BÀI GIẢNG cơ lý THUYẾT

Mô men của lực đối với một điểm a Định nghĩa: Giả sử vật rắn chịu tác dụng của lực F, vật có thể quay quanh điểm O cố định hình 1.3.. Hình 1.8Từ các tính chất trên ta có thể rút ra kết

BÀI GIẢNG CƠ LÝ THUYẾT

PHẦN I: CƠ HỌC LÝ THUYẾT CHƯƠNG 1: CÁC TIÊN ĐỀ TĨNH HỌC1.1 Các khái niệm cơ bản

1.1.1 Vật rắn tuyệt đối

Vật rắn tuyệt đối là vật mà khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ thuộc vật luôn luôn không thay đổi, tức là có hình dạng hình học không thay đổi trong suốt quá trình chịu lực

Trong thực tế khi chịu lực tác dụng, các vật rắn đều biến dạng nhưng rất nhỏ, ta

có thể bỏ qua để đơn giản hóa việc tính toán

1.1.2 Lực

a) Định nghĩa: Lực là tác dụng tương hỗ giữa các vật mà kết quả là làm thay

đổi trạng thái động học của các vật đó

Có thể chia lực làm 2 loại:

− Lực tác dụng với sự tiếp xúc trực tiếp giữa các vật, như người ngồi đè lên

ghế một lực ép, ngược lại ghế cũng tác dụng lên người một lực đẩy, kết quả người không bị rơi xuống – tức là có sự thay đổi trạng thái động học

− Lực tác dụng không có sự tiếp xúc trực tiếp giữa các vật - có khoảng cách

đó là lực vạn vật hấp dẫn Chẳng hạn như lực hấp dẫn trong hệ thống thái dương hệ thứ nhất mà mặt trời là trung tâm

Lực tác dụng của quả đất đối với các vật rơi trên nó gọi là trọng lực

b) Cách biểu diễn lực:

Bất kì một lực nào cũng được xác định bởi 3 yếu tố: điểm đặt, phương chiều và

trị số Nói cách khác lực là một đại lượng véc tơ.

Người ta biểu diễn lực bằng một véc tơ,

là điểm đặt của lực, đường thẳng chứa véc tơ AB

gọi là phương (còn gọi là đường tác dụng) của

lực, mút B biểu diễn chiều của lực Độ dài véc tơ

AB biểu diễn theo một tỉ lệ xích nào đó là trị số

của lực

Để đơn giản người ta thường ký hiệu lực

bằng một chữ in hoa có mũi tên ở trên: F, P,

Q, R,

1.1.3 Hệ lực

a) Hai lực trực đối: Là hai lực có cùng trị số, cùng đường tác dụng nhưng

ngược chiều nhau

A

B F

α

Hình 1.1

d) Hệ lực cân bằng: Là hệ lực khi tác dụng vào vật sẽ không làm thay đổi trạng

thái động học của vật, nói cách khác là hệ lực tương đương với 0

( P1 , P2 , , Pn ) ~ 0

e) Hợp lực: Là một lực tương đương với tác dụng của cả hệ, nghĩa là:

R ~ ( F1 , F2 , , Fn )

R là hợp lực của hệ lực

g) Vật cân bằng: Vật ở trạng thái cân bằng nếu nó đứng yên hoặc chuyển động

tịnh tiến thẳng đều, tức là vật chịu tác dụng của hệ lực cân bằng

1.1.4 Mô men của lực đối với một điểm

a) Định nghĩa:

Giả sử vật rắn chịu tác dụng của lực F, vật có thể quay quanh điểm O cố định (hình 1.3) Đại lượng đặc trưng cho tác dụng quay mà lực F gây ra cho vật quanh điểm

O được gọi là mômen m của lực F đối với điểm O và ta có định nghĩa:

“Mômen của lực F đối với điểm O là tích số giữa trị số của lực và cánh tay đòn của lực đối với điểm ấy”.

mO ( F ) = ± F a (1.1)

Trong đó cánh tay đòn a là khoảng cách từ tâm

quay O đến đường tác dụng của lực F , mO ( F )

là kí hiệu mômen của lực F đối với điểm O

Quy ước mO ( F ) lấy dấu dương (+) nếu

chiều của lực F làm vật quay ngược chiều kim

đồng hồ, và lấy dấu âm (-) nếu chiều của lực F

làm vật quay cùng chiều kim đồng hồ

Chú ý: Nếu đường tác dụng của lực F đi qua O

thì mômen của lực F đối với điểm O bằng 0: mO

( F ) = 0 vì a = 0

1.1.5 Mô men của lực đối với một trục

Momen của lực F đối với trục OZ là đại lượng đại số ký hiệu mz ( F ) tính theo công thức : mz ( F ) = ± F’.d Trong đó F’ là hình chiếu của lực F trên mặt phẳng ð vuông góc với trục Z, d là khoảng cách tính từ giao điểm O của trục z với mặt phẳng ð đến đường tác dụng của lực F (hình 1.4)

H

Hình 1.3

Vì Oablà hình chiếu của tam giác OAB trên mặt phẳng vuông góc với trục Z tại O Nếu gọi ỏ là góc hợp bởi giữa hai mặt phẳng OAB và mặt phẳng Oabthì góc này cũng chính là góc hợp giữa véc tơ mô men mo(F) với trục OZ, ta có:

Diện tích ÄOab= diện tích ÄOAB cosỏ

hay mZ(F) = mo(F) cosỏ

Kết quả cho thấy mô men của lực F đối với trục OZ là hình chiếu véc tơ mô men lực F lấy với điểm O nào đó trên trục OZ chiếu trên trục OZ đó

1.1.6 Ngẫu lực

a) Định nghĩa: Hệ gồm hai lực song song ngược chiều có trị số bằng nhau gọi

là một ngẫu lực, kí hiệu ( F , F ) (Hình 1.6a).

Khoảng cách a giữa đường tác dụng của hai lực gọi là cánh tay đòn của ngẫu lực

Ta có thể trượt các lực để cho đoạn nối 2 điểm đặt đúng là cánh tay đòn (hình 1.5b)từ đây ta quy ước vẽ ngẫu lực như vậy

Một ngẫu lực được xác định bởi 3 yếu tố:

- Mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực: là mặt phẳng chứa các lực của ngẫu lực.

- Chiều quay của ngẫu lực: là chiều quay của vật do ngẫu lực gây nên

Chiều quay là dương (+) khi ngẫu lực có xu hướng làm cho vật quay ngược chiều kim đồng hồ và âm (-) khi vật quay thuận chiều kim đồng hồ (hình 1.7)

- Trị số mômen của ngẫu lực: là tích số giữa trị số của lực với cánh tay đòn, ký

hiệu là m:

m = F a (1.2)

b) Tính chất của ngẫu lực trong mặt phẳng tác dụng:

- Tác dụng của một ngẫu lực không thay đổi khi ta di chuyển ngẫu lực trong mặt phẳng tác dụng của nó

- Có thể biến đổi lực và cánh tay đòn của ngẫu lực một cách tùy ý, miễn là bảo đảm trị số mô men và chiều quay của nó

Đặc biệt, khi có nhiều ngẫu lực ta có thể biến đổi để cho chúng có chung cánh tay đòn

A

B F

Hình 1.8

Từ các tính chất trên ta có thể rút ra kết luận: tác dụng của ngẫu lực trên một mặt phẳng hoàn toàn được đặc trưng bằng chiều quay và trị số mômen của nó Điều này cho phép biểu diễn ngẫu lực bằng chiều quay và trị số mômen của nó như hình 1.8

c) Hợp hệ ngẫu lực phẳng:

“Hợp một hệ ngẫu lực trong cùng một mặt phẳng được một ngẫu lực nằm trong mặt phẳng đã cho, có mômen đại số bằng tổng mômen đại số của các ngẫu lực thuộc hệ”.

1.2 Hệ tiên đề tĩnh học

1.2.1 Tiên đề 1 (tiên đề về hai lực cân bằng)

Điều kiện cần và đủ để hai

Tiên đề: Tác dụng của một hệ lực lên một vật rắn không thay đổi khi ta thêm

vào (hay bớt đi) hai lực cân bằng nhau

Hệ quả: Tác dụng của một lực lên một vật rắn không thay đổi khi trượt lực trên

Hình 1.10

F N

Hình 1.11

Để xác định véctơ lực có thể sử dụng phương pháp vẽ (phương pháp đa giác lực) hoặc phương pháp xác định hình chiếu của nó trên 2 trục vuông góc (hệ lực phẳng) hoặc trên 3 trục vuông góc (hệ lực không gian).

a) Phương pháp đa giác lực

b) Xác định hợp lực của hệ lực phẳng đồng quy theo phương pháp chiếu:

Giả sử có hệ lực phẳng đồng quy (F1, F2 , , Fn) có hình chiếu tương ứng lên hai trục tọa độ vuông góc là (F1x, F2x , Fnx ) và (F1y , F2y , Fny)

Ta có hợp lực:

R = F1 + F2 + + Fn = Σ F Hợp lực R có hình chiếu lên hai trục tọa độ là (Rx, Ry)

Theo kết quả trong phép tính vec tơ, "hình chiếu của véc tơ tổng hợp bằng tổng đại số hình chiếu của các véc tơ thành phần"

Ta có:





Σ

=+++

=

Σ

=+++

=

y ny

y y y

x nx

x x x

F F

F F R

F F

F F R

2 1

2 1

(1.3)

Về trị số của hợp lực R:

2 2

y

F

F R

R tg

1.2.5 Tiên Đề 5 (Tiên đề hóa rắn)

Một vật biến dạng đã cân bằng dưới tác dụng của một hệ lực thì khi hoá rắn vật vẫn cân bằng

1.2.6.Tiên đề 6 ( Tiên đề giải phóng liên kết)

Trước khi phát biểu tiên để này cần đưa ra một số khái niệm cÇn ®ưa ra mt s kh¸i niƯm vỊ: Vt r¾n t do, vt r¾n kh«ng t do, liªn kt v ph¶n lc liªn kt

1.2.6.1 Vật tự do và vật chịu liên kết

Vật rắn gọi là tự do khi nó có thể thực hiện chuyển động tùy ý theo mọi

phương trong không gian mà không bị vật khác cản trở

Vật không tự do là vật có một vài phương chuyển động bị vật khác cản trở

Những điều kiện cản trở chuyển động của vật được gọi là liên kết.

Vật không tự do gọi là vật chịu liên kết (hay còn gọi là vật khảo sát).

Vật gây ra sự cản trở chuyển động của vật khảo sát gọi là vật gây liên kết

1.2.6.2 Phản lực liên kết

Do tác dụng tương hỗ, vật khảo sát tác dụng lên vật gây liên kết một lực, gọi là

lực tác dụng Theo tiên đề về tương tác vật gây liên kết phải tác dụng lên vật khảo sát một lực, lực đó gọi là phản lực liên kết (gọi tắt là phản lực)

Ở ví dụ trên hình 1.11 , F là lực tác dụng, N là phản lực

Phản lực liên kết đặt vào vật khảo sát (ở chỗ tiếp xúc giữa hai vật) cùng phương ngược chiều với chiều chuyển động bị cản trở của vật khảo sát Trị số của phản lực phụ thuộc vào lực tác dụng lên vật khảo sát

Vật chịu liên kết ( cân bằng ) có thể xem được vật tự do ( cân bằng ), nếu thay thế tác dụng cuả các vật gây liên kết lên vật khảo sát bằng những phản lực liên kết tương ứng

Thực tế thường gặp vật rắn chịu liên kết, nhờ tiên đề này ta đưa về trường hợp vật tự do và áp dụng được tiên đề trên

1.2.6.4 Các loại liên kết cơ bản

a) Liên kết hoàn toàn trơn (liên kết không ma sát hay còn gọi là liên kết tựa):

Là loại liên kết mà hai vật trực tiếp tựa lên nhau, tiếp xúc theo bề mặt, hoặc đường, hoặc điểm Phản lực liên kết tựa có phương vuông góc với mặt tiếp xúc chung, có chiều đi về phía vật khảo sát, ký hiệu N (hình 1.13)

C N

NC

b) Liên kết dây mềm, thẳng và không dãn: Là loại liên kết giữa vật với các

dây treo nó Phản lực của vật rắn tác dụng lên dây được gọi là sức căng dây, ký hiệu là

T Sức căng dây hướng dọc theo dây và hướng ra đối với mặt cắt dây, làm dây luôn ở trạng thái căng (hình 1.14)

c) Liên kết bản lề: Hai vật có liên kết bản lề khi chúng có trục (chốt) chung, có

thể quay đối với nhau Phản lực liên kết R đi qua tâm của trục và có phương, chiều chưa được xác định Phản lực R được phân làm hai thành phần vuông góc với nhau là

Rx và Ry nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục tâm của bản lề (hình 1.15)

D

LLiên kết gối: Liên kết gối dùng để đỡ các dầm, khung, Có 2 loại liên kết

gối: gối cố định và gối di động (gối con lăn).

Phản lực liên kết của gối cố định được xác định như liên kết bản lề, còn phản lực liên kết của gối con lăn được tìm theo quy tắc của phản lực liên kết tựa (hình 1.16

e) Liên kết ngàm: Là liên kết khi vật được nối cứng vào một vật khác (ví dụ trong

trường hợp hai vật được hàn cứng lại với nhau)

Trong trường hợp ngàm phẳng (hệ lực khảo sát là hệ lực phẳng), phản lực liên kết gồm hai thành phần vuông góc với nhau và một ngẫu lực nằm trong mặt phẳng chứa hai thành phần lực và cũng là mặt phẳng chứa hệ lực (hình 1.17

Hình 1.17Đối với ngàm không gian (hệ lực khảo sát là hệ lực không gian), phản lực liên kết gồm ba thành phần lực vuông góc với nhau (dọc theo ba trục tọa độ) và ba thành phần ngẫu lực trong ba mặt phẳng tọa độ.

f) Liên kết thanh: Liên kết thanh được thực hiện nhờ

các thanh thỏa mãn điều kiện sau: Chỉ có lực tác dụng ở

hai đầu, còn dọc thanh không có lực tác dụng và trọng

lượng của thanh được bỏ qua Ví dụ các thanh không

trọng lượng, liên kết bằng các liên kết trụ hay cầu Phản

lực liên kết thanh có phương qua hai điểm chịu lực (dọc

theo thanh) Phản lực liên kết thanh ký hiệu là S (hình

Hệ quả 3 (Định lý về đường tác dụng của 3 lực đồng phẳng): Khi ba lực đồng

phẳng cân bằng, đường tác dụng của chúng hoặc đồng quy hoặc song song.

Định lý về 3 lực cân bằng:

Ba lực cân bằng là chúng cùng nằm trong một mặt phẳng, và nếu chúng khơng song song thì đường tác dụng phải đồng quy tại một điểm

CHƯƠNG 2: HỆ LỰC PHẲNG, HỆ LỰC KHÔNG GIAN

b) Mômen chính của hệ lực phẳng đối với một điểm

Mômen chính của hệ lực phẳng đối với một điểm (O) là đại lượng đại số, kí hiệu là M O, bằng tổng mômen của các lực của hệ lực đối với điểm O

)()

(

)()(

1 2

n k o n

O O

++

Hình 2.2

ĐỊNH LÝ DỜI LỰC :

Tác dụng lên vật sẽ không thay đổi nếu dời lực đó song song với chính nó tới một điểm bất kỳ thuộc vật, đồng thời ta thêm vào một ngẫu lực có momen bằng momen của lực sẽ di chuyển lấy đối với điểm mà lực di chuyễn tới (Hình 2.3)

của ngẫu lực tổng cộng, tức bằng tổng mômen các ngẫu lực thành phần của hệ ngẫu lực.

- Định lý biến thiên Momen chính :

Vectơ momen chính của một hệ lực đối với các tâm rút gọn khác nhau thì khác nhau, song giữa chúng có liên hệ là( Hình 2-4)

M I =M o +m I (R o) (2-3)

Hay MI = Mo + IO x R 

Chứng minh)

(

1

'

k n

2.1.2 Thu gọn hệ lực phẳng:

o Bất biến thứ 1 : Như ta đã thấy khi thay đổi tâm thu gọn thì vectơ chính

không thay đổi Nghĩa là : RI = Ro = R (2-4)

Vậy: Vectơ chính R là bất biến thứ nhất của hệ lực đối với tâm thu gọn

o Bất biến thứ 3

Chiếu vectơ momen chính lên phương vectơ chính, ta được:

Ro.Mo.Cos α = RI.MI.Cos β ⇒ Mo.Cos α =.MI.Cos β (2-6)

Vậy: Hình chiếu của vectơ momen chính lên phương của vectơ chính là một đại

lượng không đổi

- Các dạng tối giản của hệ lực:

Thu hệ lực về một điểm ta được một lực đặt tại điểm thu gọn có cường độ bằng vectơ chính Ro và một ngẫu lực có momen bằng momen chính Mo

M R ≠ 0 Hệ lực thu về hệ xoắn ( đinh ốc)

2.1.3 Điều kiện cân bằng và các phương trình cân bằng của hệ lực phẳng

- Định lý :Điều kiện cần và đủ để một hệ lực bất kỳ cân bằng là vectơ chính Ro

và momen chính Mo của hệ lực ấy đối với một tâm thu gọn bất kỳ đều bằng không

R 

⇔

≈ 0 )

,

0 ) ( ) (

1 1

X R

y x

0)(

i y y

i x x

F m M

F m M





2.2 Hệ lực không gian

2.2.1 Vecto chính và mômen chính của hệ lực không gian.

- Vectơ chính của hệ lực không gian.

a Định nghĩa: Vectơ chính của hệ lực không gian, ký hiệu R ’ , là tổng hình học của các vectơ biểu diễn các lực của hệ lực.

- Mômen chính của hệ lực không gian.

bằng mơmen của vectơ chính đặt tại O lấy đối với điểm O’.

2.2.2 Thu gọn hệ lực khơng gian.

- Định lý dời lực song song.

Định lý: Lực F đặt tại A tương đương với lực F ’ song song, cùng chiều, cùng cường

độ với lực F nhưng đặt tại O và một ngẫu lực cĩ mơmen bằng mơmen của lực F lấy đối với điểm O.

Nhận xét:

Nhận thấy M = mO (F) ^F Hệ lực gồm một lực F và một vectơ mơmen M vuơng gĩc với F sẽ tương đương với một lực F cách F’ một đoạn d =M/F Điểm đặt của lực F phụ thuộc vào chiều của M

2.2.2- Thu gọn hệ lực khơng gian về tâm.

Định lý: Hệ lực khơng gian bất kỳ tương đương với một lực và một ngẫu lực đặt tại

một điểm tuỳ ý, chúng được gọi là lực thu gọn và ngẫu lực thu gọn Lực thu gọn được biểu diễn bằng vectơ chính của hệ lực đặt tại tâm thu gọn, cịn ngẫu lực thu gọn cĩ vectơ mơmen bằng mơmen chính của hệ lực đối với tâm thu gọn.

2.2.3 Điều kiện cân bằng và các phương trình cân bằng của hệ lực khơng gian

Định lý :Điều kiện cần và đủ để một hệ lực bất kỳ cân bằng là vectơ chính Ro và momen chính Mo của hệ lực ấy đối với một tâm thu gọn bất kỳ đều bằng không

,(F1 F2 Fn

1 1

M    

Phương trình cân bằng :

Từ điều kiện cân bằng của hệ lực :Mo = 0, Ro = 0 ta chiếu trên các trục tọa độ sẽ nhận được 6 phương trình vô hướng sau đây và được gọi là 6 phương trình cân bằng của hệ lực

(2-7)

0)(

F m M

F m M

F m M

z z

i y y

i x x

Hình 2.5 Hình 2.6

2.2.4- Điều kiện cân bằng và các phương trình cân bằng với các hệ lực đặc biệt :

a- Hệ lực không gian đồng quy: Ta lấy điểm đồng quy của tất cả các đường tác dụng của lực làm góc tọa độ O Hệ 6 phương trình cân bằng ở trên trong trường hợp này chỉ còn lại 3 Vậy điều kiện cân bằng của hệ lực đồng quy là :

i z

i y

i x

Z R

Y R

X R

(2-10)

b- Hệ lực không gian song song: Giả sử hệ lực (Fi) song song với trục z Hệ 6 phương trình cân bằng ở trên trong trường hợp này chỉ còn lại 3 Vậy điều kiện cân bằng của hệ lực song song là :

0)(

i z

i y y

i x x

Z R

F m M

F m M

i A A

i y

i x

F m M

Y R

X R

0)(0

i B B

A A

i x

F m M

F m M

X R

0)(

0)(

i C C

i B B

i A A

F m M

F m M

F m M

0( )

4- Điều kiện cân bằng của vật rắn không tự do :

Trường hợp không tự do, ngoài các lực chủ động tác dụng lên vật rắn còn có các phản lực liên kết Giải phóng các liên kết ta có vật tự do cân bằng chịu hệ lực sau : (Fi, Rk) = 0 ( i, k = 1, 2 , n )

a- Vật rắn quay được quanh một trục cố định:

đối với trục quay bằng không “

b- Vật rắn quay được quanh một điểm:

O là bản lề cầu Vật rắn cân bằng thì ta có ( Hình 2-8):

(F F1 , 2 Fn , Ro) ∼ 0

Vì đường tác dụng của phản lực liên kết Ro phải đi qua

O nên : Σ mo (Fi) = 0 ( 2-19)

Vậy điều kiện cân bằng của vật rắn quay quanh

một điểm cố định là: “ Tổng momen của các lực chủ

động đối với tâm quay bằng không”

BÀI TOÁN CÂN BẰNG CỦA VẬT RẮN

Vật rắn cân bằng khi hệ lực tác dụng lên nó bao gồm các lực đã cho và phản lực liên kết cân bằng

Khi giải bài toán cân bằng của vật rắn có thể áp dụng phương pháp giải tích hoặc phương pháp hình học nhưng phổ biến và có hiệu quả nhất là phương pháp giải tích Giải bài toán cân bằng của vật thường tiến hành theo các bước sau:

1 Chọn vật khảo sát: vật khảo sát phải là vật rắn mà sự cân bằng của nó cần thiết cho yêu cầu xác định của bài toán Nếu như bài toán tìm phản lực liên kết thì vật khảo sát phải là vật chịu tác dụng của phản lực liên kết cần tìm, nếu là bài toán tìm điều kiện cân bằng của vật thì vật khảo sát phải chính là vật đó

2 Giải phóng vật khảo sát khỏi liên kết và xem đó là vật tự do dưới tác dụng của các lực đã cho và phản lực liên kết

3 Thiết lập điều kiện cân bằng cuả vật bởi các phương trình cân bằng của hệ lực tác dụng lên vật khảo sát bao gồm các lực cho và phản lực liên kết

4 Giải hệ phương trình cân bằng để xác định trị số và phương chiều của các phản lực liên kết hoặc thiết lập mối quan hệ giữa các lực để đảm bảo điều kiện cân bằng cho vật khảo sát

5 Nhận xét các kết quả thu được

Cần chú ý rằng chiều của các phản lực thường chưa được xác định vì thế lúc đầu phải

tự chọn chiều Dựa vào kết quả giải hệ phương trình cân bằng ta có thể xác định chiều của các phản lực chọn đúng hay sai Nếu các phản lực liên kết cho trị số dương thì chiều chọn là đúng và nếu trị số âm thì chiều phải đảo lại Mặt khác cũng cần lưu ý rằng bài toán có trường hợp giải được (bài toán tĩnh định) khi số ẩn số cần xác định nhỏ hơn hoặc bằng số phương trình cân bằng Có trường hợp không giải được (bài toán siêu tĩnh) khi ẩn số cần tìm lớn hơn số phương trình cân bằng

Thí dụ 1 Cột điện OA chôn thẳng đứng trên mặt đất và được giữ bởi hai sợi dây AB

và AD hợp với cột điện một góc ỏ = 300 (xem hình 2-9a) Góc giữa mặt phẳng AOD và mặt phẳng AOB là ϕ = 600 Tại đầu A của cột điện có hai nhánh dây điện mắc song song với trục Ox và Oy Các nhánh dây này có lực kéo là P1 và P2 như hình vẽ Cho biết P1 = P2 = P = 100kN

Xác định lực tác dụng dọc trong cột điện và trong các dây căng AD, AB

Bài giải:

Chọn vật khảo sát là đầu A của cột điện

Hình 2.9

Liên kết đặt lên đầu A là hai sợi dây AB, AD và phần cột điện còn lại.Gọi phản lực liên kết trong dây AB là R1, trong dây AD là Rr2 và lực dọc cột là R 3 với chiều chọn như hình vẽ 2-9 Khi giải phóng điểm A khỏi liên kết điểm A sẽ chịu tác dụng của các lực P1, P2 và các phản lực R1R2 Rr3 Điều kiện để đầu A cân bằng là hệ 5 lực tác dụng lên nó cân bằng Ta có:

Thí dụ 2:

Giáo viên biên soạn: Khoa Cơ khí 25

Thí dụ 3:Cho hệ gồm các lực P1 ,P2 ,P3 ,P4 tác dụng lên hình lập phương có cạnh là a

1) Ta tính Ro và M0

0 4

3 P cos 45

P X

R X =∑ K = + 11 , 76

2

2 11

2 P sin 45

P Z

R Z =∑ K = − − 11,76

2

211

(M M M ) ( ( ) ( ) ( ) ) kNm

M o = x2 + y2 + z2 = − 1 , 2 2 + 3 , 52 2 + − 1 , 2 2 = 3 , 9

⇒

2) Hệ thu về hợp lực hay hệ xoắn

Điều kiện để thu hệ lực về môt hợp lực

0

Như vậy ta thấy Ro, ≠ 0; Mo ≠ 0 mà Ro, Mo ≠ 0 nên hệ lực trên không thu về hợp lực

mà thu được về hệ xoắn

Các lực tác dụng Lực cho : P

Phản lực tại B : NB, Vuông góc mặt tựa nằm ngang Cắt đường tác dụng của P tại I Phản lực ở gối A : RA

5

1 sinα =

45

22

2cos

2.sin45

P R

P

5

2.5.42

2 P P

24

+ Phản lực ở gối đỡ B : NB

+ Phản lực ở gối đỡ A :

) , ( A A

R  

Ta có: (P,m,NB,XA,YA)∼ 0 : hệ lực phẳng cân bằngCác phương trình cân bằng :

ΣY = YA – P + NB = 0 (2)

Σm A= -m – P.2 + NB.4 = 0 (3)Giải hệ phương trình cân bằng trên cho ra kết quả :XA = 0 , YA = 2,5 kN , NB= 12,5kN

Các phương trình cân bằng :

ΣX = XA + XB – Tcos2450 = 0 (1)ΣY= - Tcos2450 + YA (2)

Bài giải

Đây là bài toán cân bằng của hệ vật gồm: thanh AB, thanh BC tách từng thanh ra để khảo sát

a) Khảo sát cân bằng của thanh BC:  

A

NcP

NBE

F

α

Y Z

X

E

B a

Hệ lực tác dụng : (N'B,T,XA,YA)∼ 0: hệ lực phẳng cân bằng

(Lưu ý: NB và N 'B) là lực tác dụng và phản lực tác dụng của hai thanh AB và BC) N’B =

N ’ B

F

B T

YA

B1A

B C

X’B

Y’B

B1

B1B

E D

DE

PQ

α

Bài giải

Xét cân bằng thanh AB, lực tác dụng gồm:

- Lực P : Trọng lượng của vật treo

- Lực căng dây T

- Phản lực RA : Hướng dọc theo thanh AB (Thanh AB là thanh cứng)

Nếu bỏ qua ma sát giữa dây và ròng rọc thì sức căng của dây vắt qua ròng rọc ( Khi vật cân bằng ) thì T = Q - Lấy tổng momen đối với điểm A

Σ mA = 0 ⇒ P l.sinα - T.l cos α/2 = P l.sinα - Q.l cos α/2 = 0 ⇒ sinα/2 = 2QPKết quả : sin α2=2Q P

Thí du 10:

Hai quả cầu đồng chất, tâm O1 và O2, bán kính R1, R2 (R1>R2), trọng lượng P1, P2 (P1

> P2) tựa vào nhau ở B và cùng được treo vào điểm O nhờ hai dây OA1 và OA2 Biết

OA1 + R1 = OA2 + R2 = R1 + R2 (do đó OO1O2 là tam giác đều) Tìm góc nghiêng θ của OA1 với đường thẳng đứng khi cân bằng

Bài giải:

o Xét quả cầu O1 chịu ba lực: P1, T1, N

(hướng về bên trái) Phương trình

mômen đối với O:

2 1

o Xét quả cầu O2 chịu ba lực: P1, T1, N,

(hướng về bên phải, N,= - N)

Cũng lập phương trình mômen đối với O, ta được:

Kết quả :

2 1

2

2

3

P P

P tg

+

=θ

Thí dụ 11 :

Thí dụ 12 :

Cho dầm AB chịu tác dụng của ngoại lực như hình vẽ Bỏ qua trọng lượng của dầm, hãy xác định phản lực tại các gối

đỡ Biết: q = 10kN/m, a = 50cm

Giải

- Khảo sát dầm AB cân bằng

- Các lực tác dụng: phản lực tại A, B; lực phân bố q; lực tập trung P; momen M

- Hệ lực cân bằng: ( Các lực tác dụng ) ∼ 0

- Giải và biện luận

∑X=0 ⇒ XA = 0 (1)

∑Y=0 ⇒ YA + YB -

2

1q.2a - P = 0 (2)

a

qa qa

a P

12

774

3

42

772.2

152

.2

2.17 Biết F1 = 20 kN; F 2 = 60 kN; α = 300

Đáp số : XA = 150 N ; YA = 259,8 N ; NC = 520 N

Câu 4:

Pq

l

Dầm AB = l nằm ngang, đầu

A liên kết ngàm, chịu tác dụng của tải trọng phân bố đều q = 2 kN/m Một lực P = 4 kN đặt tại B và làm với phương ngang một góc 60 độ Cho l = 2,0 m Xác định phản lực tại ngàm A

O A h

D

A

Thanh AB = 2m có trọng lượng P = 50N Đầu A của thanh tựa vào tường nhẵn thẳng đứng Đầu B buộc vào sợi dây BC Hãy tìm khoảng cách AC để thanh AB cân bằng và hợp với tường một góc 450 Tìm sức căng dây

Cho dầm AB chịu tác dụng của ngoại lực như hình vẽ Bỏ qua trọng lượng của dầm, hãy xác định phản lực tại các gối

đỡ Biết: q = 10kN/m, a = 50cm

Đáp số : XA = 0 ; YA = 3,5 kN ; YB = 6,5 kN

Câu 11 :

Đáp số : XA = 3,9 kN ; YA = 3,75 kN ; T= 4,5 kN

CHƯƠNG 3: MA SÁT3.1 Định nghĩa và phân loại ma sát

3.1.1 Định nghĩa

3.1.2 Phân loại ma sát

3.2 Định luật ma sát trượt

Hệ số ma sát f được xác định bằng thực nghiệm, nó phụ thuộc vào vật liệu và tính chất của bề mặt tiếp xúc Bảng (3-1) cho ta trị số của hệ số ma sát trượt đối với một vài vật liệu thường gặp

Bảng 3-1

Đá trượt trên gỗ

Gỗ trượt trên gỗ

Kim loại trượt trên gỗ

Đồng trượt trên gang

Đồng trượt trên sắt

Thép trượt trên thép

0,46 ữ 0,6 0,62 0,62 0,16 0,19 0,15

Thí dụ 3-3 : Trên mặt của thanh OA nghiêng với phương nằm ngang góc α đặt một vật nặng B tăng dần góc α bằng cách thanh OA quay quanh O cho đến khi vật bắt đầu trượt; Hệ số ma sát trượt giữa vật mà mặt của thanh OA là f Xác định góc α lúc đó.

Bài giải :

- Khảo sát vật nặng BVật cân bằng : (P,N,Fms)∼0

Hệ phương trình cân bằng:

ΣX = Fms - Psinα = 0 (1)

ΣY = N – P cosα = 0 (2)Điều kiện cân bằng khi có ma sát trượt

Fms = f.N Giải hệ phương trình trên cho ra kết quả: α = arctg f

Thí dụ 3-4 :

Xác định góc nghiêng α để khối trụ có bán kính R đặt trên mp nghiêng cân bằng.cho biết hệ số ma sát trượt giữa mặt nghiệng OA là f và hệ số ma sát lăn là µ

Bài giải Khảo sát khối trụ O cân bằng: