Bài giảng phép nội suy

Giá trị của đại lượng vật lý này tại một điểm bất kỳ của phần tử được nội suy như sau: Trên phần tử tham chiếu n nút, ta có:... Trên phần tử tham thực n nút, ta có:4.2với Ni x, y, z là c

PHÉP NỘI SUY

4.1 Tóm tắt lý thuyết

4.1.1 Nội suy một đại lượng vật lý

Gọi ui là đại lượng vật lý liên kết với nút i Giá trị của đại lượng vật lý này tại một điểm bất kỳ của phần tử được nội suy như sau:

Trên phần tử tham chiếu n nút, ta có:

Trên phần tử tham thực n nút, ta có:

(4.2)với Ni (x, y, z) là các hàm nội suy trong không gian thực

Ghi chú:

- Hàm nội suy Ni cũng được xác định và có tính chất giống như

- Gọi uA (ξ, η, ς) là giá trị của đại lượng vật lý được nội suy từ

các giá trị của biến nút ui trên phần tử tham chiếu, uA’ (x, y, z) làgiá trị của đại lượng vật lý được nội suy từ các giá trị của biến nút

Nếu A và A’ là ảnh của nhau trong phép biến đổi hình họcgiữa hai không gian thực và không gian tham chiếu, ta có:

Các tích số Ni (X)ui phải bằng không nếu ui không phải làbiến nút liên kết với một nút của biên đang xét.

Nói khác đi, N i (X) = 0 khi X nằm trên biên đang xét và u i không phải là biến nút của biên này.

Tương tự, cho phần tử tham chiếu: N i (ξ) = 0 khi ξ nằm trên biên đang xét và u i không phải là biến nút của biên này.

- Liên tục C 1

phần tử thực Đạo hàm này được nội suy từ các biến nút qua biểuthức:





Do vậy, khi X nằm trên biên đang xét

và ui không phải là biến nút của biên này.

Tương tự cho phần tử tham chiếu Xét phần tử tham chiếu hai chiều Điều kiện để biểu thức

là ξ nằm trên biên đang xét và ui không phải là biến nút của biên này



4.2 Bài tập giải sẵn

Bài tập 1

Dùng tam giác Pascal, hãy viết biểu thức tổng quát của hàm nội suy cho các phần tử sau:

Với tam giác Pascal

Biểu thức tổng quát hàm nội suy của

Trong trường hợp gốc tọa độ nằm ở nút 1, biểu thức các hàmdạng là:

Bài tập 3

Xét phần tử tam giác 3 nút với tọa độ các nút x1 = 200; y1

= 200; x2 = 400; y2 = 200; x3 = 400; y3 = 400

Các chuyển vị nút (mm) u1 = - 0,0100; v1 = 0,1000; u2 = 0,0200; v2 = 0,1000; u3 = - 0,0200; v3 = 0,2000 với ui và vi lầnlượt là các thành phần chuyển vị theo phương x và y

-Hãy xác định chuyển vị tại điểm A(300, 250)

Thay (2), (3), (4) và các giá trị xA , yA , ui , vi , i = 1, 2, 3 vào (1),

( ) ( ) ( , )

Biết vật liệu tấm có mô

đun đàn hồi young E =

1

i x, y u , v x, y N x, y vN

yx,

       xy -150

37500

1y

x,,

150-

y250-

x

.37500

1y

x,,

x

.37500

1y

1 u

150 37500

1 u

150 37500

1 x

u

y y

37500

1v

37500

1v

25037500

1y

Thay các giá trị của x, y và ui vào các biểu thức biến dạng, ta được:

33

22 12

12 11

xy y x

D 0

0

0 D

D

0 D

Bài tập 5

Xét phần tử tam giác 3 nút trong không gian thực như

ở hình sau:

Với x1 = 2, y1 = 2, x2 = 7, y2 = 1, x3 = 5, y3 = 4, x =

5, y = 2, các hàm nội suy tại A có giá trị:

Nhiệt độ tại điểm A được nội suy qua biểu thức:

- Phương pháp 2: nội suy trên phần tử tham chiếu

Nội dung của phương pháp là nội suy tại ảnh của điểm đang xét trên phần tử tham chiếu.

Tọa độ ảnh A’ được suy ra bằng cách giải hệ phương trình:

x x

i

1 3

1 i

y y

x x

x x

3 2

1

3 2

11

3 3

6





Nhiệt độ tại điểm A cũng là nhiệt độ tại điểm A’:

   ,  1    1  2  3

0 '

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Phan Đình Huấn, Bài tập phương pháp phần tử hữu hạn

tập 1, Nhà xuất bản Thành Phố Hồ Chí Minh, 2007