Bài giảng toán rời rạc phần biểu diễn đồ thị và sự đẳng cấu

Dùng danh sách liền kề để mô tả đồ thị đơn: liệt kê tất cả các đỉnh liền kề với mỗi đỉnh của đồ thị... Biểu diễn đồ thị và sự đẳng cấu 4Ma trận liền kề • Biểu diễn đồ thị bằng ma trận: M

05/29/24 7.3 Biểu diễn đồ thị và sự đẳng cấu 1

Đồ thị

7.3 Biểu diễn đồ thị và sự đẳng cấu

Tài liệu này được soạn theo sách Toán học rời rạc ứng dụng trong tin học, K H

Rosen, người dịch: Phạm Văn Thiều và Đặng Hữu Thịnh, Nhà xuất bản Khoa học

và kỹ thuật, 1998.

Tài liệu lưu hành nội bộ

05/29/24 7.3 Biểu diễn đồ thị và sự đẳng cấu 2

Biểu diễn đồ thị

– Ví dụ 1 Dùng danh sách liền kề để mô tả đồ thị đơn: liệt kê tất cả các đỉnh liền kề với mỗi đỉnh của đồ thị

Đỉnh Đỉnh liền kề

b, c, e a

a, d, e

c, e

a, c, d

05/29/24 7.3 Biểu diễn đồ thị và sự đẳng cấu 3

Biểu diễn đồ thị

– Ví dụ 2 Biểu diễn đồ thị có hướng: liệt kê tất cả các đỉnh cuối của các cung xuất phát từ mỗi đỉnh của đồ thị

05/29/24 7.3 Biểu diễn đồ thị và sự đẳng cấu 4

Ma trận liền kề

• Biểu diễn đồ thị bằng ma trận: Ma trận liền kề Cho G = (V, E) là đồ thị đơn có n đỉnh, các đỉnh của G là v1, v2,…, v n

• Ma trận liền kề A hay A G của G là ma trận không-một (0-1) cấp n 

n có phần tử hàng i cột j là a ij bằng

° 1 nếu v i và v j liền kề nhau,

° 0 nếu chúng không được nối với nhau

– Ma trận liền kề của một đồ thị tuỳ thuộc vào thứ tự liệt kê các đỉnh

– Ma trận liền kề của một đồ thị đơn là đối xứng Đồ thị đơn

không có khuyên nên a ii = 0 với i = 1, 2,…, n.

05/29/24 7.3 Biểu diễn đồ thị và sự đẳng cấu 5

Ma trận liền kề

• Biểu diễn đồ thị bằng ma trận: Ma trận liền kề.

– Ví dụ 3 Các đỉnh được sắp xếp theo thứ tự: a, b, c, d.

a

d c

05/29/24 7.3 Biểu diễn đồ thị và sự đẳng cấu 6

Ma trận liền kề

– Ví dụ 4 Cho ma trận liền kề với thứ tự các đỉnh là a, b, c, d Vẽ

đồ thị tương ứng

a

c d

05/29/24 7.3 Biểu diễn đồ thị và sự đẳng cấu 7

Ma trận liền kề

• Ma trận liền kề có thể dùng để biểu diễn đồ thị vô hướng có

khuyên và (hay) có cạnh bội

– Khuyên tại đỉnh a i được biểu diễn bằng 1 tại vị trí (i, i) của ma

trận liền kề

– Khi có cạnh bội, phần tử ở vị trí (i, j) của ma trận bằng số các cạnh nối các đỉnh a i và a j

• Nhận xét: Tất cả các đồ thị vô hướng (đơn đồ thị, đa đồ thị, giả đồ thị) đều có ma trận liền kề đối xứng

05/29/24 7.3 Biểu diễn đồ thị và sự đẳng cấu 8

Ma trận liền kề

– Ví dụ 5 Dùng ma trận liền kề để biểu diễn giả đồ thị

° Thứ tự các đỉnh là a, b, c, d.

a

c d

05/29/24 7.3 Biểu diễn đồ thị và sự đẳng cấu 9

Ma trận liền kề

• Cho G = (V, E) là đồ thị có hướng có n đỉnh, các đỉnh của G là v1, v2,

…, v n

• Ma trận liền kề A hay A G của G là ma trận không-một (0-1) cấp n 

n có phần tử hàng i cột j là a ij bằng

° 1 nếu có cạnh đi từ v i tới v j ,

° 0 trong các trường hợp khác

– Ma trận liền kề của một đồ thị tuỳ thuộc vào thứ tự liệt kê các đỉnh

– Ma trận liền kề của đồ thị có hướng không có tính đối xứng

– Cũng có thể dùng ma trận liền kề để biểu diễn đa đồ thị có

hướng Khi đó a ij bằng số các cung đi từ đỉnh v i tới đỉnh v j

05/29/24 7.3 Biểu diễn đồ thị và sự đẳng cấu 10

Ma trận liên thuộc

• Biểu diễn đồ thị bằng ma trận liên thuộc Cho G = (V, E) là đồ thị vô hướng có n đỉnh và m cạnh:

° các đỉnh của G là v1, v2,…, v n ,

° các cạnh của G là e1, e2,…, e m

• Ma trận liên thuộc M hay M G của G là ma trận M = [m ij ] trong đó m ij

bằng

° 1 nếu cạnh e j nối với đỉnh v i ,

° 0 nếu cạnh e j không nối với đỉnh v i

– Ma trận liền thuộc của một đồ thị tuỳ thuộc vào thứ tự liệt kê các đỉnh và các cạnh

05/29/24 7.3 Biểu diễn đồ thị và sự đẳng cấu 11

Ma trận liên thuộc

• Ma trận liên thuộc

– Ví dụ 6 Xác định ma trận liên thuộc

05/29/24 7.3 Biểu diễn đồ thị và sự đẳng cấu 12

Ma trận liên thuộc

– Ví dụ 7 Biểu diễn cạnh bội và khuyên bằng ma trận liên thuộc

05/29/24 7.3 Biểu diễn đồ thị và sự đẳng cấu 13

Sự đẳng cấu của các đồ thị

– Định nghĩa 1 Các đồ thị đơn G1 = (V1, E1) và G2 = (V2, E2) là

đẳng cấu nếu có hàm song ánh f từ V1 lên V2 sao cho các đỉnh a và b là liền kề trong G1 nếu và chỉ nếu f(a) và f(b) là liền kề trong G2 với mọi a và b trong V1 Hàm f như thế được gọi là một

đẳng cấu.

05/29/24 7.3 Biểu diễn đồ thị và sự đẳng cấu 14

Sự đẳng cấu của các đồ thị

– Ví dụ 8 Các đồ thị G = (V, E) và H = (W, F) là đẳng cấu

Đinh nghĩa hàm f như sau f(u1) = v1, f(u2) = v4 , f(u3) = v3, f(u4) = v2

Hàm f là 1-1 giữa V và W Hàm f bảo toàn quan hệ liền kề vì:

° trong G các đỉnh liền kề là u1 và u2 , u1 và u3 , u2 và u4 , u3 và u4

° mỗi cặp f(u1) = v1 và f(u2) = v4 , f(u1) = v1 và f(u3) = v3 , f(u2) = v4 và

f(u4) = v2 , f(u3) = v3 và f(u4) = v2 là liền kề trong H.

05/29/24 7.3 Biểu diễn đồ thị và sự đẳng cấu 15

Sự đẳng cấu của các đồ thị

– Ví dụ 9 Các đồ thị G và H là không đẳng cấu.

c

b a

Cả G và H đều có 5 đỉnh và 6 cạnh Tuy nhiên H có đỉnh e bậc 1

còn G thì không có đỉnh nào bậc 1 cả Vậy G và H là không đẳng

cấu

05/29/24 7.3 Biểu diễn đồ thị và sự đẳng cấu 16

Sự đẳng cấu của các đồ thị

– Số đỉnh, số cạnh, bậc của đỉnh là các bất biến đối với phép

đẳng cấu: nếu hai đồ thị là đẳng cấu thì

° chúng có cùng số đỉnh, số cạnh

° hai đỉnh tương ứng nhau trong phép đẳng cấu có cùng bậc.– Nếu các bất biến của hai đồ thị là khác nhau thì chúng là không đẳng cấu

– Tuy nhiên, nếu các bất biến của hai đồ thị là như nhau thì chưa chắc rằng chúng là đẳng cấu

05/29/24 7.3 Biểu diễn đồ thị và sự đẳng cấu 17

Sự đẳng cấu của các đồ thị

– Ví dụ 10 Các đồ thị G và H có đẳng cấu hay không?

c d

g h

u v

x

y z

w

Xét các bất biến: Cả hai đồ thị đều có 8 đỉnh, 10 cạnh, 4 đỉnh bậc 2,

và 4 đỉnh bậc 3.

Tuy nhiên G và H là không đẳng cấu: vì deg(a) = 2 nên a phải ứng

với một trong các đỉnh bậc 2 của H là t, u, x, y; nhưng cả 4 đỉnh này

đều có nối với một đỉnh bậc 2 khác của H, trong khi a chỉ nối với đỉnh

bậc 3 của G mà thôi.

05/29/24 7.3 Biểu diễn đồ thị và sự đẳng cấu 18

Sự đẳng cấu của các đồ thị

– Ví dụ 10 (tiếp theo) Cách khác: G và H là không đẳng cấu vì các đồ thị con của G và H tạo nên từ các đỉnh bậc 3 và các cạnh

nối chúng là không đẳng cấu

d

h

b f

v

z w s

05/29/24 7.3 Biểu diễn đồ thị và sự đẳng cấu 19

Sự đẳng cấu của các đồ thị

– Dùng ma trận liền kề để chứng tỏ hàm f là bảo tồn các cạnh:

° Ma trận liền kề của G, (với một thứ tự các đỉnh)

° Ma trận liền kề của H, với hàng và cột được gán nhãn tương ứng với ảnh qua f của các đỉnh trong G.

° Nếu các ma trận liền kề trên giống nhau thì G và H là đẳng

cấu

05/29/24 7.3 Biểu diễn đồ thị và sự đẳng cấu 20

Sự đẳng cấu của các đồ thị

– Ví dụ 11 Đồ thị G và H có đẳng cấu không?

f(u1) = v6 , f(u2) = v3 , f(u3) = v4 ,

f(u4) = v5 , f(u5) = v1 , f(u6) = v2

05/29/24 7.3 Biểu diễn đồ thị và sự đẳng cấu 21

Sự đẳng cấu của các đồ thị

– Ví dụ 11 (tiếp theo)

° Các ma trận liền kề của G và H là

° Vì A G = A H nên f bảo tồn các cạnh Vậy f là một phép đẳng