Đề minh họa đặc biệt toán

Tìm tọa độ của điểm M biểu diễn số phức z.. Cho hình chóp.. Góc giữa 2 mặt phẳng SBC và ABCD bằng 60.. Tính thể tích của khối 0 chóp .S ABD và khoảng cách từ trung điểm I của SD đến mặt

Đề thi được chữa chi tiết TẠI MOONTV, Thứ hai, 13/04/2015

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 3 2 ( 2 ) 3

y= −x mx + m − x m− + ( )C m (mlà tham số)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C m với m=1

b) Gọi d là tiếp tuyến tại điểm cực đại A của ( )C m Đường thẳng d cắt trục Oy tại B Tìm m để

6

OAB

S∆ = với O là gốc tọa độ

Câu 2 (1,0 điểm)

a) Cho góc α thỏa mãn sin α 1

2 2

2< < Tính giá trị của biểu thức 2 cos 2α π

3

 

b) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 2 ) + i 2z+ = −z 4i 20. Tìm tọa độ của điểm M biểu diễn số phức z

Câu 3 (0,5 điểm) Giải phương trình 2 1( ) 2( )

2

1

2

Câu 4 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình ( ) ( )

,

x y



∈



Câu 5 (1,0 điểm) Tính tích phân

2 2

x

=

+ + −

Câu 6 (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có SA⊥ ABCD , đáy ABCD là hình thang vuông tại A và

,

D AB=2 ,a AD=DC=a Góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 Tính thể tích của khối 0 chóp S ABD và khoảng cách từ trung điểm I của SD đến mặt phẳng (SBC)

Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, điểm A(−1; 2) Gọi M N , lần lượt là trung điểm của AD và CD, E là giao điểm của BN và CM Viết phương trình đường tròn ngoại

tiếp tam giác BME, biết BN có phương trình 2 x+ − =y 8 0 và B có hoành độ lớn hơn 2

Câu 8 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;1; 0)và đường thẳng

:

− Tính khoảng cách từ M đến ∆ và lập phương trình đường thẳng đi qua M , cắt và

vuông góc với ∆

Câu 9 (0,5 điểm) Một phòng thi ở kì thi THPT quốc gia có 50 thí sinh đăng ký dự thi, trong đó có 31 em

nam và 19 em nữ Trong phòng thi này có 50 bộ bàn ghế được đánh số theo thứ tự từ 1 đến 50 Giám thị ghi số báo danh của mỗi thí sinh vào một bàn một cách ngẫu nhiên rồi gọi thí sinh vào phòng thi, tính xác suất để thí sinh dự thi ngồi bàn số 1 và bàn số 50 đều là thí sinh nam

Câu 10 (1,0 điểm) Cho , x y là các số thực thỏa mãn 2 x− +2 y+ + = +1 1 x y

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) 2 32( )

ĐỀ THI ĐẶC BIỆT MINH HỌA KÌ THI THPT QUỐC GIA 2015

[Môn Toán – Đề số 01 – Dành cho Toán 2 – NC]

Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1 (2,0 điểm)

1

= +



= − +



Do 1+ > − +m 1 m,∀ ∈m R nên hàm số luôn có 2 điểm cực trị

Lại có hệ số a= >1 0 nên hàm số đại tại A(− + −1 m; 3m+3) và cực tiểu tại C(1+ −m; 3m−1)

Phương trình tiếp tuyến tại A là: y= −3m+3⇒B(0; 3− m+3)

Do tam giác OAB vuông tại B nên ta có: 1 1 3 3 1 6

OAB

1

m m

m

=



= −



Vậy m=3;m= −1 là các giá trị cần tìm

Câu 2 (1,0 điểm)

a) Thầy chưa làm nhé!

b) Gọi M z( )=( )x y; ⇒z= +x yi (x y, ∈ℝ)⇒z= −x yi

Theo bài ra ta có ( ) (2 )

1 2+ i x+yi + − = −x yi 4i 20

( )

4

4;3 3

x

M

y

=



=

Câu 3 (1,0 điểm)

ĐK: 1 0

2

8

1 2

x

t

x

( )

2

1 2

1 4

t

 =



 = −



Câu 4 (1,0 điểm)

Điều kiện:

14 3 1



≥





 ≥ −



y

x

(1) ⇔3x2+3y2+ =8 y3− +x3 6y−6x⇔x3+3x2+6x+ =8 y3−3y2+6y

( )3 ( ) ( )3 ( )

Xét hàm số ( ) 3

3

= +

f t t t trên ℝ có ( ) 2

' =3 + > ∀ ∈3 0 ℝ

Suy ra hàm số đồng biến trên ℝ Nên f x( + =1) f y( − ⇔ + = − ⇔ + =1) x 1 y 1 x 2 y

Thay vào (2) ta được (2x−11) ( 3x− −8 x+ =1) 5

(2 11 2)( 9) 5( 3 8 1)

( )( )

( )( ) 3( 3)( 8) ( 3)( 8)

= ⇔ =



⇔

= ⇔ =



8 3

≥

Vậy hệ có các nghiệm ( ) ( ) (x y, = 3;5 , 8;11)

Câu 5 (1,0 điểm)

Ta có

2 2

2

3

=

+ + −

∫

Đặt x2+ =1 t⇒x2 = −t2 1 Khi x= 3⇒t=2; x=2 2⇒t=3

2 2

1

t

− + +

3 t 2 t 1 dt 3 t 2d t 3 t 1d t

Vậy 2ln5 1ln 2

Câu 6 (1,0 điểm)

Gọi E là trung điểm của AB dễ thấy ABCE là

hình vuông cạnh a

Khi đó ta có: 1

2

CE= AB⇒∆ABC vuông tại

đỉnh C hay AC⊥CB

Lại có SA⊥BC⇒BC⊥(SAC)

Do vậy SCA=600

Ta có: AC=a 2⇒SA=ACtan 600 =a 6

3 2

a

Do I là trung điểm của SD nên ta có:

( )

2

Gọi K =AD∩BC khi đó

/ / 1 2







=

 nên CD là đường trung bình của tam giác AKB

Khi đó: ( ( ) ) 1 ( ( ) ) ( ( ) ) 1 ( ( ) )

;

Vậy

3

;

Câu 7 (1,0 điểm)

Ta có BAH =MCN (so le ngoài) nên 2 5 5 8 4 2 5

Phương trình đường thẳng AH là: 1.(x+ −1) (2 y−2)= ⇔ −0 x 2y+ =5 0

Gọi B b( ,8 2− b) ta có ( ) (2 )2 2

Suy ra B( )3; 2 , suy ra I( )1; 2 là trung điểm AB và AB=( )4;0

Phương trình trung trực AB đi qua I và nhận 1

4



AB làm véc tơ pháp tuyến là x− =1 0

Suy ra O là giao của đường trung trực của AB với AH nên 1 0 ( )1;3

− =



⇒





O

x

O

Suy ra phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆BME là ( ) (2 )2

Câu 8 (1,0 điểm)

Đường thẳng ∆ qua điểm A(1; 1; 0− ) và nhận u =(2;1; 1− ) làm VTCP

( )

( )2

2 2

AM u

d M

u

+ + −

 



Gọi d là đường thẳng cần tìm và giả sử d cắt, vuông góc với ∆ tại điểm N

Phương trình tham số của ∆ là ( )

1 2

= +









Do N∈∆⇒N(2t+1;t− −1; t)⇒MN =(2t−1;t− −2; t )

Đường thẳng d nhận 1; 4; 2



MN làm VTCP nên nhận a = − −(1; 4; 2) làm VTCP

Kết hợp với d qua điểm M(2;1; 0) : 2 1

Câu 9 (0,5 điểm)

Ω chính là số cách chọn 31 em từ 50 em ⇒ Ω =C5031

Gọi A là biến cố: “ thí sinh dự thi ngồi bàn số 1 và bàn số 50 đều là thí sinh nam ”

Bàn số 1 và bàn số 50 là 2 bạn nam nên chỉ còn 29 em nam và 19 em nữ ứng với 48 vị trí còn lại

50

93

245

A A

C

C

Ω

Ω

Vậy xác suất cần tìm là 93

245

Câu 10 (1,0 điểm)

+

2

t

t

Đi tìm ĐK cần và đủ của t

Từ x− ≥2 0; y+ ≥1 0⇒(x− + + ≥2) (y 1) 0⇒x+ ≥y 1⇒ x+ ≥y 1⇒t≥1

Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm ta có

2

Xét hàm số ( ) 4 64

2

t

f t

t

= + với t∈1; 6  Rõ ràng f t( ) liên tục trên đoạn 1; 6  

 

5 3

1; 6 1; 6

t

t

=

129

2