Ôn tập về nguyên hàm và tích phânÔn tập về nguyên hàm và tích phânÔn tập về nguyên hàm và tích phânÔn tập về nguyên hàm và tích phânÔn tập về nguyên hàm và tích phânÔn tập về nguyên hàm và tích phânÔn tập về nguyên hàm và tích phânÔn tập về nguyên hàm và tích phânÔn tập về nguyên hàm và tích phân
Trang 1GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng 10-11-12-ltđh
VẤN ĐỀ 1 NGUYÊN HÀM
Bài 1 Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x3 biết nguyên hàm này triệt tiêu khi x = –2
Bài 2: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = Sinx biết nguyên hàm này bằng 5
khi
3
x=π
Bài 3: Cho f x( )=x.lnx x+ 2 , (x>0) Tìm nguyên hàm của hàm ( ) lng x = x
biết rằng nguyên hàm này bằng – 2 khi x = 2
( )
f x =xCosx x+ Tìm nguyên hàm của hàm ( )g x =xSinx
biết rằng nguyên hàm này bằng khi
Bài 7: Cho f(x)=x 3−x Tìm a , b , c sao cho F(x) = (ax2 + bx + c) 3−x
là một nguyên hàm của f(x)
Bài 8: Không tính đạo hàm CMR: 2 2
4)1()(
+
=
x
x x
2)1(
12)(
G
cùng là nguyên hàm của một hàm số
Bài 9: Cho hàm số : y = (2x2 – 3x)ex
1) Chứng minh rằng: y’’ – 2y’ + y = 4ex
2) Suy ra : 4ex + 2y – y’ là một nguyên hàm của y
Bài 10: CMR: F(x) = (x – 2)ex là một nguyên hàm của f(x) = (x – 1)ex
Bài 11: CMR: F(x)= x −ln(1+ x) là một nguyên hàm của
x
x x f
+
=
1)(trên R
Trang: 1
Trang 2GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng 10-11-12-ltđh
Bài 12: Chứng minh rằng :
VẤN ĐỀ 2 TÍCH PHÂN CƠ BẢN
Bài 1: Tính tích phân các hàm số sau đây :
31
3) 3 3 2 32 5 3
x
x x
32
2
351
x
x x
Bài 2: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1
1
−+
Trang 3GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng 10-11-12-ltđh7) (x+3)(1x−2) 8)
23
17
54
−
+
x x
10)
54
1
2 −
65
1
2 − x−
169
x Cos
+
2 2) Sin3x.Cos3x 3)
14
4
12
4x− Cos x+
Cos
4) (3 – 2Cosx)2 5) Sin4x 6) Cos33x
7) Sin5x.Cos2x 8) (2tgx – 5)2 9) (3 – Sin2x)(2 + 5Cos2x) 10) Cos4x 11) (2Cos23x – 1)Sin23x
12) Cosx.Cos3x.Cos5x 13) Sin3x.Cos3x
14) (tg2x – 3)(2Cotg2 + 5) 15)
23
16) (3 – tgx)(5 + 4Cotgx) 17) Sin2x.Cos4x 18) Cos6x
Bài 4: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1)
2
83
10) (2x+ 1−5x− 1)10−x
Bài 5 : Tính tích phân các hàm số sau đây :
1)
82
35
+
x x
x
2)
252
73
−
x x
x
3)
)1)(
4(
12
x
4)
22
12
3 + x −x−
x x
12
x
Trang: 3
Trang 4GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng 10-11-12-ltđh7)
)4)(
1(
1
5 3
++
+
x x
x
9)
)2)(
1)(
1(
13
−
−+
++
x x x
x x
Bài 6: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1)
96
17
+
x x
x
2)2(
13
x
Bài 7: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1)
103
25
−
x x
1
)1)(
1(
122
2
+
−
−+
x x
x x
7)
2
7532
2 3
+
+++
x
x x
)82()2)(
1(
1572 2
3
+
−+
−
+
−
x x x
x
x x
VẤN ĐỀ 3 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Bài 1: Tính tích phân các hàm số sau đây :
4 ) ∫3( + )
22
2
dx x
x
6) ∫−2 +
2 x 1 dx . 7) ∫−3 −
2x x . dx 12) ∫2 ( )
x , max 14) ∫2 −
0
2,3 2)
Max
Trang 5GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng 10-11-12-ltđh15)∫1 −
0
dx a x
1
2 (a 1)x a dx x
π
dx tgx x Cos
19) 3
dx Sin x Cos x
π
π
2 3
2 4
3 3
2 6
x −
∫23)∫
−
∫27)
0(e x+3.2 )x dx
3 8
dx Sin x Cos x
π π
Cosx dx Cosx
π −+
∫35) 3 4 2 2
Trang 6GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng 10-11-12-ltđh
Bài 2: Cho hai số nguyên p và q khác nhau Tính :I =
2 0
với t ∈ R1) Tính J(t) 2) Tìm MinJ(t)
Bài 4: Chứng minh rằng nếu y=ln(x+ x2+a2) thì y' 21 2
=+ (a> 0)
∫
VẤN ĐỀ 4 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SO Á
Bài 1: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1)
63
13
2
++
+
x x
36
833
2
++
+
x x x
4)
9
10 3 6
6
x x
−
Trang 7GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng 10-11-12-ltđh
2
)1
2
+
+
x x
Bài 2: Tính tích phân các hàm số sau đây :
x
5)
1
3 0
.(3 1)
x dx
x+
2 4
21
1
dx x
51
x
dx x
9)
1 2
x
dx x
−+
0
6 3
5(1 x ) dx x
Trang 8GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng 10-11-12-ltđh
Bài 5: Tính tích phân các hàm số sau đây :
Sin
7)
12
3
+
x Cos
x Sin
x Cos
9) Sin7x.Cos2x10)
x Cos SinxCosx
x Sin
6
2
13) Sin 3x Cosx 14)
x Sin x
1
17)
x Cos
x Cos Sinx
2
31
18) Cos 5x Sinx 19)
Cosx x Sin
1
x Cos x Sin2 21
21)
x Cos x Sin
Cosx Sinx
4 4
Cosx Sinx
Cosx Sinx
−
+
25)
Cosx b Sinx
x Sin Six
2
3
x Sin
x Cos
4 2
Sinx x Sin
x Cos
+
2 3
33)
Cosx Sinx x
Sin
x Cos
.42
2
Cosx Sinx
0 1 3
π
dx Cosx
0 3
π
dx Cosx x
π
dx Cosx Sinx . 6) ∫2 +
0 2
π
Sinx
Trang 9GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng 10-11-12-ltđh7) ∫4
π
x Cos dx 8) 2Sin x.Cos3x.dx
0 2
∫π 9) 2(Cos x Sin x).dx
0
3 3
Sinx Cosx
12) ∫2 ++ ++
67
π
dx Cosx Sinx
π
dx x Cos
0
27
11
π
dx x Cos Sinx Cosx
π
dx x
19) ∫π + −
0 1 Sin2x dx
Sinx Cosx
0
3
2 )1
(2
π
dx x Sin x
0
3)1
(
π
dx Cosx Cosx
0
4 4
4
π
dx x Cos x Sin
x Sin
0
6 6
6 π
dx x Cos x
)2(
π
Cosx Sinx
dx Cosx
0 2 3 π
dx x Cos
1π
π
dx Cosx Sinx
x Cos x Sin
33)∫4 +
0
2
21
π
dx x Cos
π
dx Cotgx x
Sin
Sinx x Sin
35) ∫10
4x Cosx
Sin dx
0
3)(
.4π
Cosx Sinx
dx
0
21
.4π
x Cos
dx x Sin
Trang: 9
Trang 10GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng 10-11-12-ltđh
π
x Sin Sinx
dx
41) ∫π0
.dx
Sinx Cosx
dx Sin x
π π
+ có thể biểu diễn dưới dạng :h(x) =( ) Sinx
Cosx B Sinx
Cosx A
+
+ + 2
.
π
π
dx x h
Bài 8: Xác định A , B , C sao cho :
1
+
x x
x
ln1
ln
+
13) (2ex +3)2.ex
Trang 11GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng 10-11-12-ltđh
Bài 11: Tính tích phân các hàm số sau đây :
x
ln
.
∫1 ++ +
21
e dx e
−
−
+
∫10) ∫e + dx
x x
x
1
2 )ln1
12) ∫21 2
ln
dx x x
13) ∫1 ++
0
2
21
)1
(
dx e
dx x
.ln
0
2 1)ln(
01
x x
e
dx e
1
(
21
+
++
x x
x
2)
1
11
13
x 3)
1
1
+
x x
4)
11
2(
13
2
2
++
⋅+
+
x x
Trang 12GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng 10-11-12-ltđh1)
)
3
x x
1
+
x x
1212
1
++
2
x
x
−+
Bài 14: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1)
54
1
2 + x+
143
1
182
43
−
x x x
43
+
x x
x
6)
34
Bài 15: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1)
32)
1
2 +
x x
4)
33)
1
(
23
+
+
x x x
x
5)
x x
Bài 16: Tính tích phân các hàm số sau đây :
12
x
7)
1
Bài 17: Tính tích phân các hàm số sau đây :
Trang 13GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng 10-11-12-ltđh
31
x
dx x
1
dx x
x
14) ∫2 −
21
x
dx x
2
dx x
x x
18) ∫3 ++0
21
1
dx x x
x
21) ∫1 + +
21
)(
x
dx x x
x x
dx x
1
dx x
x
36)
1 6 3
01
x dx x
+
1 2 0
Trang 14GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng 10-11-12-ltđh
33
Bài 1: Tính tích phân các hàm số sau đây :
11) 3 x ln x 12) ln(x+ x2 +1) 13) ex.Cosx14) (x2 + 2x + 3)Cosx 15) e2x.Cosx 16) Cos(lnx)
20) Cos2(lnx) 21) x ln x
22)
x Cos
x
x Sin
x
2
21
1ln
x
x x
x
+
++
)1(
x . 3)∫2(x2 +1). e x dx
Trang 15GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng 10-11-12-ltđh4)∫1
dx
x.
8) π∫0
2 Sinx Cos x dx
e x π 11) ∫e x+ xdx
1
ln)
22
−
+
1 1
2)
(e x2 Sinx e x x dx 21)∫1
0
2 e dx
22)∫4
0
.2.5
π
dx x Sin
e x 23) ∫4
0
2
π
dx x tg
0
)1
ln(
π
dx Cosx
0 2
π
dx x Cos
Sinx x
27) ∫2
0
3
2 π
dx x Cos Sinx
.1
1
π
dx e Cosx Sinx x
32)
2 1
.( 2)
ln
e
x dx x
x 13
4
1 dx
x
Sinx x
Trang: 15
Trang 16GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng 10-11-12-ltđh
π
dx x
24
π
π
dx x Sin
Cosx x
VẤN ĐỀ 6 TÍCH PHÂN LIÊN KẾT
Bài 1: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1) I =∫(a.Sin2αx+bCos2αx)dx và J =∫(a.Cos2αx+bSin2αx)dx
2) I =∫Cos2x.Cos2xdx
và J =∫Sin2x.Cos2xdx
3) I =∫Cos(lnx)dx và J =∫Sin(lnx)dx
4) I =∫e2x.Cos2xdx và J =∫e2x.Sin2xdx
Cosx Sinx
Sinx
Cosx Sinx
Cosx J
Bài 2: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1) Tính: I = ∫2 −
0
.3
π
dx x Sin
e x và J = ∫2 −
0
.3
π
dx x Cos
3) Tính = ∫2 +
0
3 π
dx Cosx Sinx
x Cos
0
3 π
dx Cosx Sinx
x Sin J
π
Trang 17GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng 10-11-12-ltđh6) Tính I = 2
0
Sinx
dx Sinx Cosx
π
+
∫7) Tính :
1 1
∫8) Tính : 2 2
∫
Bài 3: Tính tích phân các hàm số sau đây :
1) Cho hàm số g(x) = Sinx.Sin2x.Cos5x
a) Tìm họ nguyên hàm của hàm số g(x)
π
π
dx e
x g x
2) Tìm họ nguyên hàm của hàm số:
1 ( )
x Sin
Sinx x
Trang: 17
Trang 18GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng 10-11-12-ltđh8) Tìm họ nguyên hàm của hàm số :f x x x x x
cos sin
cos sin ) (
x x
f
cos sin
cos )
11) Tìm họ nguyên hàm của hàm số : 2
VẤN ĐỀ 7 CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
Bài 1: Cho hàm số f liên tục trên đoạn [-a, a] (a> 0) Chứng minh rằng:
1/ Nếu f là hàm chẳn thì :∫−a = ∫
a
a
dx x f dx
x f
dx x
Aùp dụng tính : ∫ [ ( ) ]
−
++
Trang 19GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng 10-11-12-ltđh
)
(2)
) ( )
( )
π
dx Sinx x
2
π π
dx Sinx f dx Sinx
dx Cosx f dx Sinx
2) Tính = ∫2 +
0
3 π
dx Cosx Sinx
x Cos
0
3 π
dx Cosx Sinx
x Sin J
Bài 6: Cho f là hàm số liên tục trên [a,b] và f(a+b-x) = f(x)
Chứng minh rằng:∫b = + ∫
a
b
a dx x f b a dx x
dx x b a f dx
x
f( ) ( ) Suy ra: ∫b f x dx=∫b f b−x dx
) ( )
(
Bài 8:
1) Cho hai số nguyên dương p, q Tính I = ∫π ⋅
2 0
Cosqxdx Cospx
trong hai trường hợp p = q và p ≠ q
2) Cho các số thực a1 , a2 , a3 , …, an
Trang: 19
Trang 20GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng 10-11-12-ltđhGiả sử a1.cosx + a2.cos2x + …+an.cosnx = 0 với mọi x ∈[0 ; 2π].Hãy sử dụng kết qủa trên để tính a1 , a2 , a3 , …, an.(ĐHQG – 99-2000)
+
2 0
2 0
4 4
4 4
4 4
dx x
x dx
x x
x
sincos
sinsin
coscos
Từ đó tính : ∫2 +
0
4 4
4 π
dx x x
x
sincos
.Cosnx dx Sinmx Sinnx dx
+
++
xdx
1)1(
Bài 12: Chứng minh rằng :
4
2 0
π
π
=+
x Sin x Cos
x Cos
n n
,
Chứng minh rằng : m.I(m,n) = (n – 1).I(m + 1,n – 1) ( 2 ≤ m , n ∈ Z )
Bài 15: Chứng minh rằng :
1
0
! !(1 )
( x n e x x2 dx
(n = 1,2,…)
Trang 21GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng 10-11-12-ltđh
0
0)(Sinx nx dx
π
dx x f I
VẤN ĐỀ 8 BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN
Bài 1: Chứng minh rằng :
π
ππ
x Cos
dx
2/
27
41
01 0
22
π π
Sinxdx xdx
Sin
5/ ∫2 < ∫
0
2 0
2 6
xdx Sin xdx
1
2 2
1
dx e dx
x x dx
9
2
x dx
π
3213
3
Cosx x
Cos dx
Trang: 21
Trang 22GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng 10-11-12-ltđh
15) < ∫3 <
14
π
dx x
Sinx
112
π
dx x Cotgx
0
4 2
2
e dx
x e e
2
26
1
dx x
6
ππ
x x dx
21)
1
2
2 0
1
dx x
Bài 3: 1) Tính = ∫2 −
0 2
x tg t
tg
3 3
3 24
J
1
2ln)
( với t > 1Tính J(t) theo t , từ đó suy ra rằng : J(t) < 2 , ∀t > 1 (ĐHQG-KA-1997)
12
π
Sin
t biếnđổicách
dx x Sin
x Sin I
2) Tính = ∫2 + 4
12
π
thứcđẳng bất minhchứngvà
dx x Cos
x Sin J
Trang 23GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng 10-11-12-ltđh
++
2 0
Cos
Cosx Sinx
))(
(
Bài 6: Cho 2
0
n n
π
=∫ ( n ≥ 0 )1) Chứng minh rằng : 2
12
2) Chứng minh rằng hàm :f N→R sao cho : f n( ) (= +n 1) .I I n n+1
là một hàm hằng
Bài 7: Cho 4
0
n n
π
=∫ ( n ≥ 0 )1) Chứng minh rằng :I n >I n+1
2) Tìm hệ thức liên hệ I và n I n+2
∫ ( n ≥ 0 )1) Tính I1
2) Với n > 1 , hãy tìm công thức biểu diển I qua n I n−1
n ( n ≥ 0 )1) Tìm hệ thức liên hệ In+1 và In
2) Chứng minh : In+1≤ In và Lim n→∞ I n =0 (ĐHQG-KA-1996)
Bài 11: Đặt =∫e n
I
1)(ln với n là số nguyên dương
Trang: 23
Trang 24GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng 10-11-12-ltđh1) Tìm hệ thức liên hệ In+1 và In Tính I1 và I2
n
e I I
∞
→ +1 ≤ ≤ +1 và tính (ĐHQG-KA-1997)
Bài 12: Cho =∫1 −
0
2 dx e x
e n
I n
)( −
0
2) 1
π
dx x tg x
n
1) Tính I2 2) CMR:
242
>
n n
I =∫x −x dx ( n ≥ 0 )3) Chứng minh rằng : 1
)(.Sin x dx x
x
n
Trang 25GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng 10-11-12-ltđh
Bài 18: Tính
0 ( 1)
x x
dt Lim
x dx Lim
VẤN ĐỀ 9 DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
1) (C) : y = x2 – 4x + 3 ; trục Ox ; hai đường thẳng x = 0 và x = 4
2) (C) : y = x – x2 và trục Ox
3) (C) : y = – x2 + 4x – 3 và các tiếp tuyến với đường cong này tại cácđiểm A(0,–3) và B(3,0)
4) (C) : y = Sinx ; trục Ox ; hai đường thẳng x=π2 và
Trang 26GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng 10-11-12-ltđh9) (C) : x = 4 – y2 ; trục Oy ; hai đường thẳng y = –2 và y = 2.
−
−+
3) (C) : y2 = 2x và đường tròn tâm O bán kính R
4) (C1) : x2 + y2 = 4 và (C2) : x2 + y2 = 4x (phần chung)
5) ax=y2 , ay x= 2 với a>0 cho trước
Bài 4: Cho ( ) :P y x= 2 Hai điểm A, B di động trên (P) : AB = 2
1) Tìm tập hợp trung điểm I của AB
2) Xác định A , B sao cho diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi AB và (P) đạt giá trị lớn nhất
Trang 27GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng 10-11-12-ltđhgóc k đi qua điểm (1,4)A Xác định k để diện tích đó lớn nhất.
Bài 6: Xét hình có diện tích chắn bởi ( ) :P y x= 2 và đường thẳng có hệ số góc k đi qua điểm trong A x y của (P) (Tức là điểm A với tọa độ ( , )0 0thỏa mãn điều kiện 2
3) Tính diện tích tam giác cong giới hạn bởi (P) và 2 tiếp tuyến nói trên
Bài 8: Cho hàm số (C) : ( ) 32
1) Khảo sát biến thiên hàm số
2) Tính diện tích tam giác cong chắn bởi trục hoành , đồ thị (C) và đường thẳng x = 1
Bài 9: Parabol( ) :P y2 =2x chia diện tích của hình tròn tâm O(0,0) bán kính
R = 2 2 theo tỉ số nào
Bài 10: Cho A là một điểm tùy ý trên ( ) :P y= px2 (p > 0) (D) là một đường thẳng song song với tiếp tuyến tại A của (P) , (D) cắt (P) tại hai điểm
M , N Hãy so sánh diện tích tam giác AMN và diện tích của hình hắn phía trên bởi (D) và phía dưới bởi (P)
VẤN ĐỀ 10 THỂ TÍCH VẬT THỂ
Bài 1: Tính thể tích các vật thể tạo nên khi quay quanh Ox hình phẳng S với
S được giới hạn bởi:
1) (C) : y = 2x – x2 và trục Ox
2) S là (E) : 22 + 22 =1
b
y a x
3) S là x2 + (y – b)2 = a2
4) (C) : y = x2 ; y = 0 ; x = 0 ; x = 1
Trang: 27
Trang 28GV.Chuyên toán-Huỳnh công dũng 10-11-12-ltđh5) (C) : y = x2 – 2x ; y = 0
6) (C) : y =
Cosx
1 ; trục Ox ; x = 0 ; x =
18) Hình tròn x2+ −(y b)2≤a2 , với 0 a b< ≤ 2
Bài 2: Cho hình phẳng D giới hạn bởi y2 = (4 – x)3 và y2 = 4x
1) Tính diện tích miền D
2) Tính thể tích tròn xoay do D quay quanh Ox
Bài 3: Gọi (D) là miền giới hạn bởi các đường y= − +3x 10 ,y=1 và
Bài 5: Cho hình tròn có tâm I(2 , 0) , bán kính R = 1 , quay quanh trục Oy
Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo nên
