Bài giảng phép biến đổi hình học

PHÉP BIẾN ĐỔI HÌNH HỌC... 3.1 Tóm tắt lý thuyết3.1.1 Phần tử tham chiếu và phép biến hình Để đơn giản hóa việc tính toán trên các phần tử thực có hình dạng phức tạp, khái niệm phần tử th

PHÉP BIẾN ĐỔI

HÌNH HỌC

3.1 Tóm tắt lý thuyết

3.1.1 Phần tử tham chiếu và phép biến hình

Để đơn giản hóa việc tính toán trên các phần tử thực có hình dạng phức tạp, khái niệm phần tử tham chiếu được đưa ra.

Phần tử tham chiếu Vr là một phần tử có hình dạng đơn giản được xác định trong không gian tham chiếu.

Phần tử tham chiếu có thể được chuyển đổi qua mỗi phần tử thực bằng cách dùng phép biến đổi hình học τe

Phép biến hình τe có các tính chất sau:

 τe là một song ánh cho tất cả các điểm nằm bên trong và nằm trên biên phần tử

 Các nút hình học của phần tử tham chiếu tương ứng với các nút hình học của phần tử thực

 Các đoạn biên của phần tử tham chiếu tương ứng với các đoạn biên của phần tử thực

Xét phần tử tham chiếu và phần tử thực trong không gian

3 chiều

Tọa độ các điểm bên trong và bên trên phần tử của hai không gian có quan hệ qua biểu thức:

(3.1)

với (x, y, z), (x i ,y i ,z i ) lần lượt là tọa độ của một điểm bất kỳ và tọa

độ của các nút hình học trên phần tử thực, là các hàm dạng trên phần tử tham chiếu

1

1

1

( , , ).

( , , ).

( , , ).

n

i n

i n

i

  

  

  



















( , , )

i

N   

3.1.2 Ma trận Jacobi

Các đạo hàm bậc nhất theo không gian trên phần tử tham chiếu và phần tử thực có quan hệ với nhau theo biểu thức:

(3.2)

Với [J] là ma trận Jacobi của phép biến hình

 

x

J y

z



 

Tương tự ta có mối quan hệ:

(3.3)

là ma trận nghịch đảo của ma trận Jacobi: [j]=[J]-1

 

j







  

 

 

 

3.2 Bài tập giải sẵn

Bài tập 1

Xét phần tử tham chiếu và phần tử thực sau:

1/ Viết lại biểu thức (3.1) cho hai phần tử trên

2/ Kiểm chứng các tính chất của phép biến hình τ

3/ Xác định ma trận Jacobi Ma trận này suy biến trong trường hợp nào?

1/ Viết lại biểu thức (3.1) cho hai phần tử

Ta có:

với

2/ Kiểm chứng các tính chất của phép biến hình

- Ảnh của các đỉnh (ξ = 0, η=0), (ξ = 1, η=0), (ξ = 0, η=1) là các đỉnh (x = xi , y = yi ), (x = xj , y = yj ), (x = xk ,y = yk )

Thật vậy, ta có:

( , ) , ( , )

x N   x y N   y

1( , ) 1 , 2( , ) , 3( , )

Tương tự, ta có:

- Ảnh của các cạnh biên (1- ξ- η = 0), (ξ = 0), (η = 0)

Xét biên (1- ξ- η = 0).Thay 1- ξ- η = 0 vào (1) , ta được:

(2)

Phương trình (2) tuyến tính theo ξ, η và chỉ phụ thuộc vào tọa đô của hai nút nằm trên biên này là xj ,yj ,xk và yk

Tương tự cho các biên (ξ = 0), (η = 0)

,

x   x y   y

       

,

,

,

3/ Ma trận Jacobi

Thay (1) vào ma trận Jacobi ,ta được:

với A là diện tích của tam giác (i, j, k)

Do vậy, định thức ma trận Jacobi bằng không khi ba đỉnh i, j, k của phần tử thực thẳng hàng

[ ]

J

  



  

[ ]

J

Bài tập 2

Xét phần tử tứ giác 4 nút trong hai không gian tham chiếu và không gian thực như ở hình sau

Tìm ảnh của điểm B(0, )1

Hàm dạng của phần tử tứ giác 4 nút trên không gian tham chiếu:

Ảnh B’ của điểm B được nội suy từ biểu thức

1 1 2 2 3 3 4 4

1 1 2 2 3 3 4 4

Bài tập 3

Xét phần tử tam giác 3 nút trong không gian tham chiếu và không gian thực như ở hình sau:

1/ Xác định tọa độ điểm A’, ảnh của điểm A(ξ = 1/3, η = 1/3)

2/ Tìm ma trận Jacobi của phép biến đổi hình học tại điểm A

1/ Ảnh điểm A

Ta có:

(1)

với N1(ξ, η ) =1- ξ- η, N2(ξ, η ) = ξ, N3(ξ, η ) = η

Thay x1 = 2, y1 = 2, x2 = 5, y2 =3, x3 = 4, y3 = 5, ξ = 1/3,

η = 1/3 vào (1), ta được: xA’ = 11/3, yA’ = 10/3

2/ Ma trận Jacobi

Ma trận Jacobi có dạng tổng quát:

( , ) , ( , )

x N   x y N   y

[ ]

J



 

3 1 [ ]

2 3

J











Bài tập 4

Xét phần tử tứ giác 4 nút trong hai không gian tham chiếu và không gian thực như ở hình sau:

Nút 1: x1 = 2, y1 = 1; Nút 2: x2 = 5, y2 = 2 Nút 3: x3 = 3, y3 = 5; Nút 4: x4 = 1, y4 = 4

1/ Tìm ảnh của điểm A(ξ = 0,2; η = 0,6)

2/ Hãy:

1/ Ảnh của điểm A

Các hàm dạng của phần tử tứ giác 4 nút trong không gian tham chiếu:

Tọa độ điểm A’, ảnh của điểm A được xác định qua biểu thức sau:

          

















































1

1 4

1 ,

4 ,

1

1 4

1 ,

, 1

1 4

1 ,

, 1

1 4

1 ,

3

2 1

A

A

       

       

 

           

           

2/ Ma trận Jacobi

a/ Biểu thức tổng quát

Quan hệ giữa tọa độ các điểm trên phần tử tham chiếu và phần

tử thực được thể hiện qua biểu thức:

Biểu thức tổng quát của ma trận Jacobi:

(1)

4 3

2 1

1

1 4

1 1

1 4

1 1

1 4

1 1

1 4

1

1

1 4

1 1

1 4

1 1

1 4

1 1

1

4

1

y y

y y

y

x x

x x

x

















































































21 22

J

b/ Ma trận Jacobi tại điểm (ξ = - 0,57735; η = - 0,57735 )

Thay giá trị ξ, η, x1, y1, x2, y2, x3, y3, x4, y4 vào biểu thức (1) ta được:













1,50000 0,60566

-0,50000

1,39434 J