giáo trình bài giảng toán rời rạc

cˆong nhˆa.n ba nguyˆen l´y trˆen nhu.. Ta ch´u.ng minh theo quy na.p.. Ch´u.ng minh rˇa`ng t´ıch cu˙’a k sˆo´ nguyˆen liˆen tiˆe´p chia hˆe´t cho k!... s˜e liˆe.t kˆe theo th´u.. tiˆe´p

TO ´ AN R ` O . I RA C

Pha.m Tiˆe´n So.n

Mu.c lu.c

1.1 C´ac nguyˆen l´y co ba˙’n cu˙’a ph´ep d¯ˆe´m 9

1.1.1 Nguyˆen l´y tˆo˙’ng 9

1.1.2 Nguyˆen l´y t´ıch 10

1.1.3 Nguyˆen l´y bao h`am-loa.i tr`u 13

1.2 Ho´an vi v`a tˆo˙’ ho p 15

1.3 C´ac thuˆa.t to´an sinh ra ho´an vi v`a tˆo˙’ ho p 20

1.4 Ho´an vi v`a tˆo˙’ ho p suy rˆo.ng 25

1.5 C´ac hˆe sˆo´ nhi th´u.c v`a c´ac d¯ˆo`ng nhˆa´t th´u.c 32

1.6 Nguyˆen l´y chuˆo`ng chim bˆo` cˆau 36

1.6.1 Nguyˆen l´y chuˆo`ng chim bˆo` cˆau (da.ng th´u nhˆa´t) 36

1.6.2 Nguyˆen l´y chuˆo`ng chim bˆo` cˆau (da.ng th´u hai) 37

1.6.3 Nguyˆen l´y chuˆo`ng chim bˆo` cˆau (da.ng th´u ba) 39

2 QUAN HˆE. 43 2.1 Quan hˆe hai ngˆoi 43

2.2 Quan hˆe v`a ma trˆa.n 48

2.3 Quan hˆe th´u tu 54

2.4 Quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng 62

2.5 Bao d¯´ong cu˙’a quan hˆe 69

2.6 Lattice cu˙’a c´ac phˆan hoa.ch 75

2.6.1 Thuˆa.t to´an giao c´ac phˆan hoa.ch 77

2.6.2 Thuˆa.t to´an trˆo.n c´ac phˆan hoa.ch 78

3 D- A.I SˆO´ BOOLE 81 3.1 Lattice 81

3.2 Latiice phˆan bˆo´ 90

3.3 D- a.i sˆo´ Boole 96

3.4 H`am Boole 103

3.5 Biˆe˙’u diˆe˜n c´ac h`am Boole qua hˆe tuyˆe˙’n, hˆo.i v`a phu˙’ d¯i.nh 107

3.6 Biˆe˙’u diˆe˜n tˆo´i thiˆe˙’u cu˙’a h`am Boole 111

3.6.1 Kh´ai niˆe.m 111

3.6.2 Phu.o.ng ph´ap ba˙’n d¯ˆo` Karnaugh 112

4 M ˜A TUYˆE´N T´INH 119 4.1 Mo.˙’ d¯ˆa` u 119

4.1.1 Kh´ai niˆe.m 119

4.1.2 M˜a ph´at hiˆe.n lˆo˜i 120

4.1.3 M˜a su.˙’a sai 121

4.2 C´ac kh´ai niˆe.m 122

4.3 Khoa˙’ng c´ach Hamming 131

4.4 Hˆo.i ch´u.ng 139

4.4.1 Gia˙’i m˜a d`ung ba˙’ng chuˆa˙’n 140

4.5 M˜a ho`an ha˙’o 143

4.6 M˜a Hamming 146

5 D- ˆ` THI.O 149 5.1 C´ac kh´ai niˆe.m 149

5.2 Dˆay chuyˆe` n v`a chu tr`ınh 154

5.3 Chu tr`ınh Hamilton v`a b`ai to´an ngu.`o.i du li.ch 162

5.3.1 Quy tˇa´c t`ım chu tr`ınh Hamilton 164

5.3.2 M˜a Gray 166

5.4 D- u.`o.ng d¯i v`a ma.ch 169

5.4.1 Thuˆa.t to´an 171

5.5 Ma trˆa.n biˆe˙’u diˆe˜n d¯ˆo` thi 173

5.5.1 Ma trˆa.n kˆe` 173

5.5.2 Ma trˆa.n liˆen thuˆo.c 175

5.6 D- ˇa˙’ng cˆa´u gi˜u.a c´ac d¯ˆo` thi 179

5.7 D- ˆo` thi phˇa˙’ng 181

6 C ˆAY 191 6.1 Mo.˙’ d¯ˆa` u 191

6.1.1 C´ac kh´ai niˆe.m 191

6.1.2 M˜a Huffman 192

6.2 Cˆay bao tr`um 197

6.2.1 Thuˆa.t to´an t`ım kiˆe´m theo chiˆe` u rˆo.ng x´ac d¯i.nh cˆay bao tr`um 198

6.2.2 Thuˆa.t to´an t`ım kiˆe´m theo chiˆe` u sˆau x´ac d¯i.nh cˆay bao tr`um 199

6.3 Cˆay bao tr`um nho˙’ nhˆa´t 200

6.3.1 Thuˆa.t to´an Kruskal 201

6.4 Liˆe.t kˆe cˆay 2046.5 Cˆay nhi phˆan 2086.5.1 Thuˆa.t to´an xˆay du ng cˆay t`ım kiˆe´m nhi phˆan 210

MO ˙’ D . - ˆ ` U A

To´an ho.c r`o.i ra.c l`a mˆo.t bˆo phˆa.n cu˙’a To´an ho.c nhˇa`m nghiˆen c´u.u c´ac d¯ˆo´i tu.o ng r`o.i ra.c:nghiˆen c´u.u c´ac cˆa´u tr´uc r`o.i ra.c kh´ac nhau v`a c´ac phu.o.ng ph´ap gia˙’i c´ac vˆa´n d¯ˆe` c´o liˆen quand¯ˆe´n c´ac cˆa´u tr´uc n`ay

Thˆong tin lu.u tr˜u v`a vˆa.n h`anh trong m´ay t´ınh du.´o.i da.ng c´ac t´ın hiˆe.u r`o.i ra.c (c´ac m´ayt´ınh liˆen tu.c chı˙’ l`a c´ac m´ay t´ınh tu.o.ng tu , chuyˆen du.ng) V`ı vˆa.y cˆong cu d`ung d¯ˆe˙’ biˆe˙’u diˆe˜nthˆong tin trong m´ay v`a xu.˙’ l´y c´ac thˆong tin n`ay l`a To´an ho.c r`o.i ra.c

Ngo`ai ra, c´ac phu.o.ng ph´ap v`a kˆe´t qua˙’ cu˙’a To´an ho.c r`o.i ra.c c´o thˆe˙’ d`ung d¯ˆe˙’ gia˙’i quyˆe´t tru ctiˆe´p nhiˆe` u vˆa´n d¯ˆe` d¯ˇa.t ra cu˙’a Tin ho.c nhu logic, h`am d¯a.i sˆo´ logic, tˆo˙’ ho p trˆen t`u To´an

ho.c r`o.i ra.c chuˆa˙’n bi sˇa˜n v`a cung cˆa´p c´ac cˆong cu., phu.o.ng ph´ap luˆa.n d¯ˆe˙’ gia˙’i quyˆe´t nhiˆe` uvˆa´n d¯ˆe` cu˙’a Tin ho.c C´o thˆe˙’ n´oi To´an ho.c r`o.i ra.c l`a ng`anh To´an ho.c co so.˙’ cho Tin ho.c.Mu.c d¯´ıch cu˙’a gi´ao tr`ınh nhˇa`m cung cˆa´p mˆo.t sˆo´ cˆong cu To´an ho.c d¯ˆe˙’ bu.´o.c d¯ˆa`u d¯i v`aoTin ho.c Gi´ao tr`ınh d¯u.o c tr`ınh b`ay mˆo.t c´ach d`an tra˙’i ho.n l`a d¯i sˆau v`ao mˆo.t vˆa´n d¯ˆe` cu thˆe˙’.Cuˆo´i mˆo˜i phˆa` n c´o c´ac b`ai tˆa.p nhˇa`m cu˙’ng cˆo´ nh˜u.ng kiˆe´n th´u.c d¯˜a ho.c Hy vo.ng rˇa`ng gi´aotr`ınh n`ay d¯´ap ´u.ng d¯u.o c phˆa`n n`ao yˆeu cˆa`u ho.c tˆa.p cu˙’a c´ac ba.n sinh viˆen

Gi´ao tr`ınh bao gˆo`m s´au chu.o.ng v´o.i 20 t`ai liˆe.u tham kha˙’o tr`ınh b`ay c´ac vˆa´n d¯ˆe` sau:

Chu.o.ng 1: Ph´ep d¯ˆe´m D- ˆe` cˆa.p d¯ˆe´n c´ac phu.o.ng ph´ap co ba˙’n cu˙’a ph´ep d¯ˆe´m: Nguyˆenl´y t´ıch, nguyˆen l´y tˆo˙’ng, nguyˆen l´y bao h`am-loa.i tr`u., nguyˆen l´y c´ac chuˆo`ng chim bˆo` cˆau Ch´ung d¯´ong vai tr`o quan tro.ng trong Tin ho.c, chˇa˙’ng ha.n: d¯ˆe˙’ u.´o.c lu.o ng th`o.i gian thu c hiˆe.ncu˙’a mˆo.t thuˆa.t to´an ch´ung ta cˆa`n d¯ˆe´m sˆo´ th`o.i gian thi h`anh t`u.ng d`ong lˆe.nh hoˇa.c c´ac v`onglˇa.p Ph´ep d¯ˆe´m c˜ung d¯´ong vai tr`o quan tro.ng trong l´y thuyˆe´t x´ac suˆa´t

Chu.o.ng 2: Quan hˆe Tr`ınh b`ay c´ac quan hˆe th´u tu , quan hˆe tu.o.ng d¯u.o.ng v`a cuˆo´i c`ung

l`a quan hˆe tˆo˙’ng qu´at trˆen nh˜u.ng tˆa.p h˜u.u ha.n Ch´ung ta c˜ung x´et mˆo´i quan hˆe gi˜u.a c´acquan hˆe v´o.i ma trˆa.n hay d¯ˆo` thi biˆe˙’u diˆe˜n n´o

Chu.o.ng 3: D - a.i sˆo´ Boole Thuˆa.t ng˜u “d¯a.i sˆo´ Boole” d¯u.o c su.˙’ du.ng d¯ˆe˙’ mˆo ta˙’ nhiˆe`u l˜ınh

vu c c´o liˆen quan, t`u tu duy logic v`a c´ac ba˙’ng chˆan tri d¯ˆe´n c´ac ph´ep to´an sˆo´ ho.c d¯u.o c thu chiˆe.n bo.˙’i c´ac ma.ch d¯iˆe.n tu.˙’ Chu.o.ng n`ay bˇa´t d¯ˆa`u v´o.i mˆo´i quan hˆe gi˜u.a c´ac tˆa.p d¯u.o c sˇa´pth´u tu v`a c´ac lattice Kˆe´ tiˆe´p l`a d¯a.i sˆo´ Boole v`a vˆa´n d¯ˆe` cu c tiˆe˙’u ho´a h`am Boole

Chu.o.ng 4: M˜a tuyˆe´n t´ınh Gi´o.i thiˆe.u so lu.o c vˆe` l´y thuyˆe´t m˜a bao gˆo`m c´ac m˜a cho ph´epph´at hiˆe.n v`a su.˙’a sai D- ˆay l`a vˆa´n d¯ˆe` th`o.i su do su ph´at triˆe˙’n c´ac cˆong nghˆe m´o.i trong viˆe.ctruyˆe` n v`a lu.u tr˜u d˜u liˆe.u.

Chu.o.ng 5: D - ˆo` thi Chu.o.ng n`ay gi´o.i thiˆe.u mˆo.t sˆo´ kh´ai niˆe.m v`a b`ai to´an co ba˙’n cu˙’a l´y

thuyˆe´t d¯ˆo` thi nhu chu tr`ınh Euler, chu tr`ınh Hamilton, d¯u.`o.ng d¯i ngˇa´n nhˆa´t, t´ınh phˇa˙’ng cu˙’ad¯ˆo` thi

Chu.o.ng 6: Cˆay Nˆo.i dung ch´ınh cu˙’a chu.o.ng d¯ˆe` cˆa.p d¯ˆe´n nh˜u.ng vˆa´n d¯ˆe`: Xˆay du ng m˜a tˆo´iu.u Huffman, cˆay bao tr`um v`a hˆe c´ac chu tr`ınh d¯ˆo.c lˆa.p, cˆay bao tr`um tˆo´i thiˆe˙’u, liˆe.t kˆe cˆay.Tˆoi d¯ˇa.c biˆe.t c´am o.n c´ac d¯ˆo`ng nghiˆe.p, d¯ˇa.c biˆe.t Th.s Trˆa`n Tuˆa´n Minh, c´ac ba.n b`e v`a c´acsinh viˆen v`ı nh˜u.ng d¯´ong g´op cu˙’a ho trong qu´a tr`ınh biˆen soa.n gi´ao tr`ınh n`ay

Tˆoi chˆan th`anh c´am o.n ba.n d¯o.c vˆe` nh˜u.ng ´y kiˆe´n d¯ˆo´i v´o.i c´ac thiˆe´u s´ot khˆong thˆe˙’ tr´anhkho˙’i cu˙’a cuˆo´n s´ach

D- `a La.t, ng`ay 12 th´ang 6 nˇam 2003

Pha.m Tiˆe´n So.n

Chu.o.ng 1

To´an tˆo˙’ ho p nghiˆen c´u.u vˆe` c´ach sˇa´p xˆe´p c´ac d¯ˆo´i tu.o ng, l`a mˆo.t bˆo phˆa.n quan tro.ng cu˙’ato´an ho.c r`o.i ra.c Nh˜u.ng vˆa´n d¯ˆe` cu˙’a tˆo˙’ ho p d¯u.o c nghiˆen c´u.u t`u Thˆe´ ky˙’ 17, liˆen quan tru.´o.ctiˆen d¯ˆe´n c´ac tr`o cho.i may ru˙’i Ng`ay nay to´an tˆo˙’ ho p d¯u.o c d`ung rˆo.ng r˜ai trong tin ho.c.Mu.c d¯´ıch ch´ınh cu˙’a chu.o.ng n`ay l`a thiˆe´t lˆa.p mˆo.t sˆo´ phu.o.ng ph´ap d¯ˆe´m c´ac tˆa.p h˜u.u ha.nphˆa` n tu.˙’ m`a khˆong liˆe.t kˆe c´ac phˆa`n tu.˙’ cu˙’a ch´ung

1.1 C´ ac nguyˆ en l´ y co ba˙’n cu˙’a ph´ ep d¯ˆ e´m

V´oi tˆa.p h˜u.u ha.n phˆa`n tu.˙’ S, ta k´y hiˆe.u #S l`a sˆo´ phˆa`n tu.˙’ cu˙’a tˆa.p S Do d¯´o #S = #T nˆe´u hai tˆa.p S v`a T c´o c`ung sˆo´ c´ac phˆa`n tu.˙’ Ch´u ´y rˇa`ng

c´o n1+ n2+ · · · + n m c´ach xa˙’y ra.

V´ı du 1.1.1 Gia˙’ su.˙’ l´o.p tru.o.˙’ng c´o thˆe˙’ l`a mˆo.t n˜u sinh, hoˇa.c l`a mˆo.t nam sinh C´o bao nhiˆeuc´ach cho.n l´o.p tru.o.˙’ng kh´ac nhau nˆe´u sˆo´ ho.c sinh n˜u l`a 36 v`a sˆo´ nam sinh l`a 20?

Go.i A1 (tu.o.ng ´u.ng, A2) l`a su kiˆe.n l´o.p tru.o.˙’ng l`a n˜u sinh (tu.o.ng ´u.ng, nam sinh) Ta c´o

36 c´ach cho.n l´o.p tru.o.˙’ng l`a n˜u sinh v`a 20 c´ach cho.n l´o.p tru.o.˙’ng l`a nam sinh Theo nguyˆen

l´y tˆo˙’ng, su kiˆe.n (A1 hoˇa.c A2) c´o (36 + 20) = 56 c´ach cho.n

V´ı du 1.1.2 Gia˙’ su.˙’ mˆo.t sinh viˆen c´o thˆe˙’ cho.n d¯´ung mˆo.t chuyˆen d¯ˆe` tu cho.n trong mˆo.ttrong ba danh s´ach Ba danh s´ach n`ay gˆo`m 3, 5 v`a 9 chuyˆen d¯ˆe` tu.o.ng ´u.ng Ho˙’i sinh viˆend¯´o c´o bao nhiˆeu c´ach lu a cho.n?

Theo nguyˆen l´y tˆo˙’ng, c´o 3 + 5 + 9 = 17 c´ach

Nhˆa.n x´et 1 Nguyˆen l´y tˆo˙’ng c´o thˆe˙’ ph´at biˆe˙’u theo thuˆa.t ng˜u cu˙’a l´y thuyˆe´t tˆa.p ho p nhu

sau Nˆe´u c´ac tˆa.p T1, T2, , T m d¯ˆoi mˆo.t r`o.i nhau th`ı sˆo´ c´ac phˆa`n tu.˙’ cu˙’a tˆa.p T1∪T2∪· · ·∪T m

bˇa`ng tˆo˙’ng sˆo´ c´ac phˆa` n tu.˙’ cu˙’a c´ac tˆa.p n`ay; t´u.c l`a

n1 × n2× · · · × n m c´ach xa˙’y ra.

V´ı du 1.1.3 Gia˙’ su.˙’ c´o hai mˇa.t na., ba m˜u Ho˙’i c´o mˆa´y c´ach ho´a trang?

D`ung nguyˆen l´y t´ıch, c´o 3 × 2 = 6 c´ach ho´a trang kh´ac nhau C˜ung c´o thˆe˙’ d`ung l´y thuyˆe´t tˆa.p ho p nhu sau: Mˆo˜i c´ach ho´a trang l`a mˆo.t c´ach cho.n x ∈ X v`a mˆo.t c´ach cho.n y ∈ Y Do d¯´o sˆo´ c´ach ho´a trang l`a sˆo´ c´ac cˇa.p (x, y) thuˆo.c X × Y v`a do d¯´o bˇa`ng #X × #Y = 2 × 3 = 6.

Nhˆa.n x´et 2 Nguyˆen l´y n`ay c˜ung thu.`o.ng d¯u.o c ph´at biˆe˙’u du.´o.i da.ng tˆa.p ho p nhu sau: Gia˙’

su.˙’ c´ac tˆa.p T1, T2, , T m c´o h˜u.u ha.n phˆa`n tu.˙’ v`a d¯ˆoi mˆo.t r`o.i nhau Khi d¯´o sˆo´ phˆa`n tu.˙’ cu˙’a

tˆa.p t´ıch Descartes T1× T2× · · · × T m bˇa`ng

#T1× #T2× · · · × #T m

V´ı du 1.1.4 C´o bao nhiˆeu chuˆo˜i bit kh´ac nhau c´o d¯ˆo d`ai 8? Mˆo˜i bit c´o hai c´ach cho.n, hoˇa.c

0 hoˇa.c 1 Do d¯´o theo nguyˆen l´y t´ıch, c´o 28 = 256 chuˆo˜i bit c´o d¯ˆo d`ai 8

V´ı du 1.1.5 C´o bao nhiˆeu ba˙’ng sˆo´ xe kh´ac nhau, nˆe´u mˆo˜i ba˙’ng gˆo`m ba ch˜u c´ai v`a theosau l`a ba con sˆo´ (gia˙’ thiˆe´t ba˙’ng ch˜u c´ai gˆo`m 26 k´y tu )?

Mˆo˜i ch˜u c´ai c´o 26 c´ach cho.n; mˆo˜i sˆo´ c´o 10 c´ach cho.n Do d¯´o theo nguyˆen l´y t´ıch, sˆo´ c´acba˙’ng sˆo´ xe kh´ac nhau l`a:

Nˆe´u m > n : khˆong c´o ´anh xa mˆo.t-mˆo.t t`u X t´o.i Y.

Gia˙’ su.˙’ m ≤ n v`a X := {a1, a2, , a m }.

+ V´o.i phˆa` n tu.˙’ a1 c´o n c´ach cho.n phˆa`n tu.˙’ tu.o.ng ´u.ng trong Y.

+ V`ı ´anh xa l`a mˆo.t-mˆo.t, nˆen d¯ˆo´i v´o.i a2 chı˙’ c`on (n − 1) c´ach cho.n.

+ Tu.o.ng tu , a m chı˙’ c`on (n − m + 1) c´ach cho.n.

Theo nguyˆen l´y t´ıch, sˆo´ ´anh xa mˆo.t-mˆo.t kh´ac nhau bˇa`ng

n(n − 1)(n − 2) · · · (n − m + 1).

V´ı du 1.1.8 D- ˆe´m sˆo´ tˆa.p con cu˙’a mˆo.t tˆa.p h˜u.u ha.n S.

Gia˙’ su.˙’ S := {a1, a2, , a n } Dˆe˜ d`ang thiˆe´t lˆa.p mˆo.t tu.o.ng ´u.ng mˆo.t-mˆo.t gi˜u.a tˆa.p con P

cu˙’a S v´o.i c´ac chuˆo˜i bit d¯ˆo d`ai n : bit th´u i bˇa`ng 1 nˆe´u v`a chı˙’ nˆe´u a i ∈ P Mˇa.t kh´ac, sˆo´ c´ac

chuˆo˜i bit d¯ˆo d`ai n l`a 2 n nˆen sˆo´ c´ac tˆa.p con cu˙’a S l`a 2 n

V´ı du 1.1.9 Cho hai d¯oa.n chu.o.ng tr`ınh sau:

Ho˙’i k s˜e lˆa´y gi´a tri bao nhiˆeu sau khi mˆo˜i d¯oa.n chu.o.ng tr`ınh trˆen d¯u.o c thu c hiˆe.n? + Chu.o.ng tr`ınh 1: C´u mˆo˜i v`ong lˇa.p d¯i.a phu.o.ng, k tˇang lˆen mˆo.t d¯o.n vi

Go.i A i l`a sˆo´ lˆa` n lˇa.p cu˙’a v`ong lˇa.p th´u i A i c´o n i kha˙’ nˇang Ho.n n˜u.a A i v`a A j , i 6= j, loa.i

tr`u nhau Do d¯´o theo nguyˆen l´y tˆo˙’ng, sˆo´ v`ong lˇa.p l`a n1+ n2+ · · · + n m

+ Chu.o.ng tr`ınh 2: C´u mˆo˜i v`ong lˇa.p to`an cu.c, k tˇang lˆen mˆo.t d¯o.n vi Mˆo˜i v`ong lˇa.p to`an cu.c do m v`ong lˇa.p d¯i.a phu.o.ng gh´ep la.i Theo nguyˆen l´y t´ıch sˆo´ v`ong lˇa.p to`an cu.c bˇa`ng

n1 × n2× · · · × n m

V´ı du 1.1.10 Trong nhiˆe`u tru.`o.ng ho p cˆa`n pha˙’i phˆo´i ho p ca˙’ hai nguyˆen l´y tˆo˙’ng v`a t´ıch:Gia˙’ su.˙’ mˆo˜i ngu.`o.i su.˙’ du.ng m´ay t´ınh c´o mˆo.t mˆa.t m˜a, gˆo`m t`u 6 d¯ˆe´n 8 k´y tu ; mˆo˜i k´y tu l`amˆo.t ch˜u c´ai hoa hoˇa.c l`a mˆo.t con sˆo´ Mˆo˜i mˆa.t m˜a nhˆa´t thiˆe´t pha˙’i ch´u.a ´ıt nhˆa´t mˆo.t con sˆo´.Ho˙’i c´o bao nhiˆeu mˆa.t m˜a c´o thˆe˙’ c´o?

Go.i P l`a tˆo˙’ng sˆo´ c´ac mˆa.t m˜a c´o thˆe˙’ c´o v`a P6, P7, P8 l`a sˆo´ c´ac mˆa.t m˜a c´o thˆe˙’ v´o.i d¯ˆo d`aitu.o.ng ´u.ng bˇa`ng 6, 7, 8

Theo nguyˆen l´y tˆo˙’ng: P = P6+ P7+ P8.

Viˆe.c t´ınh tru c tiˆe´p P6 l`a kh´o Ta t´ınh gi´an tiˆe´p nhu sau:

+ Sˆo´ c´ac xˆau c´o d¯ˆo d`ai 6, gˆo`m ch˜u v`a sˆo´, bao gˆo`m ca˙’ tru.`o.ng ho p khˆong c´o con sˆo´ n`aotheo nguyˆen l´y t´ıch l`a (26 + 10)6 = 366.

+ Sˆo´ c´ac xˆau d¯ˆo d`ai 6, khˆong ch´u.a con sˆo´ n`ao l`a 266.

Nhˆa.n x´et 3 Khi c´ac su kiˆe.n A1 v`a A2 c´o thˆe˙’ xa˙’y ra d¯ˆo `ng th`o.i ta khˆong thˆe˙’ d`ung nguyˆen

l´y tˆo˙’ng Tru.`o.ng ho p n`ay cˆa`n su.˙’a d¯ˆo˙’i nhu sau: Nˆe´u vˆa˜n cˆo.ng (n1+ n2) ta d¯˜a d¯ˆe´m th`u.a,

v`ı c´o tru.`o.ng ho p d¯˜a d¯ˆe´m hai lˆa`n c`ung mˆo.t su kiˆe.n (mˆo.t lˆa`n trong A1, mˆo.t lˆa`n trong A2) Tru.`o.ng ho p n`ay chı˙’ xa˙’y ra khi n´o d¯ˆo`ng th`o.i c´o thˆe˙’ xa˙’y ra A1 v`a A2 V`ı vˆa.y cˆa`n tr`u d¯i sˆo´

tru.`o.ng ho p dˆoi th`u.a n`ay

1.1.3 Nguyˆ en l´ y bao h` am-loa.i tr`u.

Gia˙’ su.˙’ A1 v`a A2 l`a hai su kiˆe.n bˆa´t k`y Nˆe´u su kiˆe.n A . 1 c´o thˆe˙’ xa˙’y ra n1 c´ach, su kiˆe.n A2 c´o thˆe˙’ xa˙’y ra n2 c´ach, th`ı su kiˆe.n (A1 hoˇa.c A2) c´o thˆe˙’ xa˙’y ra [(n1 + n2)− sˆo´ lˆa ` n (A1 v`a A2)]

Nguyˆen l´y bao h`am-loa.i tr`u c´o thˆe˙’ mo.˙’ rˆo.ng cho tru.`o.ng ho p m su kiˆe.n, nhu.ng ph´u.c ta.p

ho.n, ta s˜e d¯ˆe` cˆa.p o.˙’ phˆa`n sau

Su cˆong nhˆa.n ba nguyˆen l´y trˆen nhu l`a xuˆa´t ph´at d¯iˆe˙’m cu˙’a l´y thuyˆe´t tˆo˙’ ho p:

+ T´ınh d¯´ung d¯ˇa´n cu˙’a ba nguyˆen l´y trˆen l`a “d¯´ung hiˆe˙’n nhiˆen” Quan d¯iˆe˙’m cu˙’a ch´ung tal`a cˆong nhˆa.n 3 nguyˆen l´y trˆen, coi nhu xuˆa´t ph´at d¯iˆe˙’m cu˙’a l´y thuyˆe´t tˆo˙’ ho p C´ac kˆe´t qua˙’kh´ac s˜e lˆa` n lu.o t d¯u.o c suy ra tru c tiˆe´p hoˇa.c gi´an tiˆe´p t`u ba nguyˆen l´y n`ay

+ Nˆe´u khˆong thoa˙’ m˜an, c˜ung c´o thˆe˙’ t`ım c´ach ch´u.ng minh ba nguyˆen l´y n`ay, nhu vˆa.y tala.i pha˙’i cˆa`n d¯ˆe´n c´ac cˆong cu kh´ac, thu c chˆa´t ta la.i cˆong nhˆa.n mˆo.t d¯iˆe` u g`ı kh´ac l`a “d¯´unghiˆe˙’n nhiˆen” d¯ˆe˙’ rˆo`i suy luˆa.n ra ba nguyˆen l´y trˆen

1 C´o bao nhiˆeu chuˆo˜i 8 bit bˇa´t d¯ˆa` u bˇa`ng 1100?

2 C´o bao nhiˆeu chuˆo˜i 8 bit bˇa´t d¯ˆa` u v`a kˆe´t th´uc bˇa`ng 1?

3 C´o bao nhiˆeu chuˆo˜i 8 bit trong d¯´o hoˇa.c bit th´u hai, hoˇa.c bit th´u tu bˇa`ng 1?

4 C´o bao nhiˆeu chuˆo˜i 8 bit c´o d¯´ung mˆo.t bit bˇa`ng 1? D- ´ung hai bit bˇa`ng 1? C´o ´ıt nhˆa´tmˆo.t bit bˇa`ng 1?

5 C´o bao nhiˆeu chuˆo˜i 8 bit d¯o.c xuˆoi ngu.o c d¯ˆe` u giˆo´ng nhu nhau?

6 C´ac k´y tu ABCDE d¯u.o c su.˙’ du.ng d¯ˆe˙’ ta.o th`anh c´ac chuˆo˜i d¯ˆo d`ai 3.

(a) C´o bao nhiˆeu chuˆo˜i d¯u.o c ta.o ra nˆe´u cho ph´ep lˇa.p?

(b) C´o bao nhiˆeu chuˆo˜i d¯u.o c ta.o ra nˆe´u khˆong cho ph´ep lˇa.p?

(c) C´o bao nhiˆeu chuˆo˜i bˇa´t d¯ˆa` u bˇa`ng A d¯u.o c ta.o ra nˆe´u cho ph´ep lˇa.p?

(d) C´o bao nhiˆeu chuˆo˜i bˇa´t d¯ˆa` u bˇa`ng A d¯u.o c ta.o ra nˆe´u khˆong cho ph´ep lˇa.p?

(e) C´o bao nhiˆeu chuˆo˜i khˆong ch´u.a k´y tu A d¯u.o c ta.o ra nˆe´u cho ph´ep lˇa.p?

(f) C´o bao nhiˆeu chuˆo˜i khˆong ch´u.a k´y tu A d¯u.o c ta.o ra nˆe´u khˆong cho ph´ep lˇa.p?

7 Trˆen tˆa.p X := {5, 6, , 200} :

(a) C´o bao nhiˆeu sˆo´ chˇa˜n, le˙’?

(b) C´o bao nhiˆeu sˆo´ chia hˆe´t cho 5?

(c) C´o bao nhiˆeu sˆo´ gˆo`m nh˜u.ng ch˜u sˆo´ phˆan biˆe.t?

(d) C´o bao nhiˆeu sˆo´ khˆong ch´u.a ch˜u sˆo´ 0?

(e) C´o bao nhiˆeu sˆo´ l´o.n ho.n 101 v`a khˆong ch´u.a ch˜u sˆo´ 6?

(f) C´o bao nhiˆeu sˆo´ c´o c´ac ch˜u sˆo´ d¯u.o c sˇa´p theo th´u tu tˇang thu c su ?

(g) C´o bao nhiˆeu sˆo´ c´o da.ng xyz v´o.i 0 6= x < y v`a y > z?

8 Gia˙’ su.˙’ c´o 5 s´ach tin ho.c, 3 s´ach m´ay t´ınh, 2 s´ach vˆa.t l´y

(a) C´o bao nhiˆeu c´ach sˇa´p xˆe´p ch´ung lˆen gi´a s´ach?

(b) C´o bao nhiˆeu c´ach sˇa´p xˆe´p sao cho 5 s´ach tin ho.c o.˙’ ph´ıa tr´ai, c`on 2 s´ach vˆa.t l´y o.˙’bˆen pha˙’i?

(c) C´o bao nhiˆeu c´ach sˇa´p ch´ung lˆen gi´a sao cho tˆa´t ca˙’ c´ac s´ach theo c`ung nh´om d¯u.o csˇa´p kˆe` nhau?

(d) C´o bao nhiˆeu c´ach sˇa´p ch´ung lˆen gi´a sao cho hai s´ach vˆa.t l´y khˆong kˆe` nhau?

9 C´o 10 ba˙’n copy cu˙’a mˆo.t cuˆo´n s´ach v`a c´o mˆo.t copy cu˙’a 10 cuˆo´n s´ach kh´ac C´o baonhiˆeu c´ach c´o thˆe˙’ cho.n 10 cuˆo´n s´ach?

10 C´o bao nhiˆeu tˆa.p con c´o nhiˆe` u nhˆa´t n phˆa ` n tu.˙’ cu˙’a tˆa.p gˆo`m (2n + 1) phˆa`n tu.˙’?

11 ´Ap du.ng nguyˆen l´y bao h`am-loa.i tr`u d¯ˆe˙’ gia˙’i:

(a) C´o bao nhiˆeu chuˆo˜i 8 bit hoˇa.c bˇa´t d¯ˆa`u bˇa`ng 100 hoˇa.c c´o bit th´u tu bˇa`ng 1?(b) C´o bao nhiˆeu chuˆo˜i 8 bit hoˇa.c bˇa´t d¯ˆa`u bˇa`ng 1 hoˇa.c kˆe´t th´uc bˇa`ng 1?

1.2 Ho´ an vi v`a tˆo˙’ ho p

D- i.nh ngh˜ıa 1.2.1 Mˆo.t ho´an vi cu˙’a n phˆa`n tu.˙’ x1, x2, , x n l`a mˆo.t sˇa´p xˆe´p c´o th´u tu n

phˆa` n tu.˙’ n`ay

V´ı du 1.2.1 C´o s´au ho´an vi cu˙’a ba phˆa`n tu.˙’ Nˆe´u c´ac phˆa`n tu.˙’ d¯u.o c k´y hiˆe.u l`a A, B, C th`ı

s´au ho´an vi l`a

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

D- i.nh l´y 1.2.2 C´o n! ho´an vi cu˙’a n phˆa`n tu.˙’.

Ch´u.ng minh Ta ch´u.ng minh theo quy na.p Mˆo.t ho´an vi cu˙’a n phˆa`n tu.˙’ c´o thˆe˙’ d¯u.o c xˆay

du ng theo n bu.´o.c liˆen tiˆe´p: Cho.n phˆa`n tu.˙’ d¯ˆa`u tiˆen, cho.n phˆa`n tu.˙’ th´u hai, , cho.n phˆa`n

tu.˙’ cuˆo´i c`ung Phˆa` n tu.˙’ d¯ˆa` u tiˆen c´o thˆe˙’ cho.n n c´ach Ngay khi phˆa`n tu.˙’ d¯ˆa`u tiˆen d¯u.o c cho.n,

phˆa` n tu.˙’ th´u hai c´o thˆe˙’ d¯u.o c cho.n n − 1 c´ach Khi phˆa`n tu.˙’ th´u hai d¯˜a d¯u.o c cho.n, phˆa`n tu.˙’ th´u ba c´o thˆe˙’ d¯u.o c cho.n n − 2 c´ach, v`a vˆan vˆan Theo nguyˆen l´y quy na.p v`a sau d¯´o nguyˆen

l´y t´ıch, tˆo`n ta.i

n(n − 1)(n − 2) · · · 2 · 1 = n!

ho´an vi cu˙’a n phˆa`n tu.˙’ 2

V´ı du 1.2.2 C´o

10! = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 3.628.800

ho´an vi cu˙’a 10 phˆa`n tu.˙’

V´ı du 1.2.3 C´o bao nhiˆeu ho´an vi cu˙’a c´ac k´y tu ABCDEF ch´u.a chuˆo˜i con DEF ?

C´o thˆe˙’ xem chuˆo˜i con DEF nhu mˆo.t k´y tu Theo D- i.nh l´y 1.2.2 c´o 4! = 24 ho´an vi cu˙’a

c´ac k´y tu ABCDEF ch´u.a chuˆo˜i con DEF.

V´ı du 1.2.4 C´o bao nhiˆeu ho´an vi cu˙’a c´ac k´y tu ABCDEF ch´u.a c´ac k´y tu DEF theo th´u.

tu bˆa´t k`y?

Ta c´o thˆe˙’ gia˙’i b`ai to´an qua hai bu.´o.c: Cho.n mˆo.t th´u tu cu˙’a c´ac k´y tu DEF ; v`a xˆay du ng mˆo.t ho´an vi cu˙’a ABC ch´u.a th´u tu d¯˜a cho cu˙’a c´ac k´y tu DEF Theo D- i.nh l´y 1.2.2, bu.´o.cd¯ˆa` u tiˆen c´o 3! = 6 c´ach; theo V´ı du 1.2.3 bu.´o.c th´u hai c´o 4! = 24 c´ach Theo nguyˆen l´y

t´ıch, sˆo´ c´ac ho´an vi cu˙’a ABCDEF ch´u.a c´ac k´y tu DEF theo th´u tu bˆa´t k`y l`a 6 · 24 = 144.

Trong mˆo.t sˆo´ tru.`o.ng ho p ta muˆo´n kha˙’o s´at mˆo.t th´u tu cu˙’a r phˆa`n tu.˙’ d¯u.o c cho.n t`u n

phˆa` n tu.˙’ Mˆo.t th´u tu nhu thˆe´ go.i l`a “r-ho´an vi.”.

D- i.nh ngh˜ıa 1.2.3 Mˆo.t r-ho´an vi cu˙’a n phˆa`n tu.˙’ (phˆan biˆe.t) x1, x2, , x n l`a mˆo.t sˇa´p xˆe´p

r-phˆa ` n tu.˙’ c´o th´u tu t`u n phˆa`n tu.˙’ n`ay Sˆo´ c´ac r-ho´an vi cu˙’a tˆa.p n phˆa`n tu.˙’ phˆan biˆe.t k´y hiˆe.u l`a P (n, r).

V´ı du 1.2.5 Ta c´o mˆo.t sˆo´ 2-ho´an vi cu˙’a a, b, c l`a

ab, bc, ac.

Nˆe´u r = n trong D - i.nh ngh˜ıa 1.2.3, ch´ung ta nhˆa.n d¯u.o c mˆo.t th´u tu cu˙’a tˆa´t ca˙’ n phˆa`n tu.˙’.

Do d¯´o theo D- i.nh l´y 1.2.2 P(n, n) = n! Tˆo˙’ng qu´at ta c´o

D- i.nh l´y 1.2.4 Sˆo´ c´ac r-ho´an vi cu˙’a tˆa.p n phˆa`n tu.˙’ phˆan biˆe.t l`a

P (n, r) = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − r + 1), r ≤ n.

Ch´u.ng minh Ch´ung ta d¯ˆe´m sˆo´ c´ac c´ach c´o th´u tu cu˙’a r phˆa`n tu.˙’ d¯u.o c cho.n t`u tˆa.p gˆo`m

n phˆa ` n tu.˙’ C´o n c´ach cho.n phˆa`n tu.˙’ d¯ˆa`u tiˆen Kˆe´ tiˆe´p, c´o n − 1 c´ach cho.n phˆa`n tu.˙’ th´u hai, n − 2 c´ach cho.n phˆa`n tu.˙’ th´u ba, , c´o n − r + 1 c´ach cho.n phˆa`n tu.˙’ th´u r Do d¯´o theo nguyˆen l´y t´ıch, sˆo´ c´ac r-ho´an vi cu˙’a tˆa.p n phˆa`n tu.˙’ phˆan biˆe.t l`a

n(n − 1)(n − 2) · · · (n − r + 1).

2

V´ı du 1.2.6 Theo D- i.nh l´y 1.2.4, sˆo´ c´ac 2-ho´an vi cu˙’a X = {a, b, c} l`a

P (3, 2) = 3 · 2 = 6.

S´au ho´an vi n`ay l`a

ab, ac, ba, bc, ca, cb.

V´ı du 1.2.7 C´o bao nhiˆeu c´ach cho.n mˆo.t chu˙’ ti.ch, mˆo.t ph´o chu˙’ ti.ch, mˆo.t thu k´y v`a mˆo.tthu˙’ qu˜y t`u mˆo.t nh´om 10 ngu.`o.i?

Ch´ung ta cˆa` n d¯ˆe´m sˆo´ c´ac c´ach c´o th´u tu cu˙’a 4 ngu.`o.i d¯u.o c cho.n t`u mˆo.t nh´om gˆo`m 10ngu.`o.i Theo D- i.nh l´y 1.2.4 sˆo´ c´ac c´ach cho.n l`a

P (10, 4) = 10 · 9 · 8 · 7 = 5040.

Ch´u ´y rˇa`ng c˜ung c´o thˆe˙’ suy ra kˆe´t qua˙’ tru c tiˆe´p t`u nguyˆen l´y t´ıch (ta.i sao?)

V´ı du 1.2.8 Mˆo.t ngu.`o.i b´an h`ang rong cˆa`n d¯i qua 7 d¯i.a d¯iˆe˙’m kh´ac nhau ˆOng ta c´o thˆe˙’ d¯itheo th´u tu bˆa´t k`y C´o bao nhiˆeu h`anh tr`ınh kh´ac nhau?

Sˆo´ c´ac h`anh tr`ınh c´o thˆe˙’ c´o l`a sˆo´ c´ac ho´an vi t`u tˆa.p gˆo`m 7 phˆa`n tu.˙’:

P (7, 7) = 7! = 5040.

Nˆe´u chˇa˙’ng ha.n ˆong ta muˆo´n t`ım h`anh tr`ınh c´o d¯ˆo d`ai ngˇa´n nhˆa´t, ˆong ta cˆa`n t´ınh to´an v`a

so s´anh 5040 h`anh tr`ınh ca˙’ tha˙’y!(?)

Ta c´o thˆe˙’ viˆe´t

µ

n r

¶

.

Ch´ung ta s˜e x´ac d¯i.nh cˆong th´u.c cho C(n, r) bˇa`ng c´ach d¯ˆe´m sˆo´ c´ac r-ho´an vi cu˙’a tˆa.p gˆo`m

n phˆa ` n tu.˙’ theo hai c´ach Th´u nhˆa´t, su.˙’ du.ng cˆong th´u.c P (n, r) C´ach th´u hai l`a d¯ˆe´m sˆo´ c´ac

r-ho´an vi cu˙’a tˆa.p gˆo`m n phˆa`n tu.˙’ c´o liˆen quan v´o.i C(n, r) T`u d¯´o s˜e suy ra kˆe´t qua˙’.

Ta c´o thˆe˙’ xˆay du ng r-ho´an vi cu˙’a tˆa.p n phˆa`n tu.˙’ phˆan biˆe.t qua hai bu.´o.c liˆen tiˆe´p: D- ˆa`utiˆen, cho.n mˆo.t r-tˆo˙’ ho p cu˙’a X (tˆa.p con r phˆa`n tu.˙’ khˆong phˆan biˆe.t th´u tu ) v`a sau d¯´o sˇa´p th´u tu n´o Chˇa˙’ng ha.n, d¯ˆe˙’ xˆay du ng mˆo.t 2-ho´an vi cu˙’a {a, b, c, d} ta c´o thˆe˙’ cho.n 2-tˆo˙’ ho p v`a sau d¯´o sˇa´p th´u tu n´o Theo nguyˆen l´y t´ıch, sˆo´ c´ac r-ho´an vi bˇa`ng t´ıch cu˙’a sˆo´ c´ac r-tˆo˙’ ho p v`a sˆo´ c´ac c´ach sˇa´p th´u tu cu˙’a r phˆa`n tu.˙’ T´u.c l`a

P (n, r) = C(n, r)r!.

Vˆa.y

C(n, r) = P (n, r)

r! .

Do d¯´o theo D- i.nh l´y 1.2.4 ta c´o

D- i.nh l´y 1.2.6 Sˆo´ c´ac r-ho´an vi cu˙’a tˆa.p n phˆa`n tu.˙’ phˆan biˆe.t l`a

(n − r)!r! , r ≤ n.

× × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × H`ınh 1.1: V´ı du 1.2.9 C´o bao nhiˆeu c´ach cho.n 5 ngu.`o.i t`u 10 ngu.`o.i d¯ˆe˙’ lˆa.p th`anh mˆo.t d¯ˆo.i b´ong (khˆong phˆan biˆe.t th´u tu )?

Cˆau tra˙’ l`o.i l`a bˇa`ng sˆo´ tˆo˙’ ho p chˆa.p 5 cu˙’a 10 phˆa`n tu.˙’

C(10, 5) = 10!

5!5! = 252.

V´ı du 1.2.10 C´o bao nhiˆeu c´ach cho.n mˆo.t hˆo.i d¯ˆo`ng gˆo`m hai ngu.`o.i n˜u v`a ba ngu.`o.i nam t`u mˆo.t nh´om nˇam ngu.`o.i n˜u v`a s´au ngu.`o.i nam?

Sˆo´ c´ach cho.n hai ngu.`o.i n˜u v`a ba ngu.`o.i nam tu.o.ng ´u.ng l`a C(5, 2) = 10 v`a C(6, 3) = 20.

Hˆo.i d¯ˆo`ng d¯u.o c xˆay du ng qua hai bu.´o.c liˆen tiˆe´p: Cho.n ngu.`o.i n˜u.; cho.n ngu.`o.i nam Theo

nguyˆen l´y t´ıch, tˆo˙’ng sˆo´ c´ac hˆo.i d¯ˆo`ng l`a 10 · 20 = 200.

V´ı du 1.2.11 C´o bao nhiˆeu chuˆo˜i t´am bit ch´u.a ch´ınh x´ac bˆo´n bit 1?

Mˆo.t chuˆo˜i t´am bit ch´u.a bˆo´n bit 1 d¯u.o c x´ac d¯i.nh duy nhˆa´t ngay khi ch´ung ta biˆe´t c´ac bit n`ao bˇa`ng 1 Nhu.ng d¯iˆe` u n`ay c´o thˆe˙’ thu c hiˆe.n bo.˙’i C(8, 4) c´ach.

V´ı du 1.2.12 C´o bao nhiˆeu h`anh tr`ınh t`u g´oc du.´o.i bˆen tr´ai cu˙’a mˆo.t b`an c`o vuˆong k´ıch

thu.´o.c n × n d¯ˆe´n g´oc trˆen bˆen pha˙’i nˆe´u ch´ung ta chı˙’ d¯i theo c´ach sang pha˙’i v`a lˆen trˆen? Mˆo.t h`anh tr`ınh nhu vˆa.y trˆen b`an c`o 4 × 4 d¯u.o c cho trong H`ınh 1.1.

Mˆo˜i h`anh tr`ınh c´o thˆe˙’ d¯u.o c mˆo ta˙’ bo.˙’i mˆo.t chuˆo˜i d¯ˆo d`ai 2n cu˙’a n k´y tu R v`a n k´y tu U Chˇa˙’ng ha.n, h`anh tr`ınh trong H`ınh 1.1 tu.o.ng ´u.ng chuˆo˜i RUURRURU Mˆo.t chuˆo˜i nhu vˆa.y c´o thˆe˙’ nhˆa.n d¯u.o c bˇa`ng c´ach cho.n n vi tr´ı d¯ˆo´i v´o.i R (khˆong phˆan biˆe.t th´u tu ) trong sˆo´ 2n

vi tr´ı cho ph´ep cu˙’a chuˆo˜i v`a sau d¯´o ch`en n k´y tu U v`ao nh˜u.ng vi tr´ı c`on la.i Do d¯´o sˆo´ h`anh tr`ınh l`a C(2n, n).

B` ai tˆ a.p

1 C´o bao nhiˆeu ho´an vi cu˙’a a, b, c, d? Liˆe.t kˆe c´ac ho´an vi n`ay.

2 C´o bao nhiˆeu 3-ho´an vi cu˙’a a, b, c, d? Liˆe.t kˆe c´ac ho´an vi n`ay.

3 C´o bao nhiˆeu ho´an vi., 5-ho´an vi cu˙’a 11 d¯ˆo´i tu.o ng kh´ac nhau?

4 C´o bao nhiˆeu c´ach cho.n mˆo.t chu˙’ ti.ch, mˆo.t ph´o chu˙’ ti.ch v`a mˆo.t thu k´y t`u mˆo.t nh´om

(b) Ch´u.a c´ac k´y tu ACE theo th´u tu t`uy ´y.

(c) Ch´u.a c´ac chuˆo˜i con DB v`a AE.

(d) Ch´u.a hoˇa.c chuˆo˜i con AE hoˇa.c EA.

(e) K´y tu A xuˆa´t hiˆe.n tru.´o.c k´y tu D Chˇa˙’ng ha.n BCAED, BCADE.

(f) Khˆong ch´u.a c´ac chuˆo˜i con AB, CD.

(g) K´y tu A xuˆa´t hiˆe.n tru.´o.c k´y tu C v`a C xuˆa´t hiˆe.n tru.´o.c E.

7 D- ˇa.t X := {a, b, c, d}.

(a) T`ım sˆo´ c´ac 3-tˆo˙’ ho p cu˙’a X Liˆe.t kˆe c´ac tˆo˙’ ho p n`ay.

(b) T`ım mˆo´i quan hˆe gi˜u.a c´ac 3-tˆo˙’ ho p v`a 3-ho´an vi cu˙’a X.

8 C´o bao nhiˆeu c´ach cho.n mˆo.t hˆo.i d¯ˆo`ng gˆo`m ba ngu.`o.i t`u nh´om 11 ngu.`o.i?

9 C´o bao nhiˆeu c´ach cho.n mˆo.t hˆo.i d¯ˆo`ng gˆo`m bˆo´n ngu.`o.i t`u nh´om 12 ngu.`o.i?

10 Mˆo.t cˆau la.c bˆo gˆo`m s´au ngu.`o.i nam v`a ba˙’y ngu.`o.i n˜u

(a) C´o bao nhiˆeu c´ach cho.n mˆo.t hˆo.i d¯ˆo`ng gˆo`m nˇam ngu.`o.i?

(b) C´o bao nhiˆeu c´ach cho.n mˆo.t hˆo.i d¯ˆo`ng gˆo`m ba nam v`a bˆo´n n˜u.?

(c) C´o bao nhiˆeu c´ach cho.n mˆo.t hˆo.i d¯ˆo`ng gˆo`m bˆo´n ngu.`o.i v`a ´ıt nhˆa´t mˆo.t n˜u.?

(d) C´o bao nhiˆeu c´ach cho.n mˆo.t hˆo.i d¯ˆo`ng gˆo`m bˆo´n ngu.`o.i v´o.i nhiˆe` u nhˆa´t mˆo.t nam?(e) C´o bao nhiˆeu c´ach cho.n mˆo.t hˆo.i d¯ˆo`ng gˆo`m bˆo´n ngu.`o.i c´o ca˙’ nam v`a n˜u.?

11 (a) C´o bao nhiˆeu chuˆo˜i 8 bit ch´u.a ch´ınh x´ac ba bit 0?

(b) C´o bao nhiˆeu chuˆo˜i 8 bit ch´u.a ba bit 0 v`a 5 bit 1?

(c) C´o bao nhiˆeu chuˆo˜i 8 bit ch´u.a ´ıt nhˆa´t hai bit 0?

12 Mˆo.t cu.˙’a h`ang c´o 50 m´ay t´ınh trong d¯´o c´o bˆo´n bi ho˙’ng.

(a) C´o bao nhiˆeu c´ach cho.n bˆo´n m´ay t´ınh?

(b) C´o bao nhiˆeu c´ach cho.n bˆo´n m´ay t´ınh khˆong ho˙’ng?

(c) C´o bao nhiˆeu c´ach cho.n bˆo´n m´ay t´ınh trong d¯´o c´o hai chiˆe´c bi ho˙’ng?

(d) C´o bao nhiˆeu c´ach cho.n bˆo´n m´ay t´ınh trong d¯´o c´o ´ıt nhˆa´t mˆo.t chiˆe´c bi ho˙’ng?

13 X´et mˆo.t h`anh tr`ınh trˆen b`an c`o k´ıch thu.´o.c m × n t`u g´oc tr´ai bˆen du.´o.i d¯ˆe´n g´oc trˆen

bˆen pha˙’i v`a theo hu.´o.ng hoˇa.c sang pha˙’i hoˇa.c lˆen trˆen

(a) Sˆo´ h`anh tr`ınh c´o thˆe˙’ l`a bao nhiˆeu?

(b) ´Ap du.ng d¯ˆe˙’ ch´u.ng minh d¯ˇa˙’ng th´u.c

16 Ch´u.ng minh rˇa`ng t´ıch cu˙’a k sˆo´ nguyˆen liˆen tiˆe´p chia hˆe´t cho k!.

17 Ch´u.ng minh rˇa`ng c´o (2n − 1)(2n − 3) · · 3 · 1 c´ach cho.n n cˇa.p t`u 2n phˆa`n tu.˙’ phˆan

biˆe.t

18 Gia˙’ su.˙’ c´o n d¯ˆo´i tu.o ng trong d¯´o c´o r d¯ˆo´i tu.o ng phˆan biˆe.t v`a n−r l`a d¯ˆo`ng nhˆa´t Ch´u.ng

minh cˆong th´u.c

P (n, r) = r!C(n, r)

bˇa`ng c´ach d¯ˆe´m sˆo´ c´o phˆan biˆe.t th´u tu cu˙’a n d¯ˆo´i tu.o ng theo hai c´ach:

+ D- ˆa`u tiˆen d¯ˆe´m sˆo´ c´o phˆan biˆe.t th´u tu c´ac vi tr´ı cu˙’a r d¯ˆo´i tu.o ng phˆan biˆe.t.

+ D- ˆa`u tiˆen d¯ˆe´m sˆo´ c´o phˆan biˆe.t th´u tu c´ac vi tr´ı cu˙’a n − r d¯ˆo´i tu.o ng d¯ˆo`ng nhˆa´t.

1.3 C´ ac thuˆ a.t to´an sinh ra ho´an vi v`a tˆo˙’ ho p

Nh´om nha.c rock cu˙’a tru.`o.ng D- a.i ho.c D-`a La.t c´o n b`ai h´at cˆa`n ghi lˆen mˆo.t d¯˜ıa CD C´ac b`ai

h´at chiˆe´m th`o.i gian (t´ınh bˇa`ng giˆay) tu.o.ng ´u.ng l`a

D- ˜ıa CD c´o thˆe˙’ lu.u tr˜u nhiˆe` u nhˆa´t l`a C giˆay V`ı d¯ˆay l`a d¯˜ıa CD d¯ˆa` u tiˆen cu˙’a nh´om, nˆen ho.muˆo´n ghi c´ac b`ai h´at v´o.i th`o.i lu.o ng c`ang nhiˆe` u c`ang tˆo´t Do d¯´o b`ai to´an l`a cho.n mˆo.t tˆa.p

con {i1, i2, , i k } cu˙’a {1, 2, , n} sao cho tˆo˙’ng

k

X

j=1

t i j

khˆong vu.o t qu´a C v`a l´o.n nhˆa´t c´o thˆe˙’ C´ach tiˆe´p cˆa.n l`a kiˆe˙’m tra tˆa´t ca˙’ c´ac tˆa.p con cu˙’a

{1, 2, , n} v`a cho.n mˆo.t tˆa.p con sao cho tˆo˙’ng (1.1) l´o.n nhˆa´t c´o thˆe˙’ D- ˆe˙’ thu c hiˆe.n ch´ung

ta cˆa` n mˆo.t thuˆa.t to´an ta.o ra tˆa´t ca˙’ c´ac tˆo˙’ ho p cu˙’a tˆa.p gˆo`m n phˆa`n tu.˙’ Phˆa`n n`ay tr`ınh b`ay

c´ac thuˆa.t to´an sinh ra c´ac ho´an vi v`a tˆo˙’ ho p

Do c´o 2n tˆa.p con cu˙’a tˆa.p gˆo`m n phˆa`n tu.˙’ nˆen th`o.i gian thu c hiˆe.n cu˙’a thuˆa.t to´an kiˆe˙’m tra tˆa´t ca˙’ c´ac tˆa.p con ´ıt nhˆa´t l`a O(2 n ) Nh˜u.ng thuˆa.t to´an nhu vˆa.y l`a khˆong ho p l´y ngoa.i tr`u v´o.i nh˜u.ng gi´a tri n nho˙’ Tuy nhiˆen c´o nh˜u.ng b`ai to´an m`a d¯ˆe˙’ gia˙’i n´o khˆong c´o c´ach n`ao tˆo´t

ho.n l`a “liˆe.t kˆe” tˆa´t ca˙’ c´ac tru.`o.ng ho p

Phu.o.ng ph´ap liˆe.t kˆe tˆa´t ca˙’ c´ac tˆo˙’ ho p v`a c´ac ho´an vi theo “th´u tu t`u d¯iˆe˙’n”: V´o.i hai t`u.d¯˜a cho, d¯ˆe˙’ x´ac d¯i.nh t`u n`ao d¯´u.ng tru.´o.c trong t`u d¯iˆe˙’n, ch´ung ta so s´anh c´ac k´y tu trong t`u C´o hai kha˙’ nˇang:

(a) Mˆo˜i k´y tu trong t`u ngˇa´n ho.n tr`ung v´o.i k´y tu tu.o.ng ´u.ng trong t`u d`ai ho.n

(b) Ta.i mˆo.t vi tr´ı n`ao d¯´o, c´ac k´y tu trong hai t`u kh´ac nhau

Nˆe´u (a) d¯´ung, t`u ngˇa´n ho.n s˜e d¯´u.ng tru.´o.c Chˇa˙’ng ha.n, “dog” d¯´u.ng tru.´o.c “doghouse”

trong t`u d¯iˆe˙’n Nˆe´u (b) d¯´ung ch´ung ta x´ac d¯i.nh vi tr´ı bˆen tr´ai nhˆa´t p m`a ta.i d¯´o c´ac k´y tu kh´ac nhau Th´u tu cu˙’a c´ac t`u d¯u.o.c x´ac d¯i.nh bo.˙’i th´u tu cu˙’a c´ac k´y tu ta.i vi tr´ı p Chˇa˙’ng

ha.n, “nha” d¯´u.ng tru.´o.c “nhanh” trong t`u d¯iˆe˙’n

D- ˆe˙’ d¯o.n gia˙’n ta s˜e d¯i.nh ngh˜ıa th´u tu t`u d¯iˆe˙’n trˆen tˆa.p c´ac k´y hiˆe.u l`a c´ac sˆo´ tu nhiˆen

D- i.nh ngh˜ıa 1.3.1 Gia˙’ su.˙’ α = s1s2 s p v`a β = t1t2 t q l`a c´ac chuˆo˜i trˆen tˆa.p {1, 2, , n}.

Ta n´oi α c´o th´u tu t`u d¯iˆe˙’n nho˙’ ho.n β, k´y hiˆe.u α < β, nˆe´u hoˇa.c

(a) p < q v`a s i = t i v´o.i i = 1, 2, , p; hoˇa.c

(b) Tˆo`n ta.i i sao cho s i 6= t i , v`a v´o.i chı˙’ sˆo´ i nho˙’ nhˆa´t nhu vˆa.y, ta c´o s i < t i

V´ı du 1.3.1 Trˆen tˆa.p {1, 2, 3, 4} ta c´o α = 132 < β = 1324 Trˆen tˆa.p {1, 2, 3, 4, 5, 6} ta c´o

α = 13246 < β = 1342.

D- ˆa`u tiˆen ta x´et b`ai to´an liˆe.t kˆe tˆa´t ca˙’ c´ac r-tˆo˙’ ho p cu˙’a tˆa.p {1, 2, , n} Trong thuˆa.t to´an, ch´ung ta s˜e liˆe.t kˆe r-tˆo˙’ ho p {x1, x2, , x r } tu.o.ng ´u.ng chuˆo˜i s1s2 s r trong d¯´o

s1 < s2 < · · · < s r v`a {x1, x2, , x r } = {s1, s2, , s r } Chˇa˙’ng ha.n, 3-tˆo˙’ ho p {6, 2, 4} s˜e

tu.o.ng ´u.ng chuˆo˜i 246

Ta s˜e liˆe.t kˆe c´ac r-tˆo˙’ ho p cu˙’a tˆa.p {1, 2, , n} theo th´u tu t`u d¯iˆe˙’n Do d¯´o, c´ac chuˆo˜i d¯u.o c liˆe.t kˆe d¯ˆa`u tiˆen v`a cuˆo´i c`ung tu.o.ng ´u.ng l`a 12 r v`a (n − r + 1) n.

V´ı du 1.3.2 Liˆe.t kˆe tˆa´t ca˙’ 5-tˆo˙’ ho p cu˙’a {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Chuˆo˜i d¯ˆa` u tiˆen l`a 12345, theo sau l`a 12346 v`a 12347 Chuˆo˜i kˆe´ tiˆe´p l`a 12356 v`a sau d¯´o

12357 Chuˆo˜i cuˆo´i c`ung l`a 34567

V´ı du 1.3.3 T`ım chuˆo˜i tiˆe´p theo 13467 khi ch´ung ta liˆe.t kˆe 5-tˆo˙’ ho p cu˙’a tˆa.p ho p X :=

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Khˆong c´o chuˆo˜i n`ao bˇa´t d¯ˆa` u v´o.i 134 v`a c´ac biˆe˙’u diˆe˜n cu˙’a mˆo.t tˆo˙’ ho p 5 phˆa`n tu.˙’ cu˙’a X

pha˙’i l´o.n ho.n 13467 Do d¯´o chuˆo˜i tiˆe´p theo 13467 pha˙’i bˇa´t d¯ˆa` u l`a 135 V`ı 13567 l`a chuˆo˜inho˙’ nhˆa´t bˇa´t d¯ˆa` u bˇa`ng 135 v`a l`a mˆo.t tˆo˙’ ho p cu˙’a 5 phˆa`n tu.˙’ cu˙’a X nˆen 13567 l`a tˆo˙’ ho p pha˙’i

t`ım

V´ı du 1.3.4 T`ım chuˆo˜i tiˆe´p theo 2367 khi ch´ung ta liˆe.t kˆe 4-tˆo˙’ ho p cu˙’a tˆa.p ho p X :=

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Khˆong c´o chuˆo˜i n`ao bˇa´t d¯ˆa` u v´o.i 23 v`a c´ac biˆe˙’u diˆe˜n cu˙’a mˆo.t tˆo˙’ ho p 4 phˆa`n tu.˙’ cu˙’a X

pha˙’i l´o.n ho.n 2367 Do d¯´o chuˆo˜i tiˆe´p theo 2367 pha˙’i bˇa´t d¯ˆa` u l`a 24 V`ı 2456 l`a chuˆo˜i nho˙’nhˆa´t bˇa´t d¯ˆa` u bˇa`ng 24 v`a l`a mˆo.t tˆo˙’ ho p cu˙’a 5 phˆa`n tu.˙’ cu˙’a X nˆen 2456 l`a tˆo˙’ ho p pha˙’i t`ım.

X´et chuˆo˜i α = s1s2 s r biˆe˙’u diˆe˜n tˆo˙’ ho p {x1, x2, , x r } D - ˆe˙’ t`ım chuˆo˜i kˆe´ tiˆe´p β =

t1t2 t r ta t`ım phˆa` n tu.˙’ bˆen pha˙’i nhˆa´t s m m`a khˆong pha˙’i l`a gi´a tri cu c d¯a.i cu˙’a n´o ta.i d¯´o

(s r c´o thˆe˙’ lˆa´y gi´a tri cu c d¯a.i n, s r−1 c´o thˆe˙’ lˆa´y gi´a tri cu c d¯a.i n − 1, ) Khi d¯´o

t i = s i , v´o.i i = 1, 2, , m − 1.

Phˆa` n tu.˙’ t m bˇa`ng s m + 1 Nh˜u.ng phˆa ` n tu.˙’ c`on la.i cu˙’a chuˆo˜i β x´ac d¯i.nh bo.˙’i

t m+1 = s m + 2, t m+2 = s m + 3,

Bu.´o.c 1 [Kho.˙’i ta.o chuˆo˜i] D- ˇa.t s i = i, i = 1, 2 , r.

Bu.´o.c 2 [Xuˆa´t tˆo˙’ ho p d¯ˆa`u tiˆen] Xuˆa´t chuˆo˜i s = s1s2 s r

Bu.´o.c 3 [Lˇa.p] V´o.i mˆo˜i i = 2, 3, , C(n, r) thu c hiˆe.n c´ac bu.´o.c sau:

3.1 T`ım phˆa` n tu.˙’ bˆen pha˙’i nhˆa´t khˆong pha˙’i l`a gi´a tri cu c d¯a.i cu˙’a n´o.

3.2 (Gi´a tri cu c d¯a.i cu˙’a s k d¯u.o c d¯i.nh ngh˜ıa l`a n − r + k).

Ta c´o s3 l`a phˆa` n tu.˙’ bˆen pha˙’i nhˆa´t khˆong pha˙’i l`a gi´a tri cu c d¯a.i cu˙’a n´o ta.i d¯´o ´Ap du.ng

thuˆa.t to´an trˆen, ta c´o chuˆo˜i tiˆe´p theo 23467 l`a 23567.

V´ı du 1.3.6 Thuˆa.t to´an ta.o 4-tˆo˙’ ho p cu˙’a {1, 2, 3, 4, 5, 6} cho ta

1234, 1235, 1236, 1246, 1256, 1345, 1346,

1356, 1456, 2345, 2346, 2356, 3456.

Tu.o.ng tu thuˆa.t to´an sinh c´ac tˆo˙’ ho p, thuˆa.t to´an sinh c´ac ho´an vi s˜e liˆe.t kˆe theo th´u tu t`u d¯iˆe˙’n

V´ı du 1.3.7 D- ˆe˙’ xˆay du ng ho´an vi cu˙’a tˆa.p {1, 2, 3, 4, 5, 6} sau ho´an vi 163542, ch´ung ta cˆa`n

cˆo´ d¯i.nh c´ac ch˜u sˆo´ bˆen tr´ai nhiˆe` u nhˆa´t c´o thˆe˙’

Tˆo`n ta.i ho´an vi tiˆe´p theo ho´an vi 1635 ? V`ı ho´an vi c´o da.ng 1635 kh´ac ho´an vi d¯˜a chol`a 163524 v`a 163524 nho˙’ ho.n 163542 nˆen ho´an vi sau 163542 khˆong thˆe˙’ c´o da.ng 1635 Tˆo`n ta.i ho´an vi tiˆe´p theo ho´an vi 163 ? Ba ch˜u sˆo´ cuˆo´i c`ung pha˙’i l`a mˆo.t ho´an vi cu˙’a

{2, 4, 5} V`ı 542 l`a ho´an vi l´o.n nhˆa´t cu˙’a {2, 4, 5} nˆen ho´an vi bˆa´t k`y v´o.i ba ch˜u sˆo´ bˇa´t d¯ˆa`u

163 nho˙’ ho.n ho´an vi 63542 Vˆa.y ho´an vi sau ho´an vi d¯˜a cho khˆong thˆe˙’ c´o da.ng 163 Ho´an vi tiˆe´p theo cu˙’a 163542 khˆong thˆe˙’ bˇa´t d¯ˆa`u l`a 1635 hay 163 do hoˇa.c c´ac ch˜u sˆo´ c`on

la.i trong ho´an vi d¯˜a cho (42 v`a 542, tu.o.ng ´u.ng) l`a gia˙’m Do d¯´o, bˇa´t d¯ˆa`u t`u bˆen pha˙’i, ch´ung

ta cˆa` n t`ım ch˜u sˆo´ d¯ˆa` u tiˆen d m`a lˆan cˆa.n bˆen pha˙’i cu˙’a n´o l`a r thoa˙’ m˜an d < r Trong tru.`o.ng

ho p trˆen, ch˜u sˆo´ th´u ba: 3 c´o t´ınh chˆa´t n`ay Vˆa.y ho´an vi tiˆe´p theo ho´an vi d¯˜a cho s˜e bˇa´td¯ˆa` u l`a 16 Ch˜u sˆo´ tiˆe´p theo khˆong thˆe˙’ nho˙’ ho.n 3 V`ı ta muˆo´n ho´an vi tiˆe´p theo nho˙’ nhˆa´t,nˆen ch˜u sˆo´ kˆe´ tiˆe´p l`a 4 Do d¯´o ho´an vi tiˆe´p theo bˇa´t d¯ˆa`u v´o.i 164 C´ac ch˜u sˆo´ c`on la.i: 235cˆa` n tˇang v´o.i gi´a tri nho˙’ nhˆa´t Vˆa.y ho´an vi tiˆe´p theo ho´an vi d¯˜a cho l`a 16435

Nhˆa.n x´et rˇa`ng d¯ˆe˙’ ta.o tˆa´t ca˙’ c´ac ho´an vi cu˙’a tˆa.p {1, 2, , n} ch´ung ta c´o thˆe˙’ bˇa´t d¯ˆa`u v´o.i ho´an vi 12 n v`a lˇa.p la.i phu.o.ng ph´ap cu˙’a V´ı du 1.3.7 d¯ˆe˙’ ta.o ho´an vi kˆe´ tiˆe´p Thuˆa.t to´an kˆe´t th´uc khi ta.o ra ho´an vi n(n − 1) 21.

V´ı du 1.3.8 ´Ap du.ng phu.o.ng ph´ap cu˙’a V´ı du 1.3.7, ta c´o thˆe˙’ liˆe.t kˆe tˆa´t ca˙’ c´ac ho´an vi cu˙’a

{1, 2, 3, 4} theo th´u tu t`u d¯iˆe˙’n nhu sau:

1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432, 2134, 2143,

2314, 2341, 2413, 2431, 3124, 3142, 3214, 3241,

3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321

Bu.´o.c 1 [Kho.˙’i ta.o chuˆo˜i] D- ˇa.t s i = i, i = 1, 2 , n.

Bu.´o.c 2 [Xuˆa´t ho´an vi d¯ˆa`u tiˆen] Xuˆa´t chuˆo˜i s = s1s2 s n

Bu.´o.c 3 [Lˇa.p] V´o.i mˆo˜i i = 2, 3, , n! thu c hiˆe.n c´ac bu.´o.c sau:

3.1 T`ım chı˙’ sˆo´ l´o.n nhˆa´t m thoa˙’ m˜an s m < s m+1

3.2 T`ım chı˙’ sˆo´ l´o.n nhˆa´t k thoa˙’ m˜an s k > s m

3.3 Ho´an vi hai phˆa`n tu.˙’ s m v`a s k

3.4 D- a˙’o ngu.o c th´u tu cu˙’a c´ac phˆa`n tu.˙’ s m+1 , , s n

3.5 Xuˆa´t s.

V´ı du 1.3.9 ´Ap du.ng thuˆa.t to´an trˆen t`ım ho´an vi tiˆe´p theo 163542: Gia˙’ su.˙’

s1 = 1, s2 = 6, s3 = 3, s4 = 5, s5 = 4, s6 = 2.

Chı˙’ sˆo´ m l´o.n nhˆa´t thoa˙’ s m < s m+1 l`a 3 Chı˙’ sˆo´ k l´o.n nhˆa´t thoa˙’ s k > s m l`a 5 Ho´an vi s m

v`a s k ta c´o s3 = 4, s5 = 3 D - a˙’o ngu.o c th´u tu c´ac phˆa`n tu.˙’ s4, s5, s6 ta nhˆa.n d¯u.o c ho´an vi.tiˆe´p theo l`a 164235

5 Viˆe´t thuˆa.t to´an d¯ˆe quy sinh ra tˆa´t ca˙’ c´ac r-tˆo˙’ ho p cu˙’a tˆa.p {s1, s2, , s n } Chia b`ai

to´an th`anh hai b`ai to´an con:

+ Liˆe.t kˆe c´ac r-tˆo˙’ ho p ch´u.a s1.

+ Liˆe.t kˆe c´ac r-tˆo˙’ ho p khˆong ch´u.a s1.

6 Viˆe´t thuˆa.t to´an d¯ˆe quy sinh ra tˆa´t ca˙’ c´ac ho´an vi cu˙’a tˆa.p {s1, s2, , s n } Chia b`ai

to´an th`anh n b`ai to´an con:

+ Liˆe.t kˆe c´ac ho´an vi bˇa´t d¯ˆa`u v´o.i s1.

+ Liˆe.t kˆe c´ac ho´an vi bˇa´t d¯ˆa`u v´o.i s2.

+ Liˆe.t kˆe c´ac ho´an vi bˇa´t d¯ˆa`u v´o.i s n

1.4 Ho´ an vi v`a tˆo˙’ ho p suy rˆo.ng

Trong c´ac mu.c tru.´o.c, ch´ung ta d¯˜a nghiˆen c´u.u c´ac ho´an vi v`a tˆo˙’ ho p khˆong cho ph´ep lˇa.p la.ic´ac phˆa` n tu.˙’ Phˆa` n n`ay t`ım hiˆe˙’u c´ac ho´an vi cu˙’a c´ac d˜ay ch´u.a nh˜u.ng phˆa`n tu.˙’ lˇa.p la.i v`a c´acph´ep cho.n khˆong phˆan biˆe.t th´u tu c´o lˇa.p la.i Tru.´o.c hˆe´t ta x´et v´ı du sau

V´ı du 1.4.1 Trong nhiˆe`u vˆa´n d¯ˆe` d¯ˆe´m, c´ac phˆa`n tu.˙’ c´o thˆe˙’ lˇa.p la.i; chˇa˙’ng ha.n c´o bao nhiˆeu

xˆau kh´ac nhau c´o d¯ˆo d`ai n t`u ba˙’ng 26 ch˜u c´ai?

Hiˆe˙’n nhiˆen o.˙’ d¯ˆay, c´o thˆe˙’ coi c´ac ch˜u c´ai d¯u.o c r´ut ra c´o ho`an la.i Mˆo.t xˆau d¯ˆo d`ai n gˆo`m

n ch˜u c´ai Mˆo˜i ch˜u c´ai c´o 26 c´ach cho.n lu a Theo nguyˆen l´y t´ıch, sˆo´ xˆau c´o thˆe˙’ l`a

26 × 26 × · · · × 26

n lˆ` n a

= 26n

D- i.nh l´y 1.4.1 Sˆo´ c´ac r-ho´an vi c´o lˇa.p la.i cu˙’a tˆa.p n phˆa`n tu.˙’ bˇa`ng n r

Ch´u.ng minh C´o n c´ach cho.n cho mˆo˜i vi tr´ı trong r-ho´an vi (v`ı c´o lˇa.p la.i) ´Ap du.ng nguyˆen

l´y t´ıch, sˆo´ c´ac r-ho´an vi c´o lˇa.p la.i bˇa`ng n r 2

V´ı du 1.4.2 X´et chuˆo˜i SUCCESS C´o bao nhiˆeu chuˆo˜i kh´ac nhau c´o thˆe˙’ c´o khi sˇa´p xˆe´p

la.i c´ac k´y tu cu˙’a chuˆo˜i n`ay?

Tru.´o.c hˆe´t ch´u ´y rˇa`ng trong chuˆo˜i SUCCESS d¯ˆo d`ai 7 c´o ba k´y tu S, hai k´y tu C, mˆo.t k´y tu U v`a mˆo.t k´y tu E Nh˜u.ng k´y tu n`ay l`a khˆong phˆan biˆe.t, nˆen ho´an vi ch´ung khˆong

ta.o ra chuˆo˜i m´o.i

C´o tˆa´t ca˙’ 7! chuˆo˜i l`a ho´an vi cu˙’a chuˆo˜i SUCCESS Ba k´y tu S ho´an vi ta.o ra 3! chuˆo˜i; hai k´y tu C ho´an vi ta.o ra 2! chuˆo˜i; mˆo.t k´y tu U ho´an vi ta.o ra 1! chuˆo˜i; v`a mˆo.t k´y tu E

ho´an vi ta.o ra 1! chuˆo˜i Vˆa.y sˆo´ chuˆo˜i thˆa.t su kh´ac nhau l`a

7!

3!2!1!1!.

V´ı du 1.4.3 X´et chuˆo˜i MISSISSIP P I C´o bao nhiˆeu chuˆo˜i kh´ac nhau c´o thˆe˙’ c´o khi sˇa´p

xˆe´p la.i c´ac k´y tu cu˙’a chuˆo˜i n`ay?

X´et b`ai to´an d¯iˆe` n v`ao 11 chˆo˜ trˆo´ng

− − − − − − − − − − −,

v´o.i c´ac k´y tu d¯˜a cho C´o C(11, 2) c´ach cho.n c´ac vi tr´ı d¯ˆo´i v´o.i P Khi d¯˜a cho.n xong P, ta c´o

C(9, 4) c´ach cho.n c´ac vi tr´ı d¯ˆo´i v´o.i S Khi d¯˜a cho.n S, c´o C(5, 4) c´ach cho.n c´ac vi tr´ı d¯ˆo´i v´o.i

I Cuˆo´i c`ung chı˙’ c`on mˆo.t c´ach cho.n M Theo nguyˆen l´y t´ıch, sˆo´ c´ac c´ach d¯ˆe˙’ d¯iˆe` n c´ac k´y tu l`a

Tˆo˙’ng qu´at ta c´o

D- i.nh l´y 1.4.2 Gia˙’ su.˙’ d˜ay n phˆa`n tu.˙’ S c´o n1 d¯ˆo´i tu.o ng loa.i 1, n2 d¯ˆo´i tu.o ng loa.i 2, , v`a

n t d¯ˆo´i tu.o ng loa.i t Khi d¯´o sˆo´ c´ac c´ach cho.n d˜ay S l`a

n!

n1!n2! n t!.

Ch´u.ng minh Ta g´an c´ac vi tr´ı d¯ˆo´i v´o.i mˆo˜i d˜ay d¯ˆo d`ai n c´ac d¯ˆo´i tu.o ng d¯ˆe˙’ ta.o ra mˆo.t th´u.

tu trong S C´o C(n, n1) c´ach cho.n c´ac vi tr´ı d¯ˆo´i v´o.i c´ac d¯ˆo´i tu.o ng loa.i 1 Khi d¯˜a cho.n xong

c´ac d¯ˆo´i tu.o ng n`ay, ta c´o C(n − n1, n2) c´ach cho.n c´ac vi tr´ı d¯ˆo´i v´o.i c´ac d¯ˆo´i tu.o ng loa.i 2, v`avˆan vˆan Theo nguyˆen l´y t´ıch, sˆo´ c´ac c´ach d¯ˆe˙’ thu c hiˆe.n l`a

C(n, n1)C(n − n1, n2) · · · C(n − n1 − n2− · · · − n t−1 , n t)v`a do d¯´o c´o d¯iˆe` u cˆa` n ch´u.ng minh 2

Kˆe´ tiˆe´p ch´ung ta kha˙’o s´at b`ai to´an d¯ˆe´m c´ac ph´ep cho.n khˆong phˆan biˆe.t th´u tu c´o lˇa.p la.i

V´ı du 1.4.4 X´et ba loa.i s´ach: s´ach m´ay t´ınh, s´ach vˆa.t l´y v`a s´ach li.ch su.˙’ Gia˙’ su.˙’ thu viˆe.nc´o ´ıt nhˆa´t s´au cuˆo´n s´ach mˆo˜i loa.i C´o bao nhiˆeu c´ach c´o thˆe˙’ cho.n s´au cuˆo´n s´ach?

B`ai to´an l`a lˆa´y s´au phˆa` n tu.˙’ khˆong phˆan biˆe.t th´u tu t`u tˆa.p {m´ay t´ınh, vˆa.t l´y, li.ch su.˙’} cho

ph´ep lˇa.p la.i Mˆo.t ph´ep cho.n d¯u.o c x´ac d¯i.nh duy nhˆa´t bo.˙’i sˆo´ mˆo˜i kiˆe˙’u s´ach d¯u.o c cho.n K´yhiˆe.u

M´ay t´ınh Vˆa.t l´y Li.ch su.˙’

c´o ngh˜ıa l`a ph´ep cho.n ba cuˆo´n s´ach m´ay t´ınh, hai s´ach vˆa.t l´y v`a mˆo.t s´ach li.ch su.˙’ Nhˆa.n x´et

rˇa`ng mˆo˜i th´u tu cu˙’a s´au k´y hiˆe.u × v`a hai k´y hiˆe.u | tu.o.ng ´u.ng mˆo.t ph´ep cho.n Do d¯´o b`ai to´an l`a d¯ˆe´m sˆo´ c´ac th´u tu Vˆa.y c´o thˆe˙’ thu c hiˆe.n bˇa`ng C(8, 2) = 28 c´ach.

D- i.nh l´y 1.4.3 Nˆe´u X l`a tˆa.p gˆo`m t phˆa`n tu.˙’ th`ı sˆo´ ph´ep cho.n k phˆa`n tu.˙’ khˆong phˆan biˆe.t

th´u tu t`u X cho ph´ep lˇa.p l`a

a1; n2 k´y hiˆe.u × d¯ˆe´n k´y hiˆe.u | th´u hai tu.o.ng ´u.ng ph´ep cho.n n2 phˆa` n tu.˙’ a2; v`a vˆan vˆan Ta

c´o C(k + t − 1, t − 1) c´ach cho.n c´ac vi tr´ı cho | nˆen c´o C(k + t − 1, t − 1) c´ach cho.n Gi´a tri n`ay bˇa`ng C(k + t − 1, k), sˆo´ c´ach cho.n c´ac vi tr´ı cu˙’a ×; do d¯´o c´o

C(k + t − 1, t − 1) = C(k + t − 1, k)

c´ach cho.n k phˆa`n tu.˙’ khˆong phˆan biˆe.t th´u tu t`u tˆa.p X cho ph´ep lˇa.p la.i 2

V´ı du 1.4.5 C´o c´ac hˆo.p ch´u.a c´ac qua˙’ b´ong m`au d¯o˙’, xanh v`a v`ang Mˆo˜i hˆo.p ch´u.a ´ıt nhˆa´tt´am qua˙’ b´ong C´o bao nhiˆeu c´ach cho.n t´am qua˙’ b´ong? C´o bao nhiˆeu c´ach cho.n t´am qua˙’b´ong, mˆo˜i m`au ´ıt nhˆa´t mˆo.t qua˙’ b´ong?

(a) Theo D- i.nh l´y 1.4.3, sˆo´ c´ach cho.n t´am qua˙’ b´ong l`a

V´ı du 1.4.6 (a) C´o bao nhiˆeu nghiˆe.m nguyˆen khˆong ˆam cu˙’a phu.o.ng tr`ınh

Mˆo˜i nghiˆe.m cu˙’a phu.o.ng tr`ınh (1.2) tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i ph´ep cho.n 29 phˆa`n tu.˙’ x i c´o kiˆe˙’u

i, i = 1, 2, 3, 4 Theo D- i.nh l´y 1.4.3 sˆo´ ph´ep cho.n l`a

C(29 + 4 − 1, 4 − 1) = C(32, 3) = 4960.

(b) C´o bao nhiˆeu nghiˆe.m nguyˆen cu˙’a phu.o.ng tr`ınh (1.2) thoa˙’ m˜an

x1 > 0, x2 > 1, x3 > 2, x4 ≥ 0?

Mˆo˜i nghiˆe.m cu˙’a (1.2) thoa˙’ d¯iˆe` u kiˆe.n d¯˜a cho tu.o.ng d¯u.o.ng v´o.i ph´ep cho.n 29 phˆa`n tu.˙’ x i

c´o kiˆe˙’u i, i = 1, 2, 3, 4, sao cho cˆa` n ´ıt nhˆa´t mˆo.t phˆa`n tu.˙’ c´o kiˆe˙’u 1, ´ıt nhˆa´t hai phˆa`n tu.˙’ c´okiˆe˙’u 2, ´ıt nhˆa´t ba phˆa` n tu.˙’ c´o kiˆe˙’u 3 D- ˆa`u tiˆen cho.n mˆo.t phˆa`n tu.˙’ c´o kiˆe˙’u 1, hai phˆa`n tu.˙’ c´okiˆe˙’u 2 v`a ba phˆa` n tu.˙’ c´o kiˆe˙’u 3 Sau d¯´o cho.n thˆem 23 phˆa`n tu.˙’ c`on la.i Theo D- i.nh l´y 1.4.3sˆo´ ph´ep cho.n l`a

C(23 + 4 − 1, 4 − 1) = C(26, 3) = 2600.

Ch´ung ta kˆe´t th´uc phˆa` n n`ay v´o.i viˆe.c mo.˙’ rˆo.ng nguyˆen l´y bao h`am-loa.i tr`u

X´et tru.`o.ng ho p c´o ba su kiˆe.n A, B, C Ta cˆa`n t´ınh #(A ∪ B ∪ C) Nhˆa.n x´et l`a

(a) Nˆe´u lˆa´y #A + #B + #C : c´o phˆa` n d¯u.o c t´ınh mˆo.t lˆa`n, hai lˆa`n v`a ba lˆa`n (H`ınh 1.2(a));

(b) Nˆe´u lˆa´y #A + #B + #C − #(A ∩ B) − #(A ∩ C) − #(B ∩ C) : c´o phˆa` n khˆong d¯u.o ct´ınh lˆa` n n`ao (H`ınh 1.2(b));

(c) Nˆe´u lˆa´y #A + #B + #C − #(A ∩ B) − #(A ∩ C) − #(B ∩ C) + #(A ∩ B ∩ C) : mˆo˜i

phˆa` n d¯u.o c t´ınh d¯´ung mˆo.t lˆa`n (H`ınh 1.2(c))

Vˆa.y

#(A ∪ B ∪ C) = #A + #B + #C − #(A ∩ B) − #(A ∩ C) − #(B ∩ C) + #(A ∩ B ∩ C).

Tˆo˙’ng qu´at ta c´o

D- i.nh l´y 1.4.4 Gia˙’ su.˙’ c´o m su kiˆe.n A1, A2, A m Khi d¯´o

Ch´u.ng minh Ta s˜e ch´u.ng minh rˇa`ng lˆa´y mˆo.t phˆa`n tu.˙’ a bˆa´t k`y thuˆo.c tˆa.p A1∪ A2∪ · · · ∪ A m

th`ı a c˜ung d¯u.o c kˆe˙’ d¯ˆe´n d¯´ung mˆo.t lˆa`n o.˙’ vˆe´ pha˙’i.

Gia˙’ su.˙’ a thuˆo.c d¯´ung r tˆa.p, chˇa˙’ng ha.n trong A1∩ A2∩ · · · ∩ A r , r ≤ m Phˆa` n tu.˙’ n`ay d¯˜ad¯u.o c t´ınh

v´o.i d¯iˆe` u kiˆe.n x1 ≤ 3, x2 ≤ 4 v`a x3 ≤ 6?

Tu.o.ng tu nhu V´ı du 1.4.6, ta c´o

+ Tˆo˙’ng sˆo´ nghiˆe.m nguyˆen khˆong ˆam cu˙’a phu.o.ng tr`ınh (1.4.7) l`a

+ Sˆo´ nghiˆe.m v´o.i d¯iˆe` u kiˆe.n x2 ≥ 5, x3 ≥ 7 bˇa`ng 0.

+ Sˆo´ nghiˆe.m v´o.i d¯iˆe` u kiˆe.n x1 ≥ 4, x2 ≥ 4, x3 ≥ 7 bˇa`ng 0.

Theo D- i.nh l´y 1.4.4 sˆo´ nghiˆe.m d¯`oi ho˙’i l`a

78 − 36 − 28 − 15 + 6 + 1 + 0 − 0 = 6.

D- i.nh l´y 1.4.5 Gia˙’ su.˙’ m, n l`a c´ac sˆo´ nguyˆen du.o.ng kh´ac nhau, m ≤ n Khi d¯´o c´o

n m − C(n, 1)(n − 1) m + C(n, 2)(n − 2) m − · · · + (−1) n−1 C(n, n − 1)1 m

´anh xa lˆen kh´ac nhau t`u tˆa.p m phˆa`n tu.˙’ d¯ˆe´n tˆa.p c´o n phˆa`n tu.˙’.

Ch´u.ng minh B`ai tˆa.p 2

V´ı du 1.4.8 Gia˙’ su.˙’ c´o nˇam cˆong viˆe.c v`a bˆo´n ngu.`o.i xin viˆe.c C´o bao nhiˆeu c´ach phˆan cˆongviˆe.c kh´ac nhau nˆe´u mˆo˜i ngu.`o.i pha˙’i d¯u.o c phˆan cˆong ´ıt nhˆa´t mˆo.t cˆong viˆe.c?

Mˆo˜i phu.o.ng ph´ap phˆan cˆong tu.o.ng ´u.ng mˆo.t ´anh xa lˆen t`u tˆa.p c´ac cˆong viˆe.c d¯ˆe´n tˆa.pngu.`o.i Theo gia˙’ thiˆe´t, mˆo˜i ngu.`o.i d¯ˆe` u d¯u.o c phˆan cˆong ´ıt nhˆa´t mˆo.t cˆong viˆe.c, c´ac ´anh xa l`alˆen ´Ap du.ng D- i.nh l´y 1.4.5 v´o.i m = 5, n = 4 ta c´o sˆo´ c´ach phˆan cˆong cˆong viˆe.c bˇa`ng sˆo´ c´ac

´anh xa lˆen kh´ac nhau v`a bˇa`ng

45− C(4, 1)35+ C(4, 2)25− C(4, 3)15 = 1024 − 972 + 192 − 4 = 240.

(a) C´o bao nhiˆeu c´ach cho.n 10 qua˙’ b´ong?

(b) C´o bao nhiˆeu c´ach cho.n 10 qua˙’ b´ong v´o.i ´ıt nhˆa´t mˆo.t qua˙’ m`au d¯o˙’?

(c) C´o bao nhiˆeu c´ach cho.n 10 qua˙’ b´ong v´o.i ´ıt nhˆa´t mˆo.t qua˙’ m`au d¯o˙’, ´ıt nhˆa´t hai qua˙’m`au xanh v`a ´ıt nhˆa´t ba qua˙’ m`au v`ang?

d C´o bao nhiˆeu c´ach cho.n 10 qua˙’ b´ong v´o.i d¯´ung mˆo.t qua˙’ m`au d¯o˙’?

e C´o bao nhiˆeu c´ach cho.n 10 qua˙’ b´ong v´o.i d¯´ung mˆo.t qua˙’ m`au d¯o˙’ v`a ´ıt nhˆa´t mˆo.t qua˙’m`au xanh?

4 T`ım sˆo´ nghiˆe.m nguyˆen cu˙’a phu.o.ng tr`ınh

x1+ x2+ x3 = 15nˆe´u

6 C´o bao nhiˆeu sˆo´ nguyˆen trong tˆa.p {1, 2, , 1000000} c´o tˆo˙’ng c´ac ch˜u sˆo´ bˇa`ng 15?

7 C´o bao nhiˆeu sˆo´ nguyˆen trong tˆa.p {1, 2, , 1000000} c´o tˆo˙’ng c´ac ch˜u sˆo´ bˇa`ng 20?

8 C´o bao nhiˆeu c´ach cho.n ba d¯ˆo.i: mˆo.t d¯ˆo.i bˆo´n ngu.`o.i, hai d¯ˆo.i hai ngu.`o.i t`u mˆo.t nh´omt´am ngu.`o.i?

9 Mˆo.t t´ui s´ach ch´u.a 20 qua˙’ b´ong: s´au d¯o˙’, s´au xanh v`a t´am t´ım.

(a) C´o bao nhiˆeu c´ach cho.n nˇam qua˙’ b´ong nˆe´u c´ac qua˙’ b´ong d¯u.o c xem l`a phˆan biˆe.t?(b) C´o bao nhiˆeu c´ach cho.n nˇam qua˙’ b´ong nˆe´u c´ac qua˙’ b´ong c`ung m`au d¯u.o c xem l`ad¯ˆo`ng nhˆa´t?

10 Ch´u.ng minh rˇa`ng (n!) k chia hˆe´t (kn)!.

11 Ch´u.ng minh rˇa`ng

1.5 C´ ac hˆ e sˆo´ nhi th´u.c v`a c´ac d¯ˆo `ng nhˆa´t th´ u.c

D- i.nh l´y 1.5.1 (D-i.nh l´y nhi th´u.c) Nˆe´u a v`a b l`a c´ac sˆo´ thu c v`a n l`a sˆo´ tu nhiˆen th`ı

D- iˆe` u n`ay c´o thˆe˙’ thu c hiˆe.n bˇa`ng C(n, k) c´ach Do d¯´o a n−k b k xuˆa´t hiˆe.n C(n, k) lˆa`n Suy ra

(a + b) n = C(n, 0)a n b0+ C(n, 1)a n−1 b1+ · · · + C(n, n)a0b n 2

Ch´ınh v`ı l´y do trˆen m`a C(n, r) d¯u.o c go.i l`a hˆe sˆo´ nhi th´u.c.

V´ı du 1.5.1 T`ım hˆe sˆo´ cu˙’a a5b4 trong khai triˆe˙’n cu˙’a (a + b)9.

Theo D- i.nh l´y nhi th´u.c, hˆe sˆo´ cu˙’a a5b4 trong khai triˆe˙’n (a + b)9 l`a

Ch´u.ng minh Gia˙’ su.˙’ X l`a tˆa.p gˆo`m n phˆa`n tu.˙’ Cho.n a /∈ X Ta c´o C(n + 1, k) l`a sˆo´ c´ac tˆa.p

con k phˆa ` n tu.˙’ cu˙’a tˆa.p Y := X ∪ {a} Mˆo˜i tˆa.p con k phˆa`n tu.˙’ cu˙’a Y c´o thˆe˙’ chia th`anh hai

l´o.p:

+ C´ac tˆa.p con cu˙’a Y khˆong ch´u.a a.

+ C´ac tˆa.p con cu˙’a Y ch´u.a a.

C´ac tˆa.p con thuˆo.c nh´om th´u nhˆa´t l`a c´ac tˆa.p con cu˙’a X gˆo`m k phˆa`n tu.˙’ v`a do d¯´o c´o C(n, k)

tˆa.p con nhu vˆa.y

C´ac tˆa.p con thuˆo.c nh´om th´u hai l`a c´ac tˆa.p l`a ho p cu˙’a tˆa.p con (k − 1) phˆa`n tu.˙’ cu˙’a X v´o.i tˆa.p gˆo`m mˆo.t phˆa`n tu.˙’ a v`a do d¯´o c´o C(n, k − 1) tˆa.p con nhu vˆa.y Suy ra

Theo D- i.nh l´y 1.5.2

C(i, k) = C(i + 1, k + 1) − C(i, k + 1).

V´ı du 1.5.5 T`u d¯ˇa˙’ng th´u.c (1.5.4) ta c´o

Ch´u.ng minh Gia˙’ su.˙’ c´ac tˆa.p T1, T2 tu.o.ng ´u.ng gˆo`m m, n phˆa ` n tu.˙’ phˆan biˆe.t Lˆa´y tˆa.p S gˆo`m

r phˆa ` n tu.˙’ t`u hai tˆa.p n`ay Sˆo´ c´ac tˆa.p S nhu vˆa.y bˇa`ng C(m + n, r).

Mˇa.t kh´ac, tˆa.p S c´o thˆe˙’ gˆo`m

+ k phˆa ` n tu.˙’ thuˆo.c tˆa.p T1 Sˆo´ c´ac tˆa.p con nhu vˆa.y bˇa`ng C(m, k);

+ (r − k) phˆa ` n tu.˙’ thuˆo.c tˆa.p T2 Sˆo´ c´ac tˆa.p con nhu vˆa.y bˇa`ng C(n, r − k);

3 T`ım sˆo´ c´ac sˆo´ ha.ng khi khai triˆe˙’n biˆe˙’u th´u.c

5 Ch´u.ng minh D- i.nh l´y nhi th´u.c bˇa`ng quy na.p to´an ho.c

6 Su.˙’ du.ng l´y luˆa.n tˆo˙’ ho p ch´u.ng minh rˇa`ng

13 D`ung l´y luˆa.n tˆo˙’ ho p ch´u.ng minh rˇa`ng

1.6 Nguyˆ en l´ y chuˆ `ng chim bˆo o ` cˆau

Nguyˆen l´y chuˆo `ng chim bˆo ` cˆau (c`on go.i l`a nguyˆen l´y Dirichlet) thu.`o.ng d`ung nhˇa`m tra˙’ l`o.i

cˆau ho˙’i: C´o tˆo`n ta.i mˆo.t phˆa`n tu.˙’ thoa˙’ t´ınh chˆa´t cho tru.´o.c? Khi ´ap du.ng th`anh cˆong, nguyˆenl´y n`ay chı˙’ ra rˇa`ng d¯ˆo´i tu.o ng tˆo`n ta.i; tuy nhiˆen khˆong chı˙’ ra c´ach t`ım n´o nhu thˆe´ n`ao v`a c´obao nhiˆeu phˆa` n tu.˙’ tˆo`n ta.i

Da.ng d¯ˆa`u tiˆen cu˙’a nguyˆen l´y chuˆo`ng chim bˆo` cˆau khˇa˙’ng d¯i.nh rˇa`ng nˆe´u c´o n vˆa.t cˆa`n xˆe´p v`ao k hˆo.p v`a n > k th`ı c´o ´ıt nhˆa´t c´o mˆo.t hˆo.p ch´u.a hai hoˇa.c nhiˆe` u ho.n hai vˆa.t L´y dokhˇa˙’ng d¯i.nh n`ay d¯´ung c´o thˆe˙’ ch´u.ng minh bˇa`ng pha˙’n ch´u.ng: Nˆe´u kˆe´t luˆa.n l`a sai, mˆo˜i hˆo.pch´u.a nhiˆe` u nhˆa´t mˆo.t vˆa.t v`a do d¯´o trong tru.`o.ng ho p n`ay c´o nhiˆe`u nhˆa´t k vˆa.t Nhu.ng c´o n vˆa.t nˆen n ≤ k vˆo l´y.

Nˆe´u c´o n vˆa.t cˆa`n xˆe´p v`ao k hˆo.p v`a n > k th`ı c´o ´ıt nhˆa´t c´o mˆo.t hˆo.p ch´u.a hai hoˇa.c nhiˆe ` u ho.n hai vˆa.t.

Ch´u ´y rˇa`ng, nguyˆen l´y chuˆo`ng chim bˆo` cˆau khˆong chı˙’ ra hˆo.p n`ao ch´u.a ho.n hai vˆa.t N´o

chı˙’ khˇa˙’ng d¯i.nh su tˆo`n ta.i cu˙’a mˆo.t hˆo.p v´o.i ´ıt nhˆa´t hai vˆa.t trong d¯´o.

V´ı du 1.6.1 Sˆo´ c´ac ho.c viˆen cu˙’a mˆo.t l´o.p ho.c ´ıt nhˆa´t l`a bao nhiˆeu d¯ˆe˙’ c´o ´ıt nhˆa´t hai ho.cviˆen c´o sˆo´ d¯iˆe˙’m nhu nhau trong k`y thi mˆon To´an ho.c r`o.i ra.c, nˆe´u du d¯i.nh thang d¯iˆe˙’m l`a0-10?

C´o 11 thang d¯iˆe˙’m Theo nguyˆen l´y chuˆo`ng chim bˆo` cˆau, cˆa` n c´o ´ıt nhˆa´t 11 + 1 = 12 ho.cviˆen

V´ı du 1.6.2 Ch´u.ng minh rˇa`ng v´o.i n + 1 sˆo´ nguyˆen du.o.ng kh´ac nhau khˆong vu.o t qu´a 2n

th`ı pha˙’i c´o hai sˆo´ chia hˆe´t cho nhau

Gia˙’ su.˙’ n + 1 sˆo´ nguyˆen du.o.ng l`a a1, a2, , a n+1 , v´o.i 0 ≤ a i ≤ 2n Ta c´o thˆe˙’ viˆe´t

a i = 2k i q i , i = 1, 2, , n + 1,

trong d¯´o k i l`a sˆo´ nguyˆen khˆong ˆam v`a q i l`a sˆo´ nguyˆen le˙’ khˆong ˆam v`a khˆong vu.o t qu´a 2n.

V´ı du 1 = 20, 14 = 21× 7, 40 = 23× 5,

V`ı chı˙’ c´o n sˆo´ le˙’ khˆong vu.o t qu´a 2n nˆen trong n + 1 sˆo´ le˙’ q1, q2, , q n+1 pha˙’i c´o ´ıt nhˆa´t

hai sˆo´ bˇa`ng nhau, chˇa˙’ng ha.n q i = q j = q v´o.i i 6= j.

Khi d¯´o

a i = 2k i q i = 2k i q, a j = 2k j q j = 2k j q,

v´o.i k i 6= k j Suy ra a i a j nˆe´u k i > k j v`a a j a i nˆe´u k j > k i

Kˆe´t qua˙’ trˆen l`a tˆo´t nhˆa´t theo ngh˜ıa nˆe´u ta gia˙’m nhe gia˙’ thiˆe´t d¯i bˇa`ng c´ach thay n cho

n + 1 th`ı kˆe´t qua˙’ khˆong c`on d¯´ung n˜u.a Thˆa.t vˆa.y chı˙’ cˆa`n lˆa´y tˆa.p c´ac sˆo´

{n + 1, n + 2, , 2n}.

V´ı du 1.6.3 Ch´u.ng minh rˇa`ng trong mo.i d˜ay gˆo`m n2+ 1 sˆo´ thu c phˆan biˆe.t d¯ˆe` u ch´u.a mˆo.t

d˜ay con d¯ˆo d`ai n + 1 hoˇa.c tˇang thu c su , hoˇa.c gia˙’m thu c su

Gia˙’ su.˙’ n2+ 1 sˆo´ thu c phˆan biˆe.t l`a a1, a2, , a n2 +1 V´o.i mˆo˜i sˆo´ a i ta g´an cho n´o cˇa.p sˆo´

(k i , d i) nhu sau:

+ k i l`a d¯ˆo d`ai cu˙’a d˜ay con tˇang d`ai nhˆa´t xuˆa´t ph´at t`u a i

+ d i l`a d¯ˆo d`ai cu˙’a d˜ay con gia˙’m d`ai nhˆa´t xuˆa´t ph´at t`u a i

Bˇa`ng pha˙’n ch´u.ng gia˙’ su.˙’ khˆong c´o d˜ay con n`ao c´o d¯ˆo d`ai n + 1 la.i tˇang thu c su hoˇa.c gia˙’m thu c su Khi d¯´o k i , d i ≤ n, i = 1, 2, , n2+ 1.

Nhˆa.n x´et rˇa`ng c´o n2 cˇa.p (k i , d i ) kh´ac nhau v´o.i k i , d i ≤ n Nˆen tˆo `n ta.i c´ac chı˙’ sˆo´ s, t sao cho (k s , d s ) = (k t , d t ).

Nhu.ng c´ac sˆo´ lˆa´y l`a phˆan biˆe.t, nˆen a s 6= a t Khˆong mˆa´t t´ınh tˆo˙’ng qu´at gia˙’ su.˙’ a s < a t

Bˆay gi`o thˆem a s v`ao d˜ay con xuˆa´t ph´at t`u a t d¯ˆe˙’ d¯u.o c mˆo.t d˜ay con m´o.i tˇang c´o d¯ˆo d`ai

1 + k t = 1 + k s tr´ai v´o.i gia˙’ thiˆe´t k s l`a d¯ˆo d`ai cu˙’a d˜ay con tˇang d`ai nhˆa´t

Nˆe´u f l`a ´anh xa t`u tˆa.p h˜u.u ha.n X d¯ˆe´n tˆa.p h˜u.u ha.n Y v`a #X > #Y th`ı tˆo`n ta.i x1, x2 ∈

X, x1 6= x2, sao cho f (x1) = f (x2).

Thˆa.t vˆa.y, d¯ˇa.t X l`a tˆa.p c´ac vˆa.t v`a Y l`a tˆa.p c´ac hˆo.p G´an mˆo˜i vˆa.t x v´o.i mˆo.t hˆo.p f(x).

Theo nguyˆen l´y chuˆo`ng chim bˆo` cˆau da.ng th´u nhˆa´t, c´o ´ıt nhˆa´t hai vˆa.t kh´ac nhau x1, x2 ∈ X

d¯u.o c g´an c`ung mˆo.t hˆo.p; t´u.c l`a f(x1) = f (x2).

V´ı du 1.6.4 Nˆe´u 20 bˆo vi xu.˙’ l´y d¯u.o c nˆo´i v´o.i nhau th`ı c´o ´ıt nhˆa´t hai bˆo vi xu.˙’ l´y d¯u.o c nˆo´itru c tiˆe´p t´o.i c`ung sˆo´ c´ac bˆo vi xu.˙’ l´y

K´y hiˆe.u c´ac bˆo vi xu.˙’ l´y l`a 1, 2, , 20 D - ˇa.t a i l`a sˆo´ c´ac bˆo vi xu.˙’ l´y d¯u.o c nˆo´i tru c tiˆe´p

v´o.i bˆo vi xu.˙’ l´y i Ch´ung ta cˆa`n ch´u.ng minh rˇa`ng a i = a j v´o.i i 6= j n`ao d¯´o Miˆe` n x´ac d¯i.nhv`a miˆe` n gi´a tri cu˙’a A tu.o.ng ´u.ng l`a X := {1, 2, , 20} v`a Y := {0, 1, , 19} Tuy nhiˆen,

#X = #{0, 1, , 19} nˆen khˆong thˆe˙’ ´ap du.ng tru c tiˆe´p nguyˆen l´y chuˆo`ng chim bˆo` cˆau da.ng

hai

Ch´u ´y rˇa`ng ta khˆong thˆe˙’ c´o a i = 0 v`a a j = 19 v´o.i i, j n`ao d¯´o, v`ı nˆe´u ngu.o c la.i ta c´o mˆo.t bˆo vi xu.˙’ l´y (th´u i) khˆong d¯u.o c nˆo´i v´o.i bˆa´t c´u bˆo vi xu.˙’ l´y n`ao trong khi la.i c´o mˆo.t bˆo vi xu.˙’ l´y (th´u j) d¯u.o c nˆo´i v´o.i tˆa´t ca˙’ c´ac bˆo vi xu.˙’ l´y kh´ac (kˆe˙’ c´ac bˆo vi xu.˙’ l´y th´u i) Do d¯´o Y l`a tˆa.p con cu˙’a tˆa.p {0, 1, , 18} hoˇa.c {1, 2, , 19} Vˆa.y #Y < 20 = #X Theo nguyˆen l´y

chuˆo`ng chim bˆo` cˆau da.ng hai ta c´o a i = a j v´o.i i 6= j n`ao d¯´o.

V´ı du 1.6.5 Ch´u.ng minh rˇa`ng nˆe´u cho.n 151 gi´ao tr`ınh m´ay t´ınh phˆan biˆe.t d¯u.o c d¯´anh sˆo´th´u tu t`u 1 d¯ˆe´n 300 th`ı c´o ´ıt nhˆa´t hai gi´ao tr`ınh c´o sˆo´ th´u tu liˆen tiˆe´p

Gia˙’ su.˙’ c´ac gi´ao tr`ınh d¯u.o c d¯´anh sˆo´ l`a

c i = c j + 1

(hiˆe˙’n nhiˆen i 6= j) v`a ta c´o hai gi´ao tr`ınh c i v`a c j d¯u.o c d¯´anh sˆo´ liˆen tiˆe´p

V´ı du 1.6.6 Ba˙’n kˆe t`ai khoa˙’n gˆo`m 80 khoa˙’n mu.c, mˆo˜i khoa˙’n mu.c d¯u.o c d¯´anh dˆa´u “ho plˆe.” hoˇa.c “khˆong ho p lˆe.” C´o 45 khoa˙’n mu.c ho p lˆe Ch´u.ng minh rˇa`ng c´o ´ıt nhˆa´t hai khoa˙’nmu.c trong danh s´ach c´ach nhau ch´ınh x´ac ch´ın khoa˙’n mu.c (Chˇa˙’ng ha.n c´ac khoa˙’n mu.c ta.ic´ac vi tr´ı 13 v`a 22 hoˇa.c ta.i vi tr´ı 69 v`a 78)

K´y hiˆe.u a i l`a vi tr´ı cu˙’a khoa˙’n mu.c ho p lˆe th´u i Ta cˆa`n chı˙’ ra a i − a j = 9 v´o.i i, j n`ao d¯´o.

X´et c´ac sˆo´

90 sˆo´ trong (1.5) v`a (1.6) lˆa´y c´ac gi´a tri t`u 1 d¯ˆe´n 89 Do d¯´o theo nguyˆen l´y chuˆo`ng chim bˆo`cˆau da.ng th´u hai, c´o ´ıt nhˆa´t hai sˆo´ tr`ung nhau Hiˆe˙’n nhiˆen khˆong thˆe˙’ c´o hai sˆo´ trong d˜ay(1.5) hoˇa.c (1.6) bˇa`ng nhau; nˆen tˆo`n ta.i mˆo.t sˆo´ trong d˜ay (1.5) bˇa`ng mˆo.t sˆo´ trong d˜ay (1.6)

Vˆa.y a i − a j = 9 v´o.i i, j n`ao d¯´o.

K´y hiˆe.u dxe l`a sˆo´ nguyˆen nho˙’ nhˆa´t l´o.n ho.n x V´ı du d8.3e = 9 K´y hiˆe.u [x] l`a sˆo´ nguyˆen l´o.n nhˆa´t nho˙’ ho.n x V´ı du [2.3] = 2.

Cho f l`a ´anh xa t`u tˆa.p h˜u.u ha.n X d¯ˆe´n tˆa.p h˜u.u ha.n Y Gia˙’ su.˙’ n := #X, m := #Y, k := dn/me Khi d¯´o tˆo `n ta.i ´ıt nhˆa´t k gi´a tri a1, a2, , a k sao cho

f (a1) = f (a2) = · · · = f (a k ).

Ch´u.ng minh D - ˇa.t Y := {y1, y2, , y m } Gia˙’ su.˙’ khˇa˙’ng d¯i.nh l`a sai Khi d¯´o tˆo`n ta.i nhiˆe` u nhˆa´t

k − 1 gi´a tri x ∈ X v´o.i f(x) = y1; tˆo`n ta.i nhiˆe`u nhˆa´t k − 1 gi´a tri x ∈ X v´o.i f(x) = y2; ;

tˆo`n ta.i nhiˆe`u nhˆa´t k − 1 gi´a tri x ∈ X v´o.i f(x) = y m Do d¯´o tˆo `n ta.i nhiˆe`u nhˆa´t m(k − 1)

phˆa` n tu.˙’ trong miˆe` n x´ac d¯i.nh cu˙’a f Nhu.ng

V´ı du 1.6.7 Mˆo.t d¯ˇa.c tru.ng h˜u.u ´ıch cu˙’a c´ac a˙’nh d¯en trˇa´ng l`a d¯ˆo s´ang trung b`ınh cu˙’a a˙’nh

Ta n´oi rˇa`ng hai a˙’nh l`a tu.o.ng tu nˆe´u d¯ˆo s´ang trung b`ınh cu˙’a ch´ung kh´ac nhau khˆong vu.o tqu´a mˆo.t ngu.˜o.ng n`ao d¯´o Ch´u.ng minh rˇa`ng trong sˆo´ s´au a˙’nh, hoˇa.c c´o ba a˙’nh d¯ˆo`ng th`o.itu.o.ng tu , hoˇa.c c´o ba a˙’nh d¯ˆo`ng th`o.i khˆong tu.o.ng tu

K´y hiˆe.u c´ac a˙’nh l`a P1, P2, , P6 Mˆo˜i cˇa.p (P1, P i ), i = 2, 3, , 6, c´o gi´a tri “tu.o.ng tu ”

hoˇa.c “khˆong tu.o.ng tu ” Theo nguyˆen l´y chuˆo`ng chim bˆo` cˆau da.ng th´u ba, tˆo`n ta.i ´ıt nhˆa´t

d5/2e = 3 cˇa.p v´o.i c`ung gi´a tri.; t´u.c l`a tˆo`n ta.i c´ac cˇa.p

(P1, P i ), (P1, P j ), (P1, P k)hoˇa.c tu.o.ng tu , hoˇa.c khˆong tu.o.ng tu Gia˙’ su.˙’ mˆo˜i cˇa.p l`a tu.o.ng tu (trong tru.`o.ng ho p ngu.o cla.i, xem B`ai tˆa.p 5) Nˆe´u mˆo.t trong c´ac cˇa.p

(P i , P j ), (P i , P k ), (P j , P k) (1.7)

l`a tu.o.ng tu , th`ı hai h`ınh a˙’nh n`ay c`ung v´o.i P1 d¯ˆoi mˆo.t tu.o.ng tu v`a do d¯´o ta c´o ba h`ınhtu.o.ng tu Ngu.o c la.i, nˆe´u c´ac cˇa.p trong (1.7) khˆong tu.o.ng tu th`ı ta c´o ba a˙’nh tu.o.ng ´u.ngkhˆong tu.o.ng tu

V´ı du 1.6.8 Sˆo´ ho.c viˆen tˆo´i thiˆe˙’u l`a bao nhiˆeu d¯ˆe˙’ d¯a˙’m ba˙’o ´ıt nhˆa´t c´o 6 ngu.`o.i c`ung thang

d¯iˆe˙’m, nˆe´u gi´ao viˆen cho d¯iˆe˙’m theo thang d¯iˆe˙’m A, B, C, D, F ?

Ta c´o N l`a sˆo´ nho˙’ nhˆa´t thoa˙’ dN/5e = 6 Suy ra N = 5 × 5 + 1 = 26 ho.c viˆen.

V´ı du 1.6.9 Gia˙’ su.˙’ nh´om c´o s´au ngu.`o.i; c´u lˆa´y mˆo.t cˇa.p bˆa´t k`y, th`ı hai ngu.`o.i n`ay hoˇa.c l`aba.n, hoˇa.c l`a th`u Ch´u.ng minh rˇa`ng s˜e c´o c´ac bˆo ba hoˇa.c d¯ˆe` u l`a ba.n cu˙’a nhau, hoˇa.c d¯ˆe`u l`ath`u cu˙’a nhau

Lˆa´y x l`a ngu.`o.i bˆa´t k`y trong nh´om; nˇam ngu.`o.i c`on la.i lˆa.p th`anh nh´om riˆeng Ta ta.o hai hˆo.p B v`a T Nˇam ngu.`o.i n`ay s˜e d¯u.o c phˆan loa.i (theo quan hˆe v´o.i x) :

(a) hoˇa.c l`a ba.n cu˙’a x : tu.o.ng ´u.ng ngu.`o.i trong hˆo.p B;

(b) hoˇa.c l`a th`u cu˙’a x : tu.o.ng ´u.ng ngu.`o.i trong hˆo.p T.

Theo nguyˆen l´y chuˆo`ng chim bˆo` cˆau da.ng th´u ba, s˜e c´o mˆo.t hˆo.p c´o ´ıt nhˆa´t d5/2e = 3 ngu.`o.i Gia˙’ su.˙’ d¯´o l`a hˆo.p B v´o.i ba ngu.`o.i y, z, u.

Nˆe´u tˆo`n ta.i cˇa.p trong nh´om ba ngu.`o.i n`ay l`a ba.n cu˙’a nhau, chˇa˙’ng ha.n y v`a z, khi d¯´o

{x, y, z} l`a bˆo ba cˆa`n t`ım Ngu.o c la.i, t´u.c l`a y, z, u mˆo˜i cˇa.p d¯ˆoi mˆo.t l`a th`u cu˙’a nhau, khi d¯´o {y, z, u} l`a bˆo ba cˆa`n t`ım.

C´ac tru.`o.ng ho p c`on la.i ch´u.ng minh tu.o.ng tu

1 C´o thˆe˙’ nˆo´i nˇam m´ay t´ınh v´o.i nhau sao cho c´o ch´ınh x´ac hai m´ay t´ınh d¯u.o c nˆo´i tru ctiˆe´p d¯ˆe´n c`ung mˆo.t sˆo´ m´ay? Gia˙’i th´ıch

2 Ba˙’n kˆe t`ai khoa˙’n gˆo`m 115 khoa˙’n mu.c, mˆo˜i khoa˙’n mu.c d¯u.o c d¯´anh dˆa´u “ho p lˆe.” hoˇa.c

“khˆong ho p lˆe.” C´o 60 khoa˙’n mu.c ho p lˆe Ch´u.ng minh rˇa`ng c´o ´ıt nhˆa´t hai khoa˙’n mu.ctrong danh s´ach c´ach nhau ch´ınh x´ac bˆo´n khoa˙’n mu.c

3 Ba˙’n kˆe t`ai khoa˙’n gˆo`m 100 khoa˙’n mu.c, mˆo˜i khoa˙’n mu.c d¯u.o c d¯´anh dˆa´u “ho p lˆe.” hoˇa.c

“khˆong ho p lˆe.” C´o 55 khoa˙’n mu.c ho p lˆe Ch´u.ng minh rˇa`ng c´o ´ıt nhˆa´t hai khoa˙’n mu.ctrong danh s´ach c´ach nhau ch´ınh x´ac ch´ın khoa˙’n mu.c

4 Ba˙’n kˆe t`ai khoa˙’n gˆo`m 80 khoa˙’n mu.c, mˆo˜i khoa˙’n mu.c d¯u.o c d¯´anh dˆa´u “ho p lˆe.” hoˇa.c

“khˆong ho p lˆe.” C´o 50 khoa˙’n mu.c ho p lˆe Ch´u.ng minh rˇa`ng c´o ´ıt nhˆa´t hai khoa˙’n mu.ctrong danh s´ach c´ach nhau ch´ınh x´ac hoˇa.c ba hoˇa.c s´au khoa˙’n mu.c