Chuyên đề bồi dưỡng toán casio

+ Lặp lại bước trên nhưng với 5 chữ số cuối, ta được thêm một chữ số nữa, cứ như vậy cho đủ hết các chữ số còn lại... a Phương pháp tính: Giả sử cần tìm số dư trong phép chia a:b, ta có

§1 KIỂM TRA KỸ NĂNG TÍNH TOÁN THỰC HÀNH

−−−

1 Tính chính xác tích

a) Phương pháp tính:

Nhân các số lớn trên máy tính chắc chắn sẽ làm tràn màn hình, do đó kết quả sẽ không chính xác Mặt khác, bài toán đòi hỏi phải có đáp số nguyên nên việc tính toán trên máy một cách trực tiếp là không khả thi Để tính được kết quả chính xác phải tính nhiều giai đoạn, máy tính lúc này chỉ thực hiện các phép tính trung gian, phần tính kết quả sẽ thực hiện ở giấy nháp

Cách 1:

Ta áp dụng tính chất (A + B)(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D, rồi lần lượt tính các tích và cộng lại

Ví dụ: Tính 222223333×222225555

Giải: Ta có: 222223333 = 22222.104 + 3333

222225555 = 22222.104 + 5555

⇒ 222223333×222225555 = (22222.104 + 3333)( 22222.104 + 5555)

= 222222.108 + 22222.104(3333+5555) + 3333x5555

= 493817284.108 + 197509136.104 + 18514815

= 49381728400000000 + 1975091360000 + 18514815

= 49383703509874815 Cách 2:

Ta lấy A nhân với B trên máy để xác định tích có bao nhiêu chữ số, đồng thời cũng thu được 9 chữ số phía trước của tích Ta tiếp tục tìm các chữ số phía sau như sau:

+ Lấy 4 chữ số cuối của A nhân 4 chữ số cuối của B ta được kết quả có 4 chữ số cuối là 4 chữ số cuối của tích

+ Lặp lại bước trên nhưng với 5 chữ số cuối, ta được thêm một chữ số nữa, cứ như vậy cho đủ hết các chữ số còn lại

Ví dụ: Tính 222223333×222225555

Lấy 222223333×222225555 = 4.938370351x1016

Ta biết tích có 17 chữ số và 9 chữ số phía trước là 493837035, ta cần tìm 8 chữ số còn lại Lấy 3333x5555 = 18514815, ta được 4 chữ số cuối của tích là 4815

Lấy 23333x25555 = 596274815, ta được 5 chữ số cuối của tích là 74815

Lấy 223333x225555 = 5.037387482x1010, ta được 6 chữ số cuối của tích là 874815

Lấy 2223333x2225555 = 4.948149875x1012, ta được 7 chữ số cuối của tích là 9874815 Lấy 22223333x22225555 = 4.939259099x1014, ta được 8 chữ số cuối của tích là 09874815 Vậy tích cần tìm là 222223333×222225555 = 49383703509874815

b) Bài tập:

Bài 1: Tính chính xác các tích sau:

M = 2 222 255 555 x 2 222 266 666 N = 20 082 008 x 20 092 009

O = 13 032 006 x 13 032 007 P = 3 333 355 555 x 3 333 377 777

Bài 2: Tính chính xác số sau:

A = 1 414 213 5622 B = 1 732 050 8082

Bài 3: Tính chính xác các tích sau:

X = 7 895 489 x 56 326 Y = 99 887 456 752 x 89 685

Z = 123 456 789 104 563 456 x 98 761

2 Tìm dư trong phép chia

a) Phương pháp tính:

Giả sử cần tìm số dư trong phép chia a:b, ta có thể:

+ Trường hợp 1: Đối với các số tương đối nhỏ (Phần nguyên của thương ít hơn 8 chữ số) ta có thể tính chính xác ngay số dư bằng cách lấy thương của a:b nhân với b rồi trừ cho tích của phần nguyên a:b với b Trên máy fx−570MS, ta thực hiện như sau:

a÷ b = × b − a

b

 

 

  × b =

(Trong đó a

b

 

 

  là phần nguyên của thương a:b, lấy được sau khi ấn dấu bằng lần đầu) + Trường hợp 2: Đối với các số lớn hơn, việc tính như trên sẽ không chính xác Ta sẽ làm như sau:

− Giả sử a có k chữ số Ta lấy từ trái qua m chữ số (gọi là a1) sao cho a1 chia b được thương có phần nguyên không quá 8 chữ số

1 2 m m 1 n 1 1 2 m

a p p p p p= + ⇒a =p p p

− Tìm số dư của phép chia a1:b như phương pháp trên, gọi số dư đó là r1

− Thêm vào bên phải r1 các chữ số tiếp theo của a (từ vị trí m + 1 đến cuối) sao cho đủ m chữ số, gọi là a2

2 1 m 1 m 2 có chữ số

a = r p p + +



m

− Tìm số dư của phép chia a2:b như phương pháp trên, gọi số dư đó là r2

Lặp lại quy trình đến khi a không còn chữ số nào Số dư cuối cùng là số dư của a:b

Lưu ý: Khi tính có thể kết quả có thể có dạng …x,99…, lúc đó ta làm tròn hàng đơn vị lên một đơn

vị, còn nếu có dạng …x,8… thì phải tính lại mà không được làm tròn

b) Bài tập:

Bài 4 Tìm dư của phép chia sau:

a) 123 456 789 cho 23 456 b) 7 503 021 930 cho 3 022 009

Bài 5 Tìm dư trong phép chia sau:

a) 103 103 103 cho 2 009 b) 30 419 753 041 975 cho 151 975

Bài 6 Tìm dư trong phép chia sau:

a) 24 728 303 034 986 194 cho 2 003 b) 103 200 610 320 061 032 006 cho 2 010

3 Tìm ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất của hai số a và b

a) Phương pháp tính:

+ Trường hợp 1: Nếu phân số a

b không làm tràn màn hình Ta làm như sau:

− Nhập vào máy a ↵ b và nhấn =, máy sẽ tính thương của a:b, ta nhấn phím a b / c để chuyển số trên về dạng phân số Lấy a chia cho tử số (hoặc lấy b chia cho mẫu số) ta được UCLN(a, b)

− Tính BCNN(a, b) = (a.b)÷UCLN(a, b)

+ Trường hợp 2: Nếu phân số a

b làm tràn màn hình Ta làm như sau:

− Giả sử a > b Ta tìm số dư của a:b như mục 2, gọi là r1 Nếu b r⋮ thì UCLN = r1 1

− Nếu b r⋮ , ta tìm số dư của b:r1 1 như mục 2, gọi là r2 Nếu r r1⋮ thì UCLN = r2 2

Nếu r r1⋮ 2, ta lập lại quy trình trên đến khi r rn⋮ n 1+ , khi đó UCLN = rn+1

− BCNN = (a.b)÷UCLN

b) Bài tập:

Bài 7 Tìm UCLN, BCNN của các cặp số sau:

a) 209 865 và 283 935 b) 8 287 135 và 14 277 835

c) 100 712 và 68 954 d) 8 106 848 và 92 079 458

Bài 8 Tìm UCLN, BCNN của các cặp số sau:

a) 3 022 005 và 7 503 021 930 b) 2 419 580 247 và 3 802 197 531

c) 168 599 421 và 2 654 176 d) 24 614 205 và 10 719 433

4 Viết phân số duới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn và ngược lại

a) Viết phân số a

bduới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

+ Lấy a:b, ta được phần nguyên (nếu a > b) và 8 chữ số thập phân đầu tiên, nếu a

b là một phân số đơn giản (chu kì không hơn 6 chữ số), thì chu kì của nó có thể nhận biết bởi 8 chữ số thập phân trên (các chữ số thập phân sẽ lặp lại) Ngược lại, ta ghi lại kết quả trên Thực hiện tiếp bước phía sau

+ Tìm số dư của a.10m :b (với m = 7 − [Số chữ số của a] + [Số chữ số của b]), gọi số dư đó là r1 + Lấy r1:b được phần một dãy các chữ số, trong đó sẽ có 2 hoặc 3 chữ số trùng với phần cuối của kết quả đã ghi, đó là phần tiếp theo của chu kì Ta ghi kết quả này lại Nếu vẫn chưa nhận thấy chu kì, ta làm tiếp bước sau

+ Tìm số dư của r1.10m :b (với m = 7 − [Số chữ số của r1] + [Số chữ số của b]) , gọi số dư đó là r2 + Lấy r2:b được phần một dãy các chữ số, trong đó sẽ có 2 hoặc 3 chữ số trùng với phần cuối của kết quả đã ghi, đó là phần tiếp theo của chu kì Ta ghi kết quả này lại Nếu vẫn chưa nhận thấy chu kì, ta thực hiện lại quy trình đến khi nhận ra chu kì của phân số

b) Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số

Giả sử số thập phân vô hạn tuần hoàn A có k chữ số phần nguyên, m chữ số trong chu kì bất thường, n chữ số trong chu kì lặp Tức là 1 2 k 1 2 m 1 2 n

k chữ số m chữ số nchữ số

A a a a ,b b b (c c c ).=


 Lúc này ta có

A a a a

c) Bài tập:

Bài 9 Tìm chu kì các phân số sau: 17 113 4; ; ; 263 8 49; ;

23 61 123 2009 15 419 Bài 10 Viết các số thập phân sau thành phân số: 23,(421); 2,13(132); 1,9(89); 2,63(1245); 0,(1274)

§2 NHÓM CÁC BÀI TOÁN VỀ TÌM SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA

−−−−−−−−−−−

1 Tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa

a) Phương pháp tính:

− Nếu a tận cùng là các chữ số: 0, 1, 5, 6 thì an lần lượt tận cùng là 0, 1, 5, 6

− Nếu tận cùng bằng 2 thì an tận cùng bằng 6 nếu n 4⋮ ; tận cùng bằng 2 nếu n chia 4 dư 1; tận cùng bằng 4 nếu n chia 4 dư 2; tận cùng bằng 8 nếu n chia 4 dư 3

− Nếu a tận cùng bằng 3 thì an tận cùng bằng 1 nếu n 4⋮ ; tận cùng bằng 3 nếu n chia 4 dư 1; tận cùng bằng 9 nếu n chia 4 dư 2; tận cùng bằng 7 nếu n chia 4 dư 3

− Nếu a tận cùng bằng 7 thì an tận cùng bằng 1 nếu n 4⋮ ; tận cùng bằng 7 nếu n chia 4 dư 1; tận cùng bằng 9 nếu n chia 4 dư 2; tận cùng bằng 3 nếu n chia 4 dư 3

Chữ số tận cùng của an

Chữ số tận cùng

của a n chia hết cho 4

(n = 4k)

n chia 4 dư 1 (n = 4k + 1)

n chia 4 dư 2 (n = 4k + 2)

n chia 4 dư 3 (n = 4k + 3)

− Nếu a tận cùng bằng p thì an có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của pn Nhờ tính chất này, các số có tận cùng bằng 4, 8 được quy về tận cùng bằng 2 tức là (22)n, (23)n; các số có chữ số tận cùng bằng 9 được quy về tận cùng bằng 3 tức là (32)n

b) Bài tập:

Bài 11 Tìm chữ số tận cùng của:

a) 19921993 b) 20092008 c) 252011 d) 1642003 e) 132009 f) 106106 g) 2007141

Bài 12 Tìm chữ số hàng đơn vị của 172002

2 Tìm số dư của phép chia am : b

a) Phương pháp tính:

Để tìm số dư của phép chia am : b, ta tìm dư của rm : b (trong đó, r là số dư của a: b)

Bằng cách tìm số dư của r : b, r2 : b, r3 : b, r4 : b, … để tìm quy luật tuần hoàn số dư của rm : b Giả sử ta tìm chu kì tuần hoàn là n Tiếp theo ta tìm số dư của m : n, giả sử là k Khi đó số dư của

am : b chính là số dư của rk : b

* Chú ý: Tìm chữ số tận cùng của lũy thừa am là trường hợp đặc biệt của tìm số dư trong phép chia am : b khi b = 10

b) Bài tập:

Bài 13 Tìm số dư của phép chia sau:

a) 176 59427 cho 293 b) 1112 cho 2001 c) 736 cho 2003

Bài 14 Tìm số dư của phép chia sau:

a) 2004376 cho 1975 b) 176 59439 cho 293 c) 122008 cho 5

3 Tìm chữ số thập phân thứ k của phép chia a:b

a) Phương pháp tính:

+ Bước 1: Tìm chu kì của phân số a

b theo mục 4, §1 Giả sử chu kì đó có m chữ số

+ Bước 2: Tìm số dư của k:m theo mục 2, §1 gọi là r

Chữ số thập phân cần tìm là chữ số thứ r (đếm từ bên trái sang bên phải) trong chu kì Nếu k m⋮ thì chữ số cần tìm là chữ số cuối cùng của chu kì

* Chú ý: Mỗi phân số đều có thể biểu diễn thành số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn Đối với số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn thì ta làm như cách trên sẽ chính xác Nếu là số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp thì r là số dư của (k − n):m (với n là số chữ số trong chu kì bất thường)

b) Bài tập:

Bài 15 Tìm chữ số thập phân thứ 2009 trong phép chia số 64 cho 37

Bài 16 Tìm chữ số thập phân thứ 2005 trong phép chia 7 cho 23

Bài 17 Tìm chữ số thập phân thứ 456 456 trong phép chia 13 cho 23

Bài 18 Tìm chữ số thập phân thứ 122008 trong phép chia 64 cho 31

Bài 19 Tìm chữ số thập phân thứ 122005 trong phép chia 10 000 cho 17

Bài 20 a) Tìm chữ số thập phân thứ 7774 của số 77

74 khi viết nó dưới dạng số thập phân

b) Tìm chữ số thập phân thứ 2005 của phép chia 6061 cho 33300

c) Tìm chữ số thập phân thứ 302009 của phép chia 23 cho 43 và phép chia 801 cho 570

§3 LIÊN PHÂN SỐ

−−−

1 Định nghĩa

Cho a, b (a > b) là các số tự nhiên Dùng thuật toán Euclide chia a cho b, phân số a

b có thể

viết dưới dạng 0

0

b

b

b

= + = +

Vì b0 là dư của phép chia a cho b nên b > b0, lại tiếp tục biểu diễn phân số

0

b

b dưới dạng

1

0

1

b

b

b

= + = + Tiếp tục như vậy, quá trình sẽ kết thúc sau n bước, và cuối cùng ta được:

0 1

n 1 n

1

1 .a

a

−

= +

+

+

Cách biểu diễn như trên gọi là biểu diễn số hữu tỉ dưới dạng liên phân số Người ta đã chứng minh rằng mỗi số hữu tỉ chỉ có duy nhất một biểu diễn dưới dạng liên phân số Liên phân số còn được viết gọn dưới dạng [a0, a1, …, an]

Vì mỗi số vô tỉ có thể viết dưới dạng một số thập phân vô hạn không tuàn hoàn nên ta cũng có thể biểu diễn nó dưới dạng liên phân số xấp xĩ với độ chính xác tùy ý

2 Phương pháp tính

Để chuyển một phân số a

b thành một liên phân số, ta phải tìm dãy a0, a1, a2, …, an Ta thực hiện như sau:

+ Thực hiện chia a : b, ta được thương a

b, trong đó phần nguyên chính là a0 + Trừ thương a

b cho ab

 

 

 , rồi nhấn phím x − 1 = Khi đó phần nguyên của số vừa tìm được chính là a1

+ Trừ kết quả trên cho phần nguyên của nó rồi nhấn phím x − 1 = Khi đó phần nguyên của số vừa tìm được chính là a2

+ Lặp lại cho đến khi nhận được số cuối cùng là số nguyên

Khi đó ta được dãy a0, a1, a2, …, an và viết lại dưới dạng phân số

* Chú ý: Trong một vài trường hợp, số cuối cùng có thể nhận được không là số nguyên nhưng nó có dạng x,9999… thì ta làm trong thành x + 1

Để chuyển một liên phân số thành một phân số, ta làm như sau:

+ Bấm an x − 1 = + an − 1= x − 1 = + an − 2= x − 1 = + an − 3= … x − 1 = + a0= Khi đó, ta được dạng phân số của liên phân số [a0, a1, a2, …, an]

3 Bài tập

Bài 21 Biết: 15 11

17 1 1

a b

= + +

, a, b là các số dương, hãy tìm a, b

Bài 22 Tính và viết kết quả dưới dạng phân số:

1) A 3 5

4 2

5 2

4 2 5 2 3

= +

+ + + +

2) B 7 1

1 3

1 3 1 3 4

= + + + +

Bài 23 Tính và viết kết quả dưới dạng phân số:

1) A 20

1 2

1 3 1 4 5

=

+ + +

2) B 2

1 5

1 6 1 7 8

= + + +

Bài 24 Tìm các số tự nhiên a, b biết rằng: 329 1

1

1051 3

1 5 1 a b

= + + +

Bài 25 Lập quy trình tính giá trị liên phân số M = [3, 17, 15, 1, 292]

Bài 26 Các số: 2, 3,π có biểu diễn xấp xĩ dưới dạng liên phân số như sau:

2 [1,2,2,2,2,2]; 3 [1,1,2,1,2,1];= = π =[3,17,15,1,292,1,1,1,2,1,3] Tính các liên phân số trên

§4 ĐA THỨC

1 Dạng toán tính giá trị của đa thức

Để tính giá trị của đa thức, biểu thức, ta sử dụng các biến như A, B, … gán cho giá trị của x, sau đó bấm đa thức, biểu thức theo A, B, … và bấm dấu = để tính

Trường hợp, bài toán yêu cầu tính giá trị của đa thức tại nhiều điểm x, ta bấm đa thức theo

A, B, … rồi sử dụng phím CALC, máy hỏi A, B, … ta nhập giá trị của x rồi ấn =

* Bài tập:

Bài 27: Tính A 3x5 32x4 2 3x2 x 1

4x x 3x 5

=

− + + khi x = 1,8165

Bài 28

a) Tính giá trị biểu thức x4 + 5x3− 3x2 + x − 1 khi x = 1,35627

b) Tính P(x) = 17x5− 5x4 + 8x3 +13x2− 11x − 357 khi x = 2,18567

2 Dạng toán tìm số dư trong phép chia đa thức

Chia đa thức P(x) cho đa thức ax + b ta được P(x) = (ax + b)Q(x) + r, thay x = b

a

− , ta được b

r P

a

 

= − 

  Như vậy bài toán tìm dư trong phép chia trở thành bài toán tìm giá trị đa thức

* Nhận xét:

− Để tìm số dư khi chia đa thức P(x) cho ax + b, ta tính giá trị của đa thức P(x) tại giá trị nghiệm của ax + b

− Tìm số dư khi chia đa thức P(x) cho x − c là trường hợp đặc biệt của bài toán trên khi

a = 1, b = −c, lúc này r = P(c)

*Bài tập:

Bài 29 Tìm dư trong phép chia:

x x x x x x 723

a)

x 1,624

− − + + + −

−

x 6,723x 1,857x 6,458x 4,319 b)

x 2,318

+

c) Cho P(x) = x4 + 5x3− 4x2 + 3x − 50 Gọi r1 là phần dư của phép chia P(x) cho x − 2 và r2 là phần

dư của phép chia P(x) cho x − 3 Tìm BCNN của r1 và r2

3 Dạng toán xác định m để đa thức P(x) + m chia hết cho đa thức ax + b

Vì P(x) + m = (ax + b)Q(x) + r + m nên để P(x) + m chia hết cho ax + b thì r + m = 0 hay

a

m r P

b

 

= − = − − 

 là bài toán tìm giá trị biểu thức

* Chú ý: Cần lưu ý dấu của m để tránh sai xót

* Bài tập:

Bài 30 Xác định tham số:

a) Tìm a để x4 + 7x3 +2x2 + 13x + a chia hết cho x + 6

b) Cho P(x) = 3x3 + 17x − 625

b.1 Tính P 2 2 ( )

b.2 Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3

Bài 31 Tìm thương và dư trong phép chia x7− 2x5− 3x4 + x − 1 cho 2x + 5

Bài 32: Cho đa thức P(x) = 6x3− 7x2− 16x + m

a) Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + 3

b) Với m tìm được ở câu a, hãy tính số dư r khi chia P(x) cho 3x − 2

c) Tìm m và n để Q(x) = 2x3− 5x2− 13x + n và P(x) cùng chia hết cho (x − 2)

d) Với n tìm được ở trên, hãy phân tích Q(x) ra tích của các thừa số bậc nhất

Bài 33: Cho đa thức P(x) = x4 + 5x3− 4x2 + 3x + m và Q(x) = x4 + 4x3− 3x2 + 2x + n Tìm m, n để P(x) và Q(x) chia hết cho x − 2

4 Dạng toán tìm đa thức thương.

Dạng toán này thường không yêu cầu tìm số dư và tìm thương trong phép chia Ta sử dụng

sơ đồ Horner để chia đa thức

Giả sử f(x) = a0xn + a1xn− 1 + … + an − 1x + an là đa thức bậc n, chia cho đa thức x −−−− c được thương là q(x) = b0xn − 1 + b1xn − 2 + … + bn − 2x + bn − 1 và số dư r Tức là:

a0xn + a1xn − 1 + … + an − 1x + an = (x − c)( b0xn − 1 + b1xn − 2 + … + bn − 2x + bn − 1) + r

Khi đó, các bi được tính theo bảng sau:

Hệ số f(x) a0 a1 a2 a3 … an-1 an

c b0 = a0 b1 = b0.c + a1 b2 = b1.c + a2 b3 = b2.c + a3 bn − 1 = bn − 2.c + an − 1 r= bn − 1.c + an

* Nhận xét: Chia đa thức bằng sơ đồ Horner, ta cũng tìm được số dư của đa thức f(x) khi chia cho x − c

Trường hợp chia f(x) cho đa thức ax + b, ta làm như sau:

Hệ số f(x) a0 a1 a2 … an-1 an

Chia hệ số

của f(x) cho a 0 0

a a a

1

a a a

2

a a a

n 1

a a

a−

−

n

a a a

′ =

b

a

− b0 = a0′ b1 = b0 b

a

 

−

 

 + a1′ b2 = b1 b

a

 

−

 

 + a′2 bn − 1 = bn − 2 b

a

 

−

 

 + a′n 1− r = bn − 1 b

a

 

−

 

 + an′

* Bài tâp:

Bài 34 Tìm đa thức thương và số dư trong các phép chia sau:

a) f(x) = x5− 2x4 + x3− 2x2 + x − 1 cho x − 4

b) f(x) = x4 + 2x3− 3x2− 4x + 1 cho x + 1

c) f(x) = x5 cho x − 1

d) f(x) = x4− 8x3 + 24x2− 50x + 11 cho 3x − 2

×

+

Bài 35 Xác định giá trị của a để f(x) chia hết cho g(x), tìm thương và số dư trong những trường hợp sau:

a) f(x) = x3− (2a + 1)x2 + 7

2x + a

2− 4; g(x) = x − 2

b) f(x) = x4− (a − 1)x3 + (a + 1)x2− 3x − 7; g(x) = 3x − 1

c) f(x) = x3− 6x2 + (2a + 1) − a − 7; g(x) = x − 2

d) f(x) = x4− (a − 4)x3− 8x2 + (a + 7)x + 6; g(x) = x − 3

5 Bài tập tổng hợp

Bài 36

a) Cho P(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f Biết P(1) = 3, P(2) = 6, P(3) = 11, P(4) = 18, P(5) = 27 Tính P(6), P(7), P(8), P(9)

b) Cho Q(x) = mx3 + nx2 + px + q Biết Q(1) = 5, Q(2) = 7, Q(3) = 9, Q(4) = 11 Tính các giá trị Q(10), Q(11), Q(12), Q(13)

c) Cho P(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f Biết P(1) = −1, P(2) = 21, P(3) = 79, P(4) = 191, P(5) = 375 Tính P(6), P(7), P(8), P(9)

Bài 37

a) Cho P(x) = x5 + 2x4− 3x3 + 4x2− 5x + m

a.1 Tìm số dư khi chia P(x) cho x − 2,5 khi m = 2008

a.2 Tìm giá trị của m để P(x) chia hết cho x − 2,5

a.3 P(x) có nghiệm là 2 Tìm m ?

b) Cho P(x) = ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f Biết P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51 Tính P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11)

Bài 38: Cho f(x) = x3 + ax2 + bx + c Biết f 1 7 ;f 1 3;f 1 89

3 108 2 8 5 500

      Tính giá trị đúng và gần đúng của f 2

3

 

 

  Bài 39 Cho P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(0) = 12, P(1) = 12, P(2) = 0, P(4) = 60

a) Xác định các hệ số a, b, c của P(x)

b) Tính P(2009)

c) Tìm số dư trong phép chia P(x) cho 5x − 6

Bài 40 Cho đa thức f(x) = x3 + ax2 + bx + c

a) Tìm các hệ số a, b, c biết f(1) = 1996, f(2) = 1999, f(3) = 1990

b) Tìm số dư r khi chia f(x) cho x − 7

c) Tìm x, biết f(x) = 1930

§5 DÃY SỐ TRUY HỒI

I Định nghĩa

Dãy số truy hồi là một dãy số, trong đó các số hạng phía sau được tính dựa vào các số hạng đứng trước Có nhiều loại dãy truy hồi, chủ yếu ta thường gặp 3 dạng sau:

+ Truy hồi bậc I: Tức là số hạng phía sau được tính dựa vào một số hạng phía trước

+ Truy hồi bậc II: Tức là số hạng phía sau được tính dựa vào hai số hạng phía trước

+ Truy hồi bậc III: Tức là số hạng phía sau được tính dựa vào ba số hạng phía trước

II Phương pháp tính

1 Dãy truy hồi bậc I

Dạng tổng quát: u1 = a, un+1 = f(un) với f(un) là một hàm số với biến un

Để tính số hạng thứ n + 1 (un+1), ta sử dụng biến Ans và lập lại phím = Tùy theo hàm f(un), ta có quy trình bấm phím cụ thể

* Bài tập:

Bài 41 Cho dãy số: a0 = 1,

2

n n

n 1

n

a a 1 1 a

a

+

+ + −

= , với n = 0, 1, 2, … a) Lập quy trình bấm phím tính an+1 trên máy tính cầm tay

b) Tính a1, a2, a3, a4, a5, a10 và a15

Bài 42 Cho dãy số a0 = 1, n

n 1

n

5 a a

1 a

+

+

= + , với n = 1, 2, 3, …

a) Lập quy trình bấm phím tính an+1 trên máy tính cầm tay

b) Tính a5, a6, a7, a18, a19, a20 và a2009

2 Dãy truy hồi bậc II

Dạng tổng quát: u1 = a, u2 = b, un+1 = f(un, un-1) với f(un, un-1) là một hàm số với hai biến un,

un-1

a) Dãy Fibonaci:

− Tổng quát: u1 = 1, u2 = 1, un+1 = un + un −−−− 1

Áp dụng công thức trên, ta tính được dãy sau: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … đối với dãy này, ta có công thức tính số hạng thứ n như sau:

n

u

5

 +   −  

=   − 

    

− Nếu đề yêu cầu tính số hạng thứ n, ta chỉ việc áp dụng công thức trên

− Nếu đề yêu cầu lập quy trình phím bấm để tính liên tục, áp dụng một trong các quy trình sau: + Quy trình 1:

1 Shift Sto A

1 Shift Sto B

+ A n p h a A Shift Sto A

∆ Shift Copy

Lặp lại phím =, ta được các un

+ Quy trình 2: