ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN TRÊN TRƢỜNG SỐ P-ADIC

Chương 1: XÂY DƯNG TRƯỜNG SỐ P-ADIC Q p Trong chương này, chúng tôi trình bày cách xây dựng trường số p-adic và một số tính chất tô pô của nó.. Các kết quả trình bày trong phần này hầu h

NGUYỄN QUỐC HUY

ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN TRÊN TRƯỜNG SỐ P-ADIC

Chuyên ngành: Đại số

Mã số: 01.01.03

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học : PGS.TS MỴ VINH QUANG

TP Hồ Chí Minh - 2003

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành tỏ lòng tôn kính và biết ơn sâu sắc đối với thầy PGS.TS Mỵ Vinh

Quang, thầy đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện

luận văn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với quý thầy PGS.TS Bùi Tường Trí, PGS.TS Bùi

Xuân Hải, TS Trần Huyên và TS Nguyễn Viết Đông, quý thầy đã trực tiếp trang bị cho tôi

kiến thức cơ bản làm nền tảng cho quá trình nghiên cứu, cũng như dành nhiều thời gian quý báu đọc và góp ý cho luận văn

Tôi vô cùng cảm ơn Ban Giám Hiệu, quý thầy cô trong Khoa Toán Trường Đại Học

Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, quý thầy cô phòng Sau Đại Học Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh và UBND Tỉnh Cà Mau, quý thầy cô Trường CĐSP Cà Mau

đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi được học tập và hoàn thành luận văn

Tôi rất biết ơn gia đình, quý đồng nghiệp và bạn bè gần xa đã giúp đỡ và hỗ trợ tinh thần cũng như vật chất cho tôi trong thời gian qua

TP Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2003

Nguyễn Quốc Huy

BẢNG KÝ HIỆU 1

LỜI NÓI ĐẦU 2

CHƯƠNG 1: XÂY DỰNG TRƯỜNG SỐ P - ADIC 3

1.1 Các khái niệm cơ bản 3

1.2 Xây dựng trường số p-adic 6

1.3 Biểu diễn p-adic của số α trong Qp 9

1.4 Bổ đề Hensel 11

1.5 Tính chất tô pô của Qp 16

CHƯƠNG 2: PHÂN PHỐI P-ADIC 25

2.1 Hàm hằng địa phương 25

2.2 Phân phối p-adic 27

2.3 Một số phân phối p-adic thường dùng 31

2.4 Phân phối Bernoulli 34

CHƯƠNG 3: ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN TRÊN TRƯỜNG SỐ P-ADIC 39

3.1 Khái niệm về độ đo và tích phân trong Qp 39

3.2 Mở rộng khái niệm tích phân 47

3.3 Độ đo và tích phân Bernoulli 52

TÀI LIỆU THAM KHẢO 61

| |p : Giá trị tuyệt đối p-adic

ordp a : số mũ của p trong sự phân tích a thành thừa số nguyên tố B(a,r) : Hình cầu mở tâm a bán kính r trong Qp

B[a,r] : Hình cầu đóng tâm a bán kính r trong Qp

D(a,r) : Mặt cầu tâm a bán kính r trong Qp

: Phân phối Dirac

Mazar : Phần Phối Mazur

B, k : Phân phối Bernoulli thứ k

xa,N : Một điểm tùy ý thuộc khoảng a + (pN)

SN,{xa,N}(f) : Tổng Riemann của hàm f

∫ : Tích phân của hàm, f ứng với độ đo μ

LỜI NÓI ĐẦU

Nhờ định lý Oxtropxki ta biết rằng trên trường các số hữu tỷ Q chỉ có hai loại chuẩn,

đó là giá trị tuyệt đối thông thường | | và chuẩn phi Archimede | |P Làm đầy đủ trường số hữu

tỷ Q theo chuẩn | | ta được trường các số thực R và làm đầy đủ Q theo chuẩn | |P ta được trường các số p-adic Qp Bộ môn toán học nghiên cứu các hàm với biến số là số p-adic gọi là giải tích p-adic Mục tiêu chính của luận văn là xây dựng độ đo và tích phân trên trường số

Qp Luận văn gồm 3 chương

Chương 1: XÂY DƯNG TRƯỜNG SỐ P-ADIC Q p

Trong chương này, chúng tôi trình bày cách xây dựng trường số p-adic và một số tính chất tô pô của nó Cách xây dựng trường số p-adic đã được nhiều tác giả trình bày bằng nhiều phương pháp khác nhau Ở đây chúng tôi trình bày cách xây dựng trường số p-adic Qp bằng phương pháp giải tích của NEAL KOBLITZ Vì theo chúng tôi đây là cách xây dựng Qp một cách "tự nhiên" nhất Sau khi xây dựng trường Qp chúng tôi đưa ra một số tính chất tô pô cơ bản nhất của Qp nhằm phục vụ cho chương 2 Các kết quả trình bày trong phần này hầu hết không chứng minh, ở đây chúng tôi chỉ chứng minh một số kết quả cơ bản, quan trọng có liên quan đến các chương chính của luận văn đó là chương 2 và 3

Chương 2: PHÂN PHỐI P-ADIC

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản như: Định nghĩa hàm hằng địa phương, phân phối p-adic, số Bernoulli và đa thức Bernoulli Từ đó chúng tôi chứng minh được một số kết quả quan trọng làm cơ sở cho chương 3

Chương 3: ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN TRÊN TRƯỜNG SỐ P-ADIC

Trong chương này, trước tiên chúng tôi trình bày khái niệm độ đo, từ đó chúng tôi định nghĩa tổng Riemann và định nghĩa tích phân p-adic cho hàm liên tục ứng với độ đo bất

kỳ Trên cơ sở đó, chúng tôi mở rộng tích phân cho một lớp các phân phối rộng hơn độ đo

Vì thời gian có hạn, luận văn chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp vui lòng chỉ bảo và lượng thứ

CHƯƠNG 1: XÂY DỰNG TRƯỜNG SỐ P - ADIC

Trong phần này chúng tôi trình bày cách xây dựng trường số p-adic và một số tính chất tô pô của nó Cách xây dựng trường số p-adic đã được nhiều tác giả trình bày bằng nhiều phương pháp khác nhau Ở đây chúng tôi trình bày cách xây dựng trường số p-adic Qp bằng phương pháp giải tích của N.KOBLITZ Vì theo chúng tôi đây là cách xây dựng Qp một cách

"tự nhiên" nhất Sau khi xây dựng trường Qp chúng tôi đưa ra một số tính chất tô pô cơ bản nhất của Qp Các kết quả trình bày trong phần này hầu hết không chứng minh, ở đây chúng tôi chỉ chứng minh một số kết quả cơ bản, quan trọng có liên quan đến chương chính của luận văn đó là chương 2 và 3

1.1 Các khái niệm cơ bản

1.1.1 Định nghĩa

Cho K là một trường Giá trị tuyệt đối trên K là một ánh xạ (kí hiệu là | | ) từ tập K vào tập các số thực không âm thỏa mãn các điều kiện sau:

Từ định nghĩa ta thấy |1| = |-1| = 1

1.1.2 Ví dụ về giá trị tuyệt đối trên trường

Ví dụ 1 Trường các số hữu tỷ Q với giá trị tuyệt đối thông thường thỏa mãn các điều kiện của định nghĩa

Ví dụ 2 Cho K là một trường tùy ý Anh xạ

là một giá trị tuyệt đối trên trường K và được gọi là giá trị tuyệt đối tầm thường

1.1.3 Chú ý

Giả sử | | là một giá trị tuyệt đối trên trường K Ta có thể chứng minh hàm d từ K x K vào tập các số thực không âm xác định bởi d(x,y) = |x - y| là một mêtric trên trường K và được gọi là mêtric tương ứng với giá trị tuyệt đối | | Tô pô sinh bởi mêtric tương ứng được gọi là tô pô tương ứng của giá trị tuyệt đối

1.1.4 Định nghĩa

Hai giá trị tuyệt đối | |1 và | |2 trên trường K được gọi là tương đương nếu tô pô tương ứng của chúng là như nhau Kí hiệu | |1 ~ | |2

1.1.5 Định lý

Giả sử | |1, | |2 là hai giá trị tuyệt đối trên trường K, các mệnh đề sau là tương đương:

với mọi với mọi x K với mọi với mọi x K

3 Tồn tại hằng số dương C > 0 sao cho |x|1 = | | với mọi x K

4 (xn) là dãy Cauchy đối với | |1 ⟺ (xn) là dãy Cauchy đối với | |2

Điều này vô lý vì |x|1 ≤ 1 Vậy |x|2 ≤ 1

2) ⇒ 1) Chứng minh tương tự như trên

1) ⇒3)

• Nếu chuẩn | |1 tầm thường thì chuẩn | |2 cũng tầm thường

Thật vậy, với mọi x K, x ≠ 0 ta giả sử |x|1 = 1 Nếu |x|2 ≠ 1 thì ta xét hai trường hợp sau

• Nếu chuẩn | |1 không tầm thường thì tồn tại x0 K sao cho |x0|1 > 1, do đó |x0|1 > 1 Đặt |x0|1 = a và |x0|2 = b

Khi đó, với mọi x K ta viết |x|1=aα, a = logα |x|1 Ta chứng minh |x|2 = bα

3) ⇒ 4)

Giả sử {xn} là dãy Cauchy đối với chuẩn | |1 , nghĩa là

|xn - xm |1 → 0 khi m,n → ∞ hay

Do đó

|xn - xm |2 → 0 khi m,n → ∞ Vậy {xn} là dãy Cauchy đối với chuẩn | |2

4) ⇒1)

Giả sử |x|1 < 1 ta cần chứng minh |x|2 < 1

Từ giả thiết |x|1 < 1 suy ra xn → 0 đối với chuẩn | |1 Do đó {x n

} là dãy Cauchy đối với

| |1 hay là dãy Cauchy đối với | |2 Điều này có nghĩa là x n+1

- xn → 0 đối với chuẩn | |2 hay xn(x - 1) → 0 đối với chuẩn | |2

Do đó |xn

|2 |1-x|2 → 0 Mà |1 - x|2 ≠ 0 suy ra |xn|2 → 0 hay |x|2 <1 3) ⇒ 5)

Giả sử A , với mọi x A thì tồn tại Bx (x,r) ⊂ A Lấy

Điều này có nghĩa là tồn tại

1.1.7 Ví dụ về giá trị tuyệt đối phi Archimede

Ví dụ 1 Giá trị tuyệt đối tầm thường trên trường K là phi Archimede

Ví dụ 2 Nếu K là trường hữu hạn thì mọi giá trị tuyệt đối trên K đều tầm thường, vì vậy nó là giá trị tuyệt đối phi Archimede

1.1.8 Mệnh đề ( nguyên lý tam giác cân )

Cho | | là một giá trị tuyệt đối trên trường K Nếu |x| ≠ |y| thì

|x + y| = max {|x|,|y|}

1.1.9 Mệnh đề

Cho | |là giá trị tuyệt đối phi Archimede trên trường K

Nếu dãy {xn}→ x ≠ 0 thì tồn tại n0 N : ∀ n > n 0 ⇒ |x n| = |x| Một dãy hội tụ thì dãy các giá trị tuyệt đối tương ứng là dãy dừng

1.1.10 Định lý

Cho | | là một giá trị tuyệt đối trên trường K, các mệnh đề sau là tương đương:

1 | | là giá trị tuyệt đối phi Archimede

Nếu a = 0 thì ta quy ước ordpa = ∞

Trên trường Q nếu ta định nghĩa ánh xạ | | P như sau

thì | | P là một giá trị tuyệt đối phi Archimede

1.2.4 Định lý (Oxtropxki)

Mọi giá trị tuyệt đối không tầm thường || || trên trường Q đều tương đương với | |P với p là một số nguyên tố nào đó hoặc tương đương với giá trị tuyệt đối thông thường trên Q

Chứng minh

1 Nếu ||2|| > 1 thì || || là chuẩn Archimede

Lấy n N, giả sử n = a0 +aa2 + +as2s, trong đó

Suy ra

Cho k → ∞ ta được ||n|| ≥ nα Vậy ||n|| = nα với mọi n

Do đó ||x|| = |x|α với mọi x Q

2 Nếu ||2|| ≤ 1 thì || || là chuẩn phi Archimede

Từ giả thiết ||2|| ≤ 1 ta có ||n|| ≤ 1 với mọi n N Do || || là chuẩn không tầm thường nên tồn tại n N sao cho ||n|| < 1 Gọi p là số tự nhiên bé nhất thỏa ||p|| < 1 Khi đó p là số nguyên tố Gọi q là số nguyên tố khác p Ta chứng minh ||p|| = 1

Giả sử ||p|| < 1 vì (qk,pk) = 1 nên tồn tại m,n Z sao cho mpk

Từ định lý Oxtropxki ta thấy giá trị tuyệt đối không tầm thường trên Q là giá trị tuyệt

đối thông thường | |, hoặc là giá trị tuyệt đối phi Archimede | |p Mặt khác, ta biết rằng làm đầy đủ Q theo | | ta được trường số thực R Vậy làm đầy đủ Q theo | |p ta sẽ được trường mới mà ta gọi là trường các số p-adic Qp

Cụ thể cách xây dựng như sau:

Kí hiệu S là tập tất cả các dãy Cauchy hữu tỷ theo | | Trên S ta xác định một quan hệ tương đương như sau

Ta gọi Qp là tập hợp tất cả các lớp tương đương theo quan hệ trên và ta trang bị cho

Qp hai phép toán cộng và nhân như sau:

Phép cộng: { ̅̅̅} { ̅̅̅} { ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ }

Với a, b Qp ta nói a = b (mod pN) nếu |a-b|p < p-N

Từ định nghĩa ta có nhận xét: Nếu a, b Z thì định nghĩa đồng dư trong Qp sẽ trùng với định nghĩa đồng dư thông thường trên tập hợp số nguyên Z

1.2.7 Vành các số nguyên p-adic

Tập hợp Z p = {a Q p / |a| p ≤ 1} cùng với phép toán cộng và nhân trong Q p lập thành một vành Vành này được gọi là vành các số nguyên p-adic

Tập hợp tất cả các phần tử khả nghịch của vành Zp là

1.3 Biểu diễn p-adic của số α trong Q p

Ta biết rằng nếu α Qp thì ta có thể viết α = { ̅} với {ai} là dãy Cauchy nào đó trong

Q Tuy nhiên nếu| α |p ≤ 1 thì ta có thể chọn {ai} thỏa mãn định lý sau đây

1.3.3 Biểu diễn p-adic của số a trong Qp

i) Với các {ai} thỏa mãn các điều kiện trong định lý 1.3.1, ta có thể viết

ai=b0+b1p + + bi- 1 pi-1

đó 0 ≤ bi ≤ p - 1 với i=1,2,3, Khi đó với mỗi α Zp ta có

Theo bổ đề 1.3.2 ta có thể viết a dưới dạng

Công thức này được gọi là biểu diễn p-adic của a trong Zp

ii) Nếu α Qp không thỏa mãn điều kiện thì |α|p ≤ 1 thì ta sẽ nhân α với một số pmthích hợp sao cho số α’ = α pm thỏa mãn | α’| ≤ 1 Sau đó theo định lý 1.3.1 chúng ta chọn được một dãy {bi} sao cho

Bằng cách đánh lại chỉ số cho thích hợp ta có biểu diễn của α có dạng

Công thức này gọi là công thức biểu diễn p-adic của α trong Qp

1.4 Bổ đề Hensel

Như chúng ta đã biết các phép toán số học như: cộng, trừ, nhân và chia trong Qp được thực hiện một cách khá dễ (xem [6]) Tuy nhiên, việc khai căn của một số nguyên và việc tìm nghiệm của một phương trình nào đó trong Qp nói chung là vấn đề không phải lúc nào chúng

ta cũng thực hiện được Bổ đề Hensel và bổ đề Hensel mở rộng được trình bày dưới đây sẽ giúp chúng ta giải quyết một phần nào về vấn đề trên

1.4.1.Bổ đề Hensel

Cho F(x) = c0 +C1x + + cnxn Zp có đạo hàm

F'(x) = c1+2c2x + + ncnxn-1] Zp

Giả sử a0 Zp thỏa F(a0) = 0(mod p) và F'(a0) (mod p) Khi đó, tồn tại duy nhất a

Zp sao cho F(a) = 0 và a ≡ a0 (mod p)

=1 Đặt α = am Z, khi đó:

Hơn nữa, số a có thể chọn trong tập {0, 1, 2, , pi

- 1} Thật vậy, ta viết α dưới dạng α

Cho F(x) là đa thức với hệ số trong ZP, nếu có a0 trong ZP thỏa

thì tồn tại duy nhất một số nguyên p-adic a sao cho F(a) = 0 và

Chứng minh

Trước hết ta cần xây dựng dãy số nguyên a1, a2, , an thỏa

Ta xây dựng bằng quy nạp theo n

* a1 thỏa (3)

Ta có

theo bổ đề 1.4.2 thì tồn tại duy nhất b1 {0, 1, , p-1} sao cho

Theo giả thiết quy nạp, ta có

Bằng cách lý luận tương tự như phần chứng minh trong trường hợp n = 1 thì tồn tại duy nhất α’ {0,1 , p-1} sao cho

từ đó ta tìm được b1 = 1 thỏa điều kiện trên

Đặt a2 = a1 + b2 23 Chọn b2 {0,1} sao cho F(a2) ≡ 0 (mod 25

),

từ đó ta tìm được b2 = 0 thỏa mãn điều kiện trên

Đặt a3 = a2 +b324 Chọn b3 {0,1} sao cho F (a3) ≡ 0 (mod 26) Phương trình có nghiệm b3 =1

Quá trình cứ tiếp tục như vậy ta tìm được nghiệm của phương trình

1.5 Tính chất tô pô của Q p

Vì tô pô trong Qp là tô pô cảm sinh bởi chuẩn phi Archimede nên nó có nhiều tính chất khác lạ so với tô pô thông thường Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày một số tính chất

tô pô cơ bản của Qp nhằm mục đích phục vụ cho chương 2 và chương 3 Các mệnh đề, bổ đề

cơ bản được chứng minh chi tiết để thấy được các tính chất khác lạ như: mọi hình cầu, mặt cầu trong Qp đều có vô số tâm, mọi hình cầu đều có vô số bán kính

1.5.1 Định nghĩa hình cầu, mặt cầu trong Qp

1 Mọi hình cầu, mặt cầu trong Q p đều là những tập vừa mở, vừa đóng

2 Hai hình cầu bất kỳ trong Q p hoặc lồng nhau hoặc rời nhau

3 Mọi hình cầu, mặt cầu trong Q p đều có vô số tâm Mọi hình cầu đều có vô số bán kính

4 Q p chỉ có một số đếm được các hình cầu và mặt cầu

Chứng minh

1 Giả sử a Qp , r R+

xét hình cầu mở:

Hiển nhiên B(a,r) là tập mở Ta cần chứng minh B(a,r) là tập đóng nghĩa là B(a,r)\Qp

là tập mở Thật vậy, lấy bất kỳ b B (a,r) \ Qp điều này có nghĩa là |b - a|p ≥ r Khi đó, luôn tồn tại hình cầu mở S (b,r) nằm hoàn toàn trong B(a,r)\Qp vì với mọi y S(b,r) suy ra |y - b|p

Đối với hình cầu đóng, chứng minh hoàn toàn tương tự

3 Mọi hình cầu, mặt cầu trong Qp đều có vô số tâm Mọi hình cầu đều có vô số bán kính

• Chứng minh mọi hình cầu, mặt cầu đều có vô số Tâm

Bây giờ với a Qp, r R+

ta xét một điểm b bất kỳ b ≠ a trong hình cầu mở

Ta có

|b - a|p < r (do cách chọn b)

Hơn thế nữa, ta còn có

B(a,r) = B(b,r) vì Nếu x B (a,r) thì |x - a|p < r Khi đó,

Do đó

Ngược lại, chứng minh tương tự như trên ta cũng có

Vậy

với mọi b B (a,r)

Nói cách khác B(b,r) có vô số tâm

Bằng cách chứng minh tương tự ta cũng có B[a,r] và D(a,r) có vô số tâm

• Chứng minh mọi hình cầu đều có vô số bán kính

Trước hết, ta xét hình cầu mở B(a,r) Như ta đã biết hàm chuẩn | |p chỉ nhận các giá trị trong tập {pn /n Z} ∪{0} nên tồn tại n Z sao cho

Nhƣ vậy, với bất kỳ hình cầu B(a,r) với r thỏa pn

Thật vậy, với mọi

x B [a,s] ta có |x - a|p ≤ s mà pn ≤ s < pn+1 nên

|x - a|p ≤ pnVậy

x B [a,pn

] Ngƣợc lại, với mọi

Vậy hình cầu đóng B[a,r] có vô số bán kính

4 Ta chứng minh Qp chỉ có một số đếm đƣợc các hình cầu và mặt cầu

Theo (3) ta có mọi điểm trong hình cầu, mặt cầu đều là tâm của nó Dùng tính chất này ta sẽ chứng minh Qp chỉ có một số đếm đƣợc các hình cầu và mặt cầu

Thật vậy, lấy bất kỳ a Qp, r R+ Theo (3) tồn tại n Z sao cho

B(a,r) = B(a,pn) Vậy

là tập đêm đƣợc Mặt khác, mọi hình cầu trong Q đều có thể chọn tâm là một số hữu tỷ Chẳng hạn, đối với hình cầu mở B(a, pn) Do a Qp nên ta giả sử khai triển p-adic của a có dạng a = ampm + am+1pm+1 + + anpn + (n < m, m Z)

Để chứng minh mệnh đề ta chỉ cần chứng minh Zp là tập compact

Giả sử {xn} là một dãy tùy ý trong Zp và

trong đó 0 ≤ ain ≤ p -1, với mọi i = 0,1,2,

Xét các phần tử a0n (n = 1, 2, 3, , p-1), ta thấy các phần tử này nhận các giá trị trong tập hữu hạn {0, 1, 2, , p-1}

của dãy {xn} sao cho số hạng đầu tiên trong khai triển p-adic của mỗi phần tử đều bằng b0

Trong dãy {x0n} các số hạng thứ 2: a1n (n = 0, 1, 2, ,p-1) nhận các giá trị trong tập hữu hạn {0, 1, 2, , p-1) Vậy phải tồn tại b1 {0,1,2, , p-1} được nhận giá trị vô hạn lần, từ

đó ta lấy dãy con {x1n} của dãy {x0n} sao cho số hạng thứ hai của mỗi phần tử trong dãy con bằng b1

Như vậy với mỗi m N tồn tại dãy con {xm,n} của dãy {xm-1,n} sao cho số hạng thứ m của mỗi phần tử bằng bm {0,1,2, , p-1} Đặt

b = b0+b1p+b2p2+ + bmpm+bm+1 pm+1 +

Xét dãy các đường chéo {xmn} với phần tử x0m có khai triển p-adic mà số hạng thứ nhất là b0 , số hạng thứ hai là b1, Phần tử xmn có số hạng thứ nhất là b0,số hạng thứ hai là b1, , số hạng thứ m + 1 là bm Ta có

Do đó {xmn} là một dãy con lấy ra từ dãy {xn) mà {xmn) hội tụ về b

Vậy Zp là tập compact

Nhận xét Chúng ta đã chứng minh được B(0,1) là tập compact điều này có nghĩa là

Zp là tập compact Do đó với mọi a Qp thì a +Zp là lân cận compact của a trong Qp vậy Qp

là tập compact địa phương

Một khoảng bất kỳ luôn được phân tích thành hợp hữu hạn của các khoảng con và mọi tập mỡ compact trong Zp luôn phân tích được thành hợp rời nhau của các khoảng Điều này được thể hiện trong mệnh đề 1.5.5 sau đây

1.5.5 Mệnh đề

Cho a + (pN) là khoảng bất kỳ trong Qp Khi đó,

2 Mọi tập mở trong Zp là compact nếu và chỉ nếu nó được viết dưới dạng hợp hữu hạn rời nhau của các khoảng trong Qp

Ngược lại, với mọi

thì tồn tại

sao cho

Khi đó, X được viết dưới dạng

x = a +bpN +qpN+1 hay

x = a + (b +qp) pN a +(pN

)

2 Với mọi tập mở U trong Zp , giả sử U là tập compact Do U là tập mở trong Zp nên

U là hợp của các khoảng Ii:U = ∪ Ii Mặt khác, hai khoảng bất kỳ trong Qp hoặc lồng nhau hoặc rời nhau nên ta có thể giả sử U = ∪ Ii, trong đó Ii ∩ Ij = ∅ nếu i ≠ j

Do U là tập compact nên tồn tại J hữu hạn sao cho U =

Ngược lại, giả sử U = trong đó I là tập hữu hạn và Ii ∩ Ij = ∅ nếu i ≠ j Do ZP

là tập compact và Ii là tập đóng nên Ii là tập compact Vậy U là tập compact

hữu hạn rời nhau của các khoảng Ii

Thật vậy, chiều thuận là hiển nhiên Ngƣợc lại, giả sử U là hợp hữu hạn rời nhau của các khoảng Ii và Ii = a + (pN) Do Zp là tập compact nên Ii là lân cận compact của a trong Qp Vậy U = ∪ Ii là tập compact trong Qp

Đặc biệt: , với mọi số tự nhiên n

CHƯƠNG 2: PHÂN PHỐI P-ADIC

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản như: khái niệm hàm hằng địa phương, phân phối p-adic, số Bernoulli và đa thức Bernoulli Từ đó chúng tôi chứng minh được một số kết quả quan trọng làm cơ sở cho chương 3

2.1 Hàm hằng địa phương

Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm hàm hằng địa phương trên không gian

tô pô bất kỳ Khái niệm hàm hằng địa phương đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết độ đo

và tích phân trên trường số p-adic

(a) suy ra f(x) = a Do f là hàm hằng địa phương nên tồn tại lân cận Ux của

x sao cho f(Ux) = {a}, do đó Ux ⊂ f-1

(a) Vậy f-1(a) là tập mở Mặt khác, do Y là T1 không gian và f là hàm số liên tục nên f-1 (a) là tập đóng Ta có ∅ =f-1 (a) ⊂ R suy ra f-1

(a) = R Vậy

f là hàm hằng trên R

Từ nhận xét 2.1.2 ta thấy trên R không có hàm hằng địa phương, nếu có thì nó là hàm hằng như chúng ta đã biết Tuy nhiên trên trường số P-adic Qp thì có rất nhiều thí dụ về hàm hằng địa phương Sau đây là một thí dụ

2 1.3 Ví dụ

Cho U là tập mở compact của Zp và f : Zp → Qp là hàm đặc trưng được định nghĩa bởi

Chứng minh

Lấy x X nếu f(x) = 1 thì x U Ta chọn Ux = U, khi đó f(Ux) ={1}

Nếu f(x) = thì x X\U Đặt Ux = X \U Ta thấy Ux là một lân cận mở của x và f-1

(Ux)

= {0} Vậy f là hằng địa phương

Từ ví dụ 2.1.3 ta thấy hàm đặc trưng của tập mở compact U ⊂ Zp là hàm hằng địa phưong Dựa vào các hàm đặc trưng này, ta có thể mô tả tất cả các hàm hằng địa phương trên

Zp Cụ thể ta có mệnh đề sau

2.1.4 Mệnh đề

Giả sử X là một tập mở compact của Q p Khi đó f : X → Qp là hàm hằng địa phương nếu và chỉ nếu f là một tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trưng của các tập mở compact trong X

Giả sử f(X) = {a1, a2, , an), trong đó ai Qp và ai ≠ aj nếu i ≠ j

Đặt Ui = f-1(ai) với mọi i = ̅̅̅̅̅ Do f là hàm số liên tục nên Ui là tập mở compact với mọi i = ̅̅̅̅̅ và Ui ∩ Uj = ∅ nếu i ≠ j

Ta cần chứng minh

Thật vậy, với mọi x X thì tồn tại duy nhất k {1,2, ,n} sao cho x Uk và x ∉ Ui với mọi i ≠ k

Khi đó,

Vậy với mọi x X

 Ngược lại, giả sử f là một tổ hợp tuyến tính của các hàm đặc trưng của các tập mở

compact trong X ,

Với mọi x X, nếu x ∉ Ui, với mọi i {1, 2, , n} thì

Chọn lân cận của x là , khi đó f(Ux) = {0}

Nếu tồn tại i sao cho x Ui thì không mất tính tổng quát ta giả sử {1,2, ,n} = I ∩ J sao cho x Ui với i I và x ∉ Ui với i J Do đó x ∉ ⋂

Đặt U’ = X \ ⋂ , khi đó U’ là tập mở Chọn lân cận của x là Ux = U’ ∩ Ui với i

I Ta thấy

Vậy f là hàm hằng địa phương

2.2 Phân phối p-adic

Trong phần này chúng tôi trình bày định nghĩa và một số tính chất của phân phối adic

p-2.2.1 Định nghĩa

Một phân phối p-adic trên X là ánh xạ cộng tính từ tập tất cả các tập mở compact trong X vào Qp Nghĩa là, nếu U ⊂ X và U = ⋃ là hợp của các tập mở compact rời nhau: U1, U2, , Un thì μ(U) = ∑

2.2.2 Mệnh đề

Cho μ là một phân phối p-adic trên X và với mọi tập mở compact U trong X Nếu ta

đặt μ ( = μ (U) thì μ là một Qp - phiếm hàm tuyến tính từ Qp- không gian véctơ của các hàm hằng địa phương trên X đến Qp Ngược lại, cho μ là một Qp -phiếm hàm tuyến tính từ

Qp -không gian véctơ của các hàm hằng địa phương trên X đến Qp và với mọi tập mở

compact U trong X, nếu đặt μ (U) = μ( thì μ là một phân phối p-adic trên X

Chứng minh

• Giả sử μ là một phân phối p-adic trên X Ta cần chứng minh:

trong đó f, g là các hàm hằng địa phương trên X và a Qp

X, A1 ∩ A2 = ∅ và với mọi α Qp thì

Thật vậy, ta đã biết μ ( ) = μ (A1) và μ ( ) = μ (A2) do đó

Chứng minh tương tự như trên ta cũng có: μ( ) = αμ( )

Tổng quát: Nếu A1, A2, A3, , Ak là các tập mở compact đôi một không giao nhau trong X thì

Do f và g là các hàm hằng địa phương trên X nên ta có thể viết f, g dưới dạng:

trong đó A1, A2, ,Am và B1, B2, ,Bn là các tập con mở compact trong X đôi một rời nhau