chuyền đề cơ học tương đối tính

Đề tài “Cơ học tương đối tính” được viết ra với mong muốn tổng kết và hệ thống hoá lại lý thuyết và một số bài tập vận dụng để giúp các em học sinh tháo gỡ được phần nào những khó khăn

Trong chương trình thi học sinh giỏi quốc gia Vật lý lớp 12 THPT những năm gần đây đã khai thác khá nhiều những bài toán liên quan đến phần Vật lý hiện hiện đại đặc biệt là phần cơ học tương đối tính Đây là phần kiến thức rất trừu tượng, các lý thuyết, các đối tượng nghiên cứu được trình bày ở phổ thông còn nặng về lý thuyết và mang tính chất lý tưởng hóa Vì vậy các em học sinh gặp nhiều khó khăn trong quá trình vận dụng lý thuyết vào giải bài tập đặc biệt là những bài toán khó và phức tạp

Đề tài “Cơ học tương đối tính” được viết ra với mong muốn tổng kết và hệ

thống hoá lại lý thuyết và một số bài tập vận dụng để giúp các em học sinh tháo gỡ được phần nào những khó khăn trong quá trình nghiên cứu mảng kiến thức này

2 Mục đích của đề tài

Để quý thầy giáo, cô giáo và các em học sinh dễ theo dõi, đề tài này sẽ hệ thống các tiên đề của thuyết tương đối Anhxtanh, động học tương đối tính và động lực học tương đối tính Sau phần lý thuyết có tổng hợp một số bài tập áp dụng Các bài tập này đều có lời giải hoặc hướng dẫn giải cụ thể Phần cuối là một số bài tập để rèn luyện thêm kỹ năng Có một số bài tập được trích dẫn từ một số đề thi Olimpic, thi Học sinh giỏi quốc gia để các em học sinh có thêm tư liệu tham khảo chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi các cấp

NỘI DUNG

A CƠ SỞ LÝ THUYẾT

I TIÊN ĐỀ CỦA THUYẾT TƯƠNG ĐỐI ANH-XTANH

1 Một số vấn đề Vật lí trước thuyết tương đối Anhxtanh

1.1 Cơ học Niu tơn

- Không gian là đồng nhất, đẳng hướng, không gian là tuyệt đối

- Thời gian trôi đi như nhau trong mọi hệ quy chiếu, thời gian là tuyệt đối

1.2 Nguyên lí tương đối Galilei

1.2.1 Hệ quy chiếu

- Hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều đối với nhau

1.2.2 Nguyên lí tương đối Galilei

Nguyên lí tương đối của Galilei là nguyên lí quan trọng nhất: Mọi hiện tượng

cơ học diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính Nguyên lí tương đối Galilei

cũng có thể phát biểu một cách khác: “Không thể dùng các thí nghiệm cơ học trong

(1.1) là phép biến đổi xuôi Trong đó: x y z, , là

các tọa độ chất điểm trong hệ tọa độ K; x y z′ ′ ′, , :

là các tọa độ chất điểm trong hệ tọa độ K’ Hệ

tọa độ K được coi là đứng yên (Hình 1) Hệ tọa

độ K’ là hệ tọa độ chuyển động đều dọc theo trục

x của hệ tọa độ K Hoặc

(1.2) là phép biến đổi ngược

Hai cách viết trên chúng có dạng toán học như nhau, điều đó có nghĩa là hai hệ tương đương nhau Nếu coi hệ K là đứng yên thì K′chuyển động với vận tốc là +v nếu coi K′là đứng yên thì K chuyển động với vận tốc -v Do đó các phép biến đổi ngược và xuôi chỉ khác nhau về dấu của vân tốc v

1.3 Các khái niệm trong vật lí học cổ điển

- Lượng tương đối: lượng thay đổi từ hệ quy chiếu này sag hệ quy chiếu khác

- Lương tuyệt đối (invar): lượng không thay đổi từ hệ quy chiếu này sang hệ quy chiếu khác

1.3.1 Thời gian

Khoảng cách về thời gian là bất biến: Δ =t invar

1.3.2 Khoảng cách về không gian

Khoảng cách không gian là bất biến: Δ =l invar

là lượng bất biến Vì vậy các định luật cơ học là bất biến trong phép biến đổi tọa độ

1.4 Một số thí nghiệm của vật lí học cổ điển

- Cuối thế kỉ XIX khi thuyết sóng ánh sáng và thuyết sóng điện từ của Maxwell

đã thắng lợi, người ta cho rằng phải có một môi trường đặc biệt nào đó để truyền sóng điện từ cũng giống như phải có không khí để truyền sóng âm Môi trường đặc biệt đó được gọi là ête vũ trụ

- Ête vũ trụ là môi trường đàn hồi,

trong suốt, không trọng lượng, thấm vào

mọi vật và đứng yên trong không gian

tuyệt đối, có mặt ở mọi nơi trong vũ trụ

- Các nhà khoa học tập trung vào

các thí nghiệm quang học để phát hiện ra

chuyển động tuyệt đối hay phát hiện ra

ete vũ trụ trong đó có thí nghiệm của

Bước 1: Gắn cố định bộ thí nghiệm lên mặt đất để OB trùng với phương

chuyển động của Trái Đất hay OB≡vr

Nếu thừa nhận có ete vũ trụ thì có thể nói rằng toàn bộ dụng cụ thí nghiệm chuyển động trong ete vũ trụ với vận tốc vr

Mục đích của thí nghiệm là phát hiện ra vận tốc “gió ete” Theo định lý cộng vận tốc cổ điển chúng

ta xác định được khoảng thời gian ánh sáng đi trong đoạn OAO là t Avà thời gian ánh sáng đi trong đoạn OBO là t B Hiệu thời gian của hai tia sáng truyền trên hai quãng đường đó là:

A B

2 2

T T λ c (T, λ là chu kỳ và bước sóng của ánh sáng)

Tuy nhiên trên giao thoa kế G không có sự dịch chuyển vân giao thoa Tiếp tục cải tiến dụng cụ thí nghiệm để đạt đọ chính xác cao hơn nhưng vẫn không phát hiện được sự dịch chuyển vân giao thoa Do đó, thí nghiệm của Michelson bị thất bại

Cách giải thích kết quả của thí nghiệm Michelson có 3 cách giải thích: cách 1 Ete bị kéo theo hoàn toàn mâu thuẫn với lý thuyết ete đứng yên tuyệt đối, cách 2 dụng

cụ thí nghiệm bị co lại theo phương chuyển động, cách 3 vận tốc ánh sáng là không đổi Đã có ba cách giải thích đều không phù hợp Anhxtanh đã đưa ra giả thuyết mới, gọi là thuyết tương đối Anhxtanh

2 Những tiên đề của thuyết tương đối Anhxtanh

2.1 Tiên đề 1

Mọi hiên tương vật lý diễn ra như nhau trong mọi hệ quán tính

Hay không thể dùng bất kỳ thí nghiệm vật lý nào trong nội bộ một hệ quán tính

để xem xét nó đứng yên hay chuyển động thẳng đều so với hệ quy chiếu quán tính khác Hoặc không thể dùng bất kỳ thí nghiệm vật lý nào để phát hiện ra chuyển động quán tính

2.2 Tiên đề 2

Vận tốc ánh sáng trong chân không không thay đổi theo mọi phương và không phụ thuộc vào vận tốc của nguồn

2.3 Mối liên hệ giữa hai tiên đề tính tương đối của sự đồng thời

Sự thừa nhận 2 tiên đề của thuyết tương đối buộc ta phải thay đổi một số quan điểm cũ Nếu theo quan điểm cũ thì hai tiên đề này mâu thuẫn với nhau

5

Khi con tàu trùng khít với sân ga thì ngọn đèn lóe sáng A A≡ ′,B B≡ ' Xét xem ánh sáng truyền tới A B A B, , ,′ ′ điểm nào sáng trước điểm nào sáng sau Có thể xét ở

hệ quy chiếu gắn với toa tàu hoặc sân ga

- Theo tiên đề 2; Ánh sáng truyền theo mọi phương với vận tốc và không phụ thuộc vào chuyển động của nguồn sáng cho nên hệ tàu có thể có thể coi rằng ánh sáng truyền đồng thời tới A B& với vận tốc c và hệ ga cũng có thể coi rằng Ánh sáng

truyền đồng thời tới A′ &B′ với vận tốc c

- Theo tiên đề 1: Sụ truyền ánh sáng trong hai hệ xảy ra trong những điều kiện như nhau nên cũng diễn ra như nhau do đó trong hệ tàu, ánh sáng truyền đồng thời tới

&

A B, trong hệ ga ánh sáng cũng truyền đồng thời tới A′ &B′

Như vậy: Đối với người quan sát ở hệ tàu sẽ thấy ánh sáng truyền tới B′ sau đó đồng thời truyền tới A B& cuối cùng tới A′ Đối với người ở ga thì thấy ánh sáng truyền đầu tiên tới A sau đó truyền đòng thời tới A′ &B′ cuối cùng truyền tới B

⇒ Hai tiên đề đã mâu thuẫn với nhau Thuyết tương đối giải quyết mâu thuẫn

đó bằng cách quan niệm rằng sự đồng thời có tính tương đối

II ĐỘNG HỌC TƯƠNG ĐỐI TÍNH

1 Phép biến đổi Lorenxo

- Biến cố là một sự việc bất kỳ xảy ra tại một vị trí xác định và vào một thời điểm xác định Mỗi biến cố được xác định bởi 4 thành phần tọa độ: A x y z t( , , , )

- Quá trình là một chuỗi các biến cố xảy ra liên tiếp trong không gian và theo thời gian Giả sử có một biến cố: Trong hệ tọa độ K′ có các thành phần tọa độ: , , ,

x y z t′ ′ ′ ′ Trong hệ tọa độ K có các thành phần tọa độ: x y z t, , ,

1.1 Điều kiện của phép biến đổi

- Phù hợp với hai tiên đề của thuyết tương đối

- Vì hai hệ K&K′ là tương đương nhau không có hệ nào ưu tiên hơn hệ nào nên các công thức biến đổi xuôi và các công thức biến đổi ngược phải có cùng dạng toán học Nếu công thức chứa xuôi v thì công thức ngược lại phải chứa -v, các công thức không chứa hàm siêu việt, không có đạo hàm cấp hai trở lên của tọa độ

- Một biến cố có tọa độ hữu hạn ở hệ này thì cũng có tọa độ hữu hạn ở tọa độ kia Do đó các công thức biến đổi không chứa thành phần tọa độ ở mẫu số

- Nếu cho vận tốc v= 0 thì hai hệ tọa độ K&K′ phải trùng nhau khi đó ta có:x x y y z z t t= ′, = ′, = ′, = ′

1.2 Thành lập các công thức biến đổi

Vì không gian là đồng nhất và đẳng hướng, từ định nghĩa của hệ K&K′, ta có:

vì y&z biến đổi độc lập với x t& nên x t& cũng biến đổi độc lập với y&z Không có

lý do gì buộc thuyết tương đối phải thừa nhận thời gian vũ trụ chung cho mọi hệ cổ điển Công thức biến đổi của x t& có dạng :

A E

6

Theo định nghĩa hệ K&K′ thì khi cho x=0,t =0 thì x′=0,t′=0 Trong hai phương trình không có số hạng nào là hằng số ta phải xác định hệ số :A B C D E, , , , Xét gốc O′ của hệ K′, trong hệK′:x′ = 0, trong hệ K: x vt= và thay vào (1.3) ta có:

0 Ax Bt= + =Avt Bt+ ⇒Bt= −Avt

Vậy x′=Ax Avt− ⇔ =x′ A x vt( − )

Giả sử t t≡ = ′ 0có một sóng điện từ phát đi tại gốc tọa độ Trong hệ K: sóng

điện từ truyền đi với vận tốc c, mặt sóng là mặt cầu tâm O phương trình của mặt

sóng:x2 + + −y2 z2 c t2 2=0 Trong hệ K′: Theo tiên đề 2 thì vân tốc vẫn là c, theo tiên

2

1 1 1 1

A D

v c v

2 2 2

v c

7

2 2

2 2 2

v c

1.3 Ý nghĩa của phép biến đổi

- Công thức chỉ có ý nghĩa khi v c< , trong thuyết tương đối vận tốc của ánh sáng trong chân không là không giới hạn của vận tốc vật chuyển động Hay không có

vật thể vật thể vật chất nào chuyển động được với vận tốc bằng hoặc lớn hơn c

- Trong công thức biến đổi không gian và thời gian gắn liền với nhau gắn liền với vật thể vật chất chuyển động Mỗi một vật thể vật chất chuyển động có thời gian, không gian riêng của nó, không có không gian tuyệt đối tách rời vật chất và không có thời gian phổ biến duy nhất chung cho cả vũ trụ

- Nếu v<<c thì thuyết tương đối của Anhxtanh không phủ nhận cơ học cổ điển của Niutơn như vật lý cổ điển mà coi vật lý cổ điển là trường hợp riêng ứng với với vận tốc chuyển động của vật chất rất nhỏ hơn vận tốc ánh sáng trong chân không

2 Sự rút ngắn chiều dài trong hệ chuyển động

Xét thanh AB gắn cố định trong hệ K′có chiều dài sông song O x′ ′ Chiều dài thanh AB trong hệ K’ là: l0 =x B′ −x A′

trong đó l0: là chiều dài riêng của thanh (Chiều dài trong hệ K’) Xác đinh chiều dài của thanh trong hệ K thanh đang chuyển động với vận tốc v

Tọa độ của hai điểm A và B ở trong hệ K ở cùng một thời điểm ' '

t =t là:

2 2

2 2

x

v c

1 v

c

− Sự co lại chỉ là hiệu ứng động học như chúng ta thay đổi đơn vị mà thôi

3 Chậm lại của thời gian trong hệ chuyển động

2 2 2

v c v

c t

v c

Trong hệ K′ tọa đọ của điểm A x y z( , , )′ ′ ′ và thời điểm khi chất điểm đi qua A là

t′ Vận tốc của chất điểm A là ur′ với các thành phần:

y y

x

z z

- Thuyết tương đối của Anhxtanh không phủ nhận vật lý học cổ điển mà coi vật

lý cổ điển là một bộ phận ứng với vận tốc chuyển động của các chất điểm chuyển động

rất nhỏ so với c Nếu chuyển động theo một phương một trục Ox thì u x =u y=0

2

'1

′ +

=+

u

vu c

Nếu u′ =c v c, = thì u c= mà u′ < ⇒ <c u c vận tốc ánh sáng trong chân không

là giới hạn vận tốc của mọi vật chất

III ĐỘNG LỰC HỌC TƯƠNG ĐỐI TÍNH

1 Khối lượng, xung lượng tương đối tính và phương trình động lực học của chất điểm

1.1 Khối lượng, xung lượng tương đối tính

0 2 21

=

−

m m

v c

2 Năng lượng tương đối tính

Năng lượng và năng lượng nghỉ

2

0

0 0 2

2

;1

(2.1)

Hệ quả:

(1) Liên hệ giữa năng lượng và xung lượng

10

2 2 2 0

K’ là bao nhiêu Đồng hồ tại các đỉnh đó chỉ những thời điểm nào

b) Khi đồng hồ trong hệ K’ chỉ thời điểm ' 2 3

t c

−Với: +) v là vận tốc của hệ K’ so với hệ K

'

2 2

144

.1

14

A

A

c x

c c

c

c t

A

c c x

- Diện tích của hình vuông trong hệ K’ là: S A E D B' ' ' ' =8.2 16=

Vậy diện tích trong hệ K’(kích thước ban đầu) lớn hơn diện tích của hình vuông khi nó chuyển động trong hệ K

theo chiều dài của chúng

Tính chiều dài của mỗi

thanh đo trong hệ gắn với

thanh kia

Hướng dẫn

- Gọi:+) Hệ gắn với thanh chuyển động với vận tốc +v là K

+) Hệ gắn với thanh chuyển động với vận tốc –v là K’

+) u’ là vận tốc của thanh chuyển động với vận tốc +v đo trong hệ K’ (Hình 5)

12

- Có công thức cộng vận tốc:

2 '

2 2

l l

v c

−

=+ (2)

⇒ Chiều dài của thanh chuyển động với vận tốc -v đo trong hệ K cũng được xác định như biểu thức (2)

Bài 3

Trong hệ K’ chuyển động với vận tốc v c≈ , người ta phóng ra 2 tia sáng tạo thành 1 góc θ =1800 một tia theo chiều dương và một tia theo chiều âm của trục O’y’ Tính góc θ' của 2 chùm tia sáng trong hệ K?

Hướng dẫn

- Trong hệ K’ ta có:

'

2 2 '

x

u

v u

c u

v u c

13

'

' 2

'

' 2

2 '

2

' 2 '

( )1

( )1

1( )

1

x x

x

x x

x

y y

v u c v u

c u

v u c

1 Khi đuôi tàu đi ngang qua đầu sân ga thì các đồng hồ ở A, B, A’, B’ chỉ mầy giờ

2 Khi đầu tàu ngang qua cuối sân ga thì các đồng hồ đó chỉ mấy giờ

Hướng dẫn

Nhận xét: nếu ta đứng ở điểm A trên sân ga ta sẽ thấy mọi đồng hồ đặt tại các điểm của sân ga đều chỉ không giờ và thấy chỉ một đồng hồ đặt tại B’ của đoàn tàu trùng với A chỉ không giờ mà thôi Các số chỉ của các đồng hồ khác trên tàu ta thấy khác nhau

1 Theo quan điểm của người đứng ở sân ga Đoàn tàu có chiều dài 2

0 1−β

l Khi đuôi tàu đi ngang qua đầu ga thì đoàn tàu đi được một đoạn đường 2

−

t

Như nhận xét ở trên, đối với

người đứng ở đầu sân ga, tất cả các đồng

hồ đặt trên sân ga đều chỉ như đồng hồ ở

Tọa độ của đuôi tàu là xA’ = 0 và

' = 0 1−β

B

x l Gọi tA’ và

tB’ là thời điểm tương ứng của đuôi tàu

và đầu tàu theo đồng hồ gắn với sân ga Rõ ràng tA’ và tB’ cũng chỉ bằng tA và tB nghĩa

Hình 6

A A’

x’

Cũng như quan sát viên đứng ở

sân ga, người đó phải thấy mọi đồng hồ

trên đoàn tàu cùng chỉ một giá trị, nghĩa

là: t'A' =t'B' = = 60 (phút)

Đối với người này, sân ga

chuyển động với vận tốc v theo chiều

ngược lại và do đó chiều dài của nó

2 Khi đầu tàu ngang qua cuối sân ga, tức là hai điểm B và B’ trùng nhau (Hình 8,9)

Vị trí của các điểm A, A’, B, B’ theo quan điểm của người ở sân ga biểu diễn trên hình

3, còn của người trên đoàn tàu biểu diễn trên hình 4 Từ đó theo các tính như ý 1 ta được các kết quả sau:

Theo quan điểm của người đứng ở sân ga:

15

Bài 5

Một photon tia X (ký hiệu υ) có bước sóng λ0 =0,125nm và một electron chuyển động với vận tốc không đổi va chạm với nhau Sau va chạm ta được electron đứng yên và photon υ’ (Hình 10) Biết góc lệch bởi phương truyền của photon υ với phương truyền của photon υ’ bằng θ =600 Tính bước sóng de Broglie của electron trước va chạm Cho biết khối lượng nghỉ của electron là me = 9,1.10-31 kg, hằng số Planck h = 6,625.10-34Js và vận tốc của ánh sáng là c = 3.108 m/s

năng lượng toàn phần và động

lượng của electron trước va chạm,

mec2 là năng lượng nghỉ của

electron Theo định luật bảo toàn

năng lượng và động lượng ta có:

3sin

4

ϕλ

=

e

h p

h p

v, thành phần véc tơ bán kính vuông góc với phương đó là

v c

Bài 2

Một giọt nước mưa rơi do trọng lượng của nó để lại vệt trên cửa kính một Oto chạy với vận tốc V Xác định góc lệch của vệt giọt mưa so với phương thẳng đứng theo quan điểm cổ điển và quan điểm tương đối Coi giọt mưa rơi đều với vận tốc u

Bài 3

Giả sử hệ quy chiếu K và K’ có các trục toạ độ tương ứng song song với nhau và

hệ K’ chuyển động dọc trục 0x của K với vận tốc v

1 Nếu một chất điểm chuyển động trong mặt phẳng 0xy của hệ K theo phương

hợp với trục 0x góc θ với tốc độ là u, thì người quan sát trong hệ K’ sẽ quan sát thấy vật chuyển động trong mặt phẳng 0’x’y’ theo phương hợp với trục 0’x’ góc θ’ với tốc

độ là u’ Cho các công thức của định lý cộng vận tốc trong thuyết tương đối: