Phương pháp dải hữu hạn trong phân tích kết cấu

Hiện nay phương pháp số được ứng dụng nhiều nhất trong phân tích kết cấu là phương pháp phần tử hữu hạn finite element method - FEM.. Do đó chúng ta cần lựa chọn một phương pháp tính có

PHƯƠNG PHÁP DẢI HỮU HẠN TRONG PHÂN TÍCH KẾT CẤU

Lê Văn Bình ( ) *

1 Tổng quan về phương pháp dải hữu hạn

Cuộc thi Quả táo vàng của Khoa KT & CN

Ðể giải quyết một bài toán cơ học vật rắn biến dạng tổng quát cần thiết phải tìm được 15 ẩn hàm (gồm 3 phương trình vi phân cân bằng nội, 6 phương trình liên tục - phương trình Cauchy, 6 phương trình quan hệ giữa ứng suất - biến dạng), đồng thời các

ẩn hàm này phải thỏa mãn các điều kiện biên động học và tĩnh học Ðiều này rõ ràng không thực hiện được đối với những bài toán tổng quát do khó khăn về mặt toán học Vì thế có nhiều phương pháp tính ra đời nhằm giải quyết vấn đề trên Hiện nay phương pháp số được ứng dụng nhiều nhất trong phân tích kết cấu là phương pháp phần tử hữu hạn (finite element method - FEM) FEM là một công cụ rất mạnh mẽ và linh hoạt trong việc phân tích kết cấu đã được phát triển nhanh chóng và ứng dụng giải quyết rất nhiều những bài toán cơ học Tuy nhiên đối với những kết cấu có đặc tính hình học thông thường và điều kiện biên đơn giản, nếu phân tích bằng FEM một cách đầy đủ là không cần thiết và thường dẫn đến việc phân tích một bài toán bậc cao để có thể thu được nghiệm tốt Chính vì vậy bài toán chính xác đòi hỏi nhiều công cụ máy móc hỗ trợ cho người thiết kế, bài toán được giải quyết một cách cứng nhắc hoặc phải thực hiện nhiều bước tính toán trung gian dài dòng

và tốn thời gian Ðiều này thể hiện rõ trong các bài toán phân tích kết cấu ở trạng thái tĩnh (static analysis) của vật rắn 3 chiều hay những bài toán phân tích dao động và ổn định của các kết cấu không gian Do đó chúng ta cần lựa chọn một phương pháp tính có thể giảm bớt khối lượng tính toán bằng cách sử dụng linh hoạt phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích các loại kết cấu mong muốn

Từ những vấn đề nêu trên, gần đây đã phát triển một phương pháp phân tích kết cấu có thể thỏa mãn những yêu cầu của bài toán đó là phương pháp dải hữu hạn (finite strip method - FSM) Trong phương pháp này, kết cấu được chia thành những dải (strip) hoặc những miền con (subdomain) 3 chiều như lăng trụ (prism) hoặc lớp (layer) mà các dải đó có một cặp cạnh (2-D) hay nhiều mặt đối diện (3-D) trùng lặp với nhau ở các biên của kết cấu Do đặc tính của phương pháp, các kết cấu thường có dạng hình học không thay đổi dọc theo một hoặc hai trục tọa độ để kích thước mặt cắt ngang của các dải (hoặc của lăng trụ hay lớp) không thay đổi từ đầu đến cuối Vì vậy các kết cấu như dầm cầu dạng hộp (box girder bridge) hoặc các loại tấm mỏng (voided slab) rất dễ dàng chia thành các dải hoặc lăng trụ, hay các loại kết cấu tấm và vỏ dày nhiều lớp đẳng hướng rất thuận tiện khi chia thành các layer để nghiên cứu Các dạng kết cấu sau đây sẽ minh họa cách chia phần tử theo dải và áp dụng phương pháp tính toán FSM

( ) * Thạc sĩ, GVCH Khoa Kỹ Thuật & Công Nghệ Ðại học Mở Bán công TP.HCM

3 4 5 6 7 8

2 3 4 5

6 7 8

9 10 11 12 13

(a) Tấm phẳng (b) Tấm rỗng khoét lỗ tròn (Plate Strips) (Quadrilateral Finite Prisms)

1 3 5

(Shell Strips) (c) Cầu dầm hộp cong (d) Tấm dày nhiều lớp

(Finite Layers)

Hình 1 : Các loại kết cấu cĩ thể tính tốn bằng FSM

2 Lựa chọn hàm chuyển vị

FSM cĩ thể xem là trường hợp đặc biệt của FEM bằng cách sử dụng hàm gần đúng của chuyển vị (displacement approach) theo mơ hình tương thích Tuy nhiên, FEM sử dụng một hàm xấp xỉ chuyển vị dạng đa thức trong tất cả các chiều, trong khi FSM sử dụng các đa thức đơn giản kết hợp với chuỗi hàm lượng giác và các chuỗi đạo hàm riêng liên tục với điều kiện các chuỗi phải thỏa mãn một điều kiện tiên quyết (priori) về điều kiện biên tại biên của các dải (lăng trụ, lớp) Cơng thức tổng quát của hàm chuyển vị được cho bởi tích của các đa thức và chuỗi Vì vậy, đối với các dải trong bài tốn 2 chiều được giảm xuống bài tốn một chiều Hàm chuyển vị được viết như sau :

∑

=

= r

m

m

m x Y f w

1

) ( (2.1a) Tương tự cho trường hợp "dải prism", bài tốn ba chiều được giảm xuống thành bài tốn 2 chiều :

∑

=

= r

m

m

m x z Y f

w

1

) , (

(2.1b) Ðối với "dải layer" bài tốn ba chiều được phân tích như bài tốn 1 chiều :

∑

∑

=

=

n

n m mn r

m

Y X z f w

1 1

) (

(2.1c) Trong biểu thức trên, các chuỗi đã được cắt bớt ở bậc thứ r và số hạng thứ t;

là các biểu thức đa thức với các hằng số khơng xác định cho số hạng thứ m và n của chuỗi tương ứng là các chuỗi thỏa mãn các điều kiện biên theo phương x và y và chỉ rõ hàm độ võng trong các phương này Chính vì thế bậc tự do của hệ thống giảm nên số ẩn số cần tìm giảm Bài tốn trở nên đơn giản hơn

) ( ), ,

(

),

( x f x z f z

m

m Y

X ,

Thí dụ: Hàm độ võng của dải chịu uốn được xác định như sau:

(i) phần chuỗi của hàm chuyển vị này được dẫn từ phương trình vi phân chủ đạo của bài tốn dầm chịu uốn (đương nhiên, một "dải" cĩ thể xem như một kết cấu dạng thanh là bài tốn 1 chiều của cơ học vật rắn), cụ thể:

Y Y

4 ) 4 ( = μ

Trong đó a là chiều dài của dầm (dải) và μ là thông số

Dạng tổng quát nghiệm của phương trình cơ bản (2.2) là:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

a

y C

a

y C

a

y C

a

y C

y

cosh sinh

cos sin

)

(2.3) với các hệ số C1 C2 được xác định từ điều kiện biên

(ii) Phần đa thức của hàm chuyển vị hay hàm dạng (shape function) là một đa thức liên kết với thông số chuyển vị nút, và nó mô tả trường chuyển vị tương ứng bên trong mặt cắt ngang của dải khi thông số chuyển vị nút được cho bằng đơn vị Hàm dạng phụ

thuộc vào hình dạng mặt cắt ngang của strip và số đường nút bên trong strip

b x

b

b

b/2

b/2 3

b/2 b/2

1

2

3

5 6

4

x y

x

y

η ξ

Hình 2 - Mặt cắt ngang dạng dải và dạng lăng trụ

Kí hiệu = f ; = f, x

f

∂

∂

; = f, x

f

∂

∂

, 2

2

x

f

∂

∂ Hàm dạng đối với phần tử dải chịu uốn trên hình 2b, ta có hàm dạng:

[ ] [ ( ) ( ) ]

[ ] [ ( ) ( ) ]

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

−

−

=

+

− +

−

=

x x x x x C

x x x x x C

2 3 2 2

2 3

2 1

, 2 3

2 1 , 2 3 1

Hàm chuyển vị sẽ là [ ] { } ∑ [ [ ][ ] ] { }

=

=

m

m

m C C Y

N w

1

2

δ

Trong đó, các thông số của đường nút là: { } { }T

m m m m T

m w1 θ1 w2 θ2

wm và θm là chuyển vị và góc xoay cho số hạng thứ m của chuỗi và xem như là các ẩn số cần tìm theo FSM

m

Y

Tư tưởng chủ yếu của phương pháp FSM cũng tương tự như FEM là tìm dạng gần đúng của ẩn hàm trong các miền con Ve (hay còn gọi là phần tử - element) thuộc miền V của nó Tuy nhiên dạng Ve của phương pháp FSM có tính chất không thay đổi trong toàn miền V do đó chỉ áp dụng trong các bài toán như đã nêu ở trên Các miền con Ve này liên kết với nhau trên biên gọi là đường nút (nodal line) Các thông số của đường nút có thể gọi là bậc tự do của phần tử và xem là các ẩn số cần tìm Sau khi tính toán được các thông số chuyển vị của đường nút { }T

m

δ , các thành phần chuyển vị, ứng suất, biến dạng

của phần tử sẽ được "nội suy" bằng ma trận các hàm dạng thông qua các phép nội suy

của Lagrange hay Hermitian Ðể rõ hơn về phương pháp này, ta xem bảng so sánh sự khác nhau của phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp dải hữu hạn

Phương pháp phần tử hữu hạn

(FEM) Phương pháp dải hữu hạn (FSM)

Có thể áp dụng phân tích kết cấu với mọi

dạng hình học, mọi điều kiện biên và vật

liệu khác nhau Là công cụ rất mạnh và

linh hoạt

Trong bài toán tĩnh, thường được áp dụng cho các kết cấu với gối tựa đơn giản, có hoặc không có gối tựa đàn hồi trung gian, đặc biệt là cầu Trong bài toán động, thường sử dụng cho kết cấu với mọi điều kiện biên nhưng không có gối tựa rời rạc Thường có số lượng phương trình nhiều và

ma trận độ cứng có dải rộng (bandwith)

tương đối lớn Có thể không tìm được lời

giải vì giới hạn của các công cụ tính toán

Số lượng phương trình ít hơn và ma trận

độ cứng có dải hẹp, đặc biệt đúng cho bài toán gối tựa đơn giản Do đó thời gian tính toán ít hơn nhiều để tìm ra lời giải chính xác

Số lượng dữ kiện đưa vào rất lớn và dễ gây

ra các lỗi lầm, đòi hỏi sự tự động hoá việc

phủ lưới và phát sinh tải trọng

Số lượng dữ kiện đưa vào rất ít vì các đường lưới ít do việc giảm kích thước bài toán phân tích

Số lượng dữ liệu xuất ra lớn bao gồm tất cả

các chuyển vị nút và ứng suất phần tử Các

phần tử bậc thấp hơn sẽ không có được

ứng suất chính xác tại các nút và ứng suất

trung bình được nội suy

Dễ dàng chỉ rõ các chuyển vị và ứng suất cần tìm và xuất ra kết quả một cách chính xác

Ðòi hỏi một số lượng lớn các yếu tố cốt lõi

và rất khó khăn để lập trình Thông thường

cần có những kỹ thuật tính toán cao phải

dùng đến như phương pháp thu gọn khối

lượng hay phương pháp lặp để giảm các

yêu cầu chính

Cần một số nhỏ các yếu tố cốt lõi và dễ lập trình hơn Bởi vì chỉ cần một vài trị riêng thấp nhất nên từ 2 đến 3 số hạng đầu tiên của chuỗi cũng cho kết quả khá chính xác, có thể giải các ma trận bằng các ma trận con trị riêng chuẩn

3 Một số kết quả tính toán

Khảo sát bài toán ứng suất phẳng của lý thuyết đàn hồi, được giải theo 3 phương pháp khác nhau:

1 Sử dụng phương pháp giải tích của lý thuyết đàn hồi

2 Sử dụng FEM (phần mềm SAP2000 - hãng CSI, Mỹ)

3 Sử dụng FSM với 2 loại phần tử bậc thấp (LO2) và bậc cao (HO2) (chương trình

FSMISA - Lê Văn Bình - ÐH Mở BC TpHCM)

BIỂU ĐỒ CHUYỂN VỊ (a=8, b=4; a/b=2)

0.E+00

1.E-03

2.E-03

3.E-03

4.E-03

5.E-03

6.E-03

7.E-03

8.E-03

9.E-03

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8

(m)

GT FEM LO2 HO2

Nhận xét: Kết quả tính tốn cho thấy, mặc dù dùng SAP2000 với lưới phần tử là 8x8=64 phần tử, nhưng lời giải của FEM cho kết quả khơng chính xác so với FSM chỉ với lưới 4 strip (lời giải của lý thuyết đàn hồi xem như chính xác) Ðiều này cĩ thể dễ dàng lý giải được, do FEM chỉ tính tốn và quy đổi tồn bộ tải trọng và độ cứng của kết cấu về nút, do vậy kết cấu bị "cứng hĩa", do vậy lời giải chuyển vị đương nhiên sẽ nhỏ hơn so với FSM và lý thuyết đàn hồi

Tương tự như FEM, khả năng tự động hĩa của FSM rất cao, do vậy chỉ cần sử dụng một chương trình với thư viện phần tử được lập sẵn thì cĩ thể giải quyết hầu hết các bài

tốn kết cấu như đã nêu ở phần 1 Sơ đồ giải thuật thực hiện theo chương trình FSMISA

như sau:

BẮT ĐẦU (Start)

(Read Data Input) ĐỌC DỮ LIỆU NHẬP

LẶP TRÊN TẤT CẢ CÁC SỐ HẠNG CỦA CHUỖI

(Loop on Number of Terms)

NHẬP CÁC HỆ SỐ TẢI TRỌNG CHUỖI (Read Fourier Load Coefficient)

(Loop on Number of Strip) LẶP TRÊN TẤT CẢ CÁC PHẦN TỬ DẢI

(Form Siffness and Load Matrix for Strip) TÍNH TOÁN MA TRẬN ĐỘ CỨNG VÀ TẢI TRỌNG PHẦN TỬ

(Assemblage of Stiffness and Load Matrix) LẮP GHÉP VÀO MA TRẬN ĐỘ CỨNG VÀ TẢI TRỌNG TỔNG THỂ

(Solution of Simultaneous Equation) GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TÌM THÔNG SỐ ĐƯỜNG NÚT

(Output Displacement Parameters) XUẤT CÁC THÔNG SỐ CHUYỂN VỊ ĐƯỜNG NÚT

(Output Internal Forces) TÍNH TOÁN CÁC THÀNH PHẦN ỨNG SUẤT, CHUYỂN VỊ

(Stop) KẾT THÚC

4 Kết luận

FSM đặc biệt cĩ hiệu quả khi giải các kết cấu thỏa mãn các điều kiện như đã nêu ở phần 1 Trong thực tế cĩ rất nhiều các kết cấu như cầu dầm hộp (box girder bridge), cầu dây văng (cable-stayed bridge), kết cấu tấm vỏ bằng các vật liệu phức tạp cĩ thể áp dụng FSM để tính tốn Ngồi ra, trong bài tốn phân tích kết cấu chịu tải di động thì FSM khẳng định ưu thế vượt trội so với FEM Các phần mềm phần tử hữu hạn hiện nay chỉ cĩ khả năng phân tích kết cấu chịu tải di động trên phần tử 1 chiều (1-D element) (chẳng hạn như SAP2000), do đĩ vẫn hạn chế về khả năng tính tốn Với FSM, hồn tồn cĩ thể phân tích bài tốn trên các "dải layer" với phương pháp tính đơn giản, khả năng tự động hĩa tính tốn và độ chính xác cao

TĨM TẮT

Phương pháp dải hữu hạn (FSM) là một cơng cụ mạnh mẽ trong phân tích các kết cấu cĩ dạng hình học thơng thường và điều kiện biên đơn giản, chẳng hạn như cầu dầm hộp, cầu dây văng, các kết cấu tấm vỏ Ngồi ra, phương pháp này rất tiện lợi để phân

báo này trình bày những ứng dụng cơ bản của phương pháp, từ đó có thể phát triển thành một phần mềm chuyên dùng để tính toán cho các công trình cầu chịu tải trọng di động

SUMMARY

Finite strip method (FSM) is a powerful tool for analyzing structures having regular geometric plans and simple boundary conditions, such as box girder bridges, cable-stayed bridges, plate and shell structures, etc Furthermore, this method is very convenient to analyze structures having moving load, and the vibration and stability of structures This article shows some basic applications of the FSM, thereon, specific software for FSM can

be developed to compute for projects with bridges under moving load