thuyết tương đối hẹp và cơ học tương đối tính

Môn cơ học tổng quát, áp dụng cho các vật chuyển động với vận tốc vào cỡ vận tốc ánh sáng, dựa trên hai tiên đề của Einstein được gọi là cơ học tương đối tính, hay thuyết tương đối hẹp c

THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP - CƠ HỌC TƯƠNG ĐỐI TÍNH

Lê Đại Nam

1 Hoàn cảnh ra đời thuyết tương đối hẹp:

1.1 Thuyết tương đối hẹp – cơ học tương đối tính là gì?

Môn cơ học tổng quát, áp dụng cho các vật chuyển động với vận tốc vào cỡ vận tốc ánh sáng, dựa trên hai tiên đề của Einstein được gọi là cơ học tương đối tính, hay thuyết tương đối hẹp của Einstein đối với cơ học

Năm 1905, Albert Einstein – một kĩ thuật viên 25 tuổi – công bố công trình “ Đóng góp vào điện động lực học các vật chuyển động” Năm đó được chính thức công nhận là năm ra đời của thuyết tương đối hẹp (còn gọi

là thuyết tương đối đặc biệt – special relativity)

Chúng ta cùng điểm lại những nét trọng trong quá trình hình thành thuyết tương đối hẹp

Figure 1 Albert Einstein 1.2 Cơ học Newton:

Năm 1632, Galileo Galilei đã phát biểu một nguyên lý mang tên ông – nguyên lý tương đối Galileo

Nguyên lý này được phát biểu như sau:“ Tất cả các định luật cơ học là như nhau trong các hệ quy chiếu quán tính” hay còn được phát biểu dưới dạng khác như: “ Bằng các thí nghiệm cơ học thực hiện trong một hệ quy chiếu quán tính, người ta không thể phát hiện được hệ quy chiếu của mình đứng yên hay chuyển động thẳng đều so với hệ quy chiếu quán tính khác” Từ nguyên lý tương đối Galileo, ta có thể thấy rằng: trong các hệ quy chiếu quán tính, không có hệ quy chiếu nào ưu tiên hơn các hệ quy chiếu còn lại; các hiện tượng co học xảy ra như thế nào trong hệ quy chiếu quán tính này thì cũng xảy ra tương tự trong các hệ quy chiếu khác Hay nói cách khác, các phương trình toán học biểu diễn các hiện tượng cơ học trong các hệ quy chiếu quán tính có cùng dạng với nhau

Cũng từ nguyên lý tương đối Galileo, ta dẫn ra phép biến đổi Galileo (sẽ đề cập ở phần sau) Hệ quả rõ nhất của phép biến đổi Galileo chính là công thức cộng vận tốc: u K =u K'+v KK'

là c v c+ ≠

Cơ học Newton với nền tảng là nguyên lý tương đối Galileo, phép biến đổi Galileo và các định luật Newton đã góp phần giải quyết không chỉ các hiện tượng cơ học mà còn là cơ sở động lực học cho các lĩnh vực nghiên cứu khác của vật lý

1.3 Điện động lực học cổ điển

Năm 1865, James Clerk Maxwell công bố hệ phương trình mô tả điện trường và từ trường trong môi trường vật chất Hệ phương trình ấy được gọi là hệ phương trình Maxwell (dạng Maxwell đưa ra năm 1865 khác với dạng hệ phương trình vector như bây giờ) Hệ phương trình Maxwell là cơ sở cho điện động lực học

cổ điển Các phương trình ấy lần lượt mô tả các định luật quan trọng của điện động lực học: định luật Gauss, định luật Ampere, định luật cảm ứng điện từ Faraday và định luật không tồn tại từ tích

Qua hệ phương trình trên, Maxwell giả thiết rằng sóng điện từ được truyền trong một môi trường được gọi

là ether (đọc là ê-te) tương tự như sóng trên dây, sóng trên mặt nước

Cũng qua đó, Maxwell chứng tỏ được ánh sáng là một dạng sóng điện từ Cũng qua hệ phương trình Maxwell, Maxwell cũng chứng tỏ được ánh sáng truyền trong chân không với vận tốc

cơ học cổ điển của Newton!

Tuy nhiên, với những thành tựu của Cơ học Newton và Điện động lực học Maxwell thì các nhà vật lý của thế kỷ 19,20 không thể phủ nhận một trong hai lý thuyết trên

Figure 2.Mâu thuẫn về vận tốc của ánh sáng 1.4 Các sự kiên thực nghiệm:

1.4.1 Thí nghiệm của Fizeau:

Vào năm 1851, Fizeau thực hiện thí nghiệm nổi tiếng để đo vận tốc ánh sáng trong một chất lỏng chuyển động Giả sử chất lỏng chiết suất n đựng trong một bình chuyển động với vận tốc v so với phòng thí nghiệm (PTN) Ông chiếu tia sáng vào bình, chiều truyền ánh sáng cùng với chiều chuyển động của bình thì kết quả là vận tốc ánh sáng trong chất lỏng: u c kv

= − Kết quả này mâu thuẫn với phép biến đổi Galileo

1.4.2 Thí nghiệm Michelson – Morley:

Năm 1881, Michelson đã thiết kế một giao thoa kế dựa theo nguyên tắc của Maxwell để xác định vận tốc của “gió ether” Trong năm đó, ông công bố kết quả: không phát hiện được chuyển động tương đối của Trái Đất so với ether Đến năm 1887, ông kết hợp với Morley tiến hành thí nghiệm và công bố kết quả: vẫn không phát hiện chuyển động tương đối của Trái Đất đối với ether Thí nghiệm của Michelson – Morley đưa các nhà vật lý tới những tranh cãi về việc tồn tại hay không môi trường ether Cũng qua thí nghiệm này, Michelson đã xác định được vận tốc ánh sáng c≈299853km s/ - một con số được xem là chuẩn trong vòng 25 năm sau đó

Figure 3 Giao thoa kế Michelson

Qua hai thí nghiệm trên, ta thấy nền vật lý cổ điển: với hai nền móng là cơ học cổ điển và điện động lực học cổ điển bị lung lay khá nghiêm trọng

1.5 Quá trình hình thành thuyết tương đối hẹp:

1.5.1 Thuyết Electron của Lorentz:

Để giải thích cho kết quả phủ định của thí nghiệm Michelson – Morley, năm 1892, Lorentz nêu lên giả thuyết cho rằng có sự co lại của các vật trong ether và thay thế các phương trình Maxwell – Hertz bằng các phương trình Maxwell – Lorentz Từ đó, ông tìm ra phép biến đổi mang tên ông – phép biến đổi Lorentz – thay thế cho phép biến đổi Galileo

1.5.2 Động lực học Electron của Poincare:

Nhà toán học nổi tiếng người Pháp Henri Poincare lại đi theo con đường ngược lại với Lorentz Ông mở rộng nguyên lý tương đổi Galileo của cơ học cho mọi hiện tượng vật lý khác Trên cơ sở nguyên lý tương đối, Poincare viết lại và bổ sung các phương trình cho phép biến đổi Lorentz – dạng đối xứng như ngày nay Sau

đó, Poincare xây dựng một phương pháp toán học gọi là không – thời gian bốn chiếu với các tọa độ x,y,z, ict Phép biển đổi Lorentz thực chất là một phép đổi tọa độ trong hệ tọa độ bốn chiều này Tiếc rằng ông lại từ bỏ công việc của mình vì cho rằng nó quá phức tạp

Hermann Minkowski – một trong những thầy dạy của Einstein – đã tiếp tục phát triển ý tưởng không – thời gian bốn chiều dựa trên các khái niệm của đại số tuyến tính Năm 1907, Minkowski công bố không – thời gian bốn chiều mang tên mình, góp phần xây dựng công cụ toán học cho thuyết tương đối hẹp của Einstein

Poincare và Lorentz đã xây dựng lên một số luận điểm cơ bản cho thuyết tương đối hẹp Poincare đã tiến rất gần tới thuyết tương đối hẹp, tuy nhiên, ông lại cho rằng phát hiện của mình chỉ là những biện pháp tính toán Và đến năm 1905, như đã nói ở trên, Albert Einstein đã công bố thuyết tương đối hẹp, giải quyết các vấn

đề còn vướng mắc

2 Hai tiên đề của Einstein:

Như đã nói ở phần trên, vào năm 1905, Albert Einstein công bố Thuyết tương đối hẹp Để xây dựng thuyết

tương đối hẹp cho mình, Einstein đã nêu lên hai tiên đề, còn gọi là hai nguyên lý Hai tiên đề ấy được phát biểu

như sau:

2.1 Tiên đề 1: Nguyên lý tương đối

Phát biểu: Mọi định luật vật lý đều như nhau trong các hệ quy chiếu quán tính, không hệ nào ưu tiên hơn hệ nào.

Nhận xét:

- Tiên đề này là sự mở rộng của nguyên lý tương đối trong cơ học mà Galileo đã từng nêu Einstein đã

mở rộng ý tưởng của Galileo để bao trùm toàn bộ các định luật của vật lý Từ đó, giải quyết được vấn

đề bất biến của hệ phương trình Maxwell

- Nếu như Galileo kết luận: “Không thể dùng các thí nghiệm cơ học ngay tại một hệ quy chiếu quán tính

để kết luận hệ quy chiếu của mình là đứng yên hay chuyển động thẳng đều so với hệ quy chiếu quán tính khác” , có nghĩa là vẫn có thể tìm ra hệ quy chiếu quán tính ưu tiên bằng cách dùng các thí nghiệm vật lý ở các lĩnh vực khác: nhiệt, điện từ, quang, … thì Einstein, thông qua tiên đề 1, đã khẳng định là:

“Không có hệ quy chiếu quán tính nào là ưu tiên”

- Tiên đề này không nói rằng các đại lượng vật lý có giá trị đo như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán

tính Chỉ có các định luật vật lý liên hệ các đại lượng vật lý mới là như nhau Điều đó có nghĩa: “Các phương trình vật lý biểu diễn các định luật vật lý giữ nguyên dạng của nó đối với các hệ quy chiếu quán tính khác nhau”.

2.2 Tiên đề 2: Nguyên lý về sự bất biến của vận tốc ánh sáng

Phát biểu: Vận tốc ánh sáng trong chân không có trị số bằng nhau đối với mọi hệ quy chiếu quán tính

- Việc xem vận tốc ánh sáng là vận tốc khả dĩ lớn nhất trong tự nhiên dẫn ra một hệ quả mới Trong vật

lý cổ điển vận tốc truyền tương tác lớn vô cùng, tức là tương tác giữa các chất điểm là tức thời Sự thay đổi vị trí của các chất điểm trong hệ chất điểm tương tác sẽ ảnh hưởng ngay lập tức đến các chất điểm còn lại tại cùng một thời điểm Thực nghiệm đã chứng tỏ, trong tự nhiên không có các tương tác tức thời như vậy, và vận tốc truyền tương tác có giá trị hữu hạn Từ tiên đề thứ 2 của Einstein, ta có thể thấy rằng vận tốc truyền tương tác là như nhau trong mọi hệ quy chiếu, và bằng vận tốc của ánh sáng trong chân không Từ đây, ta thấy cơ học cổ điển là một trường hợp riêng của thuyết tương đối hẹp, khi

ta cho c → ∞

- Vận tốc vật lý trong tiên đề 2 đề cập đến là vận tốc có mang năng lượng Điều đó có nghĩa chỉ có

những vận tốc có mang năng lượng mới có giới hạn khả dĩ là c Ví dụ: vận tốc của một chất điểm, vận tốc truyền tín hiệu (còn gọi là vận tốc nhóm trong dao động),… là những vận tốc có mang năng lượng; vận tốc pha trong dao động là một ví dụ điển hình của những vận tốc không mang năng lượng, tức là nó

có thể lớn hơn vận tốc ánh sáng trong chân không

- Chúng ta cũng nên lưu ý: tiên đề hai nói là vận tốc vật lý có giá trị khả dĩ lớn nhất là vận tốc ánh sáng trong chân không Điều này không có nghĩa là vận tốc của một hạt trong một môi trường nào đó không được phép lớn hơn vận tốc ánh sáng trong môi trường đó Tức là: v c< và v c

n

< không tương đương nhau Và các nhà vật lý đã ghi nhận vận tốc của một hạt có thể lớn hơn vận tốc ánh sáng trong môi trường đó, tức v c

n

> : hiệu ứng bức xạ Cherenkov

3 Các khái niệm quan trọng

3.1 Biến cố:

Biến cố là một cái gì đó xảy ra mà người quan sát có thể gán cho nó ba tọa độ không gian và một tọa độ thời gian Một biến cố A nào đó được ghi lại bởi bộ số (x y z t, , , ): trong đó x y z, , là tọa độ không gian trong

hệ tọa độ Descartes và t là tọa độ thời gian

Một biến cố trong không – thời gian 4 chiều Minkowski được ghi nhận bởi bộ 4 số (x y z ict, , , ) Theo đó, chiều thứ 4 trong không – thời gian, tức chiều thời gian, là một chiều ảo

Một biến cố cho trước có thể ghi nhận bởi quan sát viên, mỗi người ghi lại trong một hệ quy chiếu riêng của mình Biến cố không “thuộc về” một hệ quy chiếu quán tính nào cả, chỉ có tọa độ của nó được ghi nhận khác nhau trong các hệ quy chiếu khác nhau mà thôi

Để xác định tọa độ của một biến cố trong một hệ quy chiếu quán tính nào đó, chúng ta phải tiến hành phép

đo biến cố: bao gồm đo tọa độ trong không gian và đo tọa độ thời gian

3.2 Tọa độ không gian:

Tọa độ không gian trong hệ tọa độ Descartes được ghi nhận bởi bộ 3 số (x y z, , ) Để xác định được bộ 3 số

ấy, chúng ta đặt những cây “thước” lên ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz Mốc số 0 của mỗi thanh thước ấy trùng với gốc tọa độ Khi ấy chỉ số trên thanh thước chính là ba thành phần tọa độ của một điểm trong không gian

Figure 4.Các "thước" đo tọa độ 3.3 Tọa độ thời gian:

Tọa độ thời gian, tức là thời điểm t, được xác định bằng các đồng hồ Để xác định thời điểm, chúng ta cần một hệ các đồng hồ đồng bộ đặt trong không gian, lấp đầy các điểm trong không gian Từ đó xác định chính xác được thời điểm xảy ra biến cố tại một điểm xác định

Công việc quan trọng nhất là đồng bộ hóa các đồng hồ Giả sử ở tại hai điểm A, B cách nhau một khoảng r đặt 2 chiếc đồng hồ để xác định thời điểm Ta sử dụng tín hiệu sáng để đồng bộ 2 đồng hồ ở A và B Ở A, tại thời điểm t= ta phát một tín hiệu sáng tới B Khi tại B nhận được tín hiệu sáng thì đồng hồ ở B phải chỉ 0

r

t

c

= Khi đó, ta nói: hai đồng hồ A,B đồng bộ

Việc xác định thời gian bằng các đồng hồ đồng bộ với một đồng hồ thì có sự khác biệt gì không? Ta có thể lấy một ví dụ cho thấy sự khác biệt đó: Giả sử tại gốc O có một đồng hồ A và tại điểm x trên trục Ox ta đặt một đồng hồ B đã được đồng bộ hóa Tại thời điểm t= , tại gốc O quan sát viên A bắn một viên đạn với vận tốc v 0

dọc theo trục Ox Khi viên đạn tới B thì quan sát viên B ghi nhận thời điểm viên đạn đi qua là t1 x

v

= Tuy nhiên, nếu quan sát viên A thấy viên đạn tới B và ghi nhận thì thời điểm quan sát viên A ghi nhận lại là

2

x x

t

v c

= + Sự khác biệt này là bởi vì: khi quan sát viên A “thấy” viên đạn tới B, tức là tín hiệu sáng từ B gửi

về A do đó quan sát viên A ghi nhận thời điểm bị “trễ” đi một lượng x

c Với viên đạn thì v≪c nên sự trễ ấy không đáng kể Tuy nhiên với những hạt cơ bản, vận tốc của hạt khá đáng kể so với c thì sai khác như vậy khá nghiêm trọng

Figure 5.Đo thời gian viên đạn bay

4 Động học tương đối tính – phép biến đổi Lorentz:

Nếu như xương sống của động học cổ điển là phép biến đổi Galileo thì xương sống của động học tương đối tính chính là phép biến đôi Lorentz Ở phần này, chúng ta đề cập đến dạng hiện đại của phép biến đổi Lorentz

4.1 Phép biến đổi Lorentz về tọa độ không – thời gian:

Ta xét hai hệ quy chiếu quán tính Oxyzvà O x y z' ' ' ', gọi tắt là hai hệ K và K' Giả sử ban đầu, hai gốc

Ovà 'O trùng nhau, các trục x y z, , lần lượt trùng với các trụcx y z', ', ' Hệ K đứng yên còn hệ K' chuyển động với vận tốc v theo phương Ox đối với hệ K Thời gian trong hệ quy chiếu K là t còn K' là 't Kể từ phần này, nếu không nói gì ta hiểu hệ quy chiếu K và K' như trên

Như đã đề cập ở các phần trước, Minkowski đã đưa ra khái niệm không – thời gian 4 chiều Trong không thời gian ấy, các biến cố có thể biểu diễn dưới dạng các vector 4 – chiều:

x y z ict

x y z ict

( )

''''

x A v x A v ict ict A v x A v ict

Thay (4.1.5) vào (4.1.4): 1( ) 2 2( ) 2

1,

v i c

Do 2 hệ quy chiếu K và K' không ưu tiên nên nếu có phép biến đổi Lorentz L v( )L từ hệ quy chiếu K

sang K' thì có phép biến đổi Lorentz 1( )

L− v từ hệ quy chiếu K' sang hệ quy chiếu K

v i c

Ma trận của phép biến đổi đó là:

- Từ 2 công thức biến đổi (4.1.10a) và (4.1.10b), ta thấy: v c≪ hay c → ∞ thì phép biến đổi Lorentz trở

về phép biến đổi Galileo Cơ học cổ điển Newton là một trường hợp giới hạn của cơ học tương đối tính

- Ta thấy thời gian biến đổi phụ thuộc vào hệ quy chiếu chứ không độc lập như trong cơ học cổ điển Đây là một sự khác biệt lớn giữa cơ học cổ điển và cơ học tương đối tính

4.2 Tính đồng thời – quan hệ nhân quả:

Ta xét hai biến cố A x y z t( 1, , ,1 1 1) và B x y z t( 2, , ,2 2 2)trong hệ quy chiếu K Trong hệ quy chiếu K', hai biến cố ấy được xác định bởi A x( ' , ' , ' , '1 y1 z1 t1) và B x( ' , ' , ' , '2 y 2 z 2 t 2)

nghĩa là: hai biến cố xảy ra đồng thời trong hệ quy chiếu K , nói chung, không đồng thời trong hệ quy chiếu

'

K Khái niệm đồng thời trong cơ học tương đối tính là một khái niệm tương đối

Công thức (4.2.1) còn chứng tỏ được, đối với các hệ quy chiếu khác nhau, thì hiệu t2− không chỉ khác t1

hiệu t'2−t'1 về độ lớn mà còn có thể khác nhau về dấu Điều này đồng nghĩa với: nếu biến cố A xảy ra trước biến cố B trong hệ quy chiếu K thì biến cố B lại có thể xảy ra trước biến cố A trong một hệ quy chiếu K' nào

đó

Tuy nhiên, kết luận trên không áp dụng được cho các biến cố có quan hệ nhân quả với nhau Tức là vẫn đảm bảo được quan hệ nhân quả: nguyên nhân có trước, kết quả có sau Thực vậy, giả sử có một viên đạn được bắn ra (nguyên nhân) là biến cố A và viên đạn trúng đích (kết quả) là biến cố B Vận tốc của viên đạn là

u Để đơn giản, ta xét chuyển động của viên đạn trên trục x Công thức (4.2.1) trở thành:

Từ tiên đề 2 của Einstein, ta thấy ngay được 2

uv<c Do đó quan hệ nhân quả vẫn được đảm bảo

4.3 Sự giãn nở thời gian và sự co ngắn chiều dài Lorentz – Fitzgerald:

Ta xét hai biến cố A x y z t( 1, , ,1 1 1) và B x y z t( 2, , ,2 2 2)trong hệ quy chiếu K Trong hệ quy chiếu K', hai biến cố ấy được xác định bởi A x( ' , ' , ' , '1 y1 z1 t1) và B x( ' , ' , ' , '2 y 2 z 2 t 2)

4.3.1 Sự giãn nở thời gian:

Giả sử tại gốc 'O của hệ quy chiếu K' ta đặt một đồng hồ Khoảng thời gian giữa 2 thời điểm của đồng hồ

ấy là ∆ =t' t'2−t'1 Trong khoảng thời gian ấy, các đồng hồ trong hệ quy chiếu K tương ứng với khoảng thời gian ∆ =t t2 − Từ công thức (4.1.10b), ta có: t1

'1

t t

v c

1

t

v c

∆

∆ = > ∆

−

Figure 6.Giãn nở thời gian

Khoảng thời gian đo bởi các đồng hồ đồng bộ trong một hệ quy chiếu lớn hơn khoảng thời gian riêng đo

bởi một đồng hồ đang chuyển động với vận tốc v trong hệ quy chiếu ấy Hiệu ứng này được gọi là hiệu ứng giãn nở thời gian

4.3.2 Sự co ngắn chiều dài Lorentz – Fitzgerald:

Từ công thức biến đổi Lorentz (4.1.10a), ta có:

(x'2−x'1)=γ (x2−x1)+v t( 2−t1) (4.3.2) Giả sử ta muốn đo một thanh thước có chiều dài l0 đứng yên trong hệ quy chiếu K'nằm dọc trên trục x Khi đó l0 =x'2−x'1 Trong hệ quy chiếu K, muốn đo chiều dài của thanh thước này thì phải xác định vị trí của

2 đầu thanh tại cùng một thời điểm, tức là t2 = Chiều dài của thanh trong hệ quy chiếu t1 K là l=x2−x1 Từ (4.3.2) , ta có:

Figure 7.Co ngắn chiều dài

Chiều dài của thanh thước trong hệ quy chiếu mà nó chuyển động với vận tốc v nhỏ hơn chiều dài của

thanh thước được đo trong hệ quy chiếu mà nó đứng yên Chiều dài l của thanh được đo trong hệ quy 0

chiếu mà nó đứng yên được gọi là chiều dài riêng của thanh Hiệu ứng trên được gọi là sự co ngắn chiều

dài Lorentz – Fitzgerald

Lưu ý: chỉ có độ dài dọc theo phương chuyển động của thanh mới bị co ngắn lại

4.4 Phép cộng vận tốc trong cơ học tương đối tính:

Giả sử có một chất điểm trong hệ quy chiếu K chuyển động với vận tốc u=(u u u x, ,y z)



Trong hệ quy chiếu K', chất điểm ấy chuyển động với vận tốc u'=(u' , ' , 'x u y u z)



Theo định nghĩa vận tốc, ta có:

Trong hệ quy chiếu K: u x dx, u y dy, u z dz

Từ đó ta có phép cộng vận tốc Einstein trong cơ học tương đối tính như sau:

Hệ quy chiếu K sang hệ quy chiếu K'

c v

cv c