Tài liệu Chuyên đề bồi dưỡng Toán 9

Muốn tìm các nghiệm nguyên ta phải tách đợc phần nguyên ra khi biểu diễn x theo y và ngợc lại.. Ta có thể biến đổi để một vế của phơng trình là tích các biểu thức nguyên của ẩn cồn vế k

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Chuyên đề 1 : Phơng trình nghiệm nguyên.

A Ph ơng pháp giải + Phơng trình dạng : ax + by = c, ( a,b,c các số nguyên).

Muốn tìm các nghiệm nguyên ta phải tách đợc phần nguyên ra khi biểu diễn x theo y và ngợc lại

+ Đa về phơng trình tích Ta có thể biến đổi để một vế của phơng trình là tích các biểu thức nguyên của ẩn

cồn vế kia là một số nguyênbằng cách phântích số nguyên này thành các thừa số nguyên tố ta có thể xét mọi trờng hợp xảy ra rồi từ đó tính ra nghiệm nguyên của phơng trình

+ Phơng pháp loại trừ Từ phơng trình đã cho tìm ra một số điều kiện loại bớt dần những giá trị của ẩn để

tìm ra nghiệm

+ Dùng tính chia hết Ta có thể dùng tính chia hết để thu hẹp miền xác địnhcủa nghiệm đa phơng trình về

những phơng trình đôn giản hơn

+ Tách phần nguyên Ta có thể tách phân nguyên riêng ra và đặc điều kiện cho phân thức còn lại cũng là một

số nguyên từ đó tìm ra nghiệm của phơng trình

+ Dùng vai trò bình đẳng của ẩn Nếu phơng trình nguyên mà các ẩn x,y,z có vai trò bình đẳng, ta có thể đặt

điều kiện để giả sử x≤ y≤z mà bài toán không mất tính tổng quát từ đó giới hạn bớt miền xác định của ẩn

và tìm đợc nghiệm của phơng trình

+ Chứng minh nghiệm duy nhất Với một số phơng trình có nghiệm nguyên ta có thể thấy ngay đợc một

hoặc vài nghiệm , bằng cách chứng minh phơng trình chỉ nhận những nghiệm đó ta kết luận đợc về

nghiệm của phơng trình đã cho

B Bài tập

3.1/ Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: 3x + 4y = 29

3.2/ Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình: x + y = xy

3.3/Tìm nghiệm tự nhiên của phơng trình: xy- 4x= 35-5y

3.4/ Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: x2 − 6xy+ 13y2 = 100

3.5/ Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: 3x2 + 5y2 = 345

3.6/ Tìm nghiệm nguyên của phơng trình : 6x2 + 5y2 = 74

3.7/Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình : 5x-3y = 2xy-11

3.8/ Tìm nghiệm nguyên của phơng trình sau:

a/ x2 − 25 =y(y+ 6 ) b/ x2 + 91 =y2

c/ 11 + 14xyz + 7x = -22yz - 7z

3.9/ Tìm các nghiệm nguyên của các phơng trình sau

a/ x2 −y2 = 1987 b/ x(x+1).(x+7).(x+8) = y2

3.10/ Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình x+ y + z = x.y.z

3.11/ Tìm nghiệm nguyên tố của phơng trình

a/ x2 − 2y2 − 1 = 0 b/ x y+ 1 = z

3.12/ Giải phơng trình nghiệm nguyên

a/ x3 −x2y+ 3x− 2y− 5 = 0 b/ 4x4 + 8x2y + 3y2 − 4y− 15 = 0

3.13/ Tìm tất cả các bộ số nguyên m , n, p thoả mãn hai đẳng thức sau:

m + n =3 , (1) và mn – 2p2 =m+n− 1 (2)

3.14/ Chứng minh rằng phơng trình sau đây không có nghiệm nguyên : x2 − 2y2 = 5

3.15/ Chứng minh rằng phơng trình sau đây không có nghiệm nguyên: 9x2 −y2 = 9x+ 3

3.16/Tìm nghiệm tự nhiên của phơng trình: 2x + 1 =y2

3.17/ Tìm mọi số có hai chữ số xy sao cho : xy 2−yx2 =k2

3.18/ Giải phơng trình nghiệm nguyên : (x+ 2 ) 4 −x4 = y3.

3.19/ Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình:

a/ xy – 2x – 3y + 1 =0 b/ x2 −y2 = 1999

c/ 1x+1y = 1p , (p là số nguyên tố cho trớc)

3.20/ Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình :

a/ x+ y = 50 b/ z

y

x+1 =

1

3.21/ Giải phơng trình nghiệm nguyên dơng

a/ 1+1+1 = 1

z y

x b/ x2 +y2 +z2 +xyz= 20

3.22/ Tìm các số nguyên x , y , z , t sao cho :

x−y +y−z +z−t +t−x = 2003

3.24/ Tìm các cặp số nguyên không âm x,y thoả mãn: 2 2

1576 )

1

3.25/ Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm x , y sao cho : x-y= x2 +xy+y2

3.26/ Tìm các số nguyên x , y sao cho : y= x2 + 4x+ 5

C Gợi ý giải

3.4/ ⇔x2 − 6xy+ 9y2 = 100 − 4y2 ⇔ (x− 3y) 2 = 4 ( 25 −y2 ) ≥ 0 Vậy y ≤ 5 và 25- y2là số chính phơng

Với y=0 suy ra x=0, y=1 hoặc y=2 không thoả mãn , y=3 hoặc y=4 , hoặc y=5 thoả mãn suy ra nghiệm của phơng trình

3.5/ 345 vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5 nên x x phải chia hết cho 5 và y phải chia hết cho 3 suy ra x=5a, y=3b Khi đó 3 25a2 + 5 9b2 = 345 ⇔ 5a2 + 3b2 = 23 , từ đó tìm ra nghiệm của phơng trình

3.6/ suy ra 6 (x2 − 4 ) = 5 ( 10 −y) 2 ⇒x2 − 4 = 5u và 10 −y2 = 6v suy ra u = v

Vì x2 = 4 + 5u≥ 0 ;y2 = 10 − 6v≥ 0 nên

3

5

; 5

4

≤

−

≥ v

Hoặc u = v =0 thì 10=y2, vô nghiệm , hoặc u = v = 1 thì x2 = 9 ,y2 = 4 suy ra các nghiệm nguyên của phơng trình là (x,y)= (3,2);(3 ,-2);(-3, 2);(-3, -2)

3.7/ Ta có 11+5x = y(2x + 3)

3 2

7 5 3 2

) 11 5 ( 2 2

+ +

= +

+

=

⇔

x x

x

y Vì x,y là các số tự nhiên khác o nên 2x + 3 phải là ớc của 7 Từ đó suy ra x và tìm nghiệm của phơng trình

3.8/a/ x2 −y2 − 6y− 9 = 16 ⇔x2 − (y+ 3 ) 2 = 16 ⇔(x-y-3)(x+y+z) = 16

Nhng x+y+3 và x-y-3 có tổng 2x nên cùng tính chẳn lẻ vì vậy tích của chúng chỉ có thể viết thành:

2.8 = (-2).(-8) = 4 4 = (-4).(-4) suy ra nghiệm của phơng trình

b/ Tơng tự câu 2

c/ Ta có

3

1 2

1 2 1 2

1 7

3 2 1 2 7

11 1

2

2

+

+

−

= +

+

⇔ +

−

= + +

⇔

−

= +

+ +

z y

x yz

z x yz

z x xyz

suy ra x=-2,y=1,z=3

3.9a/ Vì 1987 là số nguyên tố nên ta chỉ có các trờng hợp sau: x2 −y2=(x-y).(x+y)=1 1987=1987 1

=(-1).(-1987)= (-1987).(-1)

Xét 4 trờng hợp ta có nghiệm của phơng trình

b/ Ta có (x2 + 8x).(x2 + 8x+ 7 ) =y2 Đặt z= x2+8x , thì z(z+7) = y2

3.11a/

2

) 1 ).(

1 ( 2

1

2

2 = x − = x− x+

y Vì y là nguyên tố nên chỉ có thể xảy ra 4 trờng hợp

+ x+ = y,x− 1 = y

2

1

suy ra x,y

Ba trờng hợp còn lại không thoả mãn Từ đó suy ra nghiệm

b/ Vì x≥ 2 ,y≥ 2 nên x y ≥ 4 ,z≥ 5 nhng x y+1 là số nguyên tố nên x ylà số chẳn tức là x=2

Nếu y=2k+1 thì z= 2 2k+ 1 + 1 = ( 2 + 1 ).( 2 2k − 2 2k− 1 + + 1 ) tức là nó chia hết cho 3 Nếu z>5 lại chia hết cho 3 thì không phải là số nguyên tố nữa Vởy x=2 , y=2 , z=5

3.12a/ Ta có

2

5 0

5 2

2 3

+

− +

=

⇔

=

−

− +

−

x

x x y y

x y x

x Vì x,y ∈Z ⇒x− 5 x2 + 2 ⇒ (x− 5 )(x+ 5 ) x2 + 2

suy ra 27 chia hết cho x2 + 2 do x là số nguyên và x2 + 2>1 nên x2 + 2có thể nhận các giá trị là ớc của

27 là 3 ,9 ,27 Kiểm tra điều kiện ta đợc nghiệm (x,y)=(-1;-3);(5,5)

b/ ⇔ 4 (x4 2x2 +y2 ) − (y2 + 4y+ 4 ) = 11 ⇔ 4 (x2 +y) 2 − (y+ 2 ) 2 = 11 ⇔ ( 2x2 +y− 2 )( 2x2 + 3y+ 2 ) = 11

Ta tìm đợc các nghiệm của phơng trình (x,y)=(0,3);(-2,-7);(2,-7)

3.22/ Nếu







<

≥

= +

⇒

∈

0

; 0

0

; 2

a

a a a a Z a

Do đó a +a là số chẳn Phơng trình tơng đơng với

(x−y +x−y) + (y−z +y−z) + (z−t +z−t) + (t−x +t−x) = 2003

Do vế trái là số tự nhiên chẳn nên phơng trình không có nghiệm

3.24/ y2 (x+ 1 ) = 1576 +x2 = 1577 +x2 − 1 ⇒ (y2 −x+ 1 )(x+ 1 ) = 1577 = 19 83

3.25/ x−y =x2 +xy+y2 Do x,y không âm nên x≥x−y=x2 +xy+y2 ≥ 3xy

- Nếu x=0 ta có y=0

- Nếu x khác 0 suy ra y=0, x=1

Suy ra ngiệm của phơng trình

3.26/ x2 + 4x+ 5 = (x+ 2 ) 2 + 1 > 0 , ∀x, nên y xác định với mọi x và y>0

Do đó phơng trình







=

−

− + +

>

⇔







+ +

=

>

⇔

1 ) 2 )(

2 (

0 1

) 2 (

0

2

y x

y y