Ứng dụng hình học của TP

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN Thể tích vật thể hình học... 2/ Thể tích khối chóp, khối nón Xét khối chóp khối nón đỉnh O, diện tích đáy là S, chiều cao OI = h... 3/ Thể tích khối chóp

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN

Thể tích vật thể hình học

a b

1/ Thể tích vật thể hình học

● Diện tích hình phẳng

x

y

( )

b

a

Khi x chạy từ a đến b thì MN = f(x) “quét” nên diện tích S của hình phẳng aABb và

( f(x)≥0, x[a,b] ) N

M

x

y Khi x chạy từ a đến b thì diện tích S(x)

“quét” nên thể tích V của vật thể và

( S(x) liên tục trên [a,b] )

( )

b

V = ∫ S x dx

Quan sát và cho biết ý kiến?

2/ Thể tích khối chóp, khối nón

Xét khối chóp (khối nón) đỉnh O, diện tích đáy là S, chiều cao OI = h Chọn trục Ox hướng theo chiều từ O đến I

2 2

( )

x h

2 2

0

h

S

h

Do đó

3 2

0

3

1 3

h

S

S x

O

I

M

H N

A

B

C D

O

I M

h

3/ Thể tích khối chóp cụt, khối nón

Xét khối chóp cụt (khối nón cụt) có diện tích hai đáy là S và S’ ,

chiều cao II’=h

2 2

( )

Chọn trục Ox theo hướng từ O đến I Đặt OI=a, OI’=b b-a=h.

2 2

b

a

S

V x dx

b

2 3 3 2

b

a

Do đó

3

S

b

2 2

1 3

hS a a

b b

/

vi

=

O

I

M

H N

A

C D

O

I M

h

4/ Thể tích của vật thể tròn xoay

( )

y = f x

( )

f x

x

O

x y

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y=f(x), y=0, x=a, x=b quay quanh trục Ox taọ thành một vật thể tròn xoay (T)

Tính thể tích của (T)

Thiết diện của (T) và mặt phẳng vuông góc với Ox là hình tròn có bán kính R=f(x) nên diện tích thiết diện là S(x) = π[f(x)]2

2 [ ( )]

b

a

V = π ∫ f x dx

Do đó thể tích của khối tròn xoay (T) là:

O

x y

( )

f x

x

2

b

a

V = π ∫ y dx

Hãy tìm diện tích thiết diện S(x)

5/ Thể tích của khối cầu

x

y

Khối cầu bán kính R là khối tròn xoay tạo thành khi quay hình tròn giới hạn bởi đường tròn

Do đó có thể tích là:

2 ( 2 2)

V π y dx π R x dx

2

R

R

−

3

4

3 π R

=

M

6/ Ví dụ:

Tính thể tích của hình tròn xoay sinh ra khi quay hình giới hạn bởi:

a) y e y = x, = 0, x = − 1, x = 2

quanh trục Ox

quanh trục Oy

2

y = x y = y = x =

O

x y

2

2 1

( )x

−

2

1

1

x

e

−

4

4 2 2 2

2

V = π ∫ ydy = π y

12 ( π dvtt )

=

2

b

a

V = π ∫ y dx

Quay quanh Ox:

2

b

a

V = π ∫ x dy

Quay quanh Oy:

Nêu công thức?

Bài học kết thúc

( )

b

a

b

a

V = π ∫ f x dx