TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 2KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 20142015 Lớp 12 THPTThời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Ngày thi:15012015 Chú ý: Đề thi gồm 4 trang Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi nàyĐiểm của toàn bài thiCác giám khảo(Họ, tên và chữ ký)Số phách(Do Chủ tịch Hội đồng chấm thi ghi)Bằng sốBằng chữGiám khảo 1Giám khảo 2:Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô trống liền kề bài toán. Các kết quả tính gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể, được ngầm định chính xác tới 5 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy. HỌ VÀ TÊN: ........................................................................................................Đề bàiKết quảBài 1(2 điểm): Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình: Bài 2(2 điểm): Cho hình thang ABCD có , AB = 12,5; DC = 28,5. Tính tỉ số Bài 3(2 điểm): Tìm nghiệm gần đúng của hệ phương trình sau Bài 4(2 điểm): Tính gần đúng tọa độ các giao điểm của hyperbol và đường thẳng x – 8y + 4 = 0Bài 5(2 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy với gốc tọa độ O, cho các điểm A( 3; 4), B( 3; 0), C(1; 1). Tìm tọa độ điểm M sao cho đường thẳng AM chia tứ giác ABOC thành hai phần có diện tích bằng nhau.Tóm tắt lời giảiKết quảBài 6(2 điểm): Tìm nghiệm gần đúng của phương trình: Tóm tắt lời giảiKết quảBài 7(2 điểm): Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số sao cho ba chữ số a, b, c khác nhau theo thứ tự tăng dần. Tính xác suất để lấy ra trong tập S một phần tử là số chẵn.Tóm tắt lời giảiKết quảBài 8(2 điểm) : Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD cã c¹nh ®¸y a = 12,54(cm), c¸c c¹nh bªn nghiªng víi ®¸y mét gãc 720a. TÝnh thÓ tÝch h×nh cÇu (T) néi tiÕp h×nh chãp S.ABCD. b. TÝnh diÖn tÝch cña h×nh trßn thiÕt diÖn cña h×nh cÇu (T) c¾t bëi mÆt ph¼ng ®i qua c¸c tiÕp ®iÓm cña mÆt cÇu (T) víi c¸c mÆt bªn cña h×nh chãp S.ABCD. Tóm tắt lời giảiKết quảBài 9(2 điểm). Cho dãy số với: . (n số hạng).Viết qui trình bấm máy tính Từ đó hãy tính giá trị . Tóm tắt lời giảiKết quảBài 10(2 điểm): Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: Tóm tắt lời giảiKết quảHẾTTRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 2KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 20142015 Lớp 12 THPTThời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Ngày thi:15012015 Chú ý: Đề thi gồm 4 trang Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi nàyĐiểm của toàn bài thiCác giám khảo(Họ, tên và chữ ký)Số phách(Do Chủ tịch Hội đồng chấm thi ghi)Bằng sốBằng chữGiám khảo 1Giám khảo 2:Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô trống liền kề bài toán. Các kết quả tính gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể, được ngầm định chính xác tới 5 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy. Đề bàiKết quảBài 1(2 điểm): Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của phương trình: Bài 2(2 điểm): Cho hình thang ABCD có , AB = 12,5; DC = 28,5. Tính tỉ số Bài 3(2 điểm): Tìm nghiệm gần đúng của hệ phương trình sau Bài 4(2 điểm): Tính gần đúng tọa độ các giao điểm của hyperbol và đường thẳng x – 8y + 4 = 0 Bài 5(2 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy với gốc tọa độ O, cho các điểm A( 3; 4), B( 3; 0), C(1; 1). Tìm tọa độ điểm M sao cho đường thẳng AM chia tứ giác ABOC thành hai phần có diện tích bằng nhau.Tóm tắt lời giảiKết quảĐường thẳng OA: 4x + 3y = 0Ta có . Do nên điểm M phải thuộc cạnh OB. Gọi M(m; 0), suy ra – 3< m 0đặt phương trình trở thành: ) với ) với x = 1,00000 Bài 7(2 điểm): Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số sao cho ba chữ số a, b, c khác nhau theo thứ tự tăng dần. Tính xác suất để lấy ra trong tập S một phần tử là số chẵn.Tóm tắt lời giảiKết quảDo và a, b, c khác nhau theo thứ tự tăng dần nên 3 số đó được chọn từ các số 1, 2,...,9.số phần tử của S là Số chọn được là số chẵn có Xác suất là: Bài 8(2 điểm) : Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S.ABCD cã c¹nh ®¸y a = 12,54(cm), c¸c c¹nh bªn nghiªng víi ®¸y mét gãc 720a. TÝnh thÓ tÝch h×nh cÇu (T) néi tiÕp h×nh chãp S.ABCD. b. TÝnh diÖn tÝch cña h×nh trßn thiÕt diÖn cña h×nh cÇu (T) c¾t bëi mÆt ph¼ng ®i qua c¸c tiÕp ®iÓm cña mÆt cÇu (T) víi c¸c mÆt bªn cña h×nh chãp S.ABCD. Cách giảiKết quả Bài 9(2 điểm). Cho dãy số với: . (n số hạng).Viết qui trình bấm máy tính Từ đó hãy tính giá trị . Cách giảiKết quảGán 1 cho X; cho A, ghi vào màn hình = = = Thực hiện phép lặp Bài 10(2 điểm): Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: Cách giảiKết quảTa có . Đặt thì . Ta tìm đk cho t. Từ gt, đặt , suy ra ta được Suy ra , Xét hàm số liên tục trên J và có đồng biến trên J , .Vậy HẾT
Trang 1TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 2 KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG GIẢI TOÁN TRÊN
MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2014-2015
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi:15/01/2015
Chú ý: - Đề thi gồm 4 trang
- Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này
Điểm của toàn bài thi Các giám khảo
(Họ, tên và chữ ký)
Số phách
(Do Chủ tịch Hội đồng chấm Bằng số Bằng chữ
Giám khảo 1 Giám khảo 2:
Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô trống
liền kề bài toán Các kết quả tính gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể, được ngầm định chính xác tới 5 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy
HỌ VÀ TÊN:
Bài 1(2 điểm): Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của
phương trình: 2
2
3sin
os
x
+
Bài 2(2 điểm): Cho hình thang ABCD (AB CDP )có DBC DAB· = ·
, AB = 12,5; DC = 28,5 Tính tỉ số ABD
BDC
S S
∆
∆
Bài 3(2 điểm): Tìm nghiệm gần đúng của hệ phương trình sau
1
1
x
x y y
x y
Bài 4(2 điểm): Tính gần đúng tọa độ các giao điểm của hyperbol
1
x − y = và đường thẳng x – 8y + 4 = 0
Trang 2Bài 5(2 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy với gốc tọa độ O, cho các điểm A( - 3; 4),
B( -3; 0), C(1; 1) Tìm tọa độ điểm M sao cho đường thẳng AM chia tứ giác ABOC thành hai phần có diện tích bằng nhau
Bài 6(2 điểm): Tìm nghiệm gần đúng của phương trình: log 2 1 1 log 3 2 8 2
9
9
x− =x+ − x
Trang 3Bài 7(2 điểm): Gọi S là tập hợp cỏc số tự nhiờn cú ba chữ số abc a( ≠0)sao cho ba chữ số a,
b, c khỏc nhau theo thứ tự tăng dần Tớnh xỏc suất để lấy ra trong tập S một phần tử là số chẵn
Bài 8(2 điểm) : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a = 12,54(cm), các cạnh
bên nghiêng với đáy một góc 720
a Tính thể tích hình cầu (T) nội tiếp hình chóp S.ABCD
b Tính diện tích của hình tròn thiết diện của hình cầu (T) cắt bởi mặt phẳng đi qua các
tiếp điểm của mặt cầu (T) với các mặt bên của hình chóp S.ABCD
Trang 4Bài 9 (2 điểm) Cho dãy số { }u n với:
1 1; 2 1 3; 3 1 3 5 ; 4 1 3 5 7
1 3 5 7
n
u = − + − + (n số hạng).
Viết qui trình bấm máy tính u n Từ đó hãy tính giá trị u u9, 18
Bài 10(2 điểm): Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện x+ y=2 x+2+3 y−2014+2012 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: ( ) ( )
1
1 2
2015 1
+ +
+ + +
+
− +
−
=
y x
y x xy y
x S
Trang 5TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 2 KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG GIẢI TOÁN TRÊN
MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2014-2015
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi:15/01/2015
Chú ý: - Đề thi gồm 4 trang
- Thí sinh làm bài trực tiếp vào bản đề thi này
Điểm của toàn bài thi Các giám khảo
(Họ, tên và chữ ký)
Số phách
(Do Chủ tịch Hội đồng chấm Bằng số Bằng chữ
Giám khảo 1 Giám khảo 2:
Qui định: Học sinh trình bày vắn tắt cách giải, công thức áp dụng, kết quả tính toán vào ô trống
liền kề bài toán Các kết quả tính gần đúng, nếu không có chỉ định cụ thể, được ngầm định chính xác tới 5 chữ số phần thập phân sau dấu phẩy
Bài 1(2 điểm): Tìm nghiệm gần đúng (độ, phút, giây) của
phương trình: 2
2
3sin
os
x
+
28 16 360
31 44
19
160 3 06
x x
k k
′ ′′ +
′ ′ +
≈
Bài 2(2 điểm): Cho hình thang ABCD (AB CDP )có DBC DAB· = ·
, AB = 12,5; DC = 28,5 Tính tỉ số ABD
BDC
S S
∆
∆
0, 43860
ABD BDC
S S
∆
∆
≈
Bài 3(2 điểm): Tìm nghiệm gần đúng của hệ phương trình sau
1
1
x
x y y
x y
1.02776 6.16657
x y
≈
≈
Bài 4(2 điểm): Tính gần đúng tọa độ các giao điểm của hyperbol
1
x − y = và đường thẳng x – 8y + 4 = 0
10,13809
0, 43095 0,13809 5,56905
x y x y
≈
≈ −
≈ −
≈ −
Bài 5(2 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy với gốc tọa độ O, cho các điểm A( - 3; 4),
B( -3; 0), C(1; 1) Tìm tọa độ điểm M sao cho đường thẳng AM chia tứ giác ABOC thành hai phần có diện tích bằng nhau
Đường thẳng OA: 4x + 3y = 0
Ta có 7, 6
2
s∆ = s∆ = Do s∆AOB >s∆AOCnên điểm M phải thuộc
cạnh OB Gọi M(m; 0), suy ra – 3< m <0(*)
Lại có: 1 1.4 3
AOB
s∆ = AB BM = m+
mà
43
5
8
ABM ABOC
m
m
∆
= −
= −
Y
M(-0,62500; 0,00000)
Trang 6Kết hợp với điều kiện (*) suy ra 5
8
m= −
Bài 6(2 điểm): Tỡm nghiệm gần đỳng của phương trỡnh: log 2 1 1 log 3 2 8 2
9
9
x− =x+ − x
ĐK: x>0
đặt t=log2x⇒ =x 2t
phương trỡnh trở thành:
2
3 1 2
8 2
t
t
ữ
=
ữ
*) với 3 1 0 1
2
t
= ⇒ = ⇒ =
ữ
log 8 3
2
3
2
t
ữ
x = 1,00000 34.98183
x≈
Bài 7(2 điểm): Gọi S là tập hợp cỏc số tự nhiờn cú ba chữ số abc a( ≠0)sao cho ba chữ số a,
b, c khỏc nhau theo thứ tự tăng dần Tớnh xỏc suất để lấy ra trong tập S một phần tử là số chẵn
Do a≠ 0và a, b, c khỏc nhau theo thứ tự tăng dần nờn 3 số đú
được chọn từ cỏc số 1, 2, ,9
số phần tử của S là 3
C =
Số chọn được là số chẵn cú 2 2 2
C +C +C =
Xỏc suất là: 17
42
0.40476
≈
Bài 8(2 điểm) : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a = 12,54(cm), các cạnh
bên nghiêng với đáy một góc 720
a Tính thể tích hình cầu (T) nội tiếp hình chóp S.ABCD
b Tính diện tích của hình tròn thiết diện của hình cầu (T) cắt bởi mặt phẳng đi qua các
tiếp điểm của mặt cầu (T) với các mặt bên của hình chóp S.ABCD
521.34213
V ≈
Trang 7S≈
Bài 9 (2 điểm) Cho dãy số { }u n với:
1 1; 2 1 3; 3 1 3 5 ; 4 1 3 5 7
1 3 5 7
n
u = − + − + (n số hạng).
Viết qui trình bấm máy tính u n Từ đó hãy tính giá trị u u9, 18
Gán 1 cho X; 1
2 cho A, ghi vào màn hình
( 1)
1:
( 1)
X
X X X
X X
−
+
−
+
= = = Thực hiện phép lặp
9
18
0,54984;
0,17968
u u
≈
≈
Bài 10(2 điểm): Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện x+ y=2 x+2+3 y−2014+2012 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: ( ) ( )
1
1 2
2015 1
+ +
+ + +
+
− +
−
=
y x
y x xy y
x S
Ta có
xy y
x y
y x
x
1
2015 1
2 1
+ + + +
− + +
−
=
1
2015 2
) ( 2 )
+ + + + +
−
+
=
y x y
x y
x
1
2015 5
) 1 (
4 )
1
+ + + + + +
− +
+
=
y x y
x y
t t
t
S = 4−4 2 +5+2015 Ta tìm đk cho t Từ gt, đặt a= x+2≥0,
0
2014≥
−
b suy ra x=a2 −2,y=b2 +2014ta được
) (
13 3
2 2012
3 2 2014
Suy ra 0≤a2+ ≤b2 13, x+ y+1=a2+b2 +2013∈[2013;2026]
y
x
Trang 8
=
−
=
⇔
=
=
⇔
= +
⇔
=
2014
2 0
0
y
x b
a b
a t
=
=
⇔
=
=
⇔
=
=
+
⇔
=
2023
2 3
2 3
2
13 2026
2 2
y
x b
a b
a
b a t
Xét hàm số
t t
t t
f( )= 4−4 2+5+2015 liên tục trên J và có
J t t
t t t
t t t
t t
t
f'( )=4 3−8 2 −20152 = 4 4 −8 32−2015= 4 3( −22)−2015>0∀ ∈
)
(t
f
⇒ đồng biến trên J min ( ) ( 2013) 4044122 2015
2013
t J f t f
∈
2015 max ( ) ( 2026) 4096577
2026
t J f t f
2013
2015 4044122
2026
2015 4096577
min 4044166,91105
max 4096621,76673