔 𝑡ự 𝑡𝑎 𝑐ó 𝐴 ≥ 𝑎 + 1

𝑎 + b +1

𝑏 + c + 1

𝑐 (1) 𝑀ặ𝑡 𝑘ℎá𝑐 (𝑎 +𝑎1 )2 = 𝑎2+ 2 +𝑎12 > 𝑎2+ 2, nên 𝑎 +1𝑎 > √𝑎2+ 2 Tương tự suy

ra B < 𝑎 + 1

𝑎 + b +1

𝑏 + c + 1

𝑐 (2) Từ (1) và (2) ta có A > B

Bài 4

a)Gọi H là giao điểm của AD với EF, vì D là trực tâm tam giác AEF nên AH

vuông góc với EF

Q đối xứng với D qua AC nên

Mà (đối đỉnh) nên

Tứ giác BDHF nội tiếp nên

Do đó tứ giác AFEQ nội tiếp

Tương tự tứ giác AEFP cũng nội tiếp

Vậy A, P, F, E, Q cùng thuộc đường tròn (S) là đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF

b) ) Dựng đường kính AX của (S), chứng minh được EDFX là hình bình hành nên

D, M, X thẳng hàng Do đó X ≡ 𝑁 , suy ra BE // FN, mà MB = ME nên

(1) AFNE nội tiếp nên (2)

ABIE nội tiếp nên (3)

Từ (1) (2) (3) ta có suy ra M, B., I thẳng hàng

c)AK cắt BC tại U và cắt đường tròn (S) tại điểm thứ hai là V

Ta chứng minh U là trung điểm BC

Ta có suy ra DABU ∼DAVF Þ BU

AF ( )1

Tương tự ta cũng có DAUC ∼DAEV Þ CU

Chứng minh được VE VF  3

Từ (1) (2) (3) ta suy ra BU CU BU CU

AU  AU   hay U là trung điểm BC

Vậy AK đi qua U cố định

Bài 5

Ta chứng minh mỗi cặp a b i, i phải có một số lớn hơn n và một số không lớn hơn

n

Giả sử a i n và b i n với i1,n

Khi đó a a1, 2, , , ,a b b i i i1, b n là n1 số nguyên dương không lớn hơn n (vô lí) Tương tự a b i, i n ta cũng có điều vô lí

Vậy trong mỗi cặp a b i, i có một số lớn hơn n và một số không vượt quá n

Do đó

a   b a b  n  n   nn    n

1 2 1 2