Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị C tại hai điểm phân biệt.. Chứng minh rằng khi đó tích hệ số góc của hai tiếp tuyến với C tại hai điểm đó là một số không đổi.. Cho tam giác ABC có ba
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi : TOÁN
Thời gian : 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi : 02/10/2015
Câu 1 (4,0 điểm).
a) Giải phương trình: x2+ x2−3x 3(x 2)= + .
b) Giải hệ phương trình:
2
(x x 2)y x 0 (x 4x 1)y (2x x)y x 0
Câu 2 (3,0 điểm).
a) Cho dãy số (un) xác định bởi: 1
u + 4u 9n 12 (n 1, 2,3, )
=
Tìm số hạng tổng quát của dãy số (un)
b) Cho dãy số (xn) xác định bởi: 1
x + 3 2x (n 1, 2,3, )
=
Chứng minh rằng dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó
Câu 3 (3,0 điểm)
a) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 8 chữ số sao cho trong mỗi số đó có đúng ba chữ số 1, các chữ số còn lại đôi một khác nhau và hai chữ số chẵn không đứng cạnh nhau ?
b) Cho đồ thị (C) : y 2x 1
x 1
− +
=
− và đường thẳng d: y = x + m (m là tham số) Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt Chứng minh rằng khi đó tích hệ số góc của hai tiếp tuyến với (C) tại hai điểm đó là một số không đổi
Câu 4 (4,0 điểm).
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O;R)
a) Gọi A1, B1, C1 lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B, C trên BC, CA, AB Gọi p1
là nửa chu vi tam giác A1B1C1 và S là diện tích tam giác ABC Chứng minh rằng: S = R.p1 b) M là điểm di động trên cạnh BC (M khác B và M khác C), đường trung trực của đoạn thẳng MB cắt đường thẳng AB tại E, đường trung trực của đoạn thẳng MC cắt đường thẳng
AC tại F Xác định vị trí điểm M trên cạnh BC sao cho diện tích tam giác OEF nhỏ nhất
Câu 5 (3,0 điểm).
Cho hình vuông ABCD, M là điểm di động trên đường thẳng AB (M khác A và M khác B) Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng MC và AD, N là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng MC, I là giao điểm của hai đường thẳng AN và BE Chứng minh ba điểm
M, I, D thẳng hàng
Câu 6 (3,0 điểm).
Cho ba số thực a, b, c đều không nhỏ hơn 1 và thỏa mãn a2+b2+c2≤12
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 21 21 2 8 3 (a 2b)(a 2c)
Hết
-ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2015 - 2016 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 12 THPT
Câu 1
Đặt t= x2−3x , t ≥ 0
PT (1) trở thành: t2 + t – 6 = 0
⇔ t = –3 (loại) hoặc t = 2 (thỏa t ≥ 0)
+ Với t = 2 thì: x2−3x = ⇔2 x2−3x 4 0− =
⇔ x = –1 hoặc x = 4
0.5 0.5 0.25 0.5 0.25
+ (x ; y) = (0 ; 0) là một nghiệm của (I)
+ Mọi cặp số (x ; 0) và (0 ; y) với x≠0, y≠0 đều không phải là nghiệm của (I)
+ Trường hợp x ≠ 0, y ≠ 0:
2
x y xy 2y x 0 (I)
⇔
x(xy 1) 2y xy2 2 2 2 2
x (xy 1) xy(xy 1) y 5x y
+ + =
⇔
2
2
+ + =
⇔
Đặt a x 1, b 1
= + = (b ≠ 0), hệ trên trở thành: (II) a 2b 12 2
a ab b 5
+ =
+ − =
Giải hệ (II) được: (a ; b) = (3 ; –1) và (a ; b) = (–7 ; 4)
+ Với (a ; b) = (3 ; –1) thì: (x; y) 1;1
4
+ Với (a ; b) = (–7 ; 4) thì: (x; y) 1; 4
4 29
* Một cách giải khác:
+ Trường hợp y ≠ 0:
Biến đổi được:
2
2
x
y
− + + =
(1) ⇔ x x2 x 2
Thay (3) vào (2), khai triển và rút gọn được: 4x2 + 3x – 1 = 0 (0.25)
⇔ x = –1 hoặc x = 1/4 (0.25)
0.25
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Trang 3Câu Đáp án Điểm Câu 2
(3.0)
Ta có: un+1 – 3n = 4[un – 3(n – 1)], ∀n ≥1 (1)
Xét dãy số (vn), với vn = un – 3(n – 1), ∀n ≥1
Từ (1) ta có: vn+1 = 4vn , ∀n ≥1
Suy ra (vn) là cấp số nhân có công bội q = 4 và số hạng đầu v1 = 2
n 1
v =v q − =2.4 − =2 − , n 1.∀ ≥
Vậy số hạng tổng quát của (un) là un = 22n–1 + 3n – 3
0.5 0.25 0.25
0.25 0.25
* Chứng minh (xn) tăng, tức là chứng minh: xn+1 > xn, ∀n ≥1
Ta có x2 = 3 2x+ 1> 3 x= 1
Giả sử xk+1 > xk (k ≥ 1), ta có: xk 2+ = 3 2x+ k 1+ > 3 2x+ k =xk 1+
Vậy: xn+1 > xn, ∀n ≥1
* Chứng minh xn < 3, ∀n ≥1
1
x = 3 3< Giả sử xk < 3 (k ≥ 1)
Ta có: xk 1+ = 3 2x+ k < 3 2.3 3+ = Vậy xn < 3, ∀n ≥1
Vì (xn) tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn hữu hạn
Đặt limxn = a ( a≥ 3)
Theo công thức xác định dãy số (xn), ta có:
a= 3 2a+ ⇔a = +3 2a ⇔a −2a 3− ⇔ =a 3 (vì a≥ 3) Vậy limxn = 3
0.25
0.25
0.25 0.25
0.25
0.25
Số hoán vị 5 chữ số lẻ 1, 1, 1, 3, 5 là 5!
3!.
Ứng với mỗi hoán vị có 6 vị trí đầu, cuối và xen kẽ giữa 2 chữ số lẻ Do đó có A36
cách sắp xếp ba chữ số chẵn 2, 4, 6 vào 3 trong 6 vị trí đó để được số thỏa đề bài
Vậy số các số thỏa đề bài là: 5!A36 2400
3! =
Ghi chú: Học sinh giải bằng phương pháp phần bù, Giám khảo phân điểm thành 3
bước (số bị trừ: 0.5; số trừ: 0.25, hiệu: 0.25)
0.5
0.25 0.25
* Tìm m d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt (1.0)
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là: 2x 1 x m
x 1
− + = +
− 2
x (m 1)x m 1 0
∆ = (m + 1)2 + 4(m + 1)
d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt ⇔ phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
⇔∆ > 0 ⇔ m < – 5 hoặc m > – 1 (*)
* Chứng minh tích các hệ số góc của hai tiếp tuyến không đổi (1.0)
Với điều kiện (*), d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M(x1 ; y1), N(x2 ; y2), trong đó x1,
x2 là các nghiệm của phương trình (1)
Theo định lý Viet: x1 + x2 = –(m + 1), x1x2 = –(m + 1)
Gọi ∆1, ∆2 lần lượt là tiếp tuyến của (C) tại M, N
Hệ số góc của ∆1, ∆2 lần lượt là: 1 ( )2 2 ( )2
(x1 – 1)(x2 – 1) = x1x2 – (x1 + x2) + 1 = 1
0.25
0.25 0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Trang 4Vậy:
2
1 2
1
Câu 4
(4.0)
Chứng minh: OA ⊥ B1C1 (1.25) Dựng tiếp tuyến At của (O)
Ta có: ·BAt ACB=·
1 1 ACB AC B= (vì tứ giác BCB1C1 nội tiếp)
1 1
BAt AC B=
⇒ B1C1 // At ⇒ OA ⊥ B1C1 (vì OA ⊥ At) Tương tự: OB ⊥ C1A1, OC ⊥ A1B1
AB OC BC OA CA OB
S S= +S +S
OA.B C OB.C A OC.A B R(B C C A A B ) R.p
AB C =AHC (0.5)
B AO (180 AOC) 90 ABC C AH
2
⇒ AB C· 1 1+B AO AHC·1 =· 1+C AH 90·1 = 0 ⇒ OA ⊥ B1C1 (0.25)
AB = AC (0.5) Mặt khác hai tam giác ABC và AB1C1 có góc A chung nên chúng đồng dạng
⇒ B1C1 = BC.cosA Tương tự: C1A1 = CA.cosB, A1B1 = AB.cosC (0.5)
⇒ 2p1 = B1C1 + C1A1 + A1B1 = BC.cosA + CA.cosB + AB.cosC (0.25)
Ta có: SOBC 1OO BC1 1R.BC.cos A
= = Tương tự cho SOCA,SOAB (0.5)
S S S S R.BC.cos A R.CA.cos B R.AB.cosC R.p
0.5 0.25 0.25 0.25
0.25
0.5
Gọi N là điểm đối xứng với M qua EF, D là giao điểm của AA1 và MN
Vì EB = EM = EN nên ∆BMN nội tiếp trong đường tròn, gọi là đường tròn (E)
Ta có: BND· 1BEM BEI BAD· · ·
2
⇒ A, B, D, N cùng thuộc một đường tròn
Tương tự A, C, D, N cùng thuộc một đường tròn
⇒ N thuộc (O)
Gọi (F) là đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN
NB là trục đẳng phương của hai đường tròn (O) và (E) nên NB ⊥ OE
NC là trục đẳng phương của hai đường tròn (O) và (F) nên NC ⊥ OF
Gọi E1, F1 lần lượt là trung điểm của AB, AC, ta có: OE1⊥AB, OF1⊥AC
⇒ OE ≥ OE1, OF ≥ OF1
Đặt ·E OF1 1= α Vì O, E1, F1 cố định, α không đổi nên diện tích ∆OE1F1 không đổi
Ta có: · ·
1 EOE =ABN và · ·
1 FOF =ACN (góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)
Mà ·ABN ACN=· nên: · ·
EOE =FOF ⇒ · ·
1 1 EOF E OF= = α
Diện tích tam giác OEF: S =1OE.OF.sinα ≥ 1OE OF sinα =S
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25 0.25
F1 E1
A1 D
N E
F
K I
O
A
M
t
H O O1 A1
B1 C1
A
Trang 5O x
y
N I
E
C D
B
1 1
Vậy khi M trùng A1 thì diện tích tam giác OEF nhỏ nhất 0.25
Câu 5
(3.0)
Giả sử hình vuông ABCD có cạnh bằng 1
Chọn hệ tọa độ Oxy, với A trùng O, B thuộc tia
Ox, D thuộc tia Oy
Ta có: A(0 ; 0), B(1 ; 0), C(1 ; 1), D(0 ; 1)
Gọi (m ; 0) là tọa độ điểm M (m ≠ 0, m ≠ 1)
Phương trình MC: x + (m – 1)y – m = 0
Phương trình AN: (m – 1)x – y = 0
Ta có E 0; m
m 1
− ÷
Phương trình BE: mx + (m – 1)y – m = 0
Tìm được
2
Phương trình MI: x + my – m = 0 (hoặc tính đúng tọa độ các vectơ MI, MDuuur uuuur)
⇒ D thuộc MI Vậy ba điểm M, I, D thẳng hàng
0.25 0.25
0.5 0.25 0.25 0.5
0.5
0.25 0.25
Câu 6
(a b c)+ + ≤3(a +b +c ) 36≤ ⇒ + + ≤a b c 6 Mặt khác a, b, c ≥ 1 nên 5 ≤ a + b + c + 2 ≤ 8
Ta CM: 21 21 2
ab 1
a 1 b+ 1≥
+
(a 1)(ab 1) (b 1)(ab 1) (a 1)(b 1)(ab 1)
Vì a ≥ 1, b ≥ 1 nên (2) đúng Do đó (1) đúng Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b
ab 1
1 2
+
a 1 b+ 1 c+ 4c 8≥ a b c 2 16
Lại có: (a 2b)(a 2c) a b c+ + ≤ + +
64
a b c 2 16
Đặt t = a + b + c + 2, 5 ≤ t ≤ 8, ta có: P 264 3t 6
t 16
+
Xét hàm số f (t) 264 3t 6
t 16
+ , với t ∈ [5 ; 8]
128t
(t 16)
−
+ ⇒ f(t) nghịch biến trên đoạn [5 ; 8].
⇒ f (t) f (8) 86, t [5;8]
5
5
≥ −
0.25 0.25 0.25
0.5
0.25 0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
Trang 65
= − ⇔ = = = Vậy GTNN của P là 86
5
− , khi a b c 2= = =
Ghi chú: Nếu học sinh có cách giải khác đúng thì Ban Giám khảo thảo luận và thống
nhất thang điểm cho phù hợp với Hướng dẫn chấm