giải toán bằng máy tính casio

- Trong các chủ đề trên, đã đề cập đến vấn đề nâng lũy thừa rồi sử dụng Viet đảo trong các bài toán phương trình vô tỷ chứa căn đơn giản như một căn bậc hai, hai căn bậc hai ở hai vế, …

Trang 1

VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

CHUYÊN ĐỀ 7 NHÂN LIÊN HỢP HAI NGHIỆM VÔ TỶ HAY NHÂN TỬ DẠNG TAM THỨC BẬC HAI NGHIỆM LẺ

I, Lý thuyết cơ bản

- Trong các chủ đề trên, đã đề cập đến vấn đề nâng lũy thừa rồi sử dụng Viet đảo trong các bài toán phương trình vô tỷ chứa căn đơn giản như một căn bậc hai, hai căn bậc hai ở hai vế, … Và vấn đề

được đặt ra là trong các bài toán phức tạp hơn, nhiều căn thức thậm chí chứa cả phân thức việc nâng

lũy thừa sẽ tạo hệ số lớn dẫn đến khó có thể xử lý Chính vì thế ta cần tư duy qua hướng liên hợp

- Tuy nhiên, để có thể liên hợp được thuận tiện thì ta cần sự hỗ trợ của công cụ đắc lực CASIO để

đoán nghiệm vô tỷ cũng như tìm nhân tử chung chứa nghiệm lẻ của bài toán

- Các dạng biểu thức liên hợp:

• ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

f x g x

−

• ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

f x g x

−

+

• ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

f x g x

±

+

∓

• ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

3 3

f x g x

f x f x g x g x

−

+

∓

- Dựa vào các căn thức của phương trình, ta lựa chọn các biểu thức liên hợp cho phù hợp

Ví dụ Phương trình chứa căn bậc hai nên ta cần tìm nhân tử ax+ =b c px+q

II, Ví dụ minh họa

2

1 6

x x

PHÂN TÍCH CASIO Với bố cục của phương trình như trên, vừa chứa căn thức, vừa chứa phân số ta sẽ từ

bỏ ngay ý định nâng lũy thừa Mục đích của việc giải phương trình chính là tìm nhân tử của bài toán, thường thì nhân tử sẽ là một phương trình bậc hai vì đây phương trình làm xuất hiện các nghiệm cơ bản, do đó ta sẽ liên hợp để làm xuất hiện nhân tử này Mà nhân tử xuất phát từ nghiệm của phương trình nên ta sẽ đi tìm nghiệm của bài toán từ máy tính CASIO như sau:

• Ta chưa xác định được phương trình bài cho có nghiệm hữu tỷ hay vô tỷ, chính vì thế ta sẽ sử dụng công cụ TABLE ( Mode 7 ) để tìm khoảng nghiệm của phương trình

2

1 6

+ − Vì điều kiện bài

toán là 6 1

4

x

≥ ≥ nên ta sẽ gán giá trị khởi đầu và kết thúc tương ứng với điều kiện chặn, tức là:

o Start ? Nhập START =0.25 Bảng giá trị của hàm số F(X)

KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO GIẢI PT, HỆ PT (Phần 7)

Đặng Việt Hùng – Nguyễn Thế Duy – Vũ Văn Bắc – Moon.vn

Trang 2

o End ? Nhập END=6

o Step ? Nhập STEP=0.2

• Dựa vào bảng bên, ta thấy hai khoảng nghiệm

phương trình là 1; 9

4 20

  và

33 37

;

20 20

 

Và bây giờ ta sẽ sử dụng đến công cụ SHIFT

CALC để dò nghiệm trong hai khoảng nghiệm trên

o Nhập phương trình bài cho vào máy

o Với khoảng nghiệm 1; 9

4 20

  gán x=0.3 suy ra được nghiệm x=0.2928932188

o Với khoảng nghiệm 33 37;

20 20

• Xét hai nghiệm tìm được, thế vào hai căn thức của bài toán, ta có:

o Với x=0.2928932188 suy ra

2







o Với x=1.707106781 suy ra

2







o Do đó nhân tử chung cần tạo là ( 2)

1 6

x+ − x−x và (2x− 8x−2), nhân tử có được sau khi nhân liên hợp là 2

2x −4x+1

TƯ DUY LỜI GIẢI Với nhân tử tìm được, điều quan trọng là ta sẽ tách biểu thức liên hợp như thế nào cho

hợp lý Rõ ràng, ta sẽ tách được ngay 2x ở phân thức cuối để liên hợp với căn 8x−2, ta có:

2 2

1

Tiếp tục, ta thấy ( ) ( )2

x − x= − x−x = − x−x , đồng thời để tạo nhân tử chung ( 2)

1 6

x+ − x−x ta

sẽ nghĩ đến chuyện tách ( ) 2 ( ) 2 2

x+ x−x = x+ x−x + x−x , do đó ta được:

x+ x−x − x−x − = x−x x+ − x−x + x−x −

Và ta sẽ quy đồng đại lượng không tham gia tạo nhân tử chung đó là:

2

x x

Khi đó, phương trình đã cho được viết lại thành:

2

1 6

x x

2

x x

− + − −

2 2

2 2 4 1

0

Trang 3

( ) ( ) ( )

2

2 2

0

2

1

2

x





 − + =



vì

( ) 1

4

> ∀ ∈ − 

 

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 2 2

2

x  ± 

 

x − x− + x − =x x − +x x+ x∈ℝ

PHÂN TÍCH CASIO Tương tự như các ví dụ trên, thì sẽ đi thực hiện các bước:

• Ta chưa xác định được phương trình bài cho có nghiệm hữu tỷ hay vô tỷ, chính vì thế ta sẽ sử dụng công cụ TABLE ( Mode 7 ) để tìm khoảng nghiệm của phương trình

f X = X − X − + X − −X X − −X X + Vì điều kiện bài toán là 1

0

x x

≥



 ≤



nên ta sẽ gán giá trị khởi đầu và kết thúc tương ứng với điều kiện chặn và với hai miền nghiệm khác nhau tức là sẽ ứng với hai bảng giá trị

TH1 Với điều kiện x≥1 Bảng giá trị của hàm số F(X)

o Start ? Nhập START =1 x≥1 x≤0

TH2 Với điều kiện x≤0

o Start ? Nhập START = −4

• Dựa vào bảng bên, ta thấy hai khoảng nghiệm

phương trình là 2;5

2

  và

1

; 0 2

 

Và bây giờ ta sẽ sử dụng đến công cụ SHIFT

CALC để dò nghiệm trong hai khoảng nghiệm trên

o Nhập phương trình bài cho vào máy

o Với khoảng nghiệm 2;5

2

o Với khoảng nghiệm 1; 0

2

  gán x= −0.25 suy ra được nghiệm x= −0.414213562

• Xét hai nghiệm tìm được, thế vào hai căn thức của bài toán, ta có:

o Theo Viet đảo, sẽ thấy được 1 2

1 2

2 1

x x

+ =





= −

 nên nhân tử chung cần tìm là

2

2 1

x − x−

o Bài toán xuất hiện ba căn thức, lại có

x − =x x x − = x x− x+ = x −x x+ Vì thế ta sẽ tìm mối liên hệ giữa hai căn thức x2−x và x+1

o Với x=2.414213562 suy ra

2

1.847759065

1

1 1.847759065

x x

x





+ =



4

− ERROR

3.5

3

− ERROR

2.5

2

− ERROR

1.5

1

0.5

Trang 4

o Tương tự với x= −0.414213562 ta cũng có được x2 − =x x+1, do đó nhân tử chung hay nói cách khác biểu thức liên hợp cần tìm là ( 2 )

1

x − −x x+

TƯ DUY LỜI GIẢI Với nhân tử tìm được, đồng thời quan sát bài toán, ta đã có được ngay nhân tử chung

giữa hai căn là ( 2 )

1

x − −x x+ , việc còn lại chỉ là đi ghép biểu thức liên hợp với căn thức x3 −x, hay

để đơn giản hóa ta sẽ đi giải phương trình ( ) 3 3

g x =x − x− − x − =x

• Nếu đề bài yêu cầu giải phương trình g x( )=0 thôi thì ta thấy phương trình có dạng h x( )= k x( )

nên hoàn toàn có thể chọn giải pháp nâng lũy thừa, sau đó sẽ chia đa thức tạo nhân tử Bình phương hai vế của phương trình g x( )=0 với điều kiện x3−4x− ≥1 0 ta được ( 3 )2 3

4 1

x − x− =x −x

o Với kỹ năng ở CHUYÊN ĐỀ 1, hoàn toàn ta có được:

x − x− =x − ⇔x x − x − x + x + x+ =

o Nhân tử tìm được là x2 −2x−1 nên tiếp tục thực hiện phép chia đa thức để giảm bậc:

2

2 1

o Và chứng minh x4+2x3−3x2−7x− =1 0 vô nghiệm với điều kiện xác định của nó

• Còn trong trường hợp này, ta sẽ đi tìm biểu thức liên hợp với căn thức x3 −x

o Với hai nghiệm tìm được, ta có x=2.414213562 suy ra x3− =x 3.414213561= +x 1 Vì thế biểu thức liên hợp chính là ( 3 )

1

x+ − x −x

o Do đó, phương trình g x( )=0 tương đương với: ( 3 ) ( 3 )

x − x− + x+ − x −x = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 3

3

2

1

o Và một lần nữa, sức mạng của TABLE lên tiếng, ta có thể dùng bảng giá trị này để khảo sát nghiệm của phương trình

3

1

x x

+

+ + − còn lại

2

1

X

+

+ + − , ta sẽ xét trong khoảng điều kiện x≥1

Start ? Nhập START =1

End ? Nhập END=4.5

Step ? Nhập STEP=0.5 Nhận thấy hàm số có dấu hiệu tăng và không có dấu hiệu cắt trục hoành vì thế ta có thể khẳng định rằng phương trình f X( )=0 vô nghiệm

Hướng chứng minh vô nghiệm ta có thể khảo sát hàm

số để chỉ ra đó là một HÀM TĂNG, hoặc có thể biến

đổi tương đương hay nhóm hằng số đê đưa về tổng các đại lượng luôn dương Ta có:

3

1 2

Trang 5

( ) ( 3 ) ( )

1 2

x x

+

2

; 0 1;

2 1 0

x

 ∈ −∞ ∪ +∞



Từ đó, ta có lời giải như sau: ( 3 3 ) ( 2 )

x − x− − x −x + x − −x x+ =

( ) ( ) ( ) ( )

2

3 2

2

1

x

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x= ±{1 2}

Ví dụ 3 Giải phương trình 8 1 6 1 1 ( )

0 1

3 4 1

x x

x

+

6x =2x +3x+ +x 3 3x+ +2 2 x+1 x∈ℝ

Ví dụ 5 Giải phương trình 22 1 1 ( )

1 2

x x

+ +

Ví dụ 6 Giải phương trình ( 2 ) 1 1 ( )

1

Ví dụ 7 Giải phương trình 3 2 2 ( ) ( )

11x+ 9x +15x+ =7 x + +x 2 8x+3 x∈ℝ

Ví dụ 8 Giải phương trình 2 ( ) 2

x + = −x x + +x − x

ĐÓN ĐỢI CÁC PHẦN TIẾP THEO CÁC EM NHÉ!!!

Định dạng
Số trang	5
Dung lượng	162,69 KB