Sử dụng máy tính casio giải nhanh các dạng toán tích phân chống máy tính casio hiện nay: .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................
Trang 1PHÂN LOẠI CÁC DẠNG TOÁN TÍCH PHÂN SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
1 CÁC KỸ NĂNG SỬ DỤNG MÁY TÍNH BỎ TÚI
1.1 Nhân đa thức với hệ số nguyên
a Ý tưởng:
b Phương pháp:
c Ví dụ:
1.2 Chia hai đa thức
a Ý tưởng:
b Phương pháp:
c Ví dụ:
1.3 Đồng nhất thức
a Ý tưởng:
1
n
a
x x x x x x x x x x x x
b Phương pháp:
1
1
x x
x x x x
2
1
1
x x
a
1 1
1
n
n
n
a a
1
1
n
x x
n
a
Ví dụ:
a
1
(x 2)(x 3)
Thực hiện:
2
1
3
(a1R(Q[p2)( Q[p3)pa1RQ[
Trang 21 1 1
0 (X 2)(X 3) X 2 X 3
(a1R(Q[p2)( Q[p3)pa1RQ[
(x 2)(x 3) x 3 x 2
b
( 2)( 3)
x
Thực hiện:
2
X
X
X
3
X
X
X
(a2[+1R(Q[p2)( Q[p3)pa1RQ[
0
X
(a2[+1R(Q[p2)( Q[p3)pa1RQ[
x
b Ý tưởng:
1
1
Phương pháp:
Trang 3
1
n
1
1
1
n n
a
1
2
1
n
x x
1
2 2
1
1
n
x x
x x
1
2
1
n
x x
Ví dụ:
1
(x 2) (x 3)
Thực hiện:
3 3
2
1
2
2
(a1R(Q[p2)^3(Q[p3)$pa1RQ[p2)^3$)(Q[p2)^2 r2+10^p8
2
(a1R(Q[p2)^3(Q[p3)$pa1RQ[p2)^3
2
2
X
Trang 4(X 2) (X 3) ( X 2) (X 2) X X
(a1R(Q[p2)^3( Q[p3)$pa1RQ[p2)^3
+a1R([p)^2+a1R[p2$
pa1R(Q[p3)
r1000
(x 2) (x 3) x (x 2) x 2 x
( 2) ( 3)
x
3 3
2
X
X
X
2
2
X
X
X
(a2[+1R(Q[p2)^3(Q[p3)$+a5RQ[p2)^3$)
2
X
X
X
(a2[+1R(Q[p2)^3(Q[p3)$
2
2
X
Trang 50
(X 2) (X 3) ( X 2) (X 2) X X
(a2[+1R(Q[p2)^3(Q[p3)$
+a5RQ[p2)^3+a7R([p)^2+a7R[p2$Pa7R(Q[p
3)
r1000
x
c Ý tưởng:
Phương pháp:
Ví dụ:
a 2
1
(x 1)(1 x)
b 2 2
1
(x 1) (1 x)
d Bài tập áp dụng
2 CÁC TÍCH PHÂN SỬ DỤNG MÁY TÍNH GIẢI
1.1 Tính tích phân thồn thường
a Cú pháp:
f(x)dx
b
a
b Ví dụ:
Ví dụ 1: Tính tích phân
3 0
os s nxdx
A
4
1
4
I
1 4
I
Thực hiện:
3 0
os s nxdx
c x i
yk(Q[)Dj(Q[)
$0$qL=
* Kết quả: C
Ví dụ 2: Tính tích phân 1
xlnxdx
e
I
Trang 6
A
1
2
I
B
2 2 2
e
I
C
2 1 4
e
I
D
2 1 4
e
I
Thực hiện: 1
xlnxdx
e
yQ[h(Q[)$1$H1=
* So sánh: aH2+1R4=
* Kết quả: C
b Bài tập áp dụng
Câu 1 Kết quả của tích phân
1
0
7+6x dx
I x
là:
A
5
ln
5
2 ln 2
C
ln
5
3 2ln
2
Câu 2 Cho
2 3 1
2I (2x +lnx)dx
Tìm I?
A
13
2ln 2
1
ln 2
13
ln 2
4
Câu 3 Cho
2 1
0 cosx 3sinx+1dx
I
và
2
0
sin2x
dx (sinx+2)
I
Phát biểu nào sau đây là sai?
A 1
14
9
I
B I1 I2 C 2
3 2 2ln
2 3
D Đáp án khác
Câu 4 Tính
2 1
x x 0
(xe +e )dx ?
I
1
e
Câu 5 Kết quả của tích phân
4
0
1
dx
I
x
là:
A
1 ln
2 3
B
1 7
1 ln
3 3
C
1 ln
D
1
1 ln 2 4
Câu 6 Giá trị của tích phân
2 0
sin2x(cosx) dx
I
là:
1 2
Câu 7 Tính giá trị của I biết
2
3 0
sin2xsin xdx
I
Trang 7
A
1
2
3
4 5
6
0 tan
A
3
ln
3 ln
2 3 ln
4 2 0 tg
D I 3
2 3
2
dx I
x x
C I 6
D Đáp án khác
1 2
dx I
A
3
ln
2
I
B
1 3 ln
3 2
I
C
ln
I
D
ln
2 2
I
1 2
dx I
3 ln 4
I
C I = ln2 D I = ln2
1
3
0( 1)
xdx J
x
A
1
8
J
B
1 4
J
2 2 0
(2 4)
J
2 2 0
( 1)
x
3 2
x
x
8 ln 3
K
D
1 8 ln
2 3
K
3 2
dx K
Trang 8Câu 18 Tính:
2
0
1 2sin
A.
2
2
I
B I 2 2 2 C I 2
D Đáp án khác.
ln
e
I xdx
2
1
6
x
x x
A
ln
3 13
2ln
2
K
B
ln
3 25 2ln
2
K
C
1 ln13 3 2ln 2
K
D
ln
3 13 2ln
2
K
1
2 2 0
x
K x e dx
A
2 1
4
e
B
2 1 4
e
K
C
2 4
e
K
D
1 4
K
1
2 0
1
Lx x dx
A L 2 1 B L 2 1 C L 2 1 D L 2 1
1
2 0
ln 1
K x x dx
A
2 ln
B
2 ln
C
2 ln
D
2 ln
2
1 (2 1) ln
K x xdx
A
1 3ln 2
2
K
B
1 2
K
C K = 3ln2 D
1 3ln 2
2
K
sin
ln
e x
x
A
1
2
K
e
B
1
K e
C
1
K e
D
2 1
K
e
3 2
2 2
2 ( 1)
x x
Trang 9A
3
ln 3
2
L
3
ln 3 ln 2 2
L
D L = ln2
cos
x
A L e 1 B Le 1 C
1 ( 1) 2
L e
D
1 ( 1) 2
L e
5
1
x
A
5
2 4 ln ln 4
3
E
B
5
2 4 ln ln 4
3
E
3
2 4 ln ln 2
5
E
3 2 0
1 1
x
A K ln 3 2
B E = 4 C E = 4 D K ln 3 2
2
1
ln
e x
x
A
1
3
J
B
1 4
J
C
3 2
J
D
1 2
J
1.2 Tích phân chứa trị tuyệt đối
a Phương pháp:
( )
( ) f(x,m)dx
b m
a m
KQ
b Ví dụ:
Ví dụ 1: Tính tích phân
3 2 3
1 dx
A
40
44
30
44 5
Giải phương trình : x 2 1 0 Hình ảnh
W5
r=1=
r=2=
r=3=
r=4=
* Kết quả: A
1.3 Tìm tham số của tích phân và cho biết đáp án tham số
a Phương pháp: ( ) ( ) ( )
a f x dx a f x dx c f x dx
b Ví dụ:
Trang 10Ví dụ 1: Tích phân
2 2x
0
3 (x-1)e dx
4
a
e
Giá trị của a là:
Thực hiện nhập:
2
2x 0
3
(x-1)e dx 4
a e
Hình ảnh
3pH2R4$py(Q[p
1)H2Q[$0$sQz=
r=1=
r=2=
r=3=
r=4=
* Kết quả: A
Ví dụ 2: Tích phân
5
1
ln
dx
x
Giá trị của a, b là:
A a1;b81 B a1;b9 C a0;b3 D a1;b8
Thực hiện nhập:
5
1
ln
dx
x
Qz+h(Qx)pya
1R2Q[p1$1$5$
r=1=81=
r=1=9=
r=0=3=
r=1=8=
* Kết quả: C
c Bài tập áp dụng
Câu 1 Biết
3 2 1
2
I
x
Giá trị của a là:
Trang 11A 4
Câu 2 Tích phân
3 2 0
58
5
a
Khi đó a bằng?
A 4
Câu 3 Biết tích phân
3 2 0
1
9x dx
= a thì giá trị của a là
A
1
1
Câu 4 Biết
3 2 1
ln 2 2
x
Giá trị của a là:
D 2
Câu 5 Cho
ln
0
ln 2 2
m x x
e dx A
e
Khi đó giá trị của m là:
A Đáp án khác B m0;m4 C m 2 D m 4
Câu 6 Với t thuộc (-1;1) ta có0 2
1
ln 3 2 1
t dx
x
Khi đó giá trị t là:
A
1
3
1
1 3
Câu 7 Tính tích phân sau:
2
0
x a x dx
là:
A
8
2
3
a
B
3
2
3a 3 a C
8 2
3 a D Cả ba đáp án
Câu 8 Tìm a sao cho
2
1 [a +(4 - a)x + 4x ]dx = 12
I
Câu 9 Biết
4 0
3
2
a
x dx
giá trị của a(0; ) là:
A a 4
B a 2
C 3
D a 8
Câu 10 Tìm a thỏa mãn: 0 2
0 4
a dx
x
1.3 Tìm tham số trong tích phân và cho biết đáp án là biểu thức các tham số đó
a Phương pháp:
Bước 1: Nhập:
( )
b
a
f x dx
qJz
Trang 12Bước 2: Phân tích giả thuyết đề bài.
b Ví dụ:
Ví dụ 1: Giả sử
5
1
ln
dx
x
với a, b là số nguyên Giá trị của a + b là:
Thực hiện nhập:
5
1
1 dx
2x1 A
ya1R2Q[p1
$1$5qJz
w7 (Table) Nhập:
F(X)=Qzph([)=
G(X)=Qzph([)+[=
Start:p5=
End: 5=
Step: 1=
Bảng giá trị của F(X), G(X)
* Kết quả: D
Ví dụ 2: Khẳng định nào sau đây đúng về kết quả
3 1
ln
x xdx
b
? (với a, b là số nguyên)
A .a b 64 B .a b 46 C a b 12 D a b 4
Thực hiện nhập:
3 1
x lnxdx
e
A
yQ[Dh(Q[)$1
$QmqJz
( )
X
X
e
F X
A
e
A
w7 (Table) Nhập:
F(X)=a3HQ[$+1RQz=
G(X)=a3HQ[$+1RQz)O[=
Start:p5=
Trang 13End: 5=
Step: 1=
Bảng giá trị của F(X), G(X)
* Kết quả: A
c Bài tập áp dụng
Câu 1 Biết tích phân
1
0
2
x dx x
= aln2 +b Thì giá trị của a là:
Câu 2 Biết tích phân
1 2 0
1
x
Thì giá trị của a - b là:
Câu 3 Biết tích phân
5
1
1
ln 3 ln 5
Thì giá trị của a2 ab3b2 là:
Câu 4 Biết tích phân
4
4 0
3
x
x e dx a be
Thì giá trị của a + 5b là:
Câu 5 Biết tích phân
4
0
2 sin 3 sin 2
2
Thì giá trị của a + b là:
A
1
6
B
3
3
1 5
Câu 6 Biết tích phân
1 2 0
4 11
ln
dx
b
Thì giá trị của a + b là:
Câu 7 Biết tích phân
3
1
ln 2 1
x
dx a b x
Thì giá trị của a + b là:
Câu 8 Biết tích phân
ln
1
ln
a
x e
dx e b x
Thì giá trị của a + 2b là:
3
5
Câu 9 Biết
1 2 1
1 ln 4
dx
b a x
với a và b là các số nguyên Tính a b
A a b 5 B a b 5 C
37 9
a b
D
35 9
a b
Câu 10 Cho
2 1
1
ln
x
dx a b x
với a và b là các số nguyên Tính a b
A .a b 2 B .a b 4 C .a b 2 D .a b 4
Trang 14Câu 11 Cho
1 2
dx
x x
với a và b là các số nguyên Tính a b
A a b 3 B a b 2 C a b 1 D a b 1
Câu 12 Cho
2
ln 2
1
x x
e
với a và b là các số nguyên Tính a b
A a b 5 B a b 5 C a b 1 D a b 1
Câu 13 Cho
2 6
cos
ln 2 ln 3 sin 1
x
với a và b là các số nguyên Tính a b
Câu 14 Cho
1
0(x1)e dx a b e x
Câu 15 Cho
2
1 2 0
3
ln 2
x
với a và b là các số nguyên Tính a b
A
5
2
a b
B
5 2
a b
C
3 2
a b
D
1 2
a b
Câu 16 Cho
4 2 2
ln 2
b
x x
với a và b là các số nguyên, b a là phân số tối giản Tính a b
A a b 15 B a b 9 C a b 13 D a b 11
Câu 17 Cho
12 2 0
ln cos 3 (1 tan 3 )
b
Tính
a b
A
3
2
a
2 3
a
2 3
a
3 2
a
b
Câu 18 Cho
2
0 (2x1) cosxdx m n
với m và n là các số nguyên Tính m n
A m n 2 B m n 2 C m n 4 D m n 1
Câu 19 Cho
4
3 2
1 ln
32
với a và b là các số nguyên Tính b a
b
1 32
b
1 5
b
1 5
b
a
Câu 20 Cho
4 0
1 (1 x) cos 2xdx
a b
với a và b là các số nguyên Tính a b
A .a b 24 B .a b 32 C .a b 16 D .a b 8
Câu 21 Biết
2
1 2 0
3
x
với a và b là số hữu tỉ Giá trị của S là:a b
A
9 2
S a b
B
3 2
S a b
C
7 2
S a b
D
5 2
S a b
Câu 22. Biết
2 2 1
ln 2
x dx
b a x
với a và b là các số nguyên Hãy chọn đáp án đúng:
Câu 23. Biết
5 2 2 0
1 (2ln ) 4
1
x
với a và b là các số nguyên Hãy chọn đáp án đúng:
Trang 15A a b 5 B a b 4 C a b 13 D a b
Câu 24. Biết
2 3 0
1
a
e dx
b
với a và b là các số nguyên Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Câu 25. Biết
2 2 1
2 ln 2
x
với a, b và c là các số nguyên Tính giá trị
S a b c
Câu 27 Biết
4 2
3 dx aln 2 bln 3 cln 5
x x
, với a, b, c là các số nguyên Tính giá trị S a b c
Câu 28 Biết
0 x 2x x dx b
a c
Giá trị của T a b c
là:
A
14
3
T
7 2
T
D
29 4
T
Câu 29 Biết tích phân
1 2 0
1
ln 3 ln 2 ln 4
Thì giá trị của 2a b 2 c2là:
Câu 30 Biết tích phân 1 2
ln 2 (ln 1)
e
dx a
c
với a, b, c là các số nguyên,
b
c là phân số tối giản
Thì giá trị của a + b + c là:
1.4 Tìm tham số trong tích phân và cho biết đáp án là biểu thức các tham số đó
a Phương pháp: Sử dụng các phương pháp đã học
b Ví dụ:
c Bài tập áp dụng
Câu 1 Biết tích phân
2 2 2 1
1
x
x
với a b R, Thì giá trị của a + b là:
Câu 2 Biết tích phân
3
1
1
x
dx
với a b R, Thì giá trị của a + b là:
Câu 3 Biết tích phân
1
2 0
x x dx a b
với a b R, Thì giá trị của a b là:
1
2
1 3
Câu 4 Biết tích phân
4
0
10ln
x
x
với a b R, Thì giá trị của a + b là:
Trang 16A
3
179 15
C
34
197 15
Câu 5 Biết tích phân
3 2 0
1 sin
ln cos
x
với a b R, Thì giá trị của a + b + c - 2 là:
A
2
3
B
2 3
Câu 6 Biết tích phân
4
0
sin ( 1) cos
ln 2 sin cos
với a b R, Thì giá trị của 2
a b
là:
A
1
3
1 2
D
4 5
Câu 7 Biết tích phân 1 2
ln
ln (2 ln )
với a b R, Thì giá trị của a + b là:
A
6
5
4
6 7
Câu 8 Biết tích phân
0
2
ln( )
1 2
x
dx a b c d e e
với a b R, Thì giá trị của a + b + c + d là:
A
5
17
11
13 6
Câu 9 Biết
4 6
0
ln(2 )
x
x
với a b R, Tính a b
A
17 3
27
a b
B
16 3 27
a b
C
19 3 27
a b
D
2 3 9
a b
Câu 10 Cho
2
0 (cos x 1) cos xdx a b 2
với a b R, Tính a b
A
3
4
a b
B
3 4
a b
4 5
a b
2 CÁC TÍCH PHÂN KHÔNG SỬ DỤNG MÁY TÍNH GIẢI
a Phương pháp:
b Ví dụ:
Ví dụ 1 Cho
2
1 f x dx ( ) 8
6
3 3
x
K f dx
Giải
Đặt: 3
x
3
dt dx dx dt
Đổi cận: x 3 6
t 1 2
Trang 17Khi đó:
3
x
K f dx f t dt f x dx
Ví dụ 2 Cho
1 0
1
2 ( )dx
Tính
1 0
( ) 2 ( )
f x
f x
12 9
K
C
7 2
K
D
7 2
K
Giải
f x
c Bài tập áp dụng
Câu 1 Cho
2
1 f x dx ( ) 8
4
2 2
x
K f dx
Câu 2 Cho
3
0 f x dx ( ) 12
Tính K 01 f x dx(3 )
Câu 3 Cho
4
0 f x dx ( ) 16
Tính K 02 f(2 )x dx
Câu 4 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm trên đoạn [0,3] và f(0) 2 ,f(3)7 Tính
3 /
0 ( )
K f x dx
Câu 5 Cho hàm số f x( ) có đạo hàm trên đoạn [1, 2] và f(1) 1 , f(2) 2 Tính
2 /
1 ( )
K f x dx
Câu 6 Cho
4
1 f x dx( ) 5 3 2
thì 04 f x dx( ) bằng?
A
4
0 f x dx ( ) 4 2 7
C
4
0 f x dx ( ) 7 4 2
Câu 7 Cho
2
1 f x dx ( ) 3 2 3
và 23 f x dx ( ) 2 3 3 thì 13 f x dx( ) bằng?
A
3
1 f x dx ( ) 1 5 3
C
3
1 f x dx ( ) 5 3
Câu 8 Cho f(x) liên tục trên [0,10] thoả
10
0 f x dx ( ) 7
và 26 f x dx ( ) 3Tính giá trị của
0 ( ) 6 ( )
Pf x dx f x dx
Câu 9 Cho
2
0 f x dx ( ) 3
Tính K 02[4 ( ) 3]f x dx
Trang 18Câu 10 Giả sử
1
0 f x dx ( ) 5
và 21f x dx ( ) 2 thì K 02 f x dx( ) bằng?
Câu 11 Giả sử ( ) 2
b
a f x dx
và c b f x dx ( ) 3 và a b c thì ( )
c
a f x dx
c
a f x dx
B a c f x dx ( ) 5 C a c f x dx ( ) 1 D a c f x dx ( ) 1
Câu 12 Cho
2
0 f x dx a( )
3
1
2 1
f x
x
theo a
1 2
K a
Câu 13 Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên đoạn [0, 2], đồng biến trên đoạn này và f(0) 1 ,
(2) 5
f Tính
/ 2
0
( ) ( ) ( )
f x f x
f x
A K ln 5 2 B K ln 5 2 C K 2 ln 5 D K ln 5 1
Câu 14 Cho
2
1 f x dx a( )
0 sin (cos 1)
K x f x dx
theo a
Câu 15 04 f x dx a( )
Tính
2 4
2 0
cos ( ) 5 cos
x f x
x
theo a
Câu 16 Cho
1 0
1
2 ( )dx
Tính
1 0
( ) 2 ( )
f x
f x
12 9
K
C
7 2
K
D
7 2
K
Câu 17 Cho
2
1 f x dx a( )
Tính K 01xf x( 2 1)dx theo a
a
K
Câu 18 Cho
3
1 f x dx ( ) 5
Tính K 12 f(2x 1)dx
A
5
2
K
B
5 2
K
C
5 4
K
D K 9
Câu 19.
Câu 20.