Luận văn thạc sĩ Áp dụng phương pháp không lưới trong phân tích kết cấu

Phương pháp không lưới dùng một tập hợp các nút rời rạc nằm bên trong cũng như trên biên của miền khảo sát, thay vì lưới các phần tử hữu hạn (PTHH). Không cần định nghĩa các PTHH, mối liên hệ giữa các nút không cần mô tả trước. Miền khảo sát trong phương pháp không lưới được đại diện bởi tập hợp các nút rời rạc và có thể phân bố tùy ý, việc tạo lập mô hình tính toán của phương pháp không lưới trở nên đơn giản và linh hoạt hơn. Có thể thay đổi dễ dàng sơ đồ rời rạc bằng cách bỏ đi hoặc thêm nút ở bất kỳ vị trí nào và bất cứ khi nào cần thiết. Khi phân tích ứng suất của một miền vật thể có ứng suất tập trung, người ta có thể thêm nút một cách tùy ý vào khu vực tập trung ứng suất để mô tả chính xác các giá trị các đại lượng vật lý của bài toán tại đây. Trong các bài toán phát triển vết nứt, các nút có thể dễ dàng được thêm vào xung quanh đầu vết nứt để mô tả chính xác hiện tượng tập trung ứng suất.

Tôi cam đoan đây là đề tài tìm hiểu của riêng tôi Các số liệu tính toán, kết quảthu được trong luận văn là trung thực và chưa từng được công bố trong các đề tàinào khác.

Tác giả luận văn

Nguyễn Bá Duẩn

Tác giả luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đối với thầy Nguyễn Tiến

Dũng đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và có nhiều định hướng khoa học giúp tác giả

hoàn thành luận văn Quá trình làm luận văn dưới sự hướng dẫn của thầy giúp tác

giả nâng cao năng lực và phương pháp nghiên cứu khoa học

Tác giả chân thành cảm ơn tập thể Bộ môn Cơ học kết cấu, Khoa Sau đại học,

đã tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình nghiên cứu Tác giả xin chân thành

cảm ơn những người bạn, những người đồng nghiệp đã cung cấp cho tác giả nhiều

tài liệu quý và nhiều lời khuyên bổ ích, có giá trị

Cuối cùng, tác giả xin được bày tỏ tình cảm của mình với lòng biết ơn đối với

những người thân yêu trong gia đình đã thông cảm, động viên và chia sẻ những khó

khăn với tác giả trong suốt thời gian làm luận văn

Hà nội, tháng 12 năm 2013 Tác giả

Nguyễn Bá Duẩn

M C L C ỤC LỤC ỤC LỤC

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT iv

DANH MỤC BẢNG BIỂU vii

DANH MỤC HÌNH VẼ viii

DANH MỤC ĐỒ THỊ ix

MỞ ĐẦU 1

1 TỔNG QUAN 1

2 MỤC TIÊU VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 2

2.1 Mục tiêu nghiên cứu 2

2.2 Phạm vi nghiên cứu 3

3 BỐ CỤC CỦA LUẬN VĂN 3

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 4

1.1 PHƯƠNG TRÌNH CƠ SỞ CHO BÀI TOÁN PHẲNG 4

1.2 PHƯƠNG TRÌNH BIẾN PHÂN CHO BÀI TOÁN PHẲNG 5

1.3 MIỀN ẢNH HƯỞNG 6

1.4 HÀM DẠNG THEO PHƯƠNG PHÁP EFG 7

1.4.1 Hàm cơ sở 8

1.4.2 Xấp xỉ bình phương tối thiểu và hàm trọng số 8

1.4.3 Xây dựng hàm dạng 11

1.4.4 Tính chất của hàm dạng 14

1.5 TÍCH PHÂN SỐ 14

1.5.1 Phần tử nền 14

1.5.2 Tích phân số Gauss cho bài toán một chiều 14

1.5.3 Tích phân số Gauss cho bài toán hai chiều 17

1.5.4 Phần tử cơ sở và hoán chuyển đẳng hướng 19

CHƯƠNG 2: XỬ LÝ ĐIỀU KIỆN BIÊN 22

2.1 PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LAGRANGE 22

2.1.1 Phương trình biến phân 22

2.1.2 Biểu thức dạng ma trận 24

2.2 PHƯƠNG PHÁP PHẠT 30

2.2.1 Phương trình biến phân 30

2.2.2 Biểu thức dạng ma trận 31

2.3 QUY TRÌNH THỰC HIỆN PHƯƠNG PHÁP EFG 34

CHƯƠNG 3: VÍ DỤ ÁP DỤNG 36

3.1 DẦM TIMOSHENKO 36

3.1.1 Sơ đồ tính 36

3.1.2 Các thông số sử dụng trong phân tích số 36

3.1.3 Kết quả phân tích 38

3.1.4 Nhận xét 43

3.2 TẤM CÓ VẾT NỨT 44

3.2.1 Sơ đồ tính 44

3.2.2 Các thông số sử dụng trong phân tích số 44

3.2.3 Kết quả phân tích 46

3.2.4 Nhận xét 51

KẾT LUẬN 52

TÀI LIỆU THAM KHẢO 53

PHỤ LỤC 1

1 CHƯƠNG TRÌNH CHÍNH 1

1.1 Dầm Timoshenko 1

1.2 Tấm có vết nứt 9

2 CÁC CHƯƠNG TRÌNH PHỤ TRỢ 24

2.1 Hàm xấp xỉ nhân tử Lagrange trên biên 24

2.2 Hàm xây dựng miền ảnh hưởng 25

2.3 Hàm xây dựng hàm trọng số bậc 4 25

2.4 Hàm tạo nút rời rạc phân bố đều theo cả hai phương 25

2.5 Hàm tạo nút rời rạc ngẫu nhiên 26

2.6 Hàm tạo điểm tích phân Gauss cho toàn miền 272.7 Hàm tạo điểm tích phân Gauss cho các biên chuyển vị và ngoại lực 272.8 Hàm tạo điểm tích phân Gauss cho phần tử cơ sở 272.9 Hàm hoán chuyển tọa độ từ phần tử cơ sở sang phần tử thực 282.10 Hàm dạng xây dựng dựa trên phương pháp xấp xỉ bình phương tốithiểu 28

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

a (x) Các hệ thức tương ứng của véc tơ đa thức cơ sở pT(x)

A s Diện tích miền khảo sát

b Véc tơ lực phân bố trên miền bài toán

c Ma trận đàn hồi của vật liệu

d s Bán kính miền ảnh hưởng

d c Chiều dài đặc trưng của miền ảnh hưởng

E Mô đun đàn hồi của vật liệu

EFG Phương pháp phần tử tự do Galerkin

F t Véc tơ lực nút do ngoại lực trên biên gây ra

F Ω Véc tơ lực nút do tải trọng phân bố trên miền gây ra

F α Véc tơ lực nút bổ sung theo phương pháp phạt

n A s Số nút rời rạc trên miền khảo sát

p T(x ) Véc tơ đa thức cơ sở

РАМ Phương pháp lắp ráp điểm

PIM Phương pháp nội suy điểm

R i Khoảng cách từ tọa độ x đến nút thứ iRKPM Phương pháp hạt Kernel tái sinh

SPH Phương pháp thủy động lực học hạt trơn

´

t Véc tơ ngoại lực trên biên ngoại lực

U Véc tơ chuyển vị nút trên toàn miền

u i Véc tơ chuyển vị tại nút thứ i

u ( x ) Chuyển vị thực tại tọa độ x

u h(x ) Chuyển vị xấp xỉ tại tọa độ x

´

u Chuyển vị cho trước trên biên chuyển vị

W Công của ngoại lực tác dụng lên hệ

W i Trọng số Gauss bài toán một chiều

W ij Trọng số Gauss bài toán hai chiều

^

W (d ) Hàm trọng số

^

W i Hàm trọng số tại nút thứ i khi xét tọa độ x

x (x , y ) Tọa độ của một điểm trong miền phẳng

x i(x i , y i) Tọa độ của nút thứ i trong miền phẳng

α Ma trận đường chéo của các hệ số phạt

α s Hệ số kích thước miền ảnh hưởng

Γ u Biên chuyển vị

Γ t Biên ngoại lực

ε Véc tơ biến dạng

Λ Véc tơ nhân tử Lagrange trên toàn miền

λ i Véc tơ nhân tử Lagrange tại nút thứ i

ξ (ξ , θ) Tọa độ tự nhiên trong phần tử cơ sở

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 1.1 Tích phân số Gauss của bài toán một chiều trên miền [-1,1] 17Bảng 1.2 Tích phân số Gauss của bài toán hai chiều trên miền [-1,1]×[-1,1] 18

DANH MỤC H

Hình 1 Mô hình ứng dụng phương pháp số trong phân tích kết cấu 1

YHình 1.1 Bài toán phẳng, đàn hồi 4

Hình 1.2 Miền bài toán được đại diện bằng tập hợp các nút rời rạc 6

Hình 1.3 Miền ảnh hưởng của các tọa độ x khác nhau 7

Hình 1.4 Tam giác Pascal xây dựng đa thức cơ sở của bài toán hai chiều 8

Hình 1.5 Phần tử nền thực hiện tích phân số 14

Hình 1.6 Tích phân số Gauss trong bài toán một chiều, một điểm Gauss 15

Hình 1.7 Tích phân số Gauss trong bài toán một chiều, hai điểm Gauss 16

Hình 1.8 Tích phân số Gauss trong bài toán hai chiều, bốn điểm Gauss 18

Hình 1.9 Phần tử tứ giác: Phần tử hữu hạn thực và phần tử cơ sở 19

YHình 2.1 Quy trình tính toán của phương pháp EFG 34

YHình 3.1 Dầm Timoshenko chịu tải trọng tập trung tại đầu tự do 36

Hình 3.2 Hệ phân bố nút có quy luật, 55 nút 38

Hình 3.3 Hệ phân bố nút ngẫu nhiên, 55 nút 38

Hình 3.4 Sơ đồ biến dạng của dầm, theo phương pháp nhân tử Lagrange 39

Hình 3.5 Sơ đồ kết cấu của tấm có vết nứt 44

Hình 3.6 Nút thứ i không thuộc miền ảnh hưởng của x 45

Hình 3.7 Nút thứ i thuộc miền ảnh hưởng của x 45

Hình 3.8 Mô hình tấm có vết nứt, 31x30 nút phân bố đều 46

Hình 3.9 Sơ đồ tính nửa hệ tương đương của tấm có vết nứt 47

Hình 3.10 Sơ đồ biến dạng của tấm, theo phương pháp phạt 47

DANH MỤC ĐỒ T

Đồ thị 1.1 Các hàm trọng số trong bài toán một chiều 10

Đồ thị 1.2 Hàm trọng số bậc bốn trong bài toán hai chiều 11YĐồ thị 3.1 Chuyển vị ngang ux trên biên chuyển vị (x=0), xử lý điều kiện

biên theo nghiệm giải tích, nút phân bố có quy luật 40

Đồ thị 3.2 Chuyển vị đứng uy trên biên chuyển vị (x=0), xử lý điều kiện biên

theo nghiệm giải tích, nút phân bố có quy luật 40

Đồ thị 3.3 Chuyển vị ngang ux trên biên chuyển vị (x=0,) xử lý điều kiện biên

theo các điểm liên kết, nút phân bố có quy luật 41

Đồ thị 3.4 Chuyển vị đứng uy trên biên chuyển vị (x=0,) xử lý điều kiện biên

theo các điểm liên kết, nút phân bố có quy luật 41

Đồ thị 3.5 Chuyển vị đứng uy trên biên trên (y=6m) theo phương pháp nhân tử

Lagrange 42

Đồ thị 3.6 Chuyển vị đứng uy trên biên trên (y=6m) theo phương pháp phạt 42

Đồ thị 3.7 Đánh giá tốc độ hội tụ của bài toán 43

Đồ thị 3.8 Chuyển vị đứng uy trên biên trên (y=198cm), theo phương pháp

1 TỔNG QUAN

Các phương pháp số từ lâu đã được sử dụng rộng rãi trong phân tích kết cấu.Ngày nay cùng với sự phát triển của khoa học kỹ thuật, đặc biệt là sự phát triểnnhanh chóng của khoa học máy tính, công việc giải quyết các bài toán kỹ thuật phứctạp được hỗ trợ thêm bởi công cụ máy tính Các công cụ này giúp đơn giản hóa việc

mô hình hóa, tính toán, kiểm tra các bài toán kỹ thuật mà phương trình cân bằng của

hệ kết cấu thường được biểu diễn dưới dạng các phương trình vi phân với các điềukiện biên và các điều kiện ban đầu phức tạp Thực tế là các phương pháp số ngàycàng được ứng dụng rộng rãi trong phân tích kết cấu cũng như trong nhiều lĩnh vực

kỹ thuật khác trong thời đại công nghệ tin học phát triển

Phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp số được áp dụng rộng rãi

và thu được hiệu quả cao trong vấn đề xử lý các bài toán kỹ thuật do tính tổng quát,linh hoạt và đơn giản phù hợp với công cụ tin học Cho đến nay, phương pháp phần

tử hữu hạn đã được ứng dụng giải quyết có hiệu quả với hầu hết các bài toán kỹ

thuật trong Cơ học vật rắn, Cơ học thủy khí, Cơ học đất đá Hình 1 minh họa một

ứng dụng phân tích số gần đây theo phương pháp phần tử hữu hạn

Hình 1 Mô hình ứng dụng phương pháp số trong phân tích kết cấu.

 Khó khăn khi xử lý các bài toán nứt có đường dẫn tùy ý, phức tạp hoặc cácbài toán phát triển vết nứt.

Một số phương pháp mới đã được nghiên cứu và ứng dụng nhằm khắc phụcnhững khó khăn nêu trên, trong số đó, các phương pháp không lưới đã được đề xuấtgần đây [7] và nhận được nhiều sự quan tâm Có thể nêu tên một số phương phápkhông lưới được đề xuất gần đây như phương pháp thủy động lực học hạt trơn-SPH(Lucy, 1977; Gingold và Monaghan, 1977), phương pháp sai phân hữu hạn với lướibất thường tùy ý (Liszka và Orkisz, 1980; Jensen, 1980), phương pháp hạt Kerneltái sinh-RKPM (Liu, W K, 1993), phương pháp phần tử tự do Galerkin-EFG(Belytschko, 1994), phương pháp hữu hạn điểm (Onate, 1996), phương pháp khônglưới cục bộ Petrov-Galerkin-MLPG (Atluri và Zhu, 1998), phương pháp nội suyđiểm-PIM (Liu, G R và Gu, 1999), phương pháp lắp ráp điểm-РАМ (Liu, G R,1999)

Đặc điểm cơ bản của phương pháp không lưới là dùng một tập hợp các nút rờirạc nằm bên trong cũng như trên biên của miền khảo sát, thay vì lưới các phần tửhữu hạn Không cần phải định nghĩa các phần tử hữu hạn, do đó mối liên hệ giữacác nút cũng không cần được mô tả trước Do miền khảo sát trong phương phápkhông lưới được đại diện bởi tập hợp các nút rời rạc và có thể phân bố tùy ý, việctạo lập mô hình tính toán của phương pháp không lưới trở nên đơn giản và linh hoạthơn Có thể thay đổi dễ dàng sơ đồ rời rạc bằng cách bỏ đi hoặc thêm nút ở bất kỳ

vị trí nào và bất cứ khi nào cần thiết Khi phân tích ứng suất của một miền vật thể

có ứng suất tập trung, người ta có thể thêm nút một cách tùy ý vào khu vực tậptrung ứng suất để mô tả chính xác các giá trị các đại lượng vật lý của bài toán tạiđây Trong các bài toán phát triển vết nứt, các nút có thể dễ dàng được thêm vàoxung quanh đầu vết nứt để mô tả chính xác hiện tượng tập trung ứng suất

Tuy nhiên phương pháp không lưới còn nhiều vấn đề cần được nghiên cứu,làm rõ hoặc cải tiến nhằm tăng cường tính hiệu quả Một trong các vấn đề khó khăntrong áp dụng phương pháp không lưới là xử lý điều kiện biên Bên cạnh đó, việcchọn các tham số cho hàm xấp xỉ được cho là nhạy cảm, ảnh hưởng lớn đến kết quảphân tích số

2 MỤC TIÊU VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU

2.1 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu nghiên cứu của luận văn bao gồm:

 Tìm hiểu nội dung và phương pháp luận của phương pháp không lưới

 Tìm hiểu và áp dụng các phương pháp xử lý điều kiện biên

 Chọn mô hình rời rạc hóa, lập thuật toán và viết chương trình

 Ứng dụng khảo sát một số bài toán cơ bản có lời giải tin cậy cao để sosánh.

2.2 Phạm vi nghiên cứu

Luận văn giới hạn phân tích các bài toán phẳng, đàn hồi tuyến tính, chịu tảitrọng tác dụng tĩnh Phương pháp EFG được chọn lựa nghiên cứu do đây là mộtphương pháp không lưới đơn giản giúp cho việc nghiên cứu được thuận lợi

3 BỐ CỤC CỦA LUẬN VĂN

Sau phần Mở đầu, luận văn được bố cục như sau

Chương 1 trình bày cơ sở mô hình tính toán cho bài toán phẳng, những cơ sở

lý thuyết cơ bản của phương pháp EFG và một số khái niệm liên quan;

Chương 2 tập trung vào việc xử lý điều kiện biên Trong đó phương pháp nhân

tử Lagrange và phương pháp hàm phạt được áp dụng;

Chương 3 trình bày các ví dụ áp dụng và khảo sát kết quả Trong luận văn, haibài toán ví dụ được lập trình, thực hiện tính toán số bằng phương pháp EFG;

Sau cùng là phần kết luận và phụ lục chương trình tính

CH ƯƠN NG 1: C S LÝ THUY T ƠN Ở ĐẦU ẾT

1.1 PHƯƠNG TRÌNH CƠ SỞ CHO BÀI TOÁN PHẲNG

Phương trình cơ sở mô tả các điều kiện cân bằng lực, cân bằng động học, điềukiện vật lý và các điều kiện biên của bài toán

Xét vật thể đàn hồi hai chiều Ω, có đường biên được ký hiệu là Γ , như Hình 1.1 Các điều kiện biên được chia thành điều kiện biên chuyển vị và điều kiện biên

lực Véc tơ chuyển vị cho trước được ký hiệu là u trên đường biên Γ u và véc tơngoại lực được ký hiệu là t trên biên Γ t Ký hiệu n là véc tơ pháp tuyến trên biên Γ t.Bài toán vật thể đàn hồi hai chiều chịu tải trọng phân bố b trên miền được phát biểu:tìm trường chuyển vị u và trường ứng suất σ thỏa mãn

L T σ +b=0trên toànmiền Ω , (1.1)

Hình 1.1 Bài toán phẳng, đàn hồi

trong đó L là toán tử Laplace

1.2 PHƯƠNG TRÌNH BIẾN PHÂN CHO BÀI TOÁN PHẲNG

Cũng như các phương pháp số khác, các phương pháp không lưới được xâydựng trên các phương trình biến phân hay phương trình trọng số Việc sử dụng cácphương trình biến phân cho phép giảm bậc của phương trình cơ sở và thuận tiện choviệc triển khai phương pháp không lưới trong các bước tiếp theo Trong thực tế cóhai phương pháp thường được sử dụng để xây dựng các phương trình biến phân, sửdụng phương pháp năng lượng và phương pháp trọng số dư

Trong phạm vi luận văn, phương pháp năng lượng được sử dụng Theonguyên lý Hamilton, trong tất cả các chuyển động khả dĩ của một hệ cơ học thìchuyển động thực sự xảy ra là chuyển động làm cho hàm Lagrange L có giá trị cựctiểu

trong đó T là động năng, Π là thế năng và W là công của các ngoại lực tác

dụng lên hệ được xác định theo các phương trình sau

rạc trên miền có thể tùy ý như Hình 1.2

Hình 1.2 Miền bài toán được đại diện bằng tập hợp các nút rời rạc

Cũng giống như trong phương pháp phần tử hữu hạn, chuyển vị tại tọa độ x

bất kỳ được xấp xỉ theo chuyển vị các nút thông qua các hàm dạng Trong phươngpháp không lưới, chuyển vị tại tọa độ x tùy ý được nội suy theo chuyển vị của các

nút rời rạc trong các miền nhất định gọi là miền ảnh hưởng, xem Hình 1.3 Chuyển

vị tại tọa độ x được xấp xỉ trong miền ảnh hưởng theo phương trình sau

Miền ảnh hưởng của x2

+ x1

Miền ảnh hưởng của x1

+ x2

+ x3

Miền ảnh hưởng của x3

Hình 1.3 Miền ảnh hưởng của các tọa độ x khác nhau

Miền ảnh hưởng của tọa độ x có nhiệm vụ xác định tất cả các nút tham gia vàocông thức xấp xỉ chuyển vị tại x Miền ảnh hưởng có thể là dạng hình chữ nhật, eliphoặc tròn Trong đó dạng hình tròn thường được sử dụng Bán kính miền ảnh hưởngđược xác định như sau [7]

trong đó α s là hệ số kích thước miền ảnh hưởng, không thứ nguyên, thường

cho α s=2:3, d c là chiều dài đặc trưng liên quan đến khoảng cách giữa các nút trongmiền ảnh hưởng của tọa độ x

Trong bài toán hai chiều, khoảng cách trung bình d c giữa các nút được xácđịnh theo công thức sau [7]

d c= √A s

trong đó A s là diện tích toàn miền khảo sát, n A s là số nút trên miền.

Dễ dàng nhận thấy trong trường hợp các nút cách đều nhau, d c chính làkhoảng cách giữa các nút Trong trường hợp các nút không cách đều nhau, d c là giátrị trung bình của khoảng cách giữa các nút trong miền ảnh hưởng của tọa độ x

1.4 HÀM DẠNG THEO PHƯƠNG PHÁP EFG

Có thể thấy hàm dạng ϕ i trong phương trình (1.14) có vai trò tương tự như

hàm dạng trong phương pháp phần tử hữu hạn Tuy nhiên đặc điểm và cách xâydựng hàm dạng ϕ i trong phương pháp EFG trên miền ảnh hưởng có một số điểm

khác biệt Phương pháp xấp xỉ bình phương tối thiểu (Moving least square-MLS)

được sử dụng để xây dựng các hàm dạng ϕ i trong phương pháp EFG [3], [7]

Ký hiệu u ( x ) là hàm chuyển vị thực tại tọa độ x trên miền Ω, u h(x )là giá trị xấp

xỉ của chuyển vị tại tọa độ x Biểu thức xác định hàm chuyển vị xấp xỉ u h(x )đượcviết dưới dạng sau

trong đó p T(x ) là véc tơ đa thức cơ sở, a (x) là véc tơ các hệ thức tương ứng.

Véc tơ a (x) được xác định theo phương pháp xấp xỉ bình phương tối thiểu Lưu ývéc tơ a (x) là hàm của tọa độ x, không phải là hệ số như trong phương pháp phần tử hữu hạn

1.4.1 Hàm cơ sở

Trong bài toán phẳng, các véc tơ đa thức cơ sở sử dụng p T(x ) được cho dướidạng sau

p T(x )= p T(x , y )={1 , x , y , xy , x2, y2, … , x k , y k} (1.18)trong đó k là bậc của đa thức cơ sở Véc tơ các hệ thức tương ứng của véc tơ

đa thức cơ sở p T(x ) được cho dưới dạng sau

a T

(x)={a1(x ) ,a2(x ) , , a m(x )}, (1.19)trong đó m là số số hạng của véc tơ đa thức cơ sở p T(x ) Để xây dựng các đathức cơ sở p T(x ) , tam giác Pascal quen thuộc thể hiện trên Hình 1.4 được sử dụng.

Hình 1.4 Tam giác Pascal xây dựng đa thức cơ sở của bài toán hai chiều.

Như đã được nghiên cứu trong phương pháp phần tử hữu hạn, việc sử dụngtam giác Pascal trong xây dựng đa thức cơ sở đảm bảo tính đầy đủ của đa thức và làmột trong những điều kiện cần đảm bảo tính hội tụ của bài toán

1.4.2 Xấp xỉ bình phương tối thiểu và hàm trọng số

Chuyển vị tại vị trí nút rời rạc thứ i trên miền Ω được xác định theo biểu thức

sau

u h(x i)=p T(x i)a ( x ). (1.20)Chuyển vị xấp xỉ u h(x i) tại nút thứ i thường sai khác so với chuyển vị thực.Xấp xỉ bình phương tối thiểu được sử dụng như điều kiện cực tiểu hóa tổng bìnhphương sai số Theo phương pháp này, tại một tọa độ x tùy ý, véc tơ các hệ thức

a (x) được chọn sao cho biểu thứcJ đạt cực trị [7],

W (d ) đóng hai vai trò quan trọng trong việc xây dựng hàm dạng theo phương pháp

xấp xỉ bình phương tối thiểu Thứ nhất, cung cấp trọng số cho phần dư của các nútkhác nhau trong miền ảnh hưởng Các nút ở xa tọa độ x có trọng số của phần dưnhỏ và ngược lại, các nút bên ngoài miền ảnh hưởng của tọa độ x có trọng số của

phần dư bằng không, các nút ở xa tọa độ x sẽ ít ảnh hưởng đến việc xây dựng hàmdạng Thứ hai, đảm bảo rằng các nút đi ra hoặc vào miền ảnh hưởng thì giá trị phần

dư của chúng thay đổi một cách từ từ (giúp mịn hóa hàm xấp xỉ) Vai trò thứ hai rấtquan trọng, đảm bảo các điều kiện tương thích trong một bài toán cơ học Dưới đây

2,4

trong đó α là hằng số, thông thường α=0.3 Trong các phương trình trên, d

được xác định như sau

d = R i

trong đó d s là kích thước miền ảnh hưởng của điểm nút thứ i,R i là khoảng cách

từ tọa độ x đến nút thứ i Đồ thị 1.1 biểu diễn các hàm trọng số nêu trên trong bài

toán một chiều

Đồ thị 1.1 Các hàm trọng số trong bài toán một chiều

Trong bài toán hai chiều, R i được xác định như sau

R i=‖x−x i‖=√ (x−x i)2+(y − y i)2. (1.27)Trong phạm vi luận văn, hàm trọng số bậc bốn được sử dụng Triển khai đạohàm của hàm trọng số bậc 4 với bài toán 2 chiều theo tọa độ x (x , y ), ta có

Đồ thị 1.2 biểu diễn hàm trọng số bậc 4 trong bài toán 2 chiều.

Đồ thị 1.2 Hàm trọng số bậc bốn trong bài toán hai chiều

A ( x ) a (x )= D( x ) U (x ) , (1.37) ha

chuyển vị tại điểm tọa độ x bất kỳ

Trong lập trình tính toán, ma trận đa thức cơ sở P T

(x) của tất cả các nút nằmbên trong miền ảnh hưởng của tọa độ x được biểu diễn dưới dạng

P T ( x )=[1 x1 y1

⋮1

trong đó W^i=^W(x−x i) Theo phương trình (1.34), ma trận A(x ) và các đạo

hàm riêng của nó được triển khai như sau

Hình 1.5 Lưu ý các phần tử này là cố định và không cần liên hệ với các nút

Hình 1.5 Phần tử nền thực hiện tích phân số.

Trong luận văn, tích phân số Gauss được sử dụng [5] Sau đây là các bước cơbản để xây dựng cách tính tích phân số Gauss

1.5.2 Tích phân số Gauss cho bài toán một chiều

Trong bài toán một chiều có miền tích phân Gauss là ξ ∈[−1 , 1], xét tích phânsau

Sử dụng 1 điểm Gauss (m=1¿ có thể tính toán chính xác giá trị tích phân của

đa thức bậc nhất Thật vậy, cho đa thức bậc nhất f ( ξ)=a0+a1ξ, ta có

-1 0 1

W1(a0+a1ξ1)=2 a0, (1.58) ha

Do {a0, a1} là tùy ý nên W1=2,ξ1=0 Phương trình xấp xỉ tích phân số I áp

dụng cho bài toán một chiều, một điểm Gauss như Hình 1.6 trở thành

I=∫

−1

1

f (ξ )dξ ≈ 2 f (0) (1.60)

Hình 1.6 Tích phân số Gauss trong bài toán một chiều, một điểm Gauss

Trong bài toán một chiều, sử dụng một điểm Gauss có thể tính toán chính xáctích phân hàm bậc nhất hoặc hằng số bằng phương pháp tích phân số Gauss Tương

tự khi sử dụng hai điểm Gauss, ta có

Hình 1.7 Tích phân số Gauss trong bài toán một chiều, hai điểm Gauss.

Trong bài toán một chiều, sử dụng hai điểm Gauss có thể tính toán chính xáctích phân hàm bậc ba trở xuống bằng phương pháp tích phân số Gauss Khi tăng số

điểm Gauss, chúng ta lập luận tương tự Kết quả được ghi trong Bảng 1.1, xem [5] Bảng 1.1 Tích phân số Gauss của bài toán một chiều trên miền [-1,1].

1.5.3 Tích phân số Gauss cho bài toán hai chiều

Trong bài toán hai chiều, miền tích phân Gauss là miền hình vuông

ξ ×θ ∈[−1 , 1]×[−1 , 1] Chúng ta sử dụng m điểm Gauss theo mỗi chiều, tổng sốđiểm Gauss trong bài toán hai chiều bằng m2 Triển khai biểu thức tích phân I bêndưới trong bài toán hai chiều bằng tích phân số Gauss

phân số Gauss 1 chiều, xem Hình 1.8 Kết quả được ghi trong Bảng 1.2, xem [5].

Hình 1.8 Tích phân số Gauss trong bài toán hai chiều, bốn điểm Gauss Bảng 1.2 Tích phân số Gauss của bài toán hai chiều trên miền [-1,1] × [-1,1].

Số

nút

Tọa độ Gauss ξ i ,θ j Giá trị trọng số

W i , W j Bậc tối đa của

1.5.4 Phần tử cơ sở và hoán chuyển đẳng hướng

Xấp xỉ tích phân số Gauss được thực hiện trên các miền đoạn thẳng [−1 ,1]

hay miền hình vuông [−1 ,1]×[−1, 1] Các miền này gọi là phần tử cơ sở Tuy nhiên

trong thực tế, phải thực hiện những biểu thức tích phân trên miền bất kỳ Cần cómột mối quan hệ chuyển đổi tọa độ của các phần tử thực sang phần tử cơ sở vàngược lại để sử dụng tích phân số Gauss Biểu thức tích phân trên miền phần tửthực Ω ( x , y ) được chuyển sang miền phần tử cơ sở ω ( ξ , θ)=[−1, 1]×[−1 , 1] theocông thức sau

Hình 1.9 Phần tử tứ giác: Phần tử hữu hạn thực và phần tử cơ sở.

Hình 1.9 minh họa một điểm trong phần tử cơ sở có tọa độ tự nhiên ξ (ξ , θ),tương ứng với một điểm có tọa độ x (x , y ) trong phần tử hữu hạn thực

θ

4(1−ξ) (1+θ)=N4. (1.79)Thể hiện dưới dạng ma trận, ta có

CH ƯƠN NG 2: X LÝ ĐI U KI N BIÊN Ử LÝ ĐIỀU KIỆN BIÊN ỀU KIỆN BIÊN ỆN BIÊN

Một trong các khó khăn trong việc áp dụng phương pháp không lưới là thihành điều kiện biên Để xử lý điều kiện biên chuyển vị trong phương trình (1.2),phương pháp nhân tử Lagrange và phương pháp phạt thường được sử dụng Trongphạm vi luận văn, cả hai phương pháp được chọn để tìm hiểu và áp dụng cho một sốbài toán cơ bản

2.1 PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ LAGRANGE

2.1.1 Phương trình biến phân

Khi sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange để xử lý điều kiện biên chuyển vị,phương trình (1.13) xuất hiện thêm một số hạng thứ tư như sau

δ (ε¿ ¿T σ )=δ ε T σ +ε T δ σ ¿ (2.3)

Cả hai số hạng bên vế phải của phương trình trên đều là các đại lượng vôhướng, chuyển trí không làm thay đổi kết quả của chúng Số hạng thứ hai sau khichuyển trí thu được kết quả

ε T δ σ =(ε T δ σ ) T=δ σT ε. (2.4)Biểu thức định luật Hooke trong bài toán đàn hồi tuyến tính

trong đó c là ma trận đàn hồi của vật liệu Ma trận c có tính chất đối xứng Đối

với bài toán ứng suất phẳng, ta có

c= E 1−υ2[1 υ υ 1 00

Lagrange để xử lý điều kiện biên, đã thu gọn.

tại tọa độ x cũng được xấp xỉ theo giá trị các nhân tử Lagrange λ j tại các nút rời rạc

thứ j của miền bài toán

thuộc hai đầu của phần tử trên biên chuyển vị, chứa tọa độ x đang xét [7] Sử dụngphương pháp xấp xỉ đơn giản này đối với nhân tử Lagrange nhằm mục đích giảmkhối lượng tính toán Lưu ý λ là ẩn số phụ, phát sinh thêm khi sử dụng phương phápnhân tử Lagrange để xử lý điều kiện biên Biểu thức hàm dạng xấp xỉ nhân tửLagrange sử dụng

N0(s )= s−s1

s0−s1, N1(s )= s−s0

s1−s0. (2.15)Thế các phương trình (2.13), (2.14) vào phương trình (2.12) ta có

miền Ω,

trong đó n Ω là tổng số nút trên toàn miền,F Ω là véc tơ lực nút của toàn miền do

lực phân bố b gây ra,

Vì véc tơ F i Ω có kích thước 2 ×1 nên véc tơ F Ω có kích thước 2 n Ω ×1 Véc tơ

F i Ω được xấp xỉ bằng tích phân số Gauss trên toàn miền Ω Tương tự phân tích sốhạng thứ ba của phương trình (2.16), ta có

trong đó n Ω là tổng số nút trên toàn miền, F t là véc tơ lực nút của toàn miềnΩ

do ngoại lực trên biên ngoại lực Γ t gây ra,

Vì véc tơ F i t có kích thước 2 ×1 nên véc tơ F t có kích thước 2 n Ω ×1 Véc tơ F i t

được xấp xỉ bằng tích phân số Gauss trên biên ngoại lực Γ t Trước khi phân tích sốhạng thứ tư và thứ năm của phương trình (2.16), chúng ta phân tích số hạng cuốicùng và thu được kết quả như sau

Véc tơ nhân tử Lagrange Λ đóng vai trò là ẩn số phụ của bài toán Vì ma trận

G ij có kích thước 2 ×2 nên ma trận G có kích thước 2 n Ω ×2 n λ Ma trận G ij sẽ đượcđược xấp xỉ bằng tích phân số Gauss trên biên chuyển vị Γ u Phân tích số hạng thứ

tư của phương trình (2.16), ta có