Bài giảng toán rời rạc chương 4b đường đi và chu trình

Đường đi và chu trình Eulerđơn giản có đỉnh bắt đầu khác đỉnh kết thúc và qua tất cả các cạnh của G.. Đường đi và chu trình EulerCho 1 đồ thị vô hướng G liên thông và có hơn 1 đỉnh.. Khi

Trang 1

Lý thuyết đồ thị

Chương 2: Đường đi và chu trình

Trang 2

Đường đi và chu trình Euler

Bài toán “Königsburg Bridges” (Leonhard Euler, 1707-1783)

Xác định một chu trình đi qua tất cả 7 cây cầu,

Trang 3

C D

Trang 4

đơn giản có đỉnh bắt đầu khác đỉnh kết thúc

và qua tất cả các cạnh của G Khi này G còn được gọi là một đường đi Euler

đơn giản đi qua tất cả các cạnh của G Khi này G còn được gọi là một chu trình Euler

Trang 5

Cho 1 đồ thị vô hướng G liên thông và có

hơn 1 đỉnh Khi đó, G có chu trình Euler nếu

và chỉ nếu mọi đỉnh của G đều có bậc chẵn

Trang 6

G(V, E)

Kết quả sẽ cho ra C là một chu trình Euler

bao gồm thứ tự các cạnh của chu trình

Trang 8

2 3 4 5 6

Trang 9

2 3 4 5 6

Trang 10

2 3 4 5 6

Trang 11

2 3 4 5 6

Trang 12

2 3 4 5 6

Trang 13

2 3 4 5 6

Trang 14

2 3 4 5 6

Trang 15

2 3 4 5 6

Trang 16

2 3 4 5 6

Trang 17

Trang 18

Cho đồ thị có hướng G liên thông và có hơn

1 đỉnh Khi đó, G có chu trình Euler nếu và chỉ nếu G cân bằng

Trang 19

Cho đồ thị có hướng G liên thông và có hơn

1 đỉnh Khi đó, G có đường đi Euler nếu và chỉ nếu trong G có 2 đỉnh a, b thỏa:

dout(a) = din(a) + 1

din(b) = dout(b) + 1mọi đỉnh còn lại đều cân bằng và đường

Euler phải bắt đầu tại a và kết thúc tại b

Trang 20

A

B

C D

DEABCEBDC, DEBCEABDC

Trang 21

Đường đi và chu trình Hamilton (1805-1865)

Xét 1 đồ thị liên thông G có hơn 1 đỉnh

đi sơ cấp qua tất cả các đỉnh của G

sơ cấp qua tất cả các đỉnh của G

Trang 22

Đường đi và chu trình

HamiltonA

B

C D

E

A

B E

Đường đi Hamilton: ABECD

Đường đi Hamilton: BAECD

Trang 23

Hamilton

C D

Chu trình Hamilton: ABCDA

Chu trình Hamilton: ACBDA

Trang 24

Hamilton

 Qui tắc tìm chu trình Hamilton

1 Nếu tồn tại 1 đỉnh của G có bậc  1 thì G không

có chu trình Hamilton.

2 Nếu đỉnh x có bậc 2 thì cả 2 cạnh tới x đều phải

thuộc chu trình Hamilton.

3 Chu trình Hamilton không chứa bất kỳ chu trình

con thực sự nào.

4 Trong quá trình xây dựng chu trình Hamilton, sau

khi đã lấy 2 cạnh tới 1 đỉnh x đặt vào chu trình rồi

Trang 25

Hamilton

1

2

3 4

5

6

Xét đỉnh 1, chọn 2 cạnh (1,2) và (1,6)

Trang 26

Hamilton

1

2

3 4

5

6

•Xóa các cạnh (1,5), (1,4), (1,3), (1,7), (1,8), (1,9) (theo quy tắc 4).

•Các đỉnh 3, 4, 5 bậc 2, do

đó các cạnh (2,3), (3,4), (4,5), (5,6) phải thuộc chu trình Hamilton (quy tắc 2).

•Chu trình con: 1,2,3,4,5,6,1

Trang 27

Hamilton

1

2

3 4

5

6

•Chọn cạnh (1,2), (1,3) Xóa các cạnh (1,4), (1,5), (1,6), (1,7),

Trang 28

Hamilton

trình Hamilton

Trang 29

Hamilton

 Định lý 2.6: Cho một đồ thị G Giả sử có k đỉnh của G sao cho nếu xóa đi k đỉnh này cùng với các cạnh liên kết với chúng khỏi G thì đồ thị nhận được có hơn k thành phần Khi đó, G không có chu trình Hamilton.

Trang 30

Trang 31

Hamilton

Một đồ thị G có n đỉnh và 2 đỉnh bất kỳ nào cũng có tổng các bậc  n thì G có một chu trình Hamilton

Trang 32

Trang 33

Tóm tắt

đơn giản có đỉnh bắt đầu khác đỉnh kết thúc

và qua tất cả các cạnh của G Khi này G còn được gọi là một đường đi Euler

đơn giản đi qua tất cả các cạnh của G Khi này G còn được gọi là một chu trình Euler

Trang 34

Tóm tắt

hơn 1 đỉnh Khi đó, G có chu trình Euler nếu

và chỉ nếu mọi đỉnh của G đều có bậc chẵn

hơn 1 đỉnh Khi đó, G có đường đi Euler nếu

và chỉ nếu G có đúng 2 đỉnh bậc lẻ

Trang 35

Tóm tắt

 Cho đồ thị có hướng G liên thông và có hơn 1 đỉnh Khi đó, G có chu trình Euler nếu và chỉ nếu G cân bằng.

 Cho đồ thị có hướng G liên thông và có hơn 1 đỉnh Khi đó, G có đường đi Euler nếu và chỉ nếu trong G

có 2 đỉnh a, b thỏa:

d out (a) = d in (a) + 1

d in (b) = d out (b) + 1 mọi đỉnh còn lại đều cân bằng và đường Euler phải

Trang 36

Tóm tắt

đi sơ cấp qua tất cả các đỉnh của G

sơ cấp qua tất cả các đỉnh của G

chu trình Hamilton

Định dạng
Số trang	36
Dung lượng	804,5 KB